Formulas de Integración
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Formulas de Integración
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• 1.
• 2.
• 3.
Propiedades de la integral definida
Sean y . Entonces:
i) donde es cualquier constante.
ii)
Evalué
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Evalué
Evalué
Puesto que el grado del numerador del integrando es igual al grado del denominador, se efectua la división larga:
Integrando equivalentemente:
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Regla de la sustitución
Si es una función diferenciable cuyo rango es un intervalo I, es una función continua sobre I y es una antiderivada de sobre , entonces:
• Integral indefinida de la potencia de una función
• Evalué
y se hace la identificación:
y
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• Evalue
Si , entonces ,luego
Evalué
Si se obtiene al despejar Luego:
Evalué
Si , entonces y .En consecuencia:
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Formulas de Integración
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Evalué
Evalué . Si y
Evalué
La integral dada no se ve como ninguna de las fórmulas de integración de la tabla anterior. No obstante, si el numerador y el denominador se multiplican por :
Evalué
Sea de modo que . Entonces:
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• Evalué .
Si hacemos , entonces y .
Evalué
Si la sustitución con y
Evalué
Al factorizar del radical e identificar y tenemos:
Evalué
ES necesario comprobar que la integral no es de la forma Luego, al usar la fórmula de la mitad de un ángulo
1
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La integral definida
• Sea una función definida sobre un intervalo cerrado .Entonces la integral definida de a , que se denota por se define como se define como:
El área como integral definida
Si es una función sobre el intervalo cerrado y para toda en el intervalo, entonces el área A bajo la gráfica sobre
Es:
Considere la integral
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Teorema fundamental del cálculo: forma de antiderivada
Si es una función continua sobre un intervalo y es una antiderivada de sobre el intervalo, entonces:
Ejemplo
Evalué
Evalué
Evalué
Evalué
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• Integración de una función continua Evalué donde:
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• Sustitución en una integral definida
Evalué
a)Para evaluar la integral indefinida usamos y
Así:
Entonces:
b)Si , entonces implica mientras que con obtenemos . Asi:
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Integración por partesFormula
Evalué
Solución. Primero la integral se escribe como:
A partir de esta última vemos que para la función hay varias opciones. De las posibles opciones para :
, o
Escogemos
y
Luego encontramos:
Al sustituir y se obtiene:
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Evalué
De nuevo, hay varias opciones posibles para la función
, o
Aunque la elección es indudablemente el factor más complicado en el producto , esta opción se rechaza por que no coincide con ninguna fórmula conocida. De las dos funciones restantes anteriores, la mas “complicada” de modo que se escoge:
y
Asi por la formula de integración por partes:
Evalué
La elección no es prudente, puesto que no es posible integrar de inmediato esta función con base en un resultado previo conocido. Así escogemos:
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• y
• y
Entonces:
Para evaluar la integral indefinida usamos de un ejemplo anterior la división larga:
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