Funciones
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Funciones Inyectiva, Sobreyectiva y Biyectiva
Definicion 1:(Inyectiva) Una funcion f : Df → A ⊂ R, se dice inyectiva si, ∀x1, x2 ∈ Df secumple que
x1 6= x2 =⇒ f(x1) 6= f(x2)
o equivalentemente sif(x1) 6= f(x2) =⇒ x1 6= x2
Observacion: Geometricamente esto significa que todas las paralelas al eje x se intersectan conel grafico de f en un unico punto.
Definicion 2:(Sobreyectiva) Una funcion f : Df → A ⊂ R, donde A es el conjunto dellegada, se dice sobreyectiva si se cumple que
Rf = A
en un lenguaje simbolico esto es
∀y0 ∈ A, ∃x0 ∈ Df de tal manera que se cumple f(x0) = y0
Definicion 3:(Biyectiva) Una funcion f : Df → A ⊂ R, si es Inyectiva y Sobreyectiva almismo tiempo.
Funciones Par e Impar
Definicion 1:(Par) Una funcion f se dira par si se cumple que
f(−x) = f(x) , ∀x ∈ Df
Definicion 2:(Impar) Una funcion g se dira impar si se cumple que
g(−x) = −g(x) , ∀x ∈ Dg
Obs: La funcion f(x) = ex con dominio Df = R, ¿es par o impar?
Funciones Crecientes y Decrecientes
Definicion:(Creciente) Una funcion se dice creciente o tambien estrictamente creciente, si paracuales quiera x1, x2 ∈ Df se cumple que
x1 < x2 =⇒ f(x1) < f(x2)
Por otra parte, se dira no decreciente si se cumple que
x1 < x2 =⇒ f(x1) ≤ f(x2)
Definicion:(Decreciente) Una funcion se dice decreciente o tambien estrictamente decre-ciente, si para cuales quiera x1, x2 ∈ Df se cumple que
x1 < x2 =⇒ f(x2) < f(x1)
Por otra parte, se dira no creciente si se cumple
x1 < x2 =⇒ f(x2) ≤ f(x1)
1
Funcion Inversa
Definicion: Dada una fucion f : A → B, si existe una funcion g : B → A, tal que:
1. (f ◦ g)(x) = x, ∀x ∈ B (f ◦ g = IB)
2. (g ◦ f)(x) = x, ∀x ∈ A (g ◦ f = IA)
Se dice que f es una funcion inversible y que la funcion g es la funcion inversa de f . Sedenota: g = f 1
Propiedad: Una funcion admite inversa si solo si es biyetiva.
Operaciones con Funciones
Definicion 1:(Suma) Sean f y g dos funciones con dominios Df y Dg respectivamente, entoncesh = f + g es una funcion llamada la suma de f y g definida por
h(x) = f(x) + g(x) , Dh = Df ∩ Dg
Definicion 2:(Opuesto) El opuesto(tambien llamado inverso aditivo) de una funcion f ,es una funcion g definido por
g(x) = −f(x) , Dg = Df
Observacion: La grafica de la funcion g es el reflejo simetrico de f respecto al eje x.
Definicion 3:(Multiplicacion) Sean f y g dos funciones con dominios Df y Dg respecti-vamente, entonces la funcion h = f · g se llama funcion producto y esta definida por
h(x) = f(x) · g(x) , Dh = Df ∩ Dg
Definicion 4:(Recıproca) Sea f , entonces la funcion recıproca es g = 1
fdefinida por
g(x) =1
f(x), Dg = D 1
f= Df − {x ∈ Df \ f(x) = 0}
Definicion 5:(Cociente) Sean f y g dos funciones, la funcion f · 1
gdenotada por f
g, se llama
la funcion cociente y esta definida por
f
g(x) =
f(x)
g(x), D f
g
= Df ∩ D 1
g
Composicion de Funciones
Definicion: Sean A, B y C conjuntos (no necesariamente diferentes), y sean f : A → B yg : B → C, fuciones. Se llama composicion de funcion de g y f a la funcion de A en C, denotadopor g ◦ f y definida por
(g ◦ f)(x) = g(f(x)) , Dg◦f = {x ∈ Df \ f(x) ∈ Dg}
Grafica de Funciones
2
Funcion seno: La funcion f(x) = sen(x) esta representada por la siguiente grafica
−10 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8
−2
2
Cuyo dominio y rango sonDf = R , Rf = [−1, 1]
Funcion arcoseno: La funcion f(x) = arc sen(x) o tambien f(x) = sen−1(x) esta represen-tada por la siguiente grafica
−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2
−2
−1.5
−1
−0.5
0.5
1
1.5
2
Cuyo dominio y rango son
Df = [−1, 1] , Rf = [−π
2,π
2]
Funcion coseno: La funcion f(x) = cos(x) esta representada por la siguiente grafica
−8 −6 −4 −2 2 4 6 8
−2
2
Cuyo dominio y rango sonDf = R , Rf = [−1, 1]
Funcion arccoseno: La funcion f(x) = arc cos(x) o tmabien f(x) = cos(x)−1 esta repre-sentada por la siguente grafica
3
−2 −1.5 −1 −0.5 0.5 1 1.5 2
−0.5
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
Cuyo dominio y rango sonDf = [−1, 1] , Rf = [0, π]
Funcion tangente: La funcion f(x) = tan(x) esta representada por la siguiente grafica
−12 −10 −8 −6 −4 −2 2 4 6 8 10 12
−10
−8
−6
−4
−2
2
4
6
8
10
Cuyo dominio y rango son
Df =⋃
n∈Z
〈(2n − 1)π
2, (2n + 1)
π
2, Rf = R
Funcion arco tangente: La funcion f(x) = arctan(x) o tambien f(x) = tan−1(x) estarepresentada por la siguiente grafica
−5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
−2
−1
1
2
4
Cuyo dominio y rango son
Df = R , Rf = 〈−π
2,π
2〉
Funcion secante: La funcion f(x) = sec(x) esta representada por el siguiente grafico
−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8
−6
−5
−4
−3
−2
−1
1
2
3
4
5
6
Cuyo dominio y rango son
Df =⋃
n∈Z
〈(2n − 1)π
2, (2n + 1)
π
2〉 , Rf = R − 〈−1, 1〉 = 〈−∞, 1] ∪ [1,∞
Funcion arco secante: La funcion f(x) = arcsec(x) esta representada por el siguientegrafico
−6 −5 −4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5
1
2
3
Cuyo dominio y rango son
Df = 〈−∞,−1] ∪ [1,∞〉 , Rf = [0,π
2〉 ∪ 〈
π
2, π]
5