Fracciones Parciales 4 Casos

Fracciones Parciales

[email protected][email protected][email protected][email protected]

con Denominadores Lineales Diferentes.

Corresponde a cada Factor Lineal ( )b ax + , del Denominador habrá una Fracción

Parcial

bax

A

+ Donde A , es constante

con Denominadores Lineales Repetidos

Corresponde a cada Factor Lineal Repetido ( )b ax +n

del Denominador habrá una

Fracción Parcial

( ) ( )bax

A

bax

A

bax

An

n

+++

++

+....

2

21 Donde A1, A2,…,An son constantes y An ≠ 0

con Denominadores Cuadráticos Diferentes

Si cbxax ++2 , es un Factor del Denominador que no es Producto de 2 Factores

Lineales Reales, entonces corresponde a este un Factor Cuadrático, habrá una Fracción Parcial

cbxax

BAx

++

+2

Donde A y B , son constantes

con Denominadores Cuadráticos Repetidos.

Si cbxax ++2 , no es el Producto de 2 Factores Lineales Reales, entonces

correspondiente al Factor Repetido ( )cbxaxn

++2 , del Denominador habrá n ,


( ) ( )cbxax

BxA

cbxax

BxA

cbxax

BxAn

nn

++

++

++

++

++

+

2....

22

22

2

11

Donde A1, B1, A2, B2, …., An, Bn, donde An y Bn no son nulas simultáneamente




6

2

2

.1−+ xx

x

En esta fracción tenemos una Fracción Impropia, pues los exponentes del Numerador y el Denominador, son iguales (2) tenemos que dividir. Para encontrar la Parte Entera y la Parte Fraccionaria, equivalentes de la fracción

6 - x 0

-----------

6-

006

1

2

22

+

−+

++−+

xx

xxxx

Por lo tanto

)2)(3(

61

6

62 −+

+−+=

−+

−

xx

x

xx

x

Aplicamos Factorización en el Denominador

)2)(3(

6

6

62 −+

+−=

−+

+−

xx

x

xx

x

Expresamos la Fracción como una Suma de Fracciones Parciales

)2()3()2)(3(

6

−+

+=

−+

+−

x

B

x

A

xx

x

Factores Lineales Diferentes

Existen 2 Método para Resolver Fracciones Parciales � Sustitución � Igualación de Coeficientes




Utilizaremos el Método de Sustitución, el cual consiste, en asignar valores

arbitrarios a la Variable (x), en particular dar valores que anulen los factores existentes en la ecuación. Algunos de ellos los encontraremos despejando (x) de cada Factor

)2()3(6

62 −

++

=−+

+−

x

B

x

A

xx

x

x = - 3 x = 2

Para eliminar los denominadores, y encontrar la expresión que vamos a

evaluar, multiplicamos todos los numeradores, por 62 −+ xx

( )[ ] [ ] [ ])2(

6

)3(

6

6

66 22

2

2

−

−++

+

−+=

−+

−++−

x

xxB

x

xxA

xx

xxx

6)3()2( +−=++− xxBxA

Con x = - 3

(2) 5

9

95

9)0()5(

63)33()23(

6)3()2(

−=

−=−

=+−

+=+−+−−

+−=++−

A

A

BA

BA

xxBxA




Con x = 2

(3) 5

4

45

4)5()0(

62)32()22(

6)3()2(

=

=

=+

+−=++−

+−=++−

B

B

BA

BA

xxBxA

Sustituimos (2) y (3) en (1)

)3(5

9

)2(5

4

6

6

)2(5

4

)3(5

9

6

6

)2(

5

4

)3(

5

9

6

6

)2()3(6

6

2

2

2

2

+−

−=

−+

−

−+

+

−=

−+

−

−+

+

−

=−+

−

−+

+=

−+

−

xxxx

x

xxxx

x

xxxx

x

x

B

x

A

xx

x

Solución: )3(5

9

)2(5

4

6

62 +

−−

=−+

−

xxxx

x




4

252

2.−

−

x

x


)2)(2(

25

4

252 +−

−=

−

−

xx

x

x

x



)2()2(4

252 +

+−

=−

−

x

B

x

A

x

x

Utilizaremos el Método de Sustitución, el cual consiste, utilizar los Valores de (x) con los cuales se hace (0), el cual encontraremos despejando (x) de cada Factor

)2()2(4

252 +

+−

=−

−

x

B

x

A

x

x

x = 2 x = - 2


evaluar, multiplicamos todos los numeradores, por 42 −x

( )[ ] [ ] [ ])2(

4

)2(

4

4

425 22

2

2

+

−+

−

−=

−

−−

x

xB

x

xA

x

xx

25)2()2( −=−++ xxBxA




Con x = 2

(2) 2

84

8)0()4(

2)2(5)22()22(

25)2()2(

=

=

=+

−=−++

−=−++

A

A

BA

BA

xxBxA

Con x = - 2

(3) 3

124

12)4()0(

2)2(5)22()22(

25)2()2(

=

−=−

−=−+

−−=−−++−

−=−++

B

B

BA

BA

xxBxA

Sustituimos (2) y (3) en (1)

)2(

3

)2(

2

4

25

)2()2(4

25

2

2(1)

++

−=

−

−

++

−=

−

−

xxx

x

x

B

x

A

x

x

Solución: )2(

3

)2(

2

4

252 +

+−

=−

−

xxx

x




xxx

x

2

2423

3.−−

−


)1)(2(

24

2

2423 +−

−=

−−

−

xxx

x

xxx

x



)1()2()1)(2(

24

++

−+=

+−

−

x

C

x

B

x

A

xxx

x

Utilizaremos el Método de Sustitución que consiste, utilizar los Valores de (x) con los cuales se hace (0), el cual encontraremos despeando (x) de cada Factor

)1()2()1)(2(

24

++

−+=

+−

−

x

C

x

B

x

A

xxx

x

x = 0 x = 2 x = -1


evaluar, multiplicamos todos los numeradores, por [ ])1)(2( +− xxx

( )[ ] [ ] [ ] [ ])1(

)1)(2(

)2(

)1)(2()1)(2(

)1)(2(

)1)(2(24

+

+−+

−

+−+

+−=

+−

+−−

x

xxxC

x

xxxB

x

xxxA

xxx

xxxx

24)2()1()1)(2( −=−++++− xxCxxBxxxA




Con x = 0

(2) 1

22

2)0(4)0()0())2(

2)0(4)20)(0()10)(0()10)(20(

24)2()1()1)(2(

=

−=−

−=++−

−=−++++−

−=−++++−

A

A

CBA

CBA

xxCxxBxxxA

Con x = 2

(3) 1

66

28)0()6()0(

2)2(4)22)(2()12)(2()12)(22(

24)2()1()1)(2(

=

=

−=++

−=−++++−

−=−++++−

B

B

CBA

CBA

xxCxxBxxxA




Con x = - 1

(4) 2

63

6)3()0()0(

2)1(4)21)(1()11)(1()11)(21(

24)2()1()1)(2(

−=

−=

−=++

−−=−−−++−−++−−−

−=−++++−

C

C

CBA

CBA

xxCxxBxxxA

Sustituimos (2), (3) y (4) en (1)

)1(

2

)2(

11

)1)(2(

24

)1()2()1)(2(

24 (1)

+−

−+=

+−

−

++

−+=

+−

−

xxxxxx

x

x

C

x

B

x

A

xxx

x

Solución: )1(

2

)2(

11

)1)(2(

24

+−

−+=

+−

−

xxxxxx

x




( )( )23

1342

2

1.−+

−

xx

xx


( )( ) ( )(1)

2)2()3(23

13422

2

−+

−+

+=

−+

−

x

C

x

B

x

A

xx

xx

Repetidos

Factores Lineales

Utilizaremos el Método de Sustitución, el cual consiste, utilizar los Valores de (x) con los cuales se hace (0), el cual encontraremos despejando (x) de cada Factor

( )( ) ( )2)2()3(23

13422

2

−+

−+

+=

−+

−

x

C

x

B

x

A

xx

xx

x = -3 x = 2



evaluar, multiplicamos todos los numeradores, por ( )( )232

−+ xx

( ) ( )( )[ ]( )( )

( )( )[ ] ( )( )[ ] ( )( )[ ]( )

2

23

)2(

23

)3(

23

23

231342

222

2

22

−

−++

−

−++

+

−+=

−+

−+−

x

xxC

x

xxB

x

xxA

xx

xxxx

( ) ( ) ( ) xxxCxxBxA 13433)2(2 22−=+++−+−



Con x = - 3

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

(2) 3

25

75

393625

39)9(400)5(5

)3(13343333)23(23

13433)2(2

2

22

22

=

=

+=

+=+−+−

−−−=+−++−−−+−−

−=+++−+−

A

A

A

CBA

CBA

xxxCxxBxA


Con x = 2



( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

(3) 2

5

10

26.165

26)4(455)0(0

)2(13243232)22(22

13433)2(2

2

22

22

−=

−=

−=

−=++

−=+++−+−

−=+++−+−

C

C

C

CBA

CBA

xxxCxxBxA

Con x = 0

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

[ ] [ ]

(4) 1

6

6

1266

06612

023534

0364

033)2(2

)0(13043030)20(20

13433)2(2

2

22

22

=

−

−=

−=−

=−−

=−+−

=+−

=+−+−

−=+++−+−

−=+++−+−

B

B

B

B

B

CBA

CBA

CBA

xxxCxxBxA




Sustituimos (2), (3) y (4) en (1)

( )( ) ( )

( )( ) ( )2

2

)2(

1

)3(

3

23

134

2)2()3(23

134

22

2

22

2

(1)

−−

−+

+=

−+

−

−+

−+

+=

−+

−

xxxxx

xx

x

C

x

B

x

A

xx

xx

Solución: ( )( ) ( )2

2

)2(

1

)3(

3

23

13422

2

−−

−+

+=

−+

−

xxxxx

xx





)5()2()5)(2(

1.322

2

+

++

−=

+−

−+

x

CBx

x

A

xx

xx


En este ejemplo tenemos un denominador lineal (x - 2), por lo cual, nos

ayudaremos con los 2 métodos

El Método de Sustitución, nos ayudara a encontrar el valor de (A), así resolveremos mas fácil el sistema de ecuaciones.

Utilizaremos el Método de Sustitución, el cual consiste, en asignar valores arbitrarios a la Variable (x), en particular dar valores que anulen los factores existentes en la ecuación. Algunos de ellos los encontraremos despejando (x) de cada Factor

)5()2()5)(2(

1.322

2

+

++

−=

+−

−+

x

CBx

x

A

xx

xx

x = 2

)5)(2(

1.3

2

2

+−

−+

xx

xx 1.




Con x = 2

(2)

(1)

1

9

9

1109

164)0)(()54(

1]2[3]2[)2]2)([()5]2[(

13)2)(()5(

)5()2()5)(2(

1.3

22

22

22

2

=

=

−=

−+=+++

−+=−+++

−+=−+++

+

++

−=

+−

−+

A

A

A

CBxA

CBxA

xxxCBxxA

x

CBx

x

A

xx

xx

Ahora realizamos las Multiplicaciones

1.3225

1.3)2)(()5(

222

22

−+=−+−++

−+=−+++

xxCCxBxxBAxA

xxxCBxxA

Ahora aplicamos el Método de Igualación de Coeficientes, el cual consiste en formar un Sistema de Ecuaciones con los Coeficientes de Potencias Iguales de [x], e igualarlas con el valor del Coeficiente de la misma Potencia de [x], en el Numerador.

Reordenamos Términos

1.3252 222 −+=−++−+ xxCACxBxxBxA




Sistema de Ecuaciones:

3125

232

11 2

Ecc. - C A -

Ecc. C B -x

Ecc. B A x

=

=+

=+

En Ecuación [1], sustituimos valor de [A = 1], para encontrar el valor de [B].

[ ]

(3)0

11

11

1

B

B

B

B A

=

−=

=+

=+

En Ecuación [2], sustituimos valor de [B = 0], para encontrar el valor de [C].

[ ]

(4)3

302

32

C

C -

C B -

=

=+

=+




Sustituimos [2, 3, 4], en (1).

[ ]

)5(

1

)2(

1

)5)(2(

1.3

)5(

10

)2(

1

)5)(2(

1.3

)5()2()5)(2(

1.3

22

2

22

2

22

2

(1)

++

−=

+−

−+

+

++

−=

+−

−+

+

++

−=

+−

−+

xxxx

xx

x

x

xxx

xx

x

CBx

x

A

xx

xx

Solución: )5(

1

)2(

1

)5)(2(

1.322

2

++

−=

+−

−+

xxxx

xx




)1)(2(

5852

2

2.+−−

+−

xxx

xx

Expresamos el Integrando como una Suma de Fracciones Parciales

)1()2()1)(2(

58522

2

+−

++

−=

+−−

+−

xx

CBx

x

A

xxx

xx

En este ejemplo tenemos un denominador lineal (x - 2), nos ayudaremos con los 2 métodos



)1()2()1)(2(

58522

2

+−

++

−=

+−−

+−

xx

CBx

x

A

xxx

xx

x = 2




Con x = 2

(2)

(1)

3

3

9

93

51620)0)(()124(

5]2[8]2[5)2]2)([()1]2[]2[(

585)2)(()1(

)1()2()1)(2(

585

22

22

22

2

=

=

=

+−=+++−

+−=−+++−

+−=−+++−

+−

++

−=

+−−

+−

A

A

A

CBxA

CBxA

xxxCBxxxA

xx

CBx

x

A

xxx

xx


58522

585)2)(()1(

222

22

+−=−+−++−

+−=−+++−

xxCCxBxxBAAxxA

xxxCBxxxA



58522 222 +−=−++−−+ xxCACxBxAxxBxA





3522

282

15 2

Ecc. C B -

Ecc. C B-A x

Ecc. B A x

=−

−=+−

=+


[ ]

(3)2

35

53

5

B

B

B

B A

=

−=

=+

=+

En Ecuación [2], sustituimos valor de [A = 3], para encontrar el valor de [C].

(4)1

78

8 ]2[23

8

C

C

C -

C B-A

−=

+−=

−=+−

−=+−





)1(

12

)2(

3

)1)(2(

585

)1()2()1)(2(

585

22

2

22

2

(1)

+−

−+

−=

+−−

+−

+−

++

−=

+−−

+−

xx

x

xxxx

xx

xx

CBx

x

A

xxx

xx

Solución: )1(

12

)2(

3

)1)(2(

585

22

2

+−

−+

−=

+−−

+−

xx

x

xxxx

xx




)232)(1(

61172

2

3.+−−

+−

xxx

xx

Expresamos el Integrando como una Suma de Fracciones Parciales

)232()1()232)(1(

611722

2

+−

++

−=

+−−

+−

xx

CBx

x

A

xxx

xx

En este ejemplo tenemos un denominador lineal (x - 1), nos ayudaremos con los 2 métodos



)232()1()232)(1(

611722

2

+−

++

−=

+−−

+−

xx

CBx

x

A

xxx

xx

x = 1




Con x = 1

(2)

(1)

2

6117)0)(()232(

6]1[11]1[7)1]1)([]1[()2]1[3]1[2(

6117)1)(()232(

)232()1()232)(1(

6117

22

22

22

2

=

+−=+++−

+−=−+++−

+−=−+++−

+−

++

−=

+−−

+−

A

CBA

CBA

xxxCBxxxA

xx

CBx

x

A

xxx

xx


6117232

6117)1)(()232(

222

22

+−=−+−++−

+−=−+++−

xxCCxBxxBAAxxA

xxxCBxxxA



6117232 222 +−=−++−−+ xxCACxBxAxxBxA





3 62

211 3

1 72 2

Ecc. A - C

Ecc. C BA -x

Ecc. B A x

=

−=+−

=+


[ ]

(3)3

47

722

72

B

B

B

B A

=

−=

=+

=+

En Ecuación [3], sustituimos valor de [A = 2], para encontrar el valor de [C].

(4)2

2

46

6]2[2

62

C

C

C

C

C A

=

=−

−=−

=−

=−





)232(

23

)1(

2

)232)(1(

6117

)232()1()232)(1(

6117

22

2

22

2

(1)

+−

−+

−=

+−−

+−

+−

++

−=

+−−

+−

xx

x

xxxx

xx

xx

CBx

x

A

xxx

xx

Solución: )232(

23

)1(

2

)232)(1(

611722

2

+−

−+

−=

+−−

+−

xx

x

xxxx

xx



con Denominadores Cuadráticos Repetidos..

( )32

5.94

22

23

+−

−+−

xx

xxx 1.


( ) ( ) ( )(1)

323232

5.94

2222

2

23

+−

++

+−

+=

+−

−+−

xx

DCx

xx

BAx

xx

xxx

Factores Cuadráticos Repetidos


Para eliminar los denominadores, multiplicamos todos los numeradores, por

( )3222

+− xx

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

5943232

594)()32)((

32

32)(

32

32)(

32

32)5.94(

323232

5.94

23223

232

22

22

2

22

22

22

23

2222

2

23

−+−=+++−++−

−+−=+++−+

+−

+−++

+−

+−+=

+−

+−−+−

+−

++

+−

+=

+−

−+−

xxxDCxBBxxBAxxAxA

xxxDCxxxBAx

xx

xxDCx

xx

xxBAx

xx

xxxxx

xx

DCx

xx

BAx

xx

xxx





Organizamos Términos

5943232 23223 −+−=+++−++− xxxDBCxBxAxxBxAxA


4 53

392 - 3

2 4 2

1 1

2

3

Ecc. - D B

Ecc. C B Ax

Ecc. B A - x

Ecc. A x

=+

=+

−=+

=

Valor de [A]:

(2) 1=A


[ ]

(3)2

24

412

42

B

B

B

B A

−=

+−=

−=+−

−=+−




En Ecuación [3], sustituimos valor de [A =1] y [B = -2], para encontrar el valor de [C].

(4)2

79

94 3

9]2[2 ]1[3

92 3

C

C

C

C -

C B -A

=

−=

=++

=+−

=+

En Ecuación [4], sustituimos valor de [B = -2], para encontrar el valor de [D].

(5)1

6 5

56-

53[-2]

53

D

D

D

D

D B

=

+−=

−=+

−=+

−=+




Sustituimos [2, 3, 4, 5], en (1).

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

32

12

32

2

32

5.94

323232

5.94

2222

2

23

2222

2

23

(1)

+−

++

+−

−=

+−

−+−

+−

++

+−

+=

+−

−+−

xx

x

xx

x

xx

xxx

xx

DCx

xx

BAx

xx

xxx

Solución: ( ) ( ) ( )

32

12

32

2

32

5.94

2222

2

23

+−

++

+−

−=

+−

−+−

xx

x

xx

x

xx

xxx




( )22

2.763

22

23

+−

−+−

xx

xxx 2.


( ) ( ) ( )(1)

222222

2.763

2222

2

23

+−

++

+−

+=

+−

−+−

xx

DCx

xx

BAx

xx

xxx

Factores Cuadráticos Repetidos

Para eliminar los denominadores, multiplicamos todos los numeradores, por

( )2222

+− xx

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

2.763 2222

)(22)()2.763(

22

22)(

22

22)(

22

22)2.763(

222222

2.763

23223

22

23

22

22

2

22

22

22

23

2222

2

23

−+−=+++−++−

+++−+=−+−

+−

+−++

+−

+−+=

+−

+−−+−

+−

++

+−

+=

+−

−+−

xxxDCxBBxxBAxxAxA

DCxxxBAxxxx

xx

xxDCx

xx

xxBAx

xx

xxxxx

xx

DCx

xx

BAx

xx

xxx





Organizamos Términos

2.763 2222 23223 −+−=+++−++− xxxDBCxBxAxxBxAxA


4 22

372 - 2

2 6 2

1 3

2

3

Ecc. - D B

Ecc. C B Ax

Ecc. B A - x

Ecc. A x

=+

=+

−=+

=

Valor de [A]

(2) 3=A


[ ]

(3)0

66

632

62

B

B

B

B A

=

+−=

−=+−

−=+−




En Ecuación [3], sustituimos valor de [A = 3] y [B = 0], para encontrar el valor de [C].

(4)1

67

70 6

7]0[2 ]3[2

72 2

C

C

C

C -

C B -A

=

−=

=++

=+

=+

En Ecuación [4], sustituimos valor de [B = 0], para encontrar el valor de [D].

(5)2

0 2

26-

23[0]

23

D

D

D

D

D B

−=

+−=

−=+

−=+

−=+




Sustituimos [2, 3, 4, 5], en (1).

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

22

2

22

3

22

2.763

222222

2.763

2222

2

23

2222

2

23

(1)

+−

−+

+−=

+−

−+−

+−

++

+−

+=

+−

−+−

xx

x

xx

x

xx

xxx

xx

DCx

xx

BAx

xx

xxx

Solución: ( ) ( ) ( )

22

2

22

3

22

2.763

2222

2

23

+−

−+

+−=

+−

−+−

xx

x

xx

x

xx

xxx

Fracciones Parciales 4 Casos

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