Función y ecuación cuadrática
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Función y ecuación cuadrática
Estándares: Pensamiento Numérico y Variacional
Logros:
- Identificar, comprensivamente, las características de lafunción cuadrática y su representación gráfica.
- Determinar, con precisión, la solución de una ecuacióncuadrática.
- Plantear y resolver, creativamente, problemas que conducena una ecuacióncuadrática.
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Función cuadrática
Ejemplo:
Si f(x) = 2x2 + 3x + 1
Si f(x) = 4x2 - 5x - 2
a = 2, b = 3 y c = 1
a = 4, b = -5 y c = -2
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Gráfica de una Función cuadrática
La representación gráfica de una función cuadrática es una curva
llamada parábola, la cual puede abrir hacia arriba o hacia abajo.
Si a > 0, es cóncava hacia arriba Si a < 0, es cóncava hacia abajo
En la función cuadrática, f(x) = ax2 + bx + c , el coeficiente a
indica si la parábola es cóncava hacia arriba o hacia abajo.
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En la función cuadrática, f(x) = ax2 + bx + c , el coeficiente c indica
la ordenada del punto donde la parábola intersecta al eje Y.
x
y
x
y
c
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Luego, la parábola intersecta al eje Y en el punto (0,- 4) y es
cóncava hacia arriba.
Ejemplo:
En la función f(x) = x2 - 3x - 4 , a = 1 y c = - 4.
x
y
(0,-4)
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Eje de simetría y vértice
El eje de simetría es la recta que pasa por el vértice de la
parábola, y es paralela al eje Y.
x
y Eje de simetría
Vértice
El vértice de una parábola es el punto más alto o más bajo
de la curva, según sea su concavidad.
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Si f(x) = ax2 + bx + c , entonces:
Su vértice es:
Su eje de simetría es:
2a 2aV =
-b , f -b
4a
-b , 4ac – b2
2aV =
-b
2ax =
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Ejemplo:
2·1
-2x =
En la función f(x) = x2 + 2x - 8, a = 1, b = 2 y c = - 8,
entonces:
V = ( -1, f(-1) )
a) Su eje de simetría es:
x = -1
b) Su vértice es:
V = ( -1, -9 )
2a
-bx =
-b , f -b
2a 2aV =
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f(x)
V = ( -1, -9 )
x = -1Eje de simetría:
Vértice:
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Tipos de Gráficas de FuncionesCuadráticas
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ACTIVIDAD.
Con ayuda del software Geogebra, traza las gráficas de las siguientes
funciones en el mismo plano cartesiano, luego compáralas.
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ACTIVIDAD.
Con ayuda del software Geogebra, traza las gráficas de las siguientes
funciones en el mismo plano cartesiano, luego compáralas.
𝑓 𝑥 = 5𝑥2 ; 𝑔 𝑥 = 5𝑥2 + 2; ℎ 𝑥 = 5𝑥2 − 3
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x2x1
Ecuación Cuadrática
Una ecuación cuadrática o de segundo grado es
de la forma:
ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0
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x2x
y
x1
Ejemplo:
La ecuación x2 - 3x - 4 = 0 , tiene raíces -1 y 4.
Luego, la parábola intersecta al eje X en esos puntos.
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Para solucionar una ecuación cuadrática de esta forma se puede
resolver por factorización o utilizando la Fórmula General.
- b ± b2 – 4ac
2a
x =
Ejemplo:
Determinar las raíces de la ecuación: x2 - 3x - 4 = 0
-(-3) ± (-3)2 – 4·1(- 4)
2
x =
3 ± 9 + 16
2
x =
Ecuaciones de la forma: ax2 + bx + c = 0, con a ≠ 0
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3 ± 25
2
x =
2
x = 3 ± 5
2x = 8
2x = -2
x1 = 4 x2 = -1
También se puede obtener las raíces de la ecuación factorizando como producto de binomios:
x2 - 3x - 4 = 0
(x - 4)(x + 1) = 0
(x - 4)= 0 ó (x + 1)= 0
x1 = 4 x2 = -1
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En una ecuación de segundo grado, el discriminante
Δ = b2 - 4ac
a) Si el discriminante es positivo, entonces la ecuación
cuadrática tiene dos soluciones reales x1, x2 y distintas.
La parábola intersecta
en dos puntos al eje X.
Δ > 0
Naturaleza de las Raíces de una ecuación cuadrática
permite conocer la naturaleza de las raíces.
x1, x2 son reales y
x1 ≠ x2x2x1
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b) Si el discriminante es negativo, entonces la
ecuación cuadrática no tiene solución real.
La parábola NO intersecta
al eje X.
Δ < 0
x1, x2 son complejos
y conjugados
x1 = x2
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c) Si el discriminante es igual a cero, entonces la
ecuación cuadrática tiene dos raíces reales e iguales.
La parábola intersecta en
un solo punto al eje X.
Δ = 0
x1, x2 son reales y
x1 = x2
x2x1=
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GRACIAS