Física Grado en Biotecnología -...
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Física
Grado en Biotecnología
Movimiento armónico simple
ESCUELA TÉCNICA SUPERIOR DE INGENIEROS AGRÓNOMOS
Dpto. Física y Mecánica de la Ingeniería Agroforestal
Prof. Mª Victoria Carbonell
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Programa
Representaciones gráficas
Estudio dinámico
Estudio cinemático
Generalidades: movimiento armónico simple
Ecuación diferencial del movimiento
Energía cinética, potencial y mecánica
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Generalidades
Una partícula tiene movimiento periódico cuando se repite o
toma los mismos valores en intervalos iguales de tiempo.
(PERIODO: T).
Es decir, la partícula vuelve a ocupar la posición anterior, con la
velocidad y aceleración anteriores.
)(......)2()()( nTtxTtxTtxtx Posición
)(......)2()()( nTtxTtxTtxtx Velocidad
)(......)2()()( nTtxTtxTtxtx Aceleración
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Generalidades
Al menor intervalo de tiempo para el cual el movimiento se repite
se le denomina periodo T.
movimiento
periódico
Entre los movimientos periódicos, uno de los más importantes es el
movimiento armónico simple.
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Generalidades
Movimiento aperiódico: cuando la configuración del sistema que
realiza el movimiento NO se repite, no toma los mismos valores en
intervalos iguales de tiempo cuando no se repite.
• Amortiguados: los parámetros se hacen cada vez más pequeños
• Amplificados: algún parámetro aumenta con el tiempo
movimiento
aperiódico
amortiguado
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Ejemplos
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Ejemplos
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Ejemplos
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Posición de Equilibrio
Ejemplo: movimiento armónico simple
Mas: movimiento de una partícula sobre una recta oscilando en
torno a una posición de equilibrio estable.
Ejemplo: movimiento de una masa unida a un muelle sobre una
mesa sin rozamiento.
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movimiento armónico simple
Cuando el cuerpo está sobre su posición de equilibrio, que
tomamos como origen de coordenadas, el muelle no ejerce
ninguna fuerza sobre el cuerpo.
Si lo desplazamos una distancia x de su posición de equilibrio, el
muelle ejerce una fuerza sobre el cuerpo.
Y si lo soltamos, éste comienza a oscilar a un lado y a otro de su
posición de equilibrio estable, realizando un m.a.s.
Al tiempo que tarda en realizar una oscilación completa se le llama
periodo.
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mas, vibración, oscilación
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Estudio cinemático
Es el estudio del movimiento en sí mismo sin tener en cuenta las
causas que lo produce, o sea, la fuerza
Desde este punto de vista, el m.a.s. se define como la proyección
de un movimiento circular uniforme sobre uno cualquiera de los
diámetros de la circunferencia.
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Movimiento armónico simple
0cos( )x A wt
Cuando una partícula se mueve con trayectoria circular uniforme
(velocidad constante), su componente x describe un movimiento
armónico simple.
0
0
:
:
:
:
A amplitud
w frecuencia angular
wt fase
faseinicial
)/(:
)(1
:
)(2
:
srad
HzT
Frecuencia
sw
TPeriodo
x: elongación del mas
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0cos( )x A wt
Movimiento armónico simple
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A
Movimiento armónico simple
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Representación gráfica: elongación del mas
x
x
x
t
t
t
0 0cos( ) ( )2
x A wt Asen wt
cos0 12
x A
sen
02
cos
0
sen
x
3cos 1
2
x A
sen
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Representación gráfica: velocidad y aceleración del mas
Posición (x):
0cos( )x A wt
Velocidad (v):
0s ( )x Aw en wt
2
0cos( )x Aw wt
Aceleración (a)
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Estudio dinámico
Es el estudio del movimiento teniendo en cuenta las causas que lo
produce.
Desde el punto de vista dinámico, el m.a.s. es el movimiento de un
punto material sometido a la acción de una fuerza elástica o
recuperadora dirigida siempre hacia la posición de equilibrio
estable.
Esta fuerza es proporcional a la distancia al punto de equilibrio
estable y de signo contrario.
Existe equivalencia entre el movimiento circular uniforme, el de un
péndulo y el movimiento de un muelle separado de su posición de
equilibrio.
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Masa suspendida de un muelle
xest xest
x
eep ..
0l
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Planteamiento del problema
K
m
Notación:
0
:
:constante
:
:
m masa
k rigidez elástica
l longitud inicial
x elongación
0l
x
Fuerzas que actúan sobre la masa en dirección vertical
Fuerza de inercia xm
Fuerza elástica k x
Aplicando la segunda Ley de Newton:
;F ma kx mx
0mx kx
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Mas:Vibración libres sin amortiguamiento
0´´ kxmxEcuación diferencial del
movimiento
kw
m
Solución general: 0cos( )x A wt
Movimiento armónico
0, :A CtesLa frecuencia angular w no depende de la amplitud A
Sea cual sea la frecuencia, el tiempo requerido para
dar una oscilación completa T no depende de la
amplitud A
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Vibraciones libres sin amortiguamiento
0cos( )x A wt
0
0
:
:
:
, :
A amplitud
w frecuencia
fase inicial
A ctes
( / )
2( )
kw rad s
m
T sw
w Frecuencia natural, frecuencia propia o autofrecuencia (ANGULAR).
También se representa como:
█ Al aumentar la rigidez elástica k, (resortes duros o rígidos) aumenta su
frecuencia natural. Análogamente, al disminuir la rigidez elástica k, (resortes
blandos o muy elásticos) disminuye su frecuencia natural.
█ Al aumentar la masa m, disminuye la frecuencia natural. Análogamente, al
disminuir la masa m, aumenta la frecuencia natural.
nw
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Vibraciones libres sin amortiguamiento
0cos( )x A wt
Determinación de las constantes
0( )x Awsen wt
0t0cosox A
0ox Awsen
0
:
:
A amplitud
faseinicial
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Principio Conservación de la Energía
Se cumple:
Principio Conservación de la Energía Total
Principio Conservación de la Energía Mecánica
0´´ kxmx Ctex
kxm
2
´2
2
2
TotalE
MecánicaEkACte
.
.:2
1 2
cinéticaE.
elástico
Potencial
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Principio Conservación de la Energía
La fuerza que causa el m.a.s. es una fuerza conservativa, que
deriva del potencial U:
Como la fuerza es conservativa se cumple el teorema de la
conservación de la energía mecánica, Emec=Ec+U=cte
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Principio Conservación de la Energía Mecánica
y como entonces
,
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Principio de Conservación de la energía
A: amplitud
k: constante
elástica
U: potencial
elástico
Ec: energía
cinética
Ec
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Principio de Conservación de la energía
Posición
X=A
X=0
X=-A
Potencial
U=1/2kA2
U=0
U=1/2kA2
E. cinética
Ec=0
Ec=1/2kA2
Ec=0
Ec
1
2c media totalE E
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Principio de Conservación de la energía
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Fuerza entre átomos
La fuerza ejercida por un muelle es semejante a la ejercida por un átomo sobre
otro en una molécula. Para pequeños desplazamientos del equilibrio, la fuerza
restauradora es proporcional al desplazamiento.
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Vibraciones forzadas
Para mantener un sistema
oscilando, es necesario
suministrar alguna forma
de energía al sistema.
Vibración forzada
Una forma de suministrar
energía al sistema es
mover el soporte hacia
arriba y hacia abajo.
Si esos desplazamientos se realizan
con movimiento armónico simple, de
pequeña amplitud y frecuencia W el
sistema empezará a oscilar y finalmente
alcanzará el estado estacionario.
0 cosF F Wt
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Vibraciones forzadas. Notación frecuencias
n
kw w
m Frecuencia natural
W Frecuencia de la fuerza exterior
(fuerza armónica)
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Vibraciones forzadas sin amortiguamiento
Batimiento
x
Se produce cuando la frecuencia de la fuerza exterior
(W) y la frecuencia natural (wn) son próximas
nw W W
0
2
nn
F w Wx sen t senw t
k W
amplitud
La amplitud es una función
también armónica
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Vibraciones forzadas sin amortiguamiento
Resonancia Se produce cuando la frecuencia de la fuerza exterior (w)
y la frecuencia natural (wn) se igualan
; 0nw W W
x
t
tsenwtk
wFx
n
n
2
0
amplitud
La amplitud es una función
creciente con el tiempo
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Resonancia
El viento turbulento produjo ondas estacionarias en
el puente colgante de que unía Tacoma y Narrows
produciendo su derrumbamiento el 7-nov-1940,
cuatro meses después de su inauguración.
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Movimiento ondulatorio
Las ondas transportan energía a través del espacio sin transportar
materia. Este proceso tiene lugar mediante una perturbación del
medio.
Característica: la velocidad de propagación depende de las
propiedades del medio e independiente del movimiento de la
fuente de las ondas.
Ejemplo: la velocidad del sonido de la bocina de un coche depende de las
propiedades del aire y no del movimiento del coche,
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Frentes de onda circulares alejándose de
un foco puntual en una cubeta de ondas
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Ejemplos de ondas
La oscilación del listón
(arriba y abajo)
produce frentes de
ondas que son líneas
rectas
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Ejemplos de ondas sonoras
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Ondas de proa
producidas por
un buque
Ejemplos de ondas
Ondas de choque
producidas por un
avión supersónico
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Las cuerdas vibran cuando son golpeadas por los macillos, que se
controlan mediante las teclas. Las cuerdas más largas (izquierda)
vibran con frecuencias menores que las más cortas (derecha)
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Superposición de ondas
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Ejemplos y problemas
de vibraciones mecánicas
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Ejemplo resortes
Dos masas idénticas (m) sujetas a muelles iguales (k) descansan
sobre una superficie sin rozamiento, un muelle se estira 10 cm y el
otro 5 cm. Si se dejan en libertad al mismo tiempo. ¿Cuál de los dos
alcanza antes el equilibrio?
Aplicación: k= 200 N/m; m=0,5 kg
Equilibrio
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Ejemplo resortes: solución
En el movimiento armónico simple, la frecuencia y el periodo son
independientes de la amplitud.
Como K y m son los mismos para ambos sistemas, los periodos
son iguales. Por tanto, los dos sistemas alcanzan la posición de
equilibrio al mismo tiempo.
El segundo sistema tiene que recorrer una distancia doble a la del
primero para alcanzar el equilibrio, pero también posee una
velocidad media doble.
400 20 /
20,314
13,185
n
n
kw rad s
m
T sw
HzT
1 1
2 2
10 /
20 /
n
n
x A w m s
x A w m s
Sólo se diferencian en
las velocidades
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Ejemplo resortes
Los dos sistemas oscilan con la misma frecuencia y el mismo periodo.
El sistema 2, al tener que recorrer el doble de amplitud, lo hace al
doble de velocidad.
Sistema 1
Sistema 2
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Ejemplo resortes
Por tratarse de vibraciones libres sin amortiguamiento, en ambos
sistemas, se cumple:
Principio de conservación de la Energía Total
Principio de conservación de la Energía Mecánica.
En cada sistema, la energía total comunicada inicialmente al
sistema se mantiene constante aunque hay un intercambio
energético (cinética-potencial) en el transcurso del movimiento.
La energía del sistema 2 es mayor que la energía del sistema 1
2
1 1
2 1
2 2
2 2 1
1
2
1 1(2 )
2 2
E kA
E E
E kA k A
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Bibliografía
ALONSO, M. FINN, E. (1995). Física. Addison Wesley Iberoamericana.
Capítulo 10
CRAWFORD, J. (1977). Ondas, Berkeley Physics Course. Ed. Reverté
Capítulos 1 y 3
LAFITA, F.; MATA, H. (1968). Introducción a la teoría de vibraciones
mecánicas. Ed. Labor
LEA, S.M.; BURKE, J.R. (1998). Física .La naturaleza de las cosas.
Capítulo 14
SERWAY, R.A. (1992). Física. Ed. Mc Graw Hill. Capítulo 13
TIPLER, P.A. (1999). Física para la ciencia y la tecnología. 4ª edición. Ed.
Reverté. Capítulos 14 y 15
TIPLER, P.A.; MOSCA, G. (2005). Física para la ciencia y la tecnología.
5ª edición. Ed. Reverté
http://www.sc.ehu.es/sweb/fisica/oscilaciones/oscilacion.htm
Videos: El Universo mecánico. Movimiento armónico, Resonancia