La ley de Biot-Savart

Propiedades del campo magnético creado por una corriente eléctrica:

El vector dB es perpendicular tanto a ds (que es un vector que tiene unidades de longitud y está en la dirección de la corriente) como del vector unitario dirigido del elemento a P

La magnitud de dB es inversamente proporcional a r2, donde r es la distancia del elemento a P.

La magnitud de dB es proporcional a la corriente y a la longitud ds del elemento.

La magnitud de dB es proporcional a senθ, donde θ es el ángulo entre los vectores ds y .

r̂

r̂

2

ˆ4 r

rsIdBd o

o: permeabilidad del espacio libre

AmT

o

7104

2

ˆ

4 r

rsdIB o

Campo magnético alrededor de un conductor recto delgado

kdxsenkrsdrsd ˆ)(ˆˆˆ

24 rdxsenI

B o

cscasen

ar

r

asen

cottan

tan aa

xxa

dadx 2csc

d

asenaI

B o 22

2

csccsc

4

dsen

a

IB o

4

2

14

dsen

a

IB o

)cos(cos4 21

a

IB o

Si tenemos un alambre infinito recto: θ1 = 0 y θ2 = .

a

IB o

2

EJEMPLO.

Calcule el campo magnético en el punto O para el segmento de alambre que conduce corriente. El alambre se compone de dos partes rectas y de un arco circular de radio R, el cual subtiende un ángulo θ. Las puntas de flecha en el alambre indican la dirección de la corriente.

SOLUCION

El campo magnético en O debido a la corriente en los segmentos rectos AA’ y CC’ es cero debido a que ds es paralelo a

r̂r̂

r̂Esto significa que dsx r̂ es cero.

θ o R dsr

I

A

A’

C

C’

20

4 R

dsIdB

Puesto que I y R son constantes, se puede integrar esta ecuación sobre la trayectoria curva AC.

R

I

R

RIds

R

IB

44

)(

40

20

20

θ se mide en radianes.

Campo magnético sobre el eje de un lazo de corriente circular

222 4

ˆ

4 axdsI

r

rsdIdB oo

0 yy dBB

dBsendBdBB xx )90cos(

22224 ax

aax

dsIB o

dsax

IaB o

2/3224

2/322

2

2 ax

IaB o

ads 2donde

En el centro del lazo (x = 0):

aI

B o

2

En puntos muy lejanos (x >> a):

3

2

2xIa

B o

Recordando que = IA = Ia2

32 xB o

Fuerza magnética entre dos conductores paralelos

Dos alambres que conducen corriente ejercen fuerzas magnéticas entre sí.

La dirección de la fuerza depende de la dirección de la corriente.

121 LBIF d

IB

2

101

d

LIIF

2

2101

212 LBIF d

IB

2

202

d

LIIF

2

2102

Conductores paralelos que conducen corriente en la misma dirección se atraen entre sí, en tanto que conductores paralelos que conducen corrientes en direcciones opuestas se repelen entre sí.

Si dos alambres paralelos a 1 m de distancia conducen la misma Si dos alambres paralelos a 1 m de distancia conducen la misma corriente y la fuerza por unidad de longitud de cada alambre es de 2 corriente y la fuerza por unidad de longitud de cada alambre es de 2 ×× 101077 N/m, entonces la corriente se define como N/m, entonces la corriente se define como 1 amperio (A)1 amperio (A)..

Si un conductor conduce una corriente estable de 1 A, entonces la cantidad de carga que fluye por sección transversal del conductor en 1 s es 1 C.

EJEMPLO. Una espira rectangular que transporta corriente I1 se coloca paralela y en el mismo plano de un alambre recto y muy largo que transporta corriente I2. Calcule la fuerza magnética que experimenta la espira rectangular.

a

b

c

F3F4

I2

I1

F1

F2

Los tramos horizontales de la espira y el alambre recto y muy largo forman una configuración de alambres paralelos, en consecuencia la fuerza resultante sobre la espira será:

F = F1 – F2

ba

cIIF

cb

IIc

a

IIF

11

2

22

210

210210

Las fuerzas F3 y F4 se cancelan.

Ley de Ampère

La integral de línea de B·ds alrededor de cualquier trayectoria cerrada es igual a 0I, donde I es la corriente estable total que pasa a través de cualquier superficie delimitada por la trayectoria cerrada.

IsdB 0

BsdsBBdssdB

Iaa

IsdB 0

0 22

Fuera del toroide (r<R):

00 IsdB

0BDentro del toroide:

BsdsBBdssdB

NIrB 02 r

NIB

20

Fuera del toroide (r>R):

00 IsdB

0B

Si suponemos que el solenoide es muy largo comparado con el radio de sus espiras, el campo es aproximadamente uniforme y paralelo al eje en el interior del solenoide y es nulo fuera del solenoide.

BxdlBBdlldB BCBC

NIBx 0

x

NIB 0

nIB 0

Campo magnético producido por un solenoide en un punto de su eje:

ndxax

IadB o

2/322

2

2

tantan xaxa

22

cos1

tan1

2

12

dsen

nIB o

)cos(cos2 12 nI

B o

2/322

2

2 ax

IaB o

En el punto medio del solenoide, suponiendo que el solenoide es largo comparado con a:

nIB o

En el punto extremo del solenoide, suponiendo que el solenoide es largo comparado con a:

nIB o21