FORMULARIO DE LA UNIDAD 3 Modelos Cuantitativos en ciencias de la Vida y de la Tierra.

El modelo de crecimiento exponencial está representado por

Donde:

= dato inicial, por ejemplo, puede ser una población, un capital, una concentración, etc.

base, un número distinto de cero, en ocasiones se sustituye por el número (base natural)

que representa mejor a fenómenos orgánicos (relacionado con seres vivos) y otros fenómenos de comportamiento similar.

Si a>1 el signo positivo en el exponente produce crecimiento exponencial, mientras que el negativo a<1 provoca que la función presente decaimiento exponencial.

es la razón de crecimiento cuando es número positivo, si es negativo entonces se trata de un

decaimiento.

representa la variable independiente, puede ser el tiempo o la concentración.

¿Qué pasa si sumamos un número a la función anterior?

constante de desplazamiento vertical, cuando es positiva se mueve hacia arriba, si es negativa

se desplaza hacia abajo.

La ley de enfriamiento está dada por:

= temperatura [°C] a un tiempo posterior al hallazgo del cuerpo.

= temperatura ambiente.

= temperatura del cuerpo al encontrarlo.

= ritmo (velocidad) de enfriamiento.

= tiempo en que el cuerpo alcanza la temperatura .

El parámetro k en el formato con , produce los siguientes efectos:

Modifica el valor donde la gráfica corta al eje y, ya que el punto donde se cruzan es

precisamente P(0, k).

El valor de k, siendo positivo, afecta el crecimiento de la exponencial.

o Si k>1, aumenta el crecimiento de la función exponencial

o Si k<1, disminuye el crecimiento de la función exponencial

Valor de n

Cálculos de Aproximaciones de

1 2

10 2.59374246

100 2.7048138294…

1000 2.71692393223…

10 000

2.718145926825…

1x105 2.718268337174…

1x106 2.718280469376…

1x109 2.718281827099…

Definición de exponentes enteros

Si a es un número diferente de cero, y n es un entero positivo, entonces:

an significa que a se multiplica por sí mismo n veces.

a0=1

Definición de exponentes fraccionarios

Si a, m y n son enteros positivos, entonces:

Decaimiento radiactivo

En general (donde N es un número positivo) significa que x es el exponente al que

necesitamos elevar la base a para obtener la cantidad N; es decir: .

Como puedes ver, podemos escribir de dos maneras distintas (para cada base a>0) las relaciones que se dan entre el exponente y el resultado de la potencia. Es decir, las expresiones y

nos dan la misma información y por ello son equivalentes. Utilicemos esas equivalencias para ver por qué la aplicación del logaritmo permite despejar el exponente.

ya que

, ya que

, ya que

En general el exponente al que se debe elevar la base a para tener ax es precisamente x. Esto se escribe en la forma logarítmica como:

Esta propiedad de los logaritmos es muy importante y es la que nos permite despejar al exponente en la forma exponencial. Veamos un ejemplo de base 10, cuando el exponente NO es entero y por ello no es fácil de encontrar. ¿Cuál es el valor de x? ,

tomamos logaritmos base 10 de ambos lados de la ecuación y queda:

Dos observaciones finales: Primero, debes de aplicar el logaritmo de la base que corresponde a la forma exponencial. Segundo, en el caso de logaritmo base 10, aunque nosotros recalcamos la base, se acostumbra escribir solamente log y en cuanto a los logaritmos con base e, su simbología es ln. Así es como verás las teclas respectivas en cualquier calculadora científica.

Queremos conocer el valor del exponente x en la base e:

Parámetros de una función exponencial

Carga del condensador

iR = V = V (1-e-t/RC)

V : fuerza electromotriz de la batería [V]

R: resistencia del circuito []

C: capacitancia del circuito [F]

t: tiempo de carga [s]

Descarga de un condensador

iR = V = V (e-t/RC)