Física Teórica 2 : Mecánica Cuántica
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Física Teórica 2 : Mecánica Cuántica
Teóricas: Pablo Tamborenea
Jefe de Trabajos Prácticos: David Blanco
Teóricas: martes y viernes - 9 a 11 hs
Prácticas: martes y viernes - 11 a 14 hs
Segundo Cuatrimestre 2021 (15 semanas)
Inicio de clases: martes 17 de agosto
Fin de clases: sábado 27 de noviembre
Clase 1 - Martes 17/08/2021
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Régimen de aprobación de la materia
2 parciales (2 recuperatorios al final del cuatrimestre)
Examen Final Nota: promedio de los parciales + hasta 2 puntos por
desempeño en el final
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Bibliografía
Modern Quantum Mechanics, J. J. Sakurai
Quantum Mechanics, volúmenes I y II
C. Cohen-Tannoudji, B. Diu, F. Laloë
Introduction to Quantum Mechanics, D. Griffiths
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Página web de la materia
http://materias.df.uba.ar/ft2a2021c2/
Contiene toda la información sobre:
Cronogramas, programa, guias de problemas, links a los videos de las teóricas
y las prácticas, bibliografía, etc.
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Herramientas matemáticas de la Mecánica Cuántica
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Espacio de Hilbert de funciones de onda
de una partícula
David Hilbert
(Königsberg, Prusia Oriental; 23 / 01 / 1862 Gotinga, Alemania; 14 / 02 / 1943)
Matemático alemán, reconocido como uno de los más influyentes del siglo XIX y principios del XX.
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Herramientas matemáticas de mecánica cuántica
La función de onda de una partícula
Probabilidad de estar en d 3r
Necesitamos funciones de cuadrado integrable: L2
Físicamente, sólo nos quedamos con el conjunto de funciones
de cuadrado integrable pero “buenas”: contínuas, diferenciables:
Estado de una partícula: función de onda
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Ejemplo: partícula en un potencial tipo caja unidimensional
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Ejemplo: evolución de una función de onda al encontrar una barrera de potencial
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Densidad de probabilidad de encontrar a la partícula en un dx
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Vectores en R3
Un espacio de Hilbert es un espacio vectorial equipado con producto interno o escalar, que permite definir longitudes y ángulos.
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Ortogonalidad
Real y positivo
“norma” o módulo de losvectores Ψ
Vectores en R3 :
a
b
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Lineal en el segundo argumento
Antilineal en el primer argumento
Propiedades del producto escalar
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Operadores lineales
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Operadores lineales
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Operadores lineales: ejemplos
Operador paridad
Operador posición en x
Operador derivada con respecto a xEstá relacionado con px
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Producto de operadores:
Conmutatividad del producto de operadores:
Definimos el conmutador de A y B:
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Conmutador:
Ejemplo importante:
1: Operador Identidad
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Bases ortonormales del espacio de Hilbert
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Bases ortonormales del espacio de Hilbert
Notar entonces:
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Vemos como obtener los coeficientes de la expansión de Ψ:
linealidad
ortogonalidad
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Producto escalar expresado en componentes:
Sean
Linealidad y antilinealidad
ortogonalidad
Norma o módulo al cuadrado
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Relación de clausura: expresa que la base es completa (todo estado se puede expandir en ella)
Supongamos que se puede expandir:
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Ejemplos de bases del espacio de Hilbert
Es una base ortonormal y completa para funciones definidas en el intervalo (0.a)
ortonormalidad clausura
(Griffiths, Cap. 2)Pozo cuadradoinfinito
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Ejemplos de bases del espacio de Hilbert(Griffiths, Cap. 2)
Oscilador armónico
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Ejemplos de bases del espacio de Hilbert(Griffiths, Cap. 2)
Partícula libre
AutoestadosOndas planas
Norma infinita
Transformada de Fourier, son base completa y ortogonal
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Bases de “estados” que no pertenecen a L2
En el capítulo 1 del Cohen se presenta la transformada de Fourier de Ψ(x) con lasiguiente notación:
Llamemos: Onda plana con vector de onda:
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Bases de “estados” que no pertenecen a L2
Es una “base” porque permite expandir cualquier estado:
Los coeficientes de la expansión son la transformada de Fourier:
Pero como = constante, entonces vp(x) no es de cuadrado integrable
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Bases de “estados” que no pertenecen a L2
{vp(x)} es una “base” pero:
(1) No es de cuadrado integrable
(2) Indice p es contínuo, -∞ < p < ∞
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Bases de “estados” que no pertenecen a L2
Relación de clausura
Usamos la expresión de la delta de Dirac:
“Ortonormalidad” en el sentido de Dirac
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Bases de “estados” que no pertenecen a L2
Para pasar a 3D:
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Resumen de la Clase 1
En esta clase vimos:
- Formalidades del curso
- Espacio de Hilbert de funciones de onda de una partícula
- Operadores lineales
- Conmutador
- Bases del espacio de Hilbert
- Producto escalar expresado en componentes
- Relación de clausura de la base
- Base de estados no normalizable e indice contínuo: ondas planas