FRACTALES

FRACTALES

Miguel ngel Ortiz Pearanda

B2IC

NDICE

1- Definicin de fractal 1.1- Historia de los fractales

2- Caractersticas

2.1- Iteracin

2.2- Dimensin fractal

2.3- Lmites inferior y superior en fractales en la naturaleza 2.4- Autosimilitud3- Clasificacin 3.1- Derivados de la geometra estndar

3.2- IFS (sistemas de funciones iterativas)

3.3- Atractores extraos

3.4- Fractales plasma

3.5- L-systems (sistemas de Lindenmayer)

3.6- Por iteracin de polinomios complejos

4- Los fractales en la naturaleza5-Los fractales y el caos6- Produccin de fractales6.1- Por iteracin6.2- Por transformaciones de afinidad en el plano6.3- En laboratorios por procedimientos fsico-qumicos. Por ejemplo: Electrodeposicin6.4- Mediante aplicaciones informticas7- Aplicaciones de los fractales8- Conclusiones

9- Bibliografas y referencias1. Definicin: Qu es un fractal?Un fractal es un objeto que consta de una estructura bsica, la cual se repite a diferentes escalas. Al mirar muy de cerca (a travs de un microscopio, por ejemplo) los objetos que no presentan una estructura fractal, podemos apreciar hasta el ltimo detalle de stos, ya que estn definidos hasta una cierta escala. Esto quiere decir que, si los aumentamos cada vez ms, llega un punto en que ya est todo a la vista y no se puede apreciar ms informacin sobre su superficie. Sin embargo, un fractal es un objeto infinitamente detallado; cuanto ms y ms te acercas, se vuelve a repetir su estructura y ms detalles muestra. Se puede decir de los fractales, por lo tanto, que tienen una estructura infinitamente detallada y una complejidad prcticamente ilimitada, lo que les confiere una belleza tan increble como sorprendente.

Figura 1: Ejemplo de la complejidad que un fractal puede poseer1.1 Historia de los fractales:

Los primeros fractales datan aproximadamente del ao 1890 por el francs Henri Poincar. Sus ideas fueron extendidas ms tarde fundamentalmente por dos matemticos tambin franceses, Gastn Julia y Pierre Fatou, hacia 1918. Se trabaj mucho en este campo durante varios aos, pero el estudio qued congelado en los aos 20.

Fue ms tarde, en 1975, cuando el matemtico Benot Mandelbrot reanud los estudios de fractales y propuso el trmino de fractal, el cual deriva del latn fractus, que significa quebrado o fracturadoEl Dr. Mandelbrot, de la Universidad de Yale, llev a cabo experimentos de computadora en lo que respecta al campo de los fractales, y es considerado como el padre de la geometra fractal. En honor a l, uno de los conjuntos que l investig fue nombrado en su nombre.

En 1975, Mandelbrot public un ensayo titulado Los objetos fractales: forma, azar y dimensin (en francs). En la introduccin comentaba los conceptos de objeto fractal y fractal como trminos que haba inventado a partir del adjetivo latino fractus (roto, fracturado). Posteriormente, en 1982, public el libro The Fractal Geometry of Nature, que trataba sobre la dimensin fractal en la naturaleza.Otros matemticos, como Douady, Hubbard y Sullivan trabajaron tambin en esta rea explorando ms las matemticas que sus aplicaciones.

Desde la dcada del '70 este campo ha estado en la vanguardia de los matemticos contemporneos. Investigadores como el Dr. Robert L. Devaney, de la Universidad de Boston ha estado explorando esta rama de la matemtica con la ayuda de las computadoras modernas. Figura s 2.1 y 2.2: Henri Poincar y Benot Mandelbrot

2- Caractersticas

( Iteracin. La iteracin es la repeticin de un patrn en el fractal. Se produce partiendo de una figura simple que se repite de una forma u otra hasta formar una figura infinitamente compleja como son los fractales. Es un mecanismo de retroalimentacin, que se repite un nmero n de veces. Esto se refiere, por ejemplo, al acto de utilizar un valor inicial en el clculo de cierta funcin, y luego tomar el producto, o resultado, como valor inicial para el prximo clculo de esa misma funcin. Dicha operacin puede repetirse indefinidamente (incluso infinitamente), produciendo una iteracin. Cualquier proceso semejante tendr como resultado un fractal.La figura no tiene por que ser precisamente geomtrica, sino que tambin puede ser el resultado de la representacin de ecuaciones matemticas de forma bidimensional o tridimensional.En sta imagen se puede apreciar un ejemplo de iteracin en fractales:

Figura 3: Ejemplo de iteracin (Dimensin fractal. En geometra de fractales, la dimensin fractal, D, es un trmino que se utiliza para representar cada una de las dimensiones que el fractal contiene. ste termino puede llevar un subndice para diferenciar dichas dimensiones unas de otras (Puesto que un fractal puede tener ms de una diferente). De esta forma, se representa cun completamente parece llenar un fractal el espacio conforme se ampla su superficie hacia escalas ms y ms finas. Entre estas definiciones est la dimensin de Hausdorff-Besicovitch, dimensin de empaquetamiento, la dimensin de homotecia y las dimensiones de Rnyi, las cuales, cumplen con la siguiente cadena de desigualdades:

Donde:

es la dimensin topolgica que es siempre un entero. es la dimensin de Hausdorff-Besicovitch que para los fractales clsicos suele ser un nmero irracional.

es la dimensin de Minkowski-Bouligand o de conteo de cajas, a veces llamada dimensin de Hausdorff. es la dimensin de empaquetado. es la dimensin del espacio eucldeo que contiene al fractal. Dimensin de Hausdorff-Besicovitch La dimensin de Hausdorff-Besicovitch siendo similar numricamente a otras dimensiones fractales, en general resulta no mayor que todas ellas, siendo para la mayora de fractales clsicos coincidente con el resto de dimensiones fractales (generalmente ms sencillas de calcular). La dimensin de Hausdorff se define con la siguente frmula:

Figura 4: Dimensin de Hausdorff-Besicovitch Dimensin de empaquetamiento:

la dimensin de empaquetado es similar a la dimensin de Hausdorff-Besicovitch, aunque en muchos casos difiere numricamente de la misma. La diferencia clave entre ambas est en que la de Hausdorff-Besicovitch se define tomando el nfimo de recubrimientos de dimetro acotado superiormente, mientras que la de empaquetamiento se define tomando el supremo de empaquetamientos de dimetro acotado superiormente.Dicha dimensin cumple con la frmula siguiente:

Figura 5: Dimensin de empaquetamiento Dimensin de homotecia:

Consideremos el simple ejemplo de una manguera enrollada. Desde muy lejos (desde el espacio) tiene dimensin cero, es slo un punto. Desde ms cerca se parece a un objeto slido, y en consecuencia tiene tres dimensiones. Finalmente, desde dentro del rollo, la manguera se vuelve unidimensional. As pues, segn nuestro punto de vista, la dimensionalidad de la manguera puede ir de cero a tres a una dimensione(s). Los fractales son una forma de ocuparse de lo que ocurre entre medio. As, la dimensin de homotecia describe dimensiones intermedias.

Consideremos, por lo tanto, una figura de lado P, compuesta por p divisiones, por lo que P/p se puede considerar la escala de medicin de dicha figura. Por ejemplo, en la figura inferior se puede considerar P/p = 1/3, al ser P=1 y al abarcar p 3 casillas dentro de la unidad de P.Considerando N el tamao de nuestro fractal, D la dimensin que lo rige, y P/p su escala de medicin, se cumple la siguiente expresin: N = (P/p)^DDebido a que queremos obtener la expresin por la que se rige D, la dimensin de homotecia, despejamos D usando logaritmos, y la ecuacin resultante sera:

Log (N) = Log (P/p) * D ( Despejando D ( D= Log (N) / Log (P/p) Como se puede apreciar en la imagen:

Figura 6: Dimensin de homoteciaEn sta imagen se puede apreciar el resultado de la dimensin homottica cuando el nmero de divisiones vara. Tambin se puede apreciar el resultado en 3D.

Figura 7: Dimensin homottica con vista en 3D Dimensiones de Rnyi:

Quedan definidas de la siguiente forma:

El numerador es la llamada entropa de Rnyi de orden . La dimensin de Rnyi con =0 trata a todas las partes del atractor de manera similar, pero para valores ms grandes de se da un mayor peso en el clculo a las partes del atractor que son visitadas con mayor frecuencia. Puede demostrarse la siguiente relacin entre las dimensiones de Rnyi:

Un atractor para el cual las dimensiones de Rnyi no son todas iguales es conocido como un multifractal, o se dice que muestra estructura multifractal. Esto es una seal de que un comportamiento a escala diferente ocurre en diferentes partes del atractor.

Figura 8: Dimensin de Rnyi

( Lmites inferior y superior en fractales en la naturaleza. Los fractales que se encuentran en la naturaleza tienen los llamados lmites superior e inferior. Esto quiere decir que su estructura no se repite de forma infinita, a diferencia de los fractales simulados por ordenador o creados mediante clculos matemticos, sino que hay un rango en el cual el objeto presenta una estructura fractal, determinado por dichos lmites.El lmite superior de un fractal natural determina la parte macroscpica a partir de la cual la estructura del objeto natural empieza a ser fractal.

El lmite inferior determina la parte del objeto a partir de la cual se empieza a dejar de dar la estructura fractal. Esto suele suceder en la zona cercana a la atmica.

Como experimento, acrcate a la nevera y comprueba si tienes a mano un broccoli o una coliflor. Su estructura ramificada es fractal y utilizamos esta observacin para sintetizar sus morfologas a travs de L-systems e IFS (un tipo de construccin fractal que explicaremos ms adelante). La estructura de un broccoli es impresionantemente autosimilar. En este ejemplo, el brcoli posee lmites superiores (el brocoli a nivel macroscpico) e inferiores (seguro que no es fractal mucho antes de llegar al nivel atmico).

Figura 9: Lmite superior en romanscu (Autosimilitud. La autosimilitud en los fractales consiste en que su superficie a cada una de las escalas a las que se vea va a tener una estructura similar siempre. Es decir, no va a variar por mucho que se aumente.Segn B. Mandelbrot, un objeto es autosimilar o autosemejante si sus partes tienen la misma forma o estructura que el todo, aunque pueden presentarse a diferente escala y pueden estar ligeramente deformadas.Los fractales pueden presentar tres tipos de autosimilitud:

Autosimilitud exacta. este es el tipo ms restrictivo de autosimilitud: exige que el fractal parezca idntico a diferentes escalas. A menudo la encontramos en fractales definidos por sistemas de funciones iteradas (IFS).

Figura 10: Ejemplo de autosimilitud exacta Cuasiautosimilitud: exige que el fractal parezca aproximadamente idntico a diferentes escalas. Los fractales de este tipo contienen copias menores y distorsionadas de s mismos. Matemticamente D.Sullivan defini el concepto de conjunto cuasiauto-similar a partir del concepto de cuasi-isometra. Los fractales definidos por relaciones de recurrencia son normalmente de este tipo.

Autosimilitud estadstica: Es el tipo ms dbil de autosimilitud: se exige que el fractal tenga medidas numricas o estadsticas que se preserven con el cambio de escala. Los fractales aleatorios son ejemplos de fractales de este tipo3- Clasificacin

Segn Javier Barallo, bsicamente podemos clasificarlos en 6 grupos:

1.- Derivados de la geometra estndar

2.- IFS (sistemas de funciones iterativas)

3.- Atractores extraos

4.- Fractales plasma

5.- L-systems (sistemas de Lindenmayer)

6.- Por iteracin de polinomios complejos

3.1 Fractales derivados de la geometra estndar

Los fractales derivados de la geometra estndar son regulares y se construyen a partir de un polgono o de otra figura geomtrica, agregando repetidamente copias de l mismo de un tamao reducido (ms pequeas), de acuerdo a un conjunto de transformaciones geomtricas previamente seleccionadas.Probablemente el fractal de este tipo ms antiguo fue diseado por Cantor y data del ao 1872. Para generarlo se procede como sigue: Se toma un segmento de tamao unidad So = [0,1], se divide el segmento en tres subsegmentos de tamao 1/3 cada uno, se borra la porcin central y se dejan los intervalos cerrados restantes. Se procese de la misma forma con todos los subsegmentos resultantes, hasta llegar a una figura como la siguiente:

Figura 11: Polvo de CntorLa figura 2, abajo, muestra una representacin grfica de la funcin de Cantor, a la que suele denominarse escalera del diablo, pues posee un nmero infinito de escalones. Cada escaln corresponde a un intervalo eliminado en el proceso de construccin del conjunto de Cantor. Este conjunto muestra de forma evidente una de las propiedades ms importantes de los fractales: la autosimilitud.

Figura 12: Grfica de CntorA parte de este ltimo, se han creado fractales de mayor complejidad, como los que se muestran a continuacin:

Figura 13: Simulacin fractal que se asemeja a un par de pulmonesSe puede apreciar como se parte de un polgono triangular bsico a partir del cual se van estructurando copias del mismo con diferente disposicin.En ste ejemplo, el rbol se ha construido de la misma forma que el fractal anterior, donde cada nivel de ramificaciones es una copia transformada del tronco.

Figura 14: Secuencia fractal de crecimiento de un rbolSon muchos los casos conocidos de este tipos de fractales. Entre ellos cabe mencionar:

(a) sobre una lnea, el polvo de Cantor y la curva de VonKoch

(b) sobre una superficie, el tringulo de Sierpinski y la alfombra de Sierpinski

(c) en un volumen, la esponja de Menger

Otro ejemplo relevante es el tringulo de Sierpinski. Partiendo de la figura inicial de un tringulo equiltero, a la que consideraremos iteracin n = 0, dividimos el rea de su lado en cuatro tringulos equilteros ms pequeos, usando los puntos medios de los tres lados del tringulo original como los nuevos vrtices (iteracin n = 1), obtenindose al centro de la configuracin un tringulo equiltero invertido de lado igual a , que debe ser removido. Para la iteracin n = 2, se repite el proceso con cada uno de los tringulos de lado que han quedado, borrando los tres tringulos equilteros invertidos de lado . Repitiendo infinitamente el proceso se obtiene una figura fractal denominada tringulo de Sierpinski.

Figura 15: Tringulo de Sierpinski

El mismo proceso puede ser aplicado a un cuadrado de lado unitario como el de la figura 6 y el conjunto final estar conformado nuevamente por una cantidad no numerable de puntos. El conjunto resultante es llamado Cuadrado de Cantor.

Figura 16: Cuadrado de CntorCon un procedimiento similar al que vimos en el Conjunto de Cantor y su aplicacin a una figura cuadrada (en ese caso se eliminaban 5 mdulos de un total de nueve en la primera iteracin), veremos cmo se forma la denominada alfombra de Sierpinski. Es, por lo tanto, muy similar a su tringulo: Se divide un cuadrado de lado inicial igual a la unidad, en nueve cuadrados idnticos y luego se borra el cuadrado central.

Figura 17: Alfombra de Sierpinski

Figura 18: Copo de nieve de KochLos fractales clsicos provenientes de figuras derivadas de la geometra estndar no se restringen a las dos dimensiones. Si partimos de un cubo en tres dimensiones y aplicamos un procedimiento semejante al de la alfombra de Sierpinski, obtendremos un volumen muy agujereado que parece una esponja. El descubridor de este interesante caso de la geometra fractal fue Karl Menger (1902-1985), a quien en lugar de eliminar pequeos cuadrados como en la alfombra de Sierpinski, se le ocurri eliminar pequeos cubos.

Figura 19: Esponja de MengerObviamente, en el lmite cuando el procedimiento tiende a infinito, la esponja tiene volumen nulo y superficie infinita. Otro caso sorprendente, de una forma geomtrica compuesta por fragmentos en una infinita variedad de tamaos tales que cada uno de ellos es una copia reducida del total.

Tambin es posible realizar construcciones semejantes al tringulo de Sierpinski en 3 dimensiones, utilizando tetraedros, como se ve en la figura 8.

Figura 20: Tetraedro de SierpinskiPero estos fractales no solo existen en nuestra mente, sino que se manifiestan en el mundo material. Un claro ejemplo es el romanescu, derivado del brcoli, un fractal natural que se construye estableciendo conos cada vez ms pequeos a partir de un eje central.

Figura 21: Romanscu3.2 Fractales IFS (Sistemas de Funciones Iteradas)

Este tipo de fractal fue introducido por M. Barnsley. Matemticamente se describen mediante un conjunto de funciones lineales sometidas en cada uno de sus puntos a transformaciones por simetra del tipo rotacional y traslacional, mediante aproximaciones sucesivas. Si bien las funciones son introducidas aleatoriamente en el sistema, para obtener una estructura fractal concreta es necesario fijar la funcin y sus valores.

Figura 22: Fractales IFS (Iterated Function System) que simulan plantasLos ejemplos ms conocidos, por la generacin de imgenes ultrarrealistas, son las simulaciones de helechos y hojas, y otras formas infinitamente detalladas. En el caso de un rbol es posible imaginar la IFS como el follaje de ramas infinitamente pequeas. Existen procedimientos matemticos conocidos como algoritmos de iteracin aleatoria que acortan el camino para representar el mapeo de pixeles a partir del follaje fractal muy detallado, sin tener que pasar por ninguna de las aproximaciones sucesivas, esto es, la generacin iterativa de varios niveles de ramas usando geometra tradicional. Es posible crear estos fractales mediante programas informticos, los cuales simplifican la labor.

Figura 23: Formas en espiral generadas mediante un IFSDentro de este tipo de fractales entra tambin el conjunto de Mandelbrot, de extrema importancia, el cual fue propuesto en los aos setenta, pero no fue hasta una dcada ms tarde cuando pudo representarse grficamente con un ordenador. Este conjunto se define a partir de un nmero c cualquiera. ste conjunto ser explicado ms adelante minuciosamente. Aqu hay algunos ejemplos grficos del conjunto de Mandelbrot. Figura 24: Distintos ejemplos de variables en el conjunto de MandelbrotOtros ejemplos de IFS podran ser fractales como los siguientes:

Figura 25: Simulacin de formas de estrellas generadas mediante un IFS3.3 Atractores extraos

Estos conjuntos pueden ser considerados como la representacin de un sistema dinmico en movimiento catico, esto significa que ni el lugar de su recorrido ni el tiempo en que lo recorre son idnticos. Estos atractores tienen apariencia muy compleja, formando figuras muy abstractas y estn compuestos por una lnea de longitud infinita formando bucles entrelazados que no se cruzan en su propia trayectoria.

Figura 26: Atractores extraos: a la izquierda, dos ejemplos del fractal Hopalong y a la derecha dos ejemplos del tipo Fractal DreamsSe forman por la repetida ejecucin de ciertos clculos y al listar los resultados numricos, se caracterizan por parecer valores totalmente azarosos. Sin embargo, al graficar estos resultados en un plano bidimensional, muestran complejas estructuras muy coherentes con respecto a su regla generativa. Para crear un atractor extrao mediante software generalmente se comienza introduciendo un punto que pertenece al campo de la pantalla, y luego se ingresan los valores de ese punto en una ecuacin. El resultado de la ecuacin se convierte en el nuevo punto que se grafica, y luego es usado nuevamente en la ecuacin.

ste tipo de fractales se expresa en trminos de ecuaciones diferenciales. Estas ecuaciones describen el comportamiento del sistema para un perodo breve. Para determinar el comportamiento del sistema para perodos ms largos es necesario integrar las ecuaciones, ya sea analticamente o por mtodos numricos (iteracin), para lo que se ha hecho imprescindible la ayuda de los ordenadores.3.4 Fractales plasma

Estos tipos fractales producen hermosas texturas con estructura fractal, como piedra, madera, nubes, fuego y muchas otras. La gran mayora de sistemas CAD utilizan estas tcnicas para la produccin de texturas de su librera de materiales. Se caracterizan por que son el nico grupo que tienen un componente aleatorio en su produccin. En la generacin de estos fractales se utilizan tcnicas de representacin que simplifican el proceso, por ejemplo tomando 4 pixeles (uno en cada rincn de la pantalla) cada uno de ellos con un valor de color obtenido aleatoriamente, y luego se subdividen las lneas que unen estos pixeles y se interpolan los valores de coloracin. Algunos algoritmos de fractales plasma les agregan realismo al resultado haciendo intervenir otros parmetros como la rugosidad o fragosidad, tal que al variar estos valores, el resultado es ms compacto o ms fragmentado. Este tipo de fractales plasma tambin permiten crear interesantes paisajes de terrenos naturales, al ser extrudos como imgenes en tres dimensiones.

Figura 27: Fractales plasma con efecto tridimensional3.5 Sistemas de Lindenmayer

Conocidos abreviadamente como Sistemas L, en realidad no fueron creados para generar figuras fractales, sino para realizar estudios biolgicos de crecimiento celular y sus interacciones. Por ejemplo, fueron usados para simular la formacin de cristales en soluciones supersaturadas, o para investigar el crecimiento de los corales, en Fractal modelling: growth and form in Biology [Kaandrop, 1994]. Este es un procedimiento que aplica sus reglas a un conjunto inicial, con el propsito de observar ciertos comportamientos en organismos naturales, algunos de los cuales resultan ser estructuras fractales.

Considerando que las estructuras fractales de la Naturaleza son el resultado de algn proceso de crecimiento, y que las etapas intermedias de produccin de un fractal corresponden a crecimientos parciales, veremos que hay situaciones en las que es ms conveniente utilizar un Sistema-L que un sistema IFS. La figura siguiente muestra las tres primeras etapas de iteracin de un IFS, cuyo resultado parcial (atractor), ser un arbusto. Como puede observarse en la figura de abajo, dependiendo de la cantidad de etapas o iteraciones, aparecen lagunas o espacios en blanco, que determinan un modelo de crecimiento que presenta deficiencias. Modificando el algoritmo de la funcin iterativa de manera tal que recorra una rbita que no deje librado al azar la probabilidad de lagunas, se observa que el tallo principal disminuye de tamao en cada etapa, de acuerdo con la razn de contraccin del sistema. Con las sucesivas ramas sucede lo mismo, de donde se infiere nuevamente que el modelo de crecimiento sigue siendo deficiente. Si usamos un sistema de Lindenmayer, no se presentan los problemas referidos. Al cabo de tres etapas se observa una forma ms acorde con un modelo natural de crecimiento.

A B C

Figura 28: (A) y (B) simulaciones incorrectas de crecimiento de un rbol, (C) simulacin correcta de crecimiento de un rbol.Hacia 1968 Aristid Lindenmayer propuso la teora de los Sistemas-L introducida en el contexto de los lenguajes formales y fue utilizada en modelos biolgicos para el desarrollo de plantas. La figura 30 muestra un ejemplo desarrollado con el software Fractint, que ltimamente se ha popularizado mucho y es muy fcil de usar.

Figura 29: Imagenes tipo Plants de FractintEl concepto principal de los Sistemas-L es el de reescritura: se emplea una tcnica para definir objetos complejos a partir de un objeto inicial simple. En principio es la misma idea de generacin de fractales derivados de la geometra estndar, pero un Sistema-L est formalmente constituido por un alfabeto, un axioma, unas reglas de reescritura y un conjunto de parmetros. 3.6 Fractales creados por iteracin de polinomios complejos

Tomando como base experimentos matemticos, se obtienen representaciones fractales bastante sofisticadas a partir de frmulas relativamente sencillas. Los fractales ms famosos, como el conjunto de Mandelbrot, el conjunto de Julia y otros, pertenecen a esta clase. Muy apropiados para experimentar con los llamados algoritmos de coloracin, de gran inters artstico y compositivo. Basada en esta tcnica de iteracin mediante frmulas, existe una modalidad de produccin de fractales que se ha dado en llamar Arte Gentico, donde se trabaja superponiendo capas con diferentes representaciones fractales, a partir de la resolucin de diferentes frmulas relativamente sencillas, obtenindose imgenes sorprendentes.

Cada una de las imgenes del fractal se construye en torno a una secuencia aleatoria determinada por un polinomio, el cual puede ser expresado con una letra, que van desde A hasta Z y tambin desde a hasta z. Cada uno de estos 52 caracteres representa una frmula nica, tales que al colocarlos en series de caracteres, crean una regla o secuencia que genera la imagen. Al generar una imagen, el valor del color de cada pxel se calcula comenzando con valor 1 y se va actualizando dependiendo de la secuencia de letras que definen la regla. La figura 17 muestra un ejemplo.

Figura 30: Fractal por itineracin de polinomiosExisten muchsimos fractales, ya que como veremos, son muy fciles de construir. Los ejemplos ms populares son el conjunto Mandelbrot o el tringulo Sierpinski,como ya hemos visto anteriormente.

4- Los fractales en la naturaleza.

Son objetos naturales que se pueden representar con muy buena aproximacin mediante fractales matemticos con autosimilaridad estadstica. Los fractales encontrados en la naturaleza se diferencian de los fractales matemticos porque los naturales son aproximados o estadsticos y su autosimilaridad se extiende slo a un rango de escalas (por ejemplo a escala cercana a la atmica su estructura difiere de la estructura macroscpica), lo que implica tener lmites tanto superiores como inferiores, ya explicados anteriormente.Ejemplo de fractales en la naturaleza:

En las figuras superiores, se puede apreciar tanto un helecho como la cola de un pavo real, fractales que se pueden encontrar fcilmente en la naturaleza. Esto nos ensea que los fractales no son algo raro y existente tan slo en el mundo de la geometra y las matemticas, sino que se pueden manifestar en nuestro da a da, en cualquier situacin de la vida cotidiana.Los helechos, como se puede apreciar, se han producido por transformacin de afinidad del plano, un mtodo que ser explicado ms adelante.

En la cola del pavo real se puede apreciar un fractal muy caracterstico producido por iteracin, donde los ojos de su cola se repiten cada vez ms conforme se acercan al centro.

En estas dos figuras se puede apreciar tanto un girasol como un copo de nieve, visto desde cerca. No es difcil darse cuenta de que ambos poseen una estructura fractal, aunque diferente:

El girasol posee una serie de semillas que, al igual en la cola del pavo real, abundan ms conforme se van acercando al centro.

El copo de nueve, sin embargo, est construido de la misma forma que el tringulo de Sierpinski, por repeticin de una figura sucesivas veces hasta alcanzar una infinita complejidad. Es, por lo tanto, un claro ejemplo de iteracin.

Estas dos imgenes, al igual que las expuestas anteriormente, presentan una estructura fractal. Tanto esta planta como el grupo de clulas presenta una serie de repeticiones en su estructura, cosa que las dota tanto de una gran complejidad como de no una menor belleza.5-Los fractales y el caos.

Se denomina caos al comportamiento impredecible de un sistema determinista, debido a la gran sensibilidad respecto a las condiciones iniciales (C.I.). Esto provoca que dos puntos arbitrariamente juntos diverjan exponencialmente, de modo que su evolucin futura no es predecible.

El ejemplo muy conocido y que lo ilustra muy bien es que el batir de alas de una mariposa puede afectar de tal forma a la evolucin meteorolgica que puede determinar la diferencia entre la calma y el huracn un tiempo despus.

Catico no es sinnimo de Fractal. Se confunden a veces porque se tratan conjuntamente en publicaciones especializadas y porque ambos se utilizan como modelos matemticos de fenmenos y objetos naturales complejos. Veamos la diferencia:

Caos: Las claves del caos son la sensibilidad a las C.I. y la impredictibilidad, a pesar de que el proceso tenga un conjunto de ecuaciones deterministas.

Fractales: En cambio un fractal se caracteriza por la autosimilitud y la invarianza a escala. Muchos fractales no son en absoluto caticos.6- Produccin de fractales.

6.1- Por iteracin.

La Iteracin, en fractales, se refiere al proceso de iteracin de una funcin, es decir aplicando la funcin repetidamente, usando la salida de una iteracin como la entrada a la siguiente. La iteracin de funciones aparentemente simples pueden producir comportamientos complejos y problemas difciles, en este caso, los fractales.

Un famoso ejemplo de construccin de fractales por medio de la iteracin es el de la repeticin de una figura geomtrica infinitas veces a distintas escalas.

Figura 31: Ejemplo de iteracin6.2- Por transformaciones de afinidad en el plano.ste tipo de procedimiento consiste simplemente en tomar una parte del plano, en la que est situada una figura, cambiarla de escala, y rotarla. Repitiendo ste proceso infinitas veces y siguiendo la siguiente relacin, donde se expresa el vector que termina la direccin y el tamao de cada una de las figuras que componen el fractal:

Se puede lograr un fractal, como por ejemplo ste:

6.3- En laboratorios por procedimientos fsico-qumicos. Por ejemplo: electrodeposicin.

Los procesos electroqumicos a partir de los cuales se pueden presentar crecimientos ramificados, han sido estudiados en las ltimas dcadas. Los crecimientos pueden ser obtenidos mediante la electrolisis de soluciones de ZnSO contenidas entre dos placas de cristal o acrlico; dentro de las cuales, y embebidos en la solucin, se encuentran los electrodos; el proceso es sensible a las condiciones en que se lleven a cabo los experimentos, la geometra del sistema y la concentracin inicial del ion metlico; las estructuras generalmente son dendrticas o similares a las que se obtienen mediante simulacin en un ordenador, por ejemplo.

Figura 32: Ejemplo de procedimiento fsico-qumico en la produccin de un fractal6.4- Mediante aplicaciones informticas. (aqu debes bajarte varias aplicaciones y manejarlas para crear fractales exponiendo los mtodos y resultados).

Existen varias aplicaciones para generar fractales a partir de un ordenador. Algunas nos pueden permitir generar incluso amplias estructuras fractales en 3D, mediante la inclusin de reglas informticas; otros, sin embargo, se limitan a la mera visualizacin de fractales, de forma que podamos apreciar su belleza y su complejidad.

Las aplicaciones que yo he experimentado se encuentran todas en la siguiente pgina, en la cual se ofrece informacin sobre cada una de ellas, as como un link para su descarga gratuita:http://cdlibre.org/consultar/catalogo/Matematicas_Fractales.htmlLas aplicaciones con las que yo he trabajado y he tenido tiempo de interactuar han sido las siguientes:

Fractal Forge [V 2.8.2]:Una poderosa aplicacin de generacin de fractales basados en el conjunto de Mandelbrot, sobre todo. Posee una interfaz bastante intuitiva, con una serie de pestaas a la derecha que nos permiten cambiar distintos parmetros del fractal. sta es la aplicacin en la que ms me he centrado pues su uso resulta relativamente fcil y no hace falta conocimientos previos de matemticas para crear un precioso fractal.En sta imagen se puede ver la interfaz general de Fractal Forge:

A continuacin, procedo a analizar cada una de las funciones de personalizacin que ste programa posee. Para empezar, decir que primero hay que aplicar los respectivos cambios al fractal, antes de generarlo. Una lo hayamos hecho, le damos al botn superior start, y la imagen del fractal se genera automticamente.

Es en las pestaas de la derecha donde se pueden otorgar distintos parmetros para la personalizacin del fractal.

Pestaa data:

Es la que ms informacin presenta sobre nuestro fractal. Procedo a explicar cada una de los usos de cada uno de los parmetros: El parmetro Real Part of Center determina donde aparecer el centro de nuestro fractal tras la creacin de la imagen, respecto al eje X.

El parmetro Imaginary Part of Center determina donde aparecer el fractal tras ser creado, respecto al eje Y.

El parmetro Magnification (Y axis) determina cun cerca queremos que nuestro fractal aparezca tras la creacin de la imagen.

El parmetro Iterations Determina el nivel de complejidad del fractal generado, es decir, el nivel de repeticiones que se desea que haya en la frmula que lo genera. Como se puede contemplar al cambiar las iteraciones a un valor ms bajo, el fractal resultante es casi una mancha. Sin embargo, al poner las iteraciones muy altas, se da un fractal de gran complejidad.

As es el conjunto de Mandelbrot con 10 iteraciones:

Y as se nos presenta el conjunto de Mandelbrot con 1000 iteraciones:

El parmetro Bailout determina la calidad del color y los degradados en el fractal. A un valor ms bajo, menos calidad de degradados y menor rendimiento requiere el procesamiento de ste ltimo. El parmetro Color by determina la estructura y organizacin de la organizacin de colores en el fractal. En l, se dan una serie de opciones que cambian la apariencia de los colores de ste, como, por ejemplo, al ponerlo en la opcin Internal mod, el fractal se ve as:

El parmetro Formula Determina la frmula que sigue la creacin del fractal. Este parmetro es decisivo y procedo a explicar cada una de las opciones que en l se da:

Todas ellas son derivadas de la ecuacin que rige el conjunto de Mandelbrot.

La ecuacin de Mandelbrot se deriva de la del conjunto de Julia, cuya expresin es:

Siendo elnmero Z un nmero complejo, yC una constante tambin compleja. Lo que hacemos es fijar dichaCy despus tomar todos los nmeros complejos y pasarlos por el mtodo. Es decir, tomamos un nmero complejoZ0, lo elevamos al cuadrado y sumamosC al resultado. El nmero complejo obtenido se vuelve a elevar al cuadrado y al resultado se le vuelve a sumarC, y as sucesivamente. La sucesin de resultados se denomina atractor, y puede presentarse con distintas formas, como las que se ensean a continuacin:

Elconjunto de Mandelbrotes el conjunto de nmeros complejosC para los que el conjunto de Julia es conexo, esto quiere decir, que no tiende a infinito.Esto determina, por lo tanto, una figura determinada bastante diferente a las resultantes con el conjunto de Julia, la cual es generada por nuestro programa.

Lo que determina el parmetro de Formula son pequeos cambios en la frmula que determina el conjunto de Mandelbrot, Como elevando Z al cubo, a la cuarta, etc. En vez de al cuadrado, o bien elevando Z a C. Todas las opciones dan lugar a una figura diferente, aunque derivada an as del conjunto de Mandelbrot. Ejemplos de distintos fractales segn su frmula:Z ^2 + C

Z^3 + C

Z^8 + C

Z^3 + C^2

Existen muchas ms opciones de frmulas con las que se puede experimentar. Por ltimo, existe una opcin, Julia mode donde se pueden situar unas coordenadas para visualizar una parte del fractal principal, donde los valores de la ecuacin s tienden a infinito. Esto es, visualizar la correspondencia de una parte del conjunto de Mandelbrot con el conjunto de Julia. Pestaa ColorsEn esta pestaa, se puede modificar la secuencia de colores que el fractal posee. Se puede alternar tanto entre colores predefinidos mediante la barra desplazable Color cyclings, como entre colores y gradientes personalizadas por nosotros mismos, en Edit Color Sequence. Un ejemplo de edicin del color manualmente:

Y el fractal resultara as:

Pestaa SizeEn ella, podemos cambiar el tamao de la imagen, a diferentes resoluciones. Cuanto mayor sea la resolucin, mayor se ver la imagen: Pestaa History ListNos muestra el historial de cambios en nuestro fractal actual, o cualquiera de los fractales que hayamos creado.

Fraqtive

Fraqtive es un cmodo y rpido visualizador del conjunto de Mandelbrot y de Julia. Entre sus caractersticas, cabe destacar la posibilidad de cambiarle el color, as como la de aumentar cualquiera de los dos fractales a pantalla completa.Dispone tambin de una opcin de visualizado 3D y de una captura del fractal, para ser guardado como imagen.

Ah van algunas imgenes sobre mi experiencia con Fraqtive:

MandelbulberMandelbulber es un programa de generacin de fractales en 3D. Bastante complejo de usar, muy lento y tedioso, aunque tiene una serie de opciones que te permiten seleccionar modelos predeterminados que, personalmente, encuentro bastante interesantes. Adems, la calidad del modelado 3D es totalmente exquisita.

Estos modelos predefinidos vienen en la pestaa Fractal, en la casilla, Formula type. Una vez escogido el deseado, se ha de pulsar RENDER en la parte superior de la ventana para iniciar en generado de la imagen.

Ah van algunas capturas sobre mi experiencia con Mandelbulber:

Formula type: Mandelbulb

Formula type: Polynomic Power 2

Formula type: Hypercomplex

Formula type: Anexion

Formula type: Folding Int Power 2

7. Aplicaciones de los fractales.

Los fractales se utilizan en diversas reas: en la computacin para reducir el tamao de imgenes y archivos y para mejorar la resolucin de una imagen; en medicina para identificar la presencia de enfermedades en los huesos; en geografa para elaborar mapas tridimensionales cada vez ms precisos; en la geologa y topologa en la determinacin precisa de las distancias que separan las costas de los continentes; cualquier orilla del mar, como muchas formas de la naturaleza, pueden interpretarse como un fractal.

Realizar estudios biolgicos de crecimiento celular y sus interacciones. Por ejemplo, fueron usados para simular la formacin de cristales en soluciones supersaturadas, o para investigar el crecimiento de los corales.

Son herramientas de gran potencia para afrontar el estudio de fenmenos complejos.

Las posibles aplicaciones de la tcnica fractal no se limitan exclusivamente a las ciencias exactas, la cualidad autosemejante que presenta la estructura de estos entes geomtricos esta siendo usada de muchas maneras. Prueba de ello es que tanto artistas como cientficos estn reconociendo su enorme potencial.

Los fractales son de gran utilidad para explicar ciertos resultados de la teora del caos y del estudio de los sistemas dinmicos (estudio de poblaciones), as como del modelado de fenmenos y formas naturales semejantes a s mismas. Su faceta ms extendida es la relacionada con la creacin de sorprendentes imgenes artsticas, cuyo cdigo esttico no puede ser ledo utilizando los criterios del arte hecho en el pasado, debido a la falta de elementos de transicin entre uno y otro.

La dimensin fractal tambin esta siendo utilizada en reas tan cotidianas como las finanzas, la geologa, las comunicaciones y las ciencias de la computacin.

Aunque han sido estudiados principalmente en el mundo de la matemtica, los fractales tambin pueden ser usados en reas menos abstractas, como el modelamiento de rboles, nubes, montaas, medicin de longitud de las lneas costeras, y en general, cualquier hecho que no sea posible de representar mediante variables geomtricas clsicas o euclidianas (como s lo son los conos de helado, los dados, las pirmides egipcias, etc.). (Muoz y Mesa, 2002a:2).

En Geografa, las tcnicas fractales se utilizan para la elaboracin de mapas en tres dimensiones con detalles topogrficos muy precisos. Tambin estn siendo introducidos en el mbito de la medicina, especficamente en la deteccin de la osteoporosis ya que mediante tcnicas fractales se puede hacer una aproximacin a cmo evolucionara la textura de muestras tomadas a pacientes y observar qu tanto se acerca a la estructura de un hueso enfermo.

A todo esto habra que agregar la compresin fractal de imgenes fotogrficas digitalizadas y de video, concebida para capturar una imagen y proyectarla como un Sistema de Funciones Iteradas (SFI). Un SFI es conocido como un procedimiento que implica una serie de funciones, adecuadas para describir fragmentos de un fractal. Estos fragmentos, una vez reunidos, despliegan en su totalidad la imagen fractal a cualquier grado de magnificacin. La idea de comprimir imgenes proviene de la necesidad de reducir los costos que genera el almacenamiento de informacin de una imagen.

Despus de asomar slo algunas de las muchas aplicaciones posibles de la metodologa fractal orientada a modelar determinados procesos, pudiera pensarse que tiene un lmite. Cada da siguen encontrndose aplicaciones que cambian nuestra opinin, pensamiento y forma de percibir e interactuar con el mundo que nos rodea, una de ellas insospechada hasta hace muy poco tiempo se refiere, concretamente, a su participacin en la creacin de un tipo de arte sonoro, conocido en ciertas esferas como msica fractal. Esta modalidad es hoy investigada muy detalladamente en todo el mundo.

Figura 33: Ejemplo de arquitectura fractal8. Curiosidades o aplicaciones futuras. Tiempo fractal:

Cuando observamos el Sol desde la superficie de la Tierra, lo hacemos desde un punto de vista cotidiano, y entonces nos parece que ste se mueve a nuestro alrededor; sin embargo, cuando lo observamos desde una perspectiva exterior, comprendemos que an cuando nuestros cuerpos permanecen inmviles en un mismo lugar, nos encontramos girando alrededor del eje terrestre a ms de 1000 Km/h, a la vez que simultneamente recorremos la trayectoria alrededor del Sol a unos 106.000 km/h, nos desplazamos junto con todo el Sistema Solar a 72.360 Km/h por la galaxia, y en conjunto con el resto de la Va Lctea viajamos a escalofriante velocidad de 2.160.000 Km/h hacia la Constelacin de Leo.

Luego, la combinacin de todos estos movimientos resulta en una compleja forma espiral que se comporta como una autova galctica, la cual nosotros transitamos sin percatarnos de ello. Esto fue lo que los sabios Mayas comprendieron y dejaron registrado en el Tzolkin, una compleja matriz matemtica que tiene un diseo fractal que nos permite relacionar mltiples ciclos de tiempo entre s, para luego observar la relacin existente entre pasado, presente y futuro.

El Tiempo Fractal, entonces, es el registro simultneo de todos estos ciclos, a partir de cuya comparacin nos es posible determinar cmo el pasado se encuentra permanentemente influyendo sobre nuestro inconsciente inducindonos a repetir la historia; y a la vez nos muestra con claridad y exactitud, cmo nuestros actos del presente terminan condicionando nuestro futuro.

En consecuencia, ahora podemos ver la importancia de elegir conscientemente cada decisin que tomemos y cada accin que realicemos, ya que cada paso que damos por el camino de la Vida, est dejando una huella en el futuro que puede tanto acercarnos, como alejarnos de nuestro destino. Por lo tanto, conocer la dinmica del tiempo fractal nos permite prevenirnos anticipadamente del retorno del pasado y nos sirve de brjula para transitar nuestro camino rumbo a la meta que nos hemos trazado.9. Conclusiones

Los fractales son elementos de gran belleza, y de una cuantiosa complejidad, generados mediante distintos procedimientos, que varan desde el ms sencillo mtodo de traslacin y reduccin de tamao, hasta la ms compleja ecuacin que solo entidades informticas son capaces de calcular y representar.Han sido estudiados desde la antigedad sobre todo en los mbitos geomtrico y matemtico pero ahora, con el desarrollo de las nuevas tecnologas, se han llegado a crear aplicaciones magnficas para que cualquier usado poco experimentado y sin conocimientos de matemticas avanzadas pueda recrearse con ellos y admirar la belleza que los caracteriza. Pero no slo eso, sino que a los usuarios ms instruidos en materia de fractales y con ms conocimientos sobre matemticas les permite disear sus propios fractales a partir de frmulas que ellos mismos hayan ideado.Pero los fractales no se limitan solo a fascinarnos y a presentarse como algn tipo de arte geomtrico, sino que tienen aplicaciones reales, usadas en nuestro da a da tanto por investigadores de prestigio como por nosotros mismos.Son, por lo tanto, un plano de nuestro mundo que est hoy en da al alcance de todos, y esto es realmente positivo, debido a las utilidades que presentan, las cuales, si ya son muchas actualmente, sern incluso ms en el futuro, y su estudio nos podr ayudar en labores tan importantes, tan diarias y tan tiles como puede ser la elaboracin de mapas o el diseo arquitectnicoSegn mi humilde opinin, lo mejor de los fractales no es lo que hemos descubierto hasta ahora acerca de ellos, sino lo que nos queda an por descubrir, que va a ser muchsimo. Son un mbito del conocimiento que an est un poco verde, pero esto es cuestin de tiempo. Pienso que debera darse a conocer a ms gente, puesto que es un campo que realmente suscita un enorme inters por las personas que lo descubren, ya no por las utilidades que puedan tener o por el inters matemtico, sino por la rareza y el misterio que poseen.No queda ms que decir que espero que los estudios fractales continen al buen ritmo que lo han hecho hasta ahora, o incluso a mejor, ya que todo el mundo puede hacer su aportacin en este mbito, un mbito que realmente merece la pena ampliar.

10. Bibliografas y referencias

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http://blog.pucp.edu.pe/item/42177/los-fractales-mas-conocidos

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http://prezi.com/d2lelusatc9k/fractales/ ----- MU BONECOH pa las aplicaciones

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http://www.fractovia.org/art/es/what_es1.shtml

http://es.wikipedia.org/wiki/Fractal#Autosimilitud