Formulas estadisticas
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Muestreo aleatorio simple conreemplazamiento
MUESTREO ALEATORIO SIMPLE CON REEMPLAZAMIENTO
Parámetro poblacional y N y p
Estimador y 1n ∑
i1
nyi N y p 1
n ∑i1
nyi
Varianza 2n N2 2
npqn
Estimador de la varianza s2n N2 s2
npq
n − 1
TAMAÑOS MUESTRALES EN m.a.s.r.
Errores o costes prefijados Tamaño muestral (media) Tamaño muestral (proporción)
V y 2
2
p1 − p2
V y
y
2
2 y2
1 − pp2
e z/2 V y z/2
2 2
e2z/2
2 p1 − pe2
Muestreo aleatorio simple sinreemplazamiento
MUESTREO ALEATORIO SIMPLE
Parámetro poblacional y N y p
Estimador y 1n ∑
i1
nyi N y p 1
n ∑i1
nyi
Varianza N − nN
S2n NN − n S2
nN − nN − 1
pqn
Estimador de la varianza N − nN
s2n NN − n s2
nN − n
N
pqn − 1
TAMAÑOS MUESTRALES EN m.a.s.
Errores o costes prefijados Tamaño muestral (media) Tamaño muestral (proporción)
V y n NS
2
N2 S
2Np1 − p
2N − 1 p1 − p
V y
y n NS
2
S
2 N y 2
N1 − p1 − p N − 1p2
e z/2 V y n Nz/2
2 S
2
z/22
S2 Ne2
Nz/22 p1 − p
z/22 p1 − p N − 1e2
Cn c0 c1n n S
2
c1
11
Muestreo estratificadoMUESTREO ESTRATIFICADO CON m.a.s. EN CADA ESTRATO
Parámetropoblacional
y N y p
Estimador y st ∑h1
L NhN y h N y st
p ∑h1
L NhNph
Varianza ∑h1
L NhNh − nhN2
Sh2
nh∑h1
LNhNh − nh
Sh2
nh∑h1
LWh
2 Nh − nhNh − 1
phqhnh
Estimadorde la Varianza
∑h1
L NhNh − nhN2
sh2
nh∑h1
LNhNh − nh
sh2
nh∑h1
LWh
2 Nh − nhNh
phqh
nh − 1
MUESTREO POSTESTRATIFICADO CON m.a.s. global
Parámetropoblacional
y N y p
Estimador y post ∑h1
L NhN y h N y post ∑
h1
L NhNph
Varianza aprox. 1 − fn ∑
h1
LWhSh
2 1 − fn2 ∑
h1
L1 − WhSh
2 NV y post V y post
Estimadorde la Varianza
1 − fn ∑
h1
LWhsh
2 1 − fn2 ∑
h1
L1 − Whsh
2 NV y post V y post
AFIJACIONES Y TAMAÑOS MUESTRALES CON e PREFIJADO
Afijación Tamaño muestral para estimar la media dado e
Igual nh nL nh
∑h1
LNh
2Sh2
N2 e2
z/22 ∑
h1
LNhSh
2
Proporcional nh n NhN nh Nh
∑h1
LNhSh
2
∑h1
LNhSh
2 e2
z/22 N2
Varianza mínima nh n NhSh
∑h1
LNhSh
nh NhSh∑
h1
LNhSh
∑h1
LNhSh
2 e2
z/22 N2
Óptima nh n
NhSh
Ch
∑h1
L NhSh
Ch
nh
NhSh Ch ∑
h1
L NhSh
Ch
∑h1
LNhSh
2 e2
z/22 N2
Notas:Para el estudio de la estimación de la proporción p, se sustituirá en cada caso
Sh
2por
NhNh − 1
ph1 −ph.
Para el estudio de la estimación del total, se sustituiráSh por N
Sh.
Para el estudio del error de muestreo V y st , se sustituirá e2
z/22 por 2.
Para el estudio del error de muestreo relativo, V y st
y st, se sustituirá e2
z/22 por
2 y st2 .
Muestreo sistemáticoMUESTREO SISTEMÁTICO
Parámetropoblacional
y N y
Estimador y 1n ∑
j0
n−1yijk N y
Varianza 1k ∑i1
k y i − y 2 N2V y
Estimadormuestrasinterpenetrantes
y m 1m ∑
i1
my i N2 y m
Varianzamuestrasinterpenetrantes
k ′ − mk ′
1mk ′ − 1
∑i1
k′
y i − y 2 N2V y m
Estimadorde la Varianzamuestrasinterpenetrantes
k ′ − mk ′
1mm − 1 ∑i1
my i
2− m y m
2 N2V y m
Para la proporción:
Parámetropoblacional
p
Estimador p 1n ∑
j0
n−1yijk
Varianza 1k ∑i1
kpi − p2
Estimadormuestrasinterpenetrantes
pm 1m ∑
i1
m pi
Varianzamuestrasinterpenetrantes
k ′ − mk ′
1mk ′ − 1
∑i1
k′
pi − p2
Estimadorde la Varianzamuestrasinterpenetrantes
k ′ − mk ′
1mm − 1 ∑i1
m pi2 − mpm
2
Estimación indirecta bajo m.a.s.
ESTIMACIÓN DE RAZÓN bajo m.a.s.
Parámetropoblacional
R y N y
Estimador R yx
y R R x N y R
Varianza VR ≃ N − nNn x 2 Sy
2 R2Sx2 − 2RSxy x 2VR N2V y R
Estimadorde la Varianza
VR N − nNn x 2 sy
2 R2sx
2 − 2Rsxy x 2VR N2V y R
Sesgo BR −covR, x x x BR N x BR
Aproximaciónal Sesgo
−cov y , x RV x x 2 x BR N x BR
Expresiones alternativas para las varianzas en estimación de razón.
V y R N − nNn
1N − 1 ∑i1
Nyi
2 R2∑i1
Nxi
2 − 2R∑i1
Nxiyi
V y R N − nNn
1n − 1 ∑i1
nyi
2 R2∑i1
nxi
2 − 2R∑i1
nxiyi
V y R N − nNn
1N − 1 ∑i1
Nyi − Rxi2
V y R N − nNn
1n − 1 ∑i1
nyi − Rxi2
ESTIMACIÓN DE REGRESIÓN
Parámetropoblacional
y N y
Estimador y reg y b x − x N y reg
Varianza V y reg N − nNn Sy
2 b2Sx2 − 2bSxy N2V y reg
Estimadorde la Varianza
V y reg N − nNn sy
2 b
2sx
2 − 2bsxy N2V y reg
conb
sxy
sx2 .
Expresiones alternativas para las varianzas:V y reg
N − nNn 1 − xy
2 Sy2.
V y reg N − nNn 1 − rxy
2 sy2.
ESTIMADOR SEPARADO DE RAZÓN
Parámetropoblacional
y R N y
Estimador ts ∑h1
L NhN y Rh
∑h1
LWhR x h Rs
tsx Nts
Varianza aprox. ∑h1
LWh
2 Nh − nhNhnh
Syh2 Rh
2Sxh2 − 2RhSxyh 1
x 2 Vts N2Vts
Estimadorde la Varianza
∑h1
LWh
2 Nh − nhNhnh
syh2 Rh
2sxh
2 − 2Rhsxyh 1x 2 Vts N2Vts
ESTIMADOR COMBINADO DE RAZÓN
Parámetropoblacional
y R N y
Estimador tc y stx st
x Rc y stx st
Ntc
Varianza aprox. ∑h1
LWh
2 Nh − nhNhnh
Syh2 R2Sxh
2 − 2RSxyh 1x 2 Vtc N2Vtc
Estimadorde la Varianza
∑h1
LWh
2 Nh − nhNhnh
syh2 Rc
2sxh
2 − 2Rcsxyh 1x 2 Vtc N2Vtc
ESTIMADOR SEPARADO DE REGRESIÓN
Parámetropoblacional
y N y
Estimador tregs ∑h1
L NhN y regh Ntregs
Varianza Vtregs ∑h1
LWh
2 Nh − nhNhnh
Syh2 bh
2Sxh2 − 2bhSxyh N2Vtregs
Estimadorde la Varianza
Vtregs ∑h1
LWh
2 Nh − nhNhnh
syh2
bh
2sxh
2 − 2bhsxyh N2Vtregs
ESTIMADOR COMBINADO DE REGRESIÓN
Parámetropoblacional
y N y
Estimador y regc y st bc x − x st N y regc
Varianza V y regs ∑h1
LWh
2 Nh − nhNhnh
Syh2 b2Sxh
2 − 2bSxyh N2V y regc
Estimadorde la Varianza
V y regc ∑h1
LWh
2 Nh − nhNhnh
syh2
bc
2sxh
2 − 2bcsxyh N2V y regc
Donde
bc
∑h1
LWh
2 Nh − nhNhnh
sxyh2
∑h1
LWh
2 Nh − nhNhnh
sxh2
Muestreo con probabilidades desigualesPROBABILIDADES DESIGUALES CON REEMPLAZAMIENTO
Parámetropoblacional
N y y p
Estimador tHH 1n ∑
i1
n yipi
tHHN
tHHN
Varianza 1n ∑
i1
N yi2
pi− N y 2 VtHH
N2VtHH
N2
Estimadorde la Varianza
1nn − 1 ∑i1
n yi2
pi2 − ntHH
2 VtHHN2
VtHHN2
PROBABILIDADES DESIGUALES SIN REEMPLAZAMIENTO
Parámetropoblacional
N y y p
Estimador tHT ∑i1
n yii
tHTN
tHTN
Varianza ∑i1
N 1 − ii
yi2 2∑
ij
N ij − ijij
yiyjVtHT
N2VtHT
N2
Varianza(Yates-Grundy)
∑ij
Nij − ij
yii−
yjj
2 VtHTYG
N2VtHTYG
N2
Estimadorde la Varianza
∑i1
n 1 − ii
2 yi2 2∑
ij
n ij − ijij
yiyjij
VtHTN2
VtHTN2
Estimadorde la Varianza(Yates-Grundy)
∑ij
n ij − ijij
yii−
yjj
2 VtHTYG
N2VtHTYG
N2
Muestreo por conglomerados en unaetapa
TAMAÑOS DE CONGLOMERADOS IGUALES (m.a.s.)
Parámetropoblacional
y N y p
Estimador y c 1n ∑
i1
ny i N y c
pc 1n ∑
i1
npi
Varianza 1 − f1nL − 1 ∑i1
L y i − y 2 N2V y c
1 − f1nL − 1 ∑i1
Lpi − p2
Estimadorde la Varianza
1 − f1nn − 1 ∑i1
n y i − y c
2 N2V y c1 − f1nn − 1 ∑i1
npi −
pc2
Otras expresiones para la varianza del estimador son:
V y c L − nN2
LL − 1nN 2 1 N − 1
V y c L − nLNn
Sb2
y
V y c ≃L − n
LS2
nN1 N − 1
Otra expresión para la varianza estimada es:
V y c L − nLNn
sb2
consb
2 Nn − 1 ∑i1
n y i − y c
2.
Un estimador de es 1 − N
N − 1LN − 1sw
2
N − 1s2
donde
sw2 1
nN − 1∑i1
n∑j1
Nyij − y i
2
y
s2 1nN − 1
∑i1
n∑j1
Nyij − y c
2.
Otro estimador de es
sb
2 −S
2
N − 1S
2
dondeS
2 LN − 1sw
2 L − 1sb2
N − 1 .
TAMAÑOS DESIGUALES: ESTIMACIÓN INSESGADA (m.a.s.)
Parámetropoblacional
y N y p
Estimador y 1Nn∑i1
nyi N y 1
Nn∑i1
nNipi
Varianza 1 − f1
nN 2L − 1∑i1
Lyi − y t
2 N2V y V y
Estimadorde la Varianza
1 − f1
nN 2n − 1∑i1
nyi − y t
2 N2V y V y
donde
y t 1L ∑i1
Lyi
ey t
1n ∑
i1
nyi.
TAMAÑOS DESIGUALES: ESTIMACIÓN DE RAZÓN A TAMAÑO (m.a.s.)
Parámetropoblacional
y N y p
Estimador y R ∑i1
nyi
∑i1
nNi
N y RpR
∑i1
nNipi
∑i1
nNi
Varianza 1 − f1
N 2nL − 1∑i1
LNi
2 y i − y 2 N2V y R1 − f1
N 2nL − 1∑i1
LNi
2pi − p2
Estimadorde la Varianza
1 − f1
N 2nn − 1∑i1
nNi
2 y i − y R2 N2V y R
1 − f1
N 2nn − 1∑i1
nNi
2pi −pR
2
TAMAÑOS DESIGUALES, PROBABILIDADES DESIGUALES,CON REEMPLAZAMIENTO
Parámetropoblacional
N y y p
Estimador tHH 1n ∑
i1
n yipi
tHHN
tHHN
Varianza 1n ∑
i1
L yi2
pi− N y 2 VtHH
N2VtHH
N2
Estimadorde la Varianza
1nn − 1 ∑i1
n yi2
pi2 − ntHH
2 VtHHN2
VtHHN2
TAMAÑOS DESIGUALES, PROBABILIDADES DESIGUALESSIN REEMPLAZAMIENTO
Parámetropoblacional
N y y p
Estimador tHT ∑i1
n yii
tHTN
tHTN
Varianza ∑i1
L 1 − ii
yi2 2∑
ij
L ij − ijij
yiyjVtHT
N2VtHT
N2
Varianza(Yates-Grundy)
∑ij
Lij − ij
yii−
yjj
2 VtHTYG
N2VtHTYG
N2
Estimadorde la Varianza
∑i1
n 1 − ii
2 yi2 2∑
ij
n ij − ijij
yiyjij
VtHTN2
VtHTN2
Estimadorde la Varianza(Yates-Grundy)
∑ij
n ij − ijij
yii−
yjj
2 VtHTYG
N2VtHTYG
N2
Muestreo bietápico de conglomeradosEn las fórmulas se tendrán en cuenta las expresiones siguientes de las varianzas
poblacionales y muestrales, en el caso en que el objetivo sea estimar la media o laproporción.
Varianzas en estimación de la media o total Varianzas en estimación de la proporción
S12 1
L − 1 ∑i1
L y i − y 2 S1
2 1L − 1 ∑i1
Lpi − p2
s12 1
n − 1 ∑i1
n y i − y 2 s1
2 1n − 1 ∑i1
npi −
p2
S22 1
LN − 1∑i1
L∑j1
Nyij − y i
2 S22 1
L ∑i1
L NN − 1
pi1 − pi
s22 1
nm − 1 ∑i1
n∑j1
myij − y i
2 s22 1
n ∑i1
n mm − 1
pi1 −pi
S2i2 1
N − 1∑j1
Nyij − y i
2 S2i2 N
N − 1pi1 − pi
s2i2 1
m − 1 ∑j1
myij − y i
2 s2i2 m
m − 1pi1 −
pi
TAMAÑOS IGUALES, M.A.S. EN AMBAS ETAPAS
Parámetropoblacional
y N y p
Estimador y 1n ∑
i1
ny i N y
p 1n ∑
i1
n pi
Varianza 1 − f1S1
2
n 1 − f2S2
2
nm N2V y Vp
Estimadorde la Varianza
1 − f1s1
2
n 1 − f2s2
2
mL N2V y Vp
TAMAÑOS IGUALES, m.a.s. EN PRIMERA ETAPA,M.A.S.R. EN SEGUNDA ETAPA
Parámetropoblacional
y N y p
Estimador y 1n ∑
i1
ny i N y
p 1n ∑
i1
n pi
Varianza 1 − f1S1
2
n 22
nm N2V y Vp
Estimadorde la Varianza
1 − f1s1
2
n s22
mL N2V y Vp
TAMAÑOS DESIGUALES, m.a.s. EN AMBAS ETAPASESTIMACIÓN INSESGADA
Parámetropoblacional
N y
Estimador N y Ln ∑
i1
nNi y i
Varianza L21 − f1nL − 1 ∑i1
Lyi − N y 2 L
n ∑i1
L Ni21 − f2iS2i
2
mi
Estimadorde la Varianza
L21 − f1nn − 1 ∑i1
nNi y i −
1n ∑
i1
nNi y i
2 Ln ∑
i1
n Ni21 − f2is2i
2
mi
Para la estimación de la media y proporción :
Parámetropoblacional
y p
Estimador N yN
p LNn ∑i1
nNipi
Varianza V y N2
VpN2
Estimadorde la Varianza
V y N2
VpN2
TAMAÑOS DESIGUALES, m.a.s. EN AMBAS ETAPASESTIMACIÓN DE RAZÓN A TAMAÑO
Parámetropoblacional
y
Estimador y R ∑i1
nNi y i
∑i1
nNi
Varianza 1 − f1
N 2n∑i1
L Ni2 y i − y 2
L − 1 1LN 2n
∑i1
L Ni21 − f2iS2i
2
mi
Estimadorde la Varianza
1 − f1
N 2n∑i1
n Ni2 y i − y R
2
n − 1 1LN 2n
∑i1
n Ni21 − f2is2i
2
mi
En el último caso, para la estimación del total y proporción :
Parámetropoblacional
N y p
Estimador N y R y R
Varianza N2V y R V y R
Estimadorde la Varianza
N2V y R V y R
TAMAÑOS DESIGUALES, PROBABILIDADES DESIGUALESY REEMPLAZAMIENTO EN 1ª ETAPA, m.a.s. EN 2ª ETAPA
Parámetropoblacional
N y
Estimador N y 1n ∑
i1
n Ni y ipi
Varianza 1n ∑
i1
L yi2
pi− N y 2 1
n ∑i1
L Ni − miNi
Ni2
pimiS2i
2 .
Estimadorde la Varianza
1nn − 1 ∑i1
n
Ni y ipi
− N y 2
TAMAÑOS DESIGUALES, PROBABILIDADES DESIGUALESY REEMPLAZAMIENTO EN 1ª ETAPA, m.a.s.r. EN 2ª ETAPA
Parámetropoblacional
N y
Estimador N y 1n ∑
i1
n Ni y ipi
Varianza VN y 1n ∑
i1
L yi2
pi− N y 2 1
n ∑i1
L Ni22i
2
pimi
Estimadorde la Varianza
1nn − 1 ∑i1
n
Ni y ipi
− N y 2
TAMAÑOS DESIGUALES, PROBABILIDADES DESIGUALES Y MUESTREOSIN REEMPLAZAMIENTO EN 1ª ETAPA, m.a.s. EN 2ª ETAPA
Parámetropoblacional
N y
Estimador N y ∑i1
n Ni y ii
Varianza VN y ∑i1
L 1 − ii
yi2 2∑
ij
L ij − ijij
yiyj ∑i1
L Ni2
i1 − f2i
S2i2
mi
Estimadorde la Varianza
VN y ∑i1
n 1 − ii
2 Ni y i2 2∑
ij
n ij − ijij
Ni y iNj y jij
∑i1
n Ni2
i1 − f2i
s2i2
mi
Estimadorde la Varianza (Y-G)
VN y ∑ij
n ij − ijij
Ni y ii
−Nj y jj
2
∑i1
n Ni2
i1 − f2i
s2i2
mi
En los últimos casos, para la estimación de la media y proporción se corrigenligeramente las expresiones anteriores:
Parámetropoblacional
y p
Estimador N yN
N yN
Varianza V y N2
V y N2
Estimadorde la Varianza
V y N2
V y N2