FRACCIONES CONTINUAS

INSTITUTO ALEMN DE PUERTO MONTT

DEPARTAMENTO DE MATEMTICA

FRACCIONES CONTINUAS

(Taller de olimpiadas matemticas)1. Una expresin de la forma:

en donde y son nmeros reales o complejos se llama una fraccin continua.

Si para cada i >1, todo es 1 y cada es un natural diferente de 0, entonces la fraccin se dice que es una fraccin continua simple con la siguiente forma:

Los trminos se obtienen aplicando iteradamente el Algoritmo de la Divisin e invirtiendo el cociente.

2. Se puede demostrar que un nmero es racional si y solo si se puede expresar como una fraccin continua simple finita

3 El resultado anterior implica que un nmero es irracional si y solo si se puede expresar como una fraccin continua simple infinita

4. Una fraccin continua simple infinita puede ser peridica o no peridica.

5. Un irracional es cuadrtico (aquel que es solucin de una ecuacin cuadrtica de la forma son enteros y ) si y solo si se puede representar por una fraccin continua simple peridica.

6. Las fracciones continuas se utilizan para obtener aproximaciones racionales de los nmeros reales por medio de los convergentes o reducidos de la fraccin continua simple, definidos por:

Fracciones continuas como mejor aproximacinBien, qu significa esto de la mejor aproximacin? Vamos a intentar explicarlo.

Dado un nmero realy su fraccin continua regular, definimos la sucesin de cocientesmediante la siguiente recurrencia:

Definida as, a los valores de la sucesinse les denominaconvergentes de la fraccin continua.

Bien, estos convergentes tienen una interesante propiedad relacionada con el nmerode cuya fraccin continua provienen. Es la siguiente:

Un convergente de la fraccin continua de un nmero reales la mejor aproximacin racional a dicho nmero entre las fracciones con denominador menor o igual que dicho convergente.

EMBED Equation.3

EJERCICIOS

i) Exprese cada racional como una fraccin continua simple: 85/ 37, y, -25/ 12 .

ii) Para cada fraccin continua simple, encuentre el racional correspondiente:

iii) Si x es un irracional, aplicando iteradamente la Propiedad Arquimediana se puede hallar una fraccin continua simple infinita como su expresin.

Encuentre la fraccin continua simple que es expresin de cada irracional

Encuentre en cada caso el nmero irracional cuya fraccin continua simple peridica es

iv) Encuentre las primeras seis aproximaciones de

v) Encuentre las primeras aproximaciones por defecto y las primeras tres aproximaciones por exceso de

EMBED Equation.3

_1049793437.unknown

_1049801122.unknown

_1049803715.unknown

_1496832660.unknown

_1496832909.unknown

_1496832920.unknown

_1496832883.unknown

_1049870661.unknown

_1059208899.unknown

_1049802584.unknown

_1049803632.unknown

_1049802130.unknown

_1049802299.unknown

_1049801461.unknown

_1049800920.unknown

_1049800976.unknown

_1049793842.unknown

_1049792161.unknown

_1049792422.unknown

_1049792088.unknown

_1049791712.unknown

_1049792049.unknown