Funcin zeta de riemman

La hiptesis de Riemann es un problema en las matemticas que est actualmente sin resolver. Es ms, se ofrecen sumas bastante importantes de dinero por su resolucin. Para explicarla, primero veremos algunos conceptos de base. Los nmeros complejos. Seguro que alguna vez has odo la pregunta cual es la raz cuadrada de un nmero negativo, por ejemplo, cual es la raz de -1? Bien, pues en las matemticas la solucin sera: (-1)1/2 = i. (La raz cuadrada de -1 es i) Una forma mejor de verlo es representndolo, en el eje horizontal ponemos los nmeros reales y en el eje vertical (Y) ponemos los nmero imaginarios. As tendramos el plano complejo. Cada nmero complejo se puede representar de la forma a+bi. Para los nmeros reales, tomamos simplemente b=0. Las funciones. En matemticas, una funcin es una caja negra, en la que cuando ponemos un nmero en ella, sta nos devuelve otro nmero (explicacin vulgar ya lo dije arriba) Las funciones las representamos generalmente con la letra f. De tal modo que si queremos que nuestra variable sea x, la funcin se escribira de la forma f(x). En la mayora de los casos hay una manera conveniente de expresar el f(x) en trminos de x. Por ejemplo, el f(x)=x2, que es una funcin muy simple. Para cualquier x que pongamos dentro, conseguiremos x2. Por tanto algunos resultado seran: f(1)=1. f(2)=4. f(3)=9. Etctera. Seguramente estars ms familiarizado con las funciones que devuelven nmeros reales. Ponemos un nmero real como x y conseguimos un nmero real al hallar la funcin. Sin embargo, no hay nada que nos impida poner estos nmeros complejos extraos en una funcin. Por ejemplo, si el f(x)=x2 y nosotros decimos que x=i, que es la raz cuadrada de menos uno que mencionaba arriba, entonces obtendremos f(i)=-1. Esto es justamente el principio de que se conoce ms generalmente como funciones complejas donde se puede poner cualquier nmero complejo a+bi dentro y conseguir (potencialmente) cualquier nmero complejo como resultado. La funcin de Riemann, que llamaremos Zeta es justamente una funcin compleja. Zeta es una letra griega se escribe as: . Para cualquier nmero complejo a+bi, tenemos que (a+bi) ser otro nmero complejo, c+di. La hiptesis de Riemann es una conjetura sobre la distribucin de los ceros de la funcin zeta de Riemann (s). La descripcin real de la funcin de Zeta se complica demasiado y es aburrida para explicar aqu. Pero dando una pincelada gracias a la wikipedia, podramos decir que la funcin Zeta de Riemann (s) est definida para todos los nmeros complejos s 1 y posee ciertos ceros triviales para s = 2, s = 4, s = 6, La conjetura de Riemann hace referencia a los ceros no triviales afirmando: La parte real de todo cero no trivial de la funcin zeta de Riemann es 1/2. Por lo tanto los ceros no triviales deberan encontrarse en la lnea crtica 1/2 + i t donde t es un nmero real e i es la unidad imaginaria. La funcin zeta de Riemman, a lo largo de la lnea crtica ha sido estudiada en trminos de la funcin Z, cuyos ceros corresponden a los ceros de la funcin zeta sobre la lnea crtica.

La funcin Z (s) de Riemann es la serie numrica que comienza en n= 1 hasta +infnito de 1 / n^s, dnde Re(s)>1. La conjetura de Riemann establece que si Z(s) =0 implica s= 1 / 2 + i.b Dnde 0 < b < 1 Ambos inclusive. Es decir, que los ceros o races de la funcin de Riemann tienen soluciones en forma de nmeros complejos. Donde su parte real siempre es 1 / 2

FUNCION ZETA DE RIEMANN Se trata de una funcin que tiene una importancia significativa en la teora de nmeros, por su relacin con la distribucin de los nmeros primos. Tambin tiene aplicaciones en otras reas tales como la fsica, la teora de probabilidades y estadstica aplicada. La funcin zeta de Riemann (s) est definida, para valores reales mayores que 1, por la serie de Dirichlet:

En la regin {s C | Re(s) > 1}, esta serie infinita converge y define una funcin que es analtica en esta regin. Riemann observ que la funcin zeta puede extenderse de manera nica por continuacin analtica a una funcin meromorfa en todo el plano complejo con un nico polo en s = 1. Esta es la funcin que se considera en la hiptesis de Riemann. Para los complejos con Re(s) 1 a:

se obtiene que:

donde el producto infinito es sobre todos los nmeros primos y s un nmero complejo con Re(s) > 1. Esta expresin es llamada producto de Euler, en honor a su descubridor. La frmula es consecuencia de dos resultados simples pero fundamentales en Matemtica: la frmula para las series geomtricas y el teorema fundamental de la aritmtica. El valor de la funcin zeta para los nmeros pares negativos es 0 (viendo la ecuacin funcional es evidente), por lo que son llamados ceros triviales. Aparte de los ceros triviales, la funcin tambin se anula en valores de s que estn dentro del rango {s C: 0 < Re(s) < 1}, y que son llamados ceros no triviales, debido a que es ms difcil demostrar la ubicacin de esos ceros dentro del rango crtico. El estudio de la distribucin de estos ceros no triviales es muy importante, debido a que tiene profundas implicaciones en la distribucin de los nmeros primos y en cuestiones relacionadas con la teora de nmeros. La hiptesis de Riemann, asegura que cualquier cero no trivial tiene que Re(s)=1/2, por lo tanto, todos los ceros estn alineados en el plano complejo formando una recta, llamadarecta crtica. La localizacin de estos ceros tiene significativa importancia en teora de nmeros, ya que, por ejemplo, el hecho de que todos los ceros estn en el rango crtico demuestra el teorema de los nmeros primos. Un mejor resultado es que ( + it) 0 para cualquier |t| 3 y

Tambin es conocido que existen infinitos ceros sobre la recta crtica, como mostraron G.H. Hardy y Littlewood. Para no complicar esto demasiado (si es que ya no lo est ) dejaremos en este punto la explicacin de la funcin zeta de Riemann. Considero que tenemos suficiente informacin para pasar al siguiente punto. CEROS NO TRIVIALES Hemos hablado sobre ellos en la funcin zeta, ahora intentaremos ampliar la informacin. En matemtica, el trmino trivial se usa frecuentemente para los objetos (por ejemplo, cuerpos o espacios topolgicos) que tienen una estructura muy simple.

Para los no matemticos, son a veces ms difciles de visualizar o entender que otros objetos ms complicados. Tambin se usa el trmino trivial para referirse a una opcin, caso o posibilidad poco interesante o exenta de inters pero que debe mencionarse por un afn de completitud. Algunos ejemplos de los objetos incluyen: Conjunto vaco (el conjunto que no contiene elementos) Grupo trivial (el grupo matemtico que contiene slo el elemento identidad) Tambin, trivial se refiere a soluciones (a una ecuacin) que tienen una estructura muy simple, pero que por completitud no pueden ser ignoradas. Estas soluciones se

denominansoluciones triviales. Por ejemplo, considrese la ecuacin diferencial y = y donde y = f(x) es una funcin cuya derivada es y. Entonces tenemos la solucin trivial y = 0, la funcin cero y la solucin no trivial y = ex, la funcin exponencial. De igual forma, se suele or que el ltimo teorema de Fermat descrito como enunciando no contiene soluciones no triviales a la ecuacin an + bn = cn cuando n es mayor que 2. Claramente hay algunas soluciones a la ecuacin. Por ejemplo, a = b = c = 0 es una solucin para cualquier n, tal como a = 1, b = 0, c = 1. Pero dichas soluciones son obvias y sin inters, por tanto triviales. Bien, creo que, al igual que en el caso de la funcin zeta, ya tenemos bastante informacin sobre el trmino trivial en matemtica, por lo que podemos pasar al siguiente punto, la hiptesis en si. HIPOTESIS DE RIEMANN Recordemos que la hiptesis de Riemann conjetura sobre sobre la distribucin de los ceros de la funcin zeta de Riemann (s). La hiptesis de Riemann, por su relacin con la distribucin de los nmeros primos en el conjunto de los naturales, es uno de los problemas abiertos ms importantes en la matemtica contempornea. Se ha ofrecido un premio de un milln de dlares por el Instituto Clay de Matemticas para la primera persona que desarrolle una demostracin correcta de

la conjetura. La mayora de la comunidad matemtica piensa que la conjetura es cierta, aunque otros grandes matemticos como J. E. Littlewood y Atle Selberg se mostraron escpticos, si bien el escepticismo de Selberg fue disminuyendo desde sus das de juventud. En un artculo en 1989 sugiri que un anlogo debe ser cierto para una clase mucho ms amplia de funciones (la clase de Selberg). Mencionamos de nuevo que la funcin zeta de Riemann (s)est definida de la siguiente manera:

Para todos los nmeros complejos s 1, se puede prolongar analticamente mediante la ecuacin funcional: La parte real de todo cero no trivial de la funcin zeta de Riemann es 1/2. Por lo tanto los ceros no triviales deberan encontrarse en la lnea crtica s = 1/2 + i t dondet es un nmero real e i es la unidad imaginaria. La funcin zeta de Riemann, a lo largo de la lnea crtica ha sido estudiada en trminos de la funcin Z, cuyos ceros corresponden a los ceros de la funcin zeta sobre la lnea crtica. Riemann mencion la conjetura, que sera llamada la hiptesis de Riemann, en su artculo de 1859 Sobre los nmeros primos menores que una magnitud dada, al desarrollar una frmula explcita para calcular la cantidad de primos menores que x. Puesto que no era esencial para el propsito central de su artculo, no intent dar una demostracin de la misma. Riemann saba que los ceros no triviales de la funcin zeta estn distribuidos en torno a la recta s = 1/2 + i t, y saba tambin que todos los ceros no triviales deban estar en el rango 0 Re(s) 1. En 1896, Hadamard y de la Valle-Poussin probaron independientemente, que ningn cero poda estar sobre la recta Re(s) = 1. Junto con las otras propiedades de los ceros no triviales demostradas por Riemann, esto mostr que todos los ceros no triviales deben estar en el interior de la banda crtica 0 < Re(s) < 1. Este fue un paso fundamental para las primeras demostraciones del teorema de los nmeros primos.

En 1900, Hilbert incluy la hiptesis de Riemann en su famosa lista de los 23 problemas no resueltos (es parte del problema 8 en la lista de Hilbert junto con la conjetura de Goldbach). Cuando se le pregunt qu hara si se despertara habiendo dormido quinientos aos, remarcablemente Hilbert contest que su primera pregunta sera si la hiptesis de Riemann haba sido probada. La hiptesis de Riemann es el nico problema de los que propuso Hilbert que est en el premio del milenio del Instituto Clay de Matemticas. En 1914, Hardy demostr que existe un nmero infinito de ceros sobre la recta crtica Re(s) = 1/2. Sin embargo todava era posible que un nmero infinito (y posiblemente la mayora) de los ceros no triviales se encontraran en algn otro lugar sobre la banda crtica. En trabajos posteriores de Hardy y Littlewood en 1921 y de Selberg en 1942 se dieron estimaciones para la densidad promedio de los ceros sobre la lnea crtica. Trabajos recientes se han concentrado en el clculo explcito de la localizacin de grandes cantidades de ceros (con la esperanza de hallar algn contraejemplo) y en el establecimiento de cotas superiores en la proporcin de ceros que puedan estar lejos de la lnea crtica (con la esperanza de reducirlas a cero). La formulacin tradicional de la hiptesis de Riemann oscurece un poco la importancia real de la conjetura. La funcin zeta de Riemann tiene una profunda conexin con los nmeros primos y Hege von Koch demostr en 1901 que la hiptesis de Riemann es equivalente al considerable refinamiento del teorema de los nmeros primos: Existe una constante C > 0 tal que

para todo x suficientemente grande, donde (x) es la funcin contadora de primos y ln(x) es el logaritmo natural de x. Lowell Schoenfeld mostr que se puede tomar C = 1/(8 ) para todo x 2657. Los ceros de la funcin zeta y los nmeros primos satisfacen ciertas propiedades de dualidad, conocidas como frmulas explcitas, que muestran, usando anlisis de Fourier, que los ceros de la funcin zeta

de Riemann pueden interpretarse como frecuencias armnicas en la distribucin de los nmeros primos. Ms an, si la conjetura de Hilbert-Polya es cierta, entonces cualquier operador que nos d las partes imaginarias de los ceros como sus valores propios debe satisfacer:

donde Tr es la traza del operador (suma de sus valores propios) , es un nmero imaginario y (x) es la Funcin de Chebyshov que nos suma el log(x) sobre los primos y sus potencias enteras. Dicha frmula es una conclusin de la frmula explicita de V. Mangoldt. Varios operadores propuestos por C. Perelman, J. Macheca y J. Garcia, parecen corroborar los resultados de la conjetura de Hilbert sobre el operador, reproduciendo la parte imaginaria de los ceros. Usando la teora WKB o de Cuantizacion de Bohr-Sommerfeld uno puede probar que si el potencial V(x) de un Hamiltoniano H cuyas energas sean las partes imaginarias de los ceros no triviales debe cumplir (ecuacin implcita) N(T) es el nmero de ceros con parte imaginaria menor que un dado T >0 y significa la derivada fraccional de orden 1/2. Por ltimo, podemos aadir en clculo numrico los siguientes logros:

donde

En el ao 2004 Xavier Gourdon verific la conjetura de Riemann numricamente a lo largo de los primeros diez trillones de ceros no triviales de la funcin. Sin embargo esto no es estrictamente una demostracin, numricamente es ms interesante encontrar un contraejemplo, es decir un valor de cero que no cumpla con que su parte real es 1/2, pues esto echara por los suelos la validez de la conjetura. Hasta el ao 2005, el intento ms serio para explorar los ceros de la funcin-, es el ZetaGrid, un proyecto de computacin distribuida con la capacidad de verificar billones de ceros por da. El proyecto acab en diciembre de 2005,y ninguno de los ceros pudo ser identificado como contraejemplo de la hiptesis de Riemann.