UCV - EECA Matemática Financiera II 2° Parcial

Al pasar denominador al otro lado tenemos la

Ecuación de Equilibrio

. . .

Prima Pura de un Titulo de Capitalización pagadero "p" veces al año, durante "m" años en un contrato de duración de "n" años.

← Análogamente →Al pasar denominador al

otro lado tenemos la Ecuación de Equilibrio

← Análogamente →

nCalculando la Prima Prospectivamente Calculando la Prima Retrospectivamente

0 1 2 3 . . . m - 1 mW

Calculando la Prima Retrospectivamente0 1/p 1/p p/p . . . n - (1/p) n. . .

CAS

O ⑤

Cuando el Tenedor del Titulo Paga Primas

Anticipadas durante "m" Años, "p" veces al

Año (m < n)

Tene

mos

que

:

=

. . .

Calculando la Prima Retrospectivamente

Al pasar denominador al otro lado tenemos la

Ecuación de Equilibrio

W

W

. . . n

← Análogamente →

m - 1 m. . .0

CAS

O ④

Cuando el Tenedor del Titulo Paga Primas Anticipadas durante

"n" Años, "p" veces al Año

Tene

mos

que

:

Calculando la Prima Prospectivamente

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .n

Calculando la Prima Prospectivamente Calculando la Prima Retrospectivamente

CAS

O ③

Tene

mos

que

:

=Cuando el Tenedor del Titulo Paga Primas

Anticipadas Anuales durante "m" Años

(m < n) Calculando la Prima Prospectivamente

Prima Pura Anual de un Titulo de Capitalización pagadero durante "m" años en un contrato de duración de "n" años.

Cuando el Tenedor del Titulo Paga Primas

Anticipadas Anuales durante "n" Años

n - 1

Prima Pura Anual de un Titulo de Capitalización pagadero durante "n" años en un contrato de duración de "n" años.

=

1 2 3 4

CAS

O ②

Tene

mos

que

:

0

CASOS POSIBLES EN LA ADQUISICIÓN DE UN TITULO DE CAPITALIZACIÓNSupongamos primero que una Sociedad de Capitalización se compromete a entregar Bs. W al final del año "n" y el comprador Paga la Prima de la siguiente forma:

Es un Documento emitido por una Sociedad de Capitalización mediante el cual, una persona se compromete a pagar a dicha Sociedad, una Prima Única al comienzo del contrato, o varias Primas Periódicas Anticipadas durante la vigencia del contrato o por un periodo menor. La Sociedad de

Capitalización por su parte se compromete a entregar al Tenedor del Titulo (Tenedor del Titulo es la persona que adquiere el Titulo) una o varias cantidades de dinero en fecha preestablecida.

Es aquella cantidad de dinero que necesita la Sociedad de

Capitalización para correr el riesgo de emitir el Titulo.

PRIMA PURA DE CAPITALIZACIÓN

TITULO DE CAPITALIZACIÓN

1 2 3

Tene

mos

que

:Prima Única de un Titulo de Capitalización, de duración "n" años.=

W

=Prima Pura de un Titulo de Capitalización pagadera "p" veces al año, durante "n" años en un contrato de duración de "n" años.

1 2 3 4Calculando la Prima Prospectivamente

n - 1 n0

CAS

O ①

Cuando el Tenedor del Titulo Paga una Prima

Única

Calculando la Prima Retrospectivamente

WnA

nA

. ninA W V=n

A

nP

nP

nP nP nP nP nP nP

( )( )

11

nnn n

WA i W Ai

+ = ⇒ =+

.. .n

n iin n i n

n i

W VP ä W V Pä

= ⇒ = .n n i n

n i

WP s W Ps

= ⇒ =

m nP

m nP

m nP m nP m nP m nP m nP

( )pnP

( )pnP

( )pnP ( )p

nP ( )pnP ( )p

nP ( )pnP

( )pm n

P

( )pm n

P( )p

m nP ( )pm nP ( )p

m nP ( )pm nP ( )p

m nP

( )( )

..

np i

m pnm i

W VPp ä

=

( )( )

..

np i

pnn i

W VPp ä

=

( )( )

( ). . 1p

m n mn pn i

WPp s i −=

+

( )( ).

ppn

n i

WPp s

=

. ni

m nm i

W VPä

=( ). 1

m n mnm i

WPs i −=

+

Elaborado por: Eder Nunes

UCV - EECA Matemática Financiera II 2° Parcial

❷ Si "t" es Anual y m < t ≤ n

❸ Si "t" representa el tiempo que constituye "p" en un Año (Ejemplo: Si "p=12" entonces "t" es Mensual) y 0 ≤ t ≤ m

❹ Si "t" representa el tiempo que constituye "p" en un Año (Ejemplo: Si "p=12" entonces "t" es Mensual) y m < t ≤ n

Con

ConCon

Con

Nótese que en el Método Retrospectivo , en cada uno de los Casos; las formulas estan compuestas por una resta de dos valores, donde el segundo de ellos para todos los caso es Cero (0) , esto se debe al supuesto que se hace; es decir, si la Sociedad de Capitalización realizaré varios pagos antes de los "n" años, entonces ese Cero (0) sería sustituido por la Acumulación de ese Monto o los Montos , para cada situación según fuese el

Con

❷ Si "t" representa el tiempo que constituye "p" en un Año (Ejemplo: Si "p=12" entonces "t" es Mensual)

Con

❶ Si "t" es Anual y 0 ≤ t ≤ m

❷ Si "t" es Anual y m < t ≤ n

❸ Si "t" representa el tiempo que constituye "p" en un Año (Ejemplo: Si "p=12" entonces "t" es Mensual) y 0 ≤ t ≤ m

❹ Si "t" representa el tiempo que constituye "p" en un Año (Ejemplo: Si "p=12" entonces "t" es Mensual) y m < t ≤ n

RESERVA DE UN TITULO DE CAPITALIZACIÓNSon los montos que la Sociedad de Capitalización tiene acumulados con

respecto a cada titulo de capitalización y que están definidos para cumplir con los compromisos que tiene la Sociedad de Capitalización con los compradores

de titulo (Los Tenedores).

TIPOS DE RESERVASTERMINALES FRACCIONADAS

Son aquellas que se calculan al final de cada

periodo.

Son aquellas que se calculan en cualquier momento.

Tenemos entonces para cada caos lo siguiente:

MÉTODO PROSPECTIVO ( tVp ) MÉTODO RETROSPECTIVO ( tVr )Es la diferencia matemática entre el valor actual de los compromisos de la Sociedad de Capitalización en un punto "t" y el valor actual de

los compromisos ( las primas) del tenedor del titulo en el mismo punto.

Es la diferencia matemática entre el valor acumulado de las primas puras efectuadas por el tenedor del titulo en un punto "t" y el valor acumulado de lo que ha pagado la sociedad en es mismo punto.

Tene

mos

:

Cas

o ②

MÉTODOS PARA EL CALCULO DE LAS RESERVAS DE UN TITULO DE CAPITALIZACIÓN ( tV )

Cas

o ④

Cas

o ①

Cas

o ②

Cas

o ④

Cas

o ③

❶ Si "t" es Anual

Supongamos primero que una Sociedad de Capitalización se compromete a entregar Bs. W al final del año "n". Y se desea obtener

la Reserva para un Año "t" cualquiera; tal que " t < n ".

Tene

mos

:Te

nem

os:

Cas

o ⑤

Con

Con

Tenemos entonces para cada caos lo siguiente:Supongamos primero que una Sociedad de Capitalización se

compromete a entregar Bs. W al final del año "n". Y se desea obtener la Reserva para un Año "t" cualquiera; tal que " t < n ".

Con

Cas

o ①

Tene

mos

:

❶ Si "t" es Anual y 0 ≤ t ≤ m

❷ Si m < t ≤ n

❶ Si 0 ≤ t ≤ m

Con

Tene

mos

:

Cas

o ③

Tene

mos

:

Cas

o ⑤

Tene

mos

:Te

nem

os:

NOTA

Tene

mos

:Te

nem

os:

❶ Si "t" es Anual

❷ Si "t" representa el tiempo que constituye "p" en un Año (Ejemplo: Si "p=12" entonces "t" es Mensual)

❶ Si 0 ≤ t ≤ m

❷ Si m < t ≤ n

nA . 0 .p n t n tt i iV W V W V− −= − =

nA

nP

nP

m nP m nP

( )pnP ( )p

nP

( )pm n

P ( )pm n

P

. .p n tt i n n t iV W V P ä−

−= −

. .p n tt i m n m t iV W V P ä−

−= −

. 0 .p n t n tt i iV W V W V− −= − =

( ) ( ). 1 0 . 1t trt n nV A i A i= + − = +

. 0 .rt n t i n t iV P s P s= − =

. 0 .rt m mn t i n t iV P s P s= − =

( ). . 1 0t mrt m n m iV P s i −= + −

( ) ( ) ( ) ( ). . 0 . .r p p p pt n t i n t iV P p s P p s= − =

( ) ( ). 0 .p p

r p pt n t i n t iV P s P s= − =

( ) ( ). . .p n t p pt i m n m t iV W V P p ä−

−= −

( ) ( ). . .p n t p pt i n n t iV W V P p ä−

−= −

. ( ).. .

p p

p p n t pt i n p n t iV W V P ä−

−= −

. 0 .p n t n tt i iV W V W V− −= − =

. ( ).. . .

p p

p p n t pt i m n p m t iV W V P p ä−

−= −

. .. 0 .p p

p p n t p n tt i iV W V W V− −= − =

( ) ( ) ( ) ( ). . 0 . .r p p p pt m mn t i n t iV P p s P p s= − =

( )( ) ( ). . . 1 0t mr p pt m n m iV P p s i −= + −

( ) ( ). 0 .p p

r p pt m mn t i n t iV P s P s= − =

( ) .( ).

. . 1 0p

p m tr pt m n p m iV P s i −= + −

Elaborado por: Eder Nunes

UCV - EECA Matemática Financiera II 2° Parcial

⒉

①

②

③

④

Es aquella Prima que Paga el Tenedor del Titulo por adquirir el mismo. Constituida por la Prima Pura más uno o varios Recargos.Formula General

= Recargos

= Prima Comercial

PRIMA COMERCIAL DE UN TITULO DE CAPITALIZACIÓN

= Prima Pura

tal q

ue:

Esto Dependerá de los Casos Posibles como se

Adquiera el Titulo

⇨

⒈

⒉ Valor Actual Prima Comercial = Valor Actual Prima Pura + Valor Actual Recargos

Ecuación de Equilibrio Genérica será:

Esto Dependerá de los Casos Posible como se Adquiera el Titulo de Capitalización

Recargos Comunes ( R ) :

Algunos Casos:

⒊

⒊

Gastos de Adquisición (Comisiones); este recargo va en fusión de la Prima Comercial, es decir un Porcentaje de la Prima Comercial.

Gastos de Administración ; este recargo por lo general va en fusión de la Prima Pura, es decir un Porcentaje de la Prima Pura.Gastos de Cobranza ; este recargo por lo general va en fusión de la Prima Comercial, es decir un Porcentaje de la Prima Comercial.

⒈

Cuando el Tenedor del Titulo Paga Primas Anticipadas durante "m" Años, "p" veces al Año, en un Contrato de "n" Años (m < n); tendremos que la Prima Comercial será:

Cuando el Tenedor del Titulo Paga Primas Anticipadas Anuales durante "n" Años; tendremos que la Prima Comercial será:

Cuando el Tenedor del Titulo Paga una Prima Única; tendremos que la Prima Comercial será:

Cuando el Tenedor del Titulo Paga Primas Anticipadas durante "n" Años, "p" veces al Año; tendremos que la Prima Comercial será:

Cuando el Tenedor del Titulo Paga Primas Anticipadas Anuales durante "m" Años, en un Contrato de "n" Años (m < n); tendremos que la Prima Comercial será:

Es la Cantidad de Dinero a la que tiene derecho el Tenedor del Titulo en el momento en que decide No

Continuar el Contrato.

⇨

Formula Genérica ⇨

VALOR DE RESCATE DE UN TITULO DE CAPITALIZACIÓN

⑤ Ecu

ació

n de

Equ

ilibr

io G

enér

ica

NOTA IMPORTANTE:Al momento de Calcular el Valor de Rescate es necesario evidenciar si Existe Déficit, de ello dependerá de se suman o se restan los Gastos No Amortizados.

⇨

Prospectivamente

Retrospectivamente

P̂ P R= +P̂PR

( ) ( )ˆ p pm mn nP P R= +

( ) ( )ˆ p pn n

P P R= +

ˆm mn nP P R= +

n̂ nP P R= +

ˆn nA A R= +

ˆ ..

.n

in

in

iP

aP

aR

a=

+

Gastos No Amortizadost tVR V= ±

Gastos No Amortizadosp pt tVR V= ±

Gastos No Amortizadosr rt tVR V= ±

Elaborado por: Eder Nunes