A: conjunto de partidaB: conjunto de llegada o codominio.-

Función (Definición 1)Sean los conjuntos A y B, se llama función a toda relación de A X B donde a cada elemento del conjunto A se lo relaciona con uno y sólo un elemento del conjunto B.-Toda función se la denota con las siguientes letras: f, g, h, F, G, H, etc.Teniendo en cuenta la definición, podemos asegurar que si f es una función, entonces f AXB, y se denota:

f: AB se lee “f es una función o aplicación del conjunto A en el B”

D(f)=A “dominio de la función f”I(f)B “Imagen de la función f”

abcx

fA B

Álgebra Moderna – Funciones

f(a) =f(b)

f(c)

f(x)

Función (Definición 3):Se define función como la relación entre las variables “x” e “y”, donde a cada uno de los valores que pueda tomar “x”, lo relaciona con uno y solo un valor de “y”

Función (Definición 2):La relación fAXB es una función si cumple con las siguientes condiciones de existencia y unicidad:ExistenciaTodo elemento de A se relaciona con algún elemento de B

xA,yB/(x,y)fUnicidadLos elementos de A tienen una sola imagen en B

(x,y)f (x,z)f y = z

y=f(x)

Álgebra Moderna – Funciones

)()(:,inyectiva es : 212121 xfxfxxxxBAf

212121 )()(:,inyectiva es : xxxfxfxxBAf

CLASIFICACIÓN DE LAS FUNCIONES

FUNCIÓN INYECTIVAf:AB es inyectiva si y sólo si elementos distintos del dominio tienen imágenes distintas. O sea:

Álgebra Moderna – Funciones

yxfAxByBAf )(/,vasobreyecti es :

FUNCIÓN SOBREYECTIVA O SURYECTIVAf:AB es sobreyectiva si y sólo si todos los elementos del Codominio tienen preimagen. O sea:

Álgebra Moderna – Funciones

CONCLUSIÓN:Haciendo un análisis sobre la clasificación de las funciones, podemos

concluir que:

•Una función puede ser inyectiva, solamente

•Una función puede ser sobreyectiva, solamente

•Una función puede ser inyectiva y sobreyectiva (biyectiva)

•Una función puede no ser inyectiva ni sobreyectiva

FUNCIÓN BIYECTIVAUna función es biyectiva si y sólo si es inyectiva y sobreyectiva.

Álgebra Moderna – Funciones

COMPOSICIÓN DE FUNCIONESSean dos funciones, f:AB g:BC, se llama composición de las funciones f y g a la función gof:AC/gof(x)=g[f(x)], siempre que exista un elemento yB tal que y=f(x), y z=g(y), con zC y xA,

x y=f(x) z=g[f(x)]

A B C

gof

f g

Álgebra Moderna – Funciones

POR EJEMPLO

Sean las funciones

23

1)(/: xxfRRf )2log()(/),2(: xxgRg

Determinar gof:(2,)R

xfgxgof )(

2)(log)( xfxgof

22

3

1log)( xxgof

4

3

1log)( xxgof

Álgebra Moderna – Funciones

PROPIEDADES DE LA COMPOSICIÓN

DCh

CBg

BAf

:

:

:

ofhoggofho )()(

1. ASOCIATIVIDAD DE LAS COMPOSICIÓN DE FUNCIONESLa composición de funciones es asociativa.H) Sean las funciones

T)

D) Como la composición de funciones está definida sólo para tres conjuntos, o dos funciones, debemos trabajar éstas para poder aplicar dicha definición para las tres funciones. Para ello desarrollamos ambos miembros de la igualdad de la Tesis:

ho(gof)=(hog)of

DCh

CAgof

:

:))(( xgofho xfgho )(Axfgh

DBhog

BAf

:

:)()( xofhog )()( xfhog )(Bxfgh

Álgebra Moderna – Funciones

D) Teniendo en cuenta que y=f(x) y z=g(y) son inyectivas, entonces:

212121 )()(:, xxxfxfxx 212121 )()(:, yyygygyy

)()( 21 xgofxgof

)()( 21 xfgxfg

)()( 21 xfxf

21 xx gof:AC es inyectiva (por definición de inyectividad).-

2. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES INYECTIVASLa composición de funciones inyectivas es inyectivaH) Sea f:AB g:BC inyectivasT) gof:AC es inyectiva

Ahora

Álgebra Moderna – Funciones

3. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES SOBREYECTIVASLa composición de funciones sobreyectivas, es sobreyectivaH) Sea f:AB g:BC sobreyectivasT) gof:AC es sobreyectiva

yxfAxBy )(/, zygByCz )(/,

D) Como y=f(x) y z=g(y) son sobreyectivas, entonces:

zygxfgAxCz )()(/,

)()( xgofxfg

zxgof )(

Ahora, teniendo en cuenta la composición de funciones y por hipótesis y por las aseveraciones hechas anteriormente, tenemos:

Pero,

por definición de composición de funciones, lo que se tiene que

Luego, gof:AC es sobreyectiva

Álgebra Moderna – Funciones

4. COMPOSICIÓN DE FUNCIONES BIYECTIVASLa composición de funciones biyectivas, es biyectiva

H) Sea f:AB g:BC biyectivasT) gof:AC es biyectiva

D) Por definición, una función es biyectiva solamente si es inyectiva y sobreyectiva, y teniendo en cuenta las demostraciones de composición de funciones inyectivas y composición de funciones sobreyectivas, se demuestra esta propiedad.-

Álgebra Moderna – Funciones

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LAS FUNCIONES INVERSASUna función admite inversa si y sólo si es biyectivaf:AB admite inversa es biyectiva

Para demostrar este teorema, debemos desdoblar la doble implicación, o seaH) f:AB admite inversaT) f es biyectiva

)()( 21 xgofxgof

)()( 21 xixi AA

21 xx

D) Como la función admite inversa (hipótesis), entonces:gof(x)=iA(x)=x fog(y)=iB(y)=y

Hacemos:

Lo que significa que f es INYECTIVA

Álgebra Moderna – Funciones

)()(/)()(,)()( xgoffxfAxgofxixByfogyiy AB

)()( xgoffoxf

)()()( xoffogxf

)()()( xffogxf

))(()( yfogxf

yxf )(

Ahora:

Pero por la propiedad asociativa de la composición de funciones, queda:

Y aplicando la definición de composición, se tiene:

Esto demuestra que la función f es SOBREYECTIVALuego, la función f es BIYECTIVA (por definición de función biyectiva)

Álgebra Moderna – Funciones

D) Para poder demostrar esta parte del teorema, debemos encontrar una función g:BA, siempre que exista f:AB de tal forma que x=g(y), si y=f(x).-Ahora, para que g sea función debe cumplir con las condiciones de existencia y unicidad.-Bajo las condiciones descriptas anteriormente, como f es biyectiva, y en particular sobreyectiva, entonces todos los elementos de B tienen antecedente en A por f, lo que significa que todos los elementos de B tienen imagen en A por g (existencia).Por otro lado, como f es inyectiva, entonces distintos elementos de A tienen imagen distinta en B por f, lo que significa que por g, los elementos de B tienen una y sólo una imagen (unicidad).Luego g:AB es función

Demostremos ahora la segunda parte:

H) f:AB es biyectivaT) f admite inversa

Álgebra Moderna – Funciones

)()( xfgxgof

)()( ygxgof

)()( xixxgof A

Ahora como f y g son funciones, podemos hacer la composición de ellas y obtener una conclusión:

Pero por lo dicho anteriormente y=f(x), entonces:

Por la misma razón que la anterior x=g(y), entonces

)()( ygfyfog

)()( xfyfog

)()( yiyyfog B

Por otro lado se tiene:

Pero por lo dicho anteriormente x=g(y), entonces:

Por la misma razón que la anterior y=f(x), entonces

Luego la función f admite inversa, y es la función gHabiendo demostrado estas dos partes, quedó demostrado el teorema.-

Álgebra Moderna – Funciones

REALIZACION

Prof. LUIS ERNESTO VALDEZ

Departamento de Matemática

Instituto de Estudios Superiores de Andalgalá

2008 - 2012