UCV - EECA Matemática Financiera II 1° Parcial

①②③④⑤

αt = Amortización que se hace al Capital en el Periodo t (Función Creciente)

It = Intereses Generados por el Capital en el Periodo t (Función Decreciente)

Q - In

Saldo "St"

S0

...

Sn-1 - αn = 0

Amortización "αt"

-

Q - I1Q - I2

S0 - α1

S1 - α2

...

St-1 - αt

...

t

...

Q - It

1

2

Q

Q

Interés "It"

-

S0.i

S1.i

-

Q

...

Sn-1.i

...

St-1.i

...

...

n

Q

... ...

⑤

③

Tenemos que Q será igual a: (Ecuación de Equilibrio)

Cuadro de Amortización del Sistema de Cuota Nivelada "Sistema Francés"

Cuota "Q"

NO

TA

④

⑥

⑦

Periodo "t"

0

NOTA Este Método es utilizado en el Sistema Venezolano

i = Tasa de Interés (Tasa Activa)

Q = Cuota Fija ( Q = αt + It )

①

Cuotas Anuales Vencidas Cuotas Vencidas Pagadas "p" veces al Año

①

NO

TA

Q Q. . .

S0 = Deuda, Capital o Préstamon. . .

Q Q Q Q Q Q Q Q

9

Saldo Restrospectivamente

Saldo Prospectivamente

②

5 6 7 81 2 3 4S0

S I S T E M A S D E A M O R T I Z A C I Ó NSistema de Cuota Nivelada "Sistema Francés"

Consiste en la liquidación de las obligaciones derivadas de un préstamo o deuda "S0" que cause intereses; mediante la realización de una serie de pagos periódicos iguales "Q" que incluyen una parte de cancelación de los intereses "I" generados por el capital prestado a una tasa acordada y una parte de amortización del

capital "α"de la deuda.

Formula Recurrente

②

③

④

⑤

Características Principales del Sistema de Cuota Nivelada "Sistema Francés"

Interés Total

⑧

⑨

00 n i

n i

SS Qa Qa

= ⇒ =

( ) 111 1 tn t

t t iQ I QV iα α −− += − = = +

Pt n t i

S Qa−

=

( )0 1 tRt t iS S i Qs= + −

1t t tS S α−= −1

0

n nn t

t i n it i t i

S Q V Qaα − +

= =

= = =∑ ∑

( ) 00 ( )

ppn i

n i

SS pQa Qpa

= ⇒ = ( )( )

ppn i n i

ia ai

=

1

1 1tnp

t t p iI S i Q V−

−

−

⎛ ⎞= ⋅ = +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

( )ppi p i= ⋅

( ) ( )1 1 1

1 11 1t tn tp p

t t i pQ I QV i iα α α− −− −

= − = = + = +

( )

p

P pt t pn t in i

p

S pQa Qa−

−= =

( ) ( )( )0 01 1

p

t tR ppt pt t ii

p

S S i pQs S i Qs= + − = + −

( )11 1. . 1 n t

t t in t iI S i Qa i Q V − +

− − += = = −

( )0.TOTAL n iI n Q S Q n a= − = −

( ) ( ) ( )1 1

1 1 1,

1 1 1 11 1 ;

z m z m zn t n t n t

t t i i im zt t t t t m

I I I Q z V m V Q z m V m z n− −

− + − + − +

= = = = =

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤= − = − − − − = − + − < <⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎣ ⎦∑ ∑ ∑ ∑ ∑

( )1

0,1 1 1

. ;z z z

n tt i tz

t t t

I I Q z V Q z z nα− +

= = =

⎛ ⎞= = − = − <⎜ ⎟⎝ ⎠

∑ ∑ ∑

Elaborado por: Eder Nunes

UCV - EECA Matemática Financiera II 1° Parcial

①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩

⑧

① ②

Sistema del Fondo de Amortización "Sistema Americano"

El deudor durante el plazo del préstamo, abonará al acreedor el interés simple sobre el total del capital tomado en préstamo, en los periodos de tiempo convenidos y, al mismo tiempo, deberá depositar en un

fondo cantidades periódicas (Fijas o Variables), las cuales, junto con sus intereses, formará el monto que reembolsara en su vencimiento, la totalidad del capital tomado en préstamo.

Características Principales del Sistema del Fondo de Amortización "Sistema Americano"

S0.i' S0.i' S0.i'

Fondo de Amortización

C C C

S0.i' S0.i' S0.i' S0.i' S0.i' S0.i' . . . S0.i'

0 1 2 3 . . . n

Intereses Cancelados al Prestamista 94 5 6 7 8

C C C C C C . . . C

2 3 8 9 . . . n (S0)

It = Interés Pagado al Prestamista en el Periodo "t"

C = Cuota que se Deposita en el Fondo (Pude ser Fija o Variable)

Itf = Intereses Ganado por el Fondo de Amortización en el Periodo "t"

Itr = Intereses Real Pagado al Prestamista en el Periodo "t"

Tenemos que C será igual a: (Ecuación de Equilibrio)

S0 = Deuda, Capital o préstamo4 5 6 70 1

St = Cantidad que debe Desembolsar el Deudor si Desea Pagar la Deuda al final del Periodo "t"

i' = Tasa Activa o Tasa Remunerativa (La Que Cobra el Prestamista)

NO

TA

i' > i

Mtf = Monto Acumulado en el Fondo de Amortización al final del Periodo "t"

i = Tasa Pasiva o Tasa Reproductiva (La Que Ofrece el Banco)

Cuadro de Amortización del Sistema del Fondo de Amortización "Sistema Americano"

t

Ϫt = Cantidad en la que se Incrementa el Fondo de Amortización en el Periodo "t"

C It

0 - - --Mt

f Ϫt

-

St

- S0

ItrIt

f

2 C S0.i'

C1 C S0.i' -

M1f.i

I1 - I1f

I2 - I2f

S0 - C

S0 - M2f

C

M2f - M1

f

,,, ,,, ... ... ... ... ......

t C S0.i'

,,, ,,, ... ... ... ... ......

n C S0.i'

3 C S0.i' M2f.i I3 - I3

f S0 - M3fM3

f - M2f

③

⑤ Ϫt =

⑫ ⑬

④

⑥

⑩

00 n i

n i

SS Cs Cs

= ⇒ =

2 iCs

t iCs

3 iCs

1f

tM i− ⋅

0n iCs S= 1

fnM i− ⋅

ft tI I−

fn nI I−

1f f

t tM M −−

1f f

n nM M −−

0f

tS M−

0 0S S−

0. ' 0tI S i t n= ∀ ≤ ≤ ( ) 111. . 1 1 .tf f

t tt iI C s i C i M i−−−

⎡ ⎤= = + − =⎣ ⎦.ft t iM C s=

0 0 11. ' . . . ' .r f ft t t tt iI I I S i C s i S i M i−−= − = − = − ( ) ( ) 1

1 1 1 tf ft t t i t iM M C s s C i −

− −− = − = +

( ) ( )0, . . .f fTOTAL o n n i n i

I I S n C C s n C C s n= = − = − = −

( ) ( ), . . . ; 0f fzo z z i z i

I C s z C C s z M z C z n= − = − = − < <

( ) ( ) ( ), 1 1. . 1 1 ; 0f

m z z i m i z i m iI C s C s C z m C s s z m m z n

− −⎡ ⎤= − − − + = − − − + < < <⎣ ⎦

( ) ( )0 00, . . ' .r rTOTAL nI I n S i S nC= = − − ( ) ( ) ( )0, ,1 . ' ; 0r f

m z m zI z m S i I m z n= − + − < < <

Elaborado por: Eder Nunes

UCV - EECA Matemática Financiera II 1° Parcial

①②③

①②③④⑤

Saldo (Formula Recurrente) ④

Saldo Método Prospectivo

(No Recomendado)

i = Tasa Pasivai' = Tasa Activa

Si i' = i → QA = QF

QF = Cuota del Sistema Francés

Comparación entre la Cuota del Sistema Francés y la Cuota del Sistema Americano

Si i' < i → QA < QF

Si i' > i → QA > QF

Sistema de la Cuota Variable "Sistema Alemán"

QA = Cuota del Sistema Americano

ento

nces

:

Ten

emos

que

:

Igua

land

o am

bas

cuot

as t

enem

os:

C = Amortización que se hace al Capital (αt) (Constante)

Q1 Q2 Q3 Q7

El Método consiste en Amortizar una deuda pagando cuotas periódicas vencidas durante "n" años con la condición de que las cuotas son variables. Y donde cada cuota contiene una parte para amortizar capital (la

cual es constante) y otra parte correspondiente a los intereses.

Características Principales del Sistema de la Cuota Variable "Sistema Alemán"

Q8 Q9 . . . QnQ4 Q5 Q6

7

C

C

...

81 2 3 4 5

S0 - 2C

Amortización "αt"

It = Intereses Generados por el Capital (Función Decreciente)i = Tasa de Interés (Tasa Activa)

Periodo "t" Cuota "Qt" Saldo "St"

...

0 - S0-

C

...

n C + In C

Cuadro de Amortización del Sistema de Cuota Nivelada "Sistema Francés"

Cuotas Decrecientes

①

③

S0 6

②

9

1 C + I1 S0 - C

2 C + I2

... ... ...

......

...

S0 - nC = S0 - S0 = 0

S0 - tC

-

S0.i

t C + It

...

Interés "It"

Qt = Cuota correspondiente al Periodo "t" ( Qt = C + It ) Tenemos que C será igual a: (Ecuación de Equilibrio)

. . . nS0 = Deuda, Capital o préstamo

⑥

⑦ ⑧

⑤Saldo Método Retrospectivo

(No Recomendado)

0

'

F

n i

SQa

=

00 'A

n i

SQ S is

= ⋅ +

0'

1 1A F

n i n i

Q Q Ss s

⎡ ⎤⎢ ⎥= + −⎢ ⎥⎣ ⎦

00

SS C n Cn

= ⋅ ⇒ =

( )0 0

1 11t

i n tn tQ C S i Sn n

⎡ ⎤+ − +⎡ ⎤− +⎛ ⎞= + ⋅ = ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎣ ⎦

01

tn tI S i

n− +⎛ ⎞= ⋅ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

2 01nI S i

n−⎛ ⎞= ⋅ ⎜ ⎟

⎝ ⎠

01

nI S in

⎛ ⎞= ⋅ ⎜ ⎟⎝ ⎠

( )0 011 . .t

n tI S C t i S in− +⎛ ⎞= − − =⎡ ⎤ ⎜ ⎟⎣ ⎦ ⎝ ⎠

( )1 0 .t tS S C S t C C n t−= − = − = −1

.n t

P kt k i

k

S Q V−

=

= ∑

( )1

0

. 1t

kRt t k

k

S Q i−

−=

= +∑ 0 01

1 1. .2

n

TOTALt

n t nI S i S in=

− + +⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∑

( )( )

00,

2 1. ; 0

2z

z n zI S i z n

n− +⎡ ⎤

= < <⎢ ⎥⎣ ⎦

( )( ) ( ) ( )

0,

1 2 1 12 1. ; 0

2 2m z

m n mz n zI S i m z n

n n

⎡ ⎤⎛ ⎞− − − +⎡ ⎤− +⎛ ⎞ ⎣ ⎦= − < < <⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

Elaborado por: Eder Nunes