Funciones
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Funciones
Rosa Margarita López
UNIVERSIDAD INTERAMERICANA DE PUERTO RICORecinto de Ponce
Departamento de Estudios Graduados
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Funciones IIFuncionesInversas
FuncionesExponenciales Funciones
Logarítmicas
FuncionesTrigonométrica
Inversas
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Funciones Inversas
3
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4
• Definir la inversa de una función.• Verificar si dos funciones son inversas.• Trazar la gráfica de la inversa de una
función.• Dada la tabla de valores de una función,
encontrar los valores de la inversa.• Encontrar la inversa de una función
algebraicamente.
Objetivos
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5
Def. Una función f se dice que es uno a uno si, para cualquiera números x1 y x2, x1 x2 , en el dominio de f, tenemos que
f (x1) f (x2).
Ejemplos:
Determina si las funciones son 1-1.
La función es uno a uno.
2. {(-2, 4), (-1, 1), (0, 0), (1, 1)}La función no es uno a uno .
1. {(1, 1), (2, 4), (3, 9), (4, 16)}
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6
Teorema:
Prueba de la línea Horizontal.
Si alguna línea horizontal interseca la gráfica de una función f en más de un punto, entonces f no es una función 1-1.
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7
500
100
f x( )
2015 x
10 0 10 20
500
Ej. Use la gráfica para determinar si la función es 1-1.
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8
Def. Sea una función uno a uno. Decimos que es es la función inversa de si y para todo en el dominio de y todo en el dominio .
)(xf( )g x
)(xf ( )f g x x ( )g f x xx
Denotamos la inversa de por .
)(xfx ( )g x
)(xf 1( )f x
Nota: 1a. ( )f f x x
1b. ( )f f x x
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9
Dominio de f Alcance de f
1 de Alcance f1 de Dominio f
f 1
f
1
1
de Dominio de Alcance
de Alcance de Dominio
ff
ff
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10
¿Cuándo una función tiene una función inversa?
• Considere la siguiente función:
• Halla su función inversa:
x 3 2 -2 4 7 5 10
2 3 4 -1 6 8 -3 xf 1
x 2 3 4 -1 6 8 -3
3 2 -2 4 7 5 10 xf
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11
Teorema:
La gráfica de una función f y la gráfica de su inversa son simétricas con respecto a la línea identidad y = x.
f 1
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12
2 0 2 4 6
2
2
4
6 f
f 1
y = x
(2, 0)
(0, 2)
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13
Ej. Verificar si las funciones son inversas.
3 ,3 )1 1 xxfxxf
xff 1 3xf 33 x
33x x xff 1 31 xf 33 x x
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14
3
2g ,23 )2 1-
x
xxxg
xgg 1
3
2xg 2
3
23
x
22 x x
xgg 1 231 xg
3
223
x
x
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15
Ej. Construir la tabla de la función inversa.
x -6 -4 -2 0 2 4 6
-10 -8 -4 1 3 7 10
x -10 -8 -4 1 3 7 10
xf 1
xf
6 4 2 0 2 4 6
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16
3
5
xy
3
5
yx
53 xxy
53 xxy
x
xy
53
x
xxf
53)(1
Ej. Halla la inversa de f xx
x( ) ,
53
La función es 1-1.
3 .
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17
inversas.son 3
5)(y
53)( si Verifica
xxg
x
xxf
3
5))((
xfxgf
35
53
53
x
x3
3
35
53
53
x
x
x
x
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18
3
3
35
53
53
x
x
x
x 5
3515
xx
x
5
5
x
xgxfg
53))((
353
5
xx x
x
xx
3
535
xx
x
353
5
x
x
5
5
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19
Ej. Encuentra la función inversa de:
3
5
1. 3 6
2. 1
3. ( ) 2, 2
4. ( ) 10
y x
y x
f x x x
g x x
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Función Logarítmica
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Objetivos
• Reconocer y analizar las funciones logarítmicas
• Estudiar sus gráficas.• Aplicar dichas funciones a la solución de
problemas.
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Tabla de contenido
Definición de logaritmo Logaritmo natural Funición inversa
exponencial
Escribir ecuaciones logarítmicas como
ecuaciones
Determinar logaritmos comunes
y naturales
Función inversa logaritmo
Evaluar logaritmos
Logaritmo común
Dominio y alcance de la
función logaritmo
Gráficas de funciones logarítmicas con base
mayor que 1
Ecuaciones logarítmicas
Problemas de Aplicación
Gráficas de funciones logarítmicas con base
menor que 1
Selecciona el tema que trabajarás
Leyes de los logaritmos
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LogaritmosEl logaritmo de x con base b está definido por:
Ej.
43
07
-2
1/ 3
15
log 81 4; 3 81
log 1 0; 7 1
1log 9 2; 81
3
log 5 1; 5 5
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Escribir ecuaciones logarítmicas como ecuaciones exponenciales y viceversa
• La ecuación exponencial es de la forma donde
arg
um
ento
o
resu
ltad
o
Presiona aquí para continuar
Si observas la base 2 en la forma exponencial se escribe un poco más abajo del logaritmo, el resultado se escribe al lado del
logaritmo y el exponente fuera. Es muy distinto a la forma exponencial.
Entonces si tenemos 24 = 16 en forma exponencial al escribirla en forma logarítmica es así: log2 16 = 4
b
c = aForma logarítmica
logb a = c
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EjemplosEj. Resuelve cada ecuación
2log 5x 52 32x
27log 3 x3 27x
33 3 x1 3x1
3x
m na a m n
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Escribir ecuaciones logarítmicas como exponenciales y viceversa
Intenta lo siguiente: Selecciona la respuesta
correcta .
1.La forma exponencial del log10 10 = 1 es:
a. 1010 = 1 b. 110 = 10 c. 101 = 10
2. La forma logarítmica de 33 = 27 es:
a. log3 27 = 3 b. log27 3 = 3 c. log3 3 = 27
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Notación: Logaritmo Común
Logaritmo Natural10log log
ln loge
x x
x x
Leyes de Logaritmos1. log log log
2. log log log
3. log log
4. log 1 0
5. log 1
b b b
b b b
nb b
b
b
mn m n
mm n
n
m n m
b
Conociendo las propiedades
podrás evaluar los logaritmos
Presiona aquí para continuar
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EjemploUtilizando las leyes de logaritmo simplifica la expresión:
7 1/ 25 5 5 5log 25 log log logx y z
7
525
logx y
z
5 5 51
2 7 log log log2
x y z
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Evaluar logaritmos
• Para evaluar un logaritmo observa el siguiente ejemplo:
log4 16 = x
• Puedes hacerte la siguiente pregunta: ¿ 4 elevado a qué potencia es 16?
• En este momento puedes cambiarlo a forma exponencial, así:
4x = 16
4x = 42
x = 2
El 16 lo represento en forma exponencial
Al ser las bases iguales los exponentes también son iguales
Entonces: log4 16 = 2
Presiona aquí para continuar
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Evaluar logaritmos
Evalúa los siguientes logaritmos.
a. log3 81 =
b. log5 125 =
c. log4 256 =
d. log2 32 =
Es tu turmo
Presiona para verificar tus respuestas
![Page 31: Funciones](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/55898dbad8b42ae6738b474a/html5/thumbnails/31.jpg)
Evaluar logaritmos
Soluciones
a. log3 81 = 4
b. log5 125 = 3
c. log4 256 = 4
d. log2 32 = 5
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Logaritmo Común ( denominados también como logaritmos de Brigg)• La función logarítmica con base 10 se conoce
como función logaritmo común.
• La misma se evalúa con la tecla de
en la calculadora. Para usar esta tecla, debes cambiar la base.
Fórmula de Cambio de base:
loga x = log10 x
log10 a
log
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Logaritmo Natural ( logaritmos neperianos )
• Si x es un número real positivo, entonces el logaritmo natural de x se denota por:
loge x o ln x
( la segunda notación es la más común)
• Una función dada por f(x) = a + ln bx es llamada función logaritmo natural.
• Ejemplo: Resuelve 2 1110
3xe
Presiona aquí para continuar
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Logaritmo Natural ( logaritmos neperianos )
• Ejemplo: Resuelve 2 1110
3xe
2 1 30xe 2 1 ln(30)x Aplicar ln en ambos
lados
ln(30) 11.2
2x
![Page 35: Funciones](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/55898dbad8b42ae6738b474a/html5/thumbnails/35.jpg)
Determinar logaritmos comunes y naturales
• Intenta tu lo siguiente:
Halla el logartimo
común de:
a. log2 10 =
b. log3 10 =
c. log6 216 =
d. log5 12 =
e. ln 52400
f. ln 2.35
g. ln x = 2.386
Verifica tu respuesta
![Page 36: Funciones](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/55898dbad8b42ae6738b474a/html5/thumbnails/36.jpg)
Determinar logaritmos comunes y naturales
Soluciones:
a. log2 10 ≈ 3.32
b. log3 10 ≈ 2.10
c. log6 216 = 3
d. log5 12 ≈ 1.54
e. ln 52400 ≈ 10.87
f. ln 2.35 ≈ 0.85
g. ln x = 2.386
Verifica tu respuesta
ln x = 2.386e2.386 = x10.87
![Page 37: Funciones](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/55898dbad8b42ae6738b474a/html5/thumbnails/37.jpg)
Dominio y alcance de la función logaritmo
• El dominio de una función logarítmica es el conjunto de todos los números reales positivos y su rango es el conjunto de los números reales.
Presiona aquí para continuar
![Page 38: Funciones](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/55898dbad8b42ae6738b474a/html5/thumbnails/38.jpg)
Función Logarítmica
( ) log 0, 1bf x x b b
La función logarítmica de x con base b está definida por:
Propiedades:
1. Dominio: ( 0, )
2. Rango: ( - , )
3. Intercepto en x: (1, 0)
4. Continua en (0, )
5. Creciente en (0, ) si b > 1
6. Decresiente en (0, ) si b < 1
![Page 39: Funciones](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/55898dbad8b42ae6738b474a/html5/thumbnails/39.jpg)
Gráficas de funciones logarítmicas con base mayor que 1La gráfica siempre contendrá al punto (1,0), ya que loga 1 = 0
y = loga x ( a > 1)
Dominio ( 0, ∞ )
Recorrido ℝPuntos ( 1, 0) y ( a, 1)CrecienteContinua
![Page 40: Funciones](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/55898dbad8b42ae6738b474a/html5/thumbnails/40.jpg)
Gráficas de funciones logarítmicas con base menor que 1La gráfica siempre contendrá al punto (1,0), ya que loga 1 = 0
Cuando 0 < a < 1, entonces
Dominio ( 0, ∞ )
Recorrido ℝPuntos ( 1, 0) y ( a, 1)DecrecienteContinuaPresiona aquí para continuar
![Page 41: Funciones](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/55898dbad8b42ae6738b474a/html5/thumbnails/41.jpg)
Gráficas de Funciones Logarítmicas
Ej.3( ) logf x x
(1,0)
3xy
3logy x
1
3
x
y
1/ 3logy x
1/ 3( ) logf x x
x x
yy
(1,0)
(0, 1) (0, 1)
![Page 42: Funciones](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/55898dbad8b42ae6738b474a/html5/thumbnails/42.jpg)
Función inversa exponencial
• Las funciones exponenciales también son inyectivas y tiene su inversa. Si y = bx ( a0 = 1) entonces la función inversa de ésta debería intercambiar la x y y de modo que x = by . Definiremos la inversa de la fórmula como:
y = logb x
Presiona aquí para continuar
![Page 43: Funciones](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/55898dbad8b42ae6738b474a/html5/thumbnails/43.jpg)
Función inversa exponencialEjemplo: y = 2x
x = 2y y = log2 x
Pasos:1.Intercambiar las variables, o sea la y la cambias por la x en la función y la x por la y .2.Escribir la función en forma logarítmica.
![Page 44: Funciones](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/55898dbad8b42ae6738b474a/html5/thumbnails/44.jpg)
Función inversa logarítmica
• La inversa de la función logarítmica es la función exponencial.
Ejemplo: ln x = yln y = xex = y
![Page 45: Funciones](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/55898dbad8b42ae6738b474a/html5/thumbnails/45.jpg)
Ecuaciones logarítmicas
• Para resolver las ecuaciones logarítmicas debes repasar las propiedades logarítmicas ya estudiadas. Observa el ejercicio a continuación.
• Resuelve la ecuación: log4 64 = -x + 3
Presiona aquí para continuar
![Page 46: Funciones](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/55898dbad8b42ae6738b474a/html5/thumbnails/46.jpg)
Ecuaciones logarítmicas
• log4 64 = -x + 3
Solución:
log4 64 = -x + 3
4-x + 3 = 64
4-x + 3 = 43
-x + 3 = 3
3-3 = x
0 = x
Cambiar a forma exponencial
Expresar el 64 como exponente
Despejas para x.
Presiona aquí para continuar
![Page 47: Funciones](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/55898dbad8b42ae6738b474a/html5/thumbnails/47.jpg)
Ecuaciones logarítmicas
• Otro ejemplo:
log x + log (x + 3) = 2 log (x + 1)
log [ x ( x + 3) ] = log (x + 1)2
x ( x + 3) = (x + 1)2
x2 + 3x = x2 + 2x + 1
x = 1
Se aplicaron las reglas de producto y la de potencia de los logaritmos.
![Page 48: Funciones](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/55898dbad8b42ae6738b474a/html5/thumbnails/48.jpg)
Problemas de Aplicación de Funciones logarítmicas
Ejercicio 1: Crecimiento de una colonia de hormigas
Ejercicio 2: Rapidez al caminar
Ejercicio 3: La presión arterial de un niño
Selecciona en el menú de la izquierda que ejercicio
quieres trabajar.
![Page 49: Funciones](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/55898dbad8b42ae6738b474a/html5/thumbnails/49.jpg)
Ejercicio 1
• Una colonia de hormigas se triplica cada semana. Si actualmente hay unas 8,000 hormigas, ¿cuántas semanas tomará para que hallan 100,000?
Presiona aquí para continuar
![Page 50: Funciones](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/55898dbad8b42ae6738b474a/html5/thumbnails/50.jpg)
Ejercicio 1
• Si definimos y como el número de hormigas en la colonia cada t semanas entonces
y = 8,000 (3)t
Debemos calcular t con y = 100,000. Al sustituir este número en la fórmula obtenemos que
100,000 = 8,000 (3)t
Presiona aquí para continuar
![Page 51: Funciones](https://reader036.fdocumento.com/reader036/viewer/2022081504/55898dbad8b42ae6738b474a/html5/thumbnails/51.jpg)
Ejercicio 1
• Solución:
y = 8,000 (3)t
100,000 = 8,000 (3)t
8,000 8,000
12.5 = 3t
t = log3 12.5
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Problemas de Aplicación de Funciones Logarítmicas
• Solución:
t = log3 12.5
Necesitamos hacer un cambio de base:
t ≈ 2.30Así que se tomará más de 2 semanas, aproximadamente dos y un tercio de semanas, para que hallan 100,000.
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Ejercicio 2
• En una investigación realizada por los sicólogos Boinstein y Bornstein se llegó a la conclusión de que la función
R(P) = .37lnP + .05
da la rapidez del caminar de las personas, en pies, en una comunidad de población P, dada en miles. La población en Seattle, Washington es 531,000. ¿Con qué rapidez caminan sus habitantes?
Solución
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Ejercicio 2
• Solución:
R(P) = .37lnP + .05
R(531,000) = .37ln (531,00) + .05
= .37 (13.18) +.05
= 4.88 + .05
= 4.93 ft/sec
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Ejercicio 3La presión sistólica normal de un niño es aproximada a la funcióndonde p(x) es la medida en milímetros del mercurio, x es el peso en libras, y m y b son constantes. Dado que m = 19.4 y b = 18, determina la presión sistólina de un niño que pesa 92 lb.
= 105.72lb
( ) (ln )p x m x b
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Muy bien, felicitaciones.
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Inténtalo nuevamente.
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Funciones Trigonométricas Inversas
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Objetivos• Representar las funciones trigonométricas inversas.
• Hallar el periodo de las funciones trigonométricas inversas
• Construir la función inversa de la funciones:
y = sen x. y = cos x. y = tan x
• Conocer el dominio y recorrido de las funciones:
y = arc sen x y = arc cos x y = arc tan x
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ArcoSeno
• En trigonometría, cuando el ángulo se expresa en radianes (dado que un radián es el arco de circunferencia de longitud igual al radio), suele denominarse arco a cualquier cantidad expresada en radianes; por eso las funciones inversas se denominan con el prefijo arco, así que:
y es igual al seno de x, la función inversa: lo que significa que: lo que significa que
Si sin 30° = 0.5, el seno inverso de 0.5 es 30°, esdecir, arc sin 0.5 = 30°.
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ArcosenoLa función f(x)=sin x, definida en el intervalo cerrado [-π /2, π /2], es continua, estrictamente creciente y transforma dicho intervalo en el [-1, 1]. A su función inversa la denotaremos por
f -1(x)=arc sin xestará definida de [-1, 1] siendo también continua y estrictamente creciente.
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Arco Coseno• La función f(x)=cos x, definida en el intervalo
cerrado [0, ], es continua, estrictamente decreciente y transforma dicho intervalo en el [-1, 1]. Esta función es pues un homeomorfismo del primer intervalo sobre el segundo y su función inversa que denotaremos por f -1(x)=arc cos x
estará definida de [-1, 1] siendo también continua y estrictamente decreciente.
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Arco Coseno
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Arc Tangente
• En la función tangente, esta tiene un periodo de π y completa un ciclo en el intervalo
( −/2 , /2 ). Cuando y = tan x está restringida a − /2 ≤ x ≤ /2 tenemos una función uno a uno cuyo rango consta de todos los números Reales.
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Gráfica de Arctan
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Gráfica de Arctan
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Hallar el inverso de Seno, coseno y tangente utilizando
la calculadoraLocaliza en la calculadora las teclas de sin, cos y tan.
sincos
tan
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Hallar el inverso de Seno, coseno y tangente utilizando
la calculadoraSobre estas teclas están sin-1 , cos-1 y tan-1 .
sin-1cos-1
tan-1
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Calculadora
• Sin-1 no quiere decir
• Cos-1 no quiere decir
• Al igual que con la tangente
• Sino que sin-1 es el arcsin • Y el cos-1 es el arcocoseno.• Lo mismo sucede con la
tangente
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Ejercicios de Práctica
• Encuentra el valor. 1. Tan -1 ( − 1) =2. Sin-1 ( cos /2 ) =3. Arcsin ( - 1 ) =4. Arccos (− ½ ) =5. Cos ( arcsin 0 ) =6. Sin ( arcsin 1 ) =