FUNCIONES

MATEMÁTICA 1

Valor absoluto

Definición: Al valor absoluto del número real x, denotaremos por x y se define por la regla:

x =

x si x ≥ 0 -x si x < 0 Propiedades:

i) a ≥ 0, a R

iii) a = -a

ii) a ≥ a, a R

iv) a.b = a.b

v)ab

a

b = , b ≠ 0 vi) a + b ≤ a + b

Valor absolutoPropiedades para resolver ecuaciones e inecuaciones:

a) a = 0 a = 0

c) a = b a = b a = - b

b) a = b b ≥ 0 a = b a = - b

d) Si b > 0, entonces:d1) a < b -b < a

< bd2) a ≤ b -b ≤ a ≤ be) Si a, b R, se verifica:

e1) a > b a > b a < -b

e2) a ≥ b a ≥ b a ≤ -bf2) a2 = a2

f1) a = a2

Ejercicios1. Resolver la ecuación: 2x + 5 = 7

2. Resolver la ecuación: x - 3 = 5 - 2x

3. Hallar los valores de x que satisface la siguiente ecuación: 3x - 1 = 5x - 15

4. Resolver la siguiente inecuación:

3x - 3< 2

x + 1

x - 12 + 2 x - 1 - 3 < 0

5. Resolver la siguiente inecuación:

6. La comisión mensual de un agente de ventas es el 15% de las ventas por arriba de S/.12 000. Si su objetivo es lograr una comisión de al menos S/.3 000 por mes. ¿Cuál es el volumen (valor) mínimo de ventas que debe alcanzar?

7. El costo unitario de publicación de una revista es de S/.0,65, se vende al distribuidor en S/.0,60 cada una, y la cantidad que recibe por publicación es el 10% de la recibida por todas las revistas vendidas arriba de los 10 000. Encuentre el menor número de revistas que pueden ser publicadas sin pérdida, esto es, que la utilidad sea mayor que cero (suponga que toda la emisión será vendida)

8. Una empresa automotriz desea saber si le conviene fabricar sus propias correas para el ventilador, que ha estado adquiriendo de proveedores externos a S/.2,50 cada unidad. La fabricación de las correas por la empresa incrementará sus costos fijos en S/.1 500 al mes, pero sólo le costará S/.1,70 fabricar cada correa. ¿Cuántas correas debe utilizar la empresa cada mes para justificar la fabricación de sus propias correas?

9. Un fabricante puede vender todas las unidades de un producto a $.25,00 cada uno. El costo C (en dólares) de producir por unidades cada semana está dado por C = 3 000 + 20x- 0,1x2. ¿Cuántas unidades deberá producir y vender a la semana para obtener alguna utilidad?

FuncionesUna función f es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto B.

FuncionesDefinición geométrica.- f es una función, si y sólo si, cualquier recta perpendicular al eje X corta a la gráfica de f en un solo punto.

Dominio y rango de una funciónSea f: A B es una función de A en B, llamaremos dominio de f al conjunto de todas las primeras componentes y denotaremos por Df, o sea:

Df = x A / y B (x; y) f A

Y llamaremos rango de la función f al conjunto de las imágenes de los elementos de A y denotaremos Rf, es decir:

Rf = y B / x A (x; y) f B

1. Identifica el dominio y rango en las siguientes gráficas de funciones:

a) b)

2. Se da la gráfica de una función h.(a) Encuentre h(-2), h(0), h(2) y h(3).(b) Encuentre el dominio y rango de h.(c) Encuentre los valores de x para los cuales h(x) = 3.(d) Encuentre los valores de x para los cuales h(x) ≤ 3.

3. Se da la gráfica de una función g.(a) Encuentre g(-2), g(0) y g(7).(b) Encuentre el dominio y rango de g.(c) Encuentre los valores de x para los cuales g(x) = 4.(d) Encuentre los valores de x para los cuales g(x) > 4.

4. Se dan las gráficas de las funciones f y g.(a) ¿Cuál es mayor, f (0) o g(0)?(b) ¿Cuál es mayor, f (-3) o g(-3)?(c) ¿Para cuáles valores de x es f(x) = g(x)?

5. Se da la gráfica de una función. Determine los intervalos en los que la función es (a) creciente y (b) decreciente.

6. Halla el rango de la función: f(x) = x2 – 4x + 7, si x 2; 3

7. Halla el dominio y rango de la función: f(x) = 2 + x – x2

Funciones especialesa) Función constante.- Una función f, es

constante, si su regla de correspondencia es: f(x) = c, donde c es una constante.

El dominio de una función constante es el conjunto de los números reales R y rango de la función (Rf) constante es el conjunto unitario, cuyo elemento es c.Df = RRf = c c

x

y

f(x) = c

0

b) Función identidad.- Una función f, es identidad, si su regla de correspondencia es: f(x) = xTambién se define como: f(x, y) = (x, y) R R / y = x, donde:

Df = RRf = R

x

y f(x) = x

0

c) Función lineal.- Una función f, es lineal, si su regla de correspondencia es: f(x) = ax + b, donde “a” y “b” son constantes y a ≠ 0.También se define como: f(x, y) = (x, y) R R / y = ax + b , donde:

Df = RRf = R

x

yf(x) = ax + b

0

bf(x) = mx + b

d) Función raíz cuadrada.- Su regla de correspondencia es: f(x) = xTambién se define como: f(x, y) = (x, y) R R / y = x , donde:

Df = R+

Rf = 0, +

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

0.5

1

1.5

2

2.5

Función raíz cuadraday

x

e) Función signo.- Una función f, se denomina función signo, si su regla de correspondencia es:

Donde:Df = RRf = -1; 0; 1

x

y

0

1

-1

f(x) = sig(x) =

xx , x ≠ 0

0, x = 0

También se puede expresar como:

f(x) = (x, y) RR / y = sig(x)

f) Función máximo entero o entero mayor.- Una función f, se denomina función máximo entero, si su regla de correspondencia es:

Donde:Df = RRf = Z

f(x) = x, donde x = n n x < n + 1, nZ

También se puede expresar como:

f(x) = (x, y) RR / y = x

x

y

0

1

-1-2

1

2

2 3-1-2

g) Función valor absoluto.- Una función f, se denomina función valor absoluto, si su regla de correspondencia es:

Donde:Df = RRf = 0, +

f(x) = x, donde x =

También se puede expresar como:

f(x) = (x, y) RR / y = x

x; x ≥ 0-x; x < 0

x

y

0 1 2-1-2

1. Graficar: f(x) = 2x - 2

2. Graficar: f(x) = x + x

h) Función cuadrática.- Una función f, es cuadrática, si su regla de correspondencia es: f(x) = ax2 + bx + c, donde “a”, “b”, “c” R y a ≠ 0.También se define como: f(x, y) = (x, y) RR / y = ax2 + bx + c, a, b, c R a ≠ 0.Donde:Df = RRf = depende de cada función

-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7

-8

-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10Gráfico de la función y = x2 - 4x -

3Del gráfico:Df = RRf = -7; +

EJERCICIOS

1. Halla el dominio y rango de la función y esboce un gráfico:

f(x) = 3x2 + 6x - 11

2. Halla el dominio y rango de la función y esboce un gráfico:

f(x) = 2 + x - x2

3. Halla el dominio de la función:

f(x) = x2 – 4x + 3

4. Halla el dominio de la función:

f(x) = 1 - x

5. Halla el rango de la función:

f(x) = x2 – 4x + 7, si x2; 3

6. Determina el dominio y construya la gráfica de la función:

f(x) =2x + 1

4x - 1

6. Determina el dominio de la función:

f(x) = 4 – x2

x

7. Determina el dominio de la función:

f(x) = x 2 – 5x + 6 x - 1

8. Determina el dominio de la función:

f(x) = x2 + 3x 2x2 – x - 1

9. Determina el dominio de la función:

f(x) = - x4 + 17x2 - 16

(x2 – 4).(x2 – 9)

i) Función inversa.- Una función f tiene inversa, solamente cuando es inyectiva (correspondencia de uno a uno), se representa por f-1 o f *.

Donde:Df * = Rf

Rf * = Df

f-1(x) = (f(x), x) / xDf

Las gráficas de f y f * son simétricas respecto de la recta y = x.

-6 -4 -2 0 2 4 6

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

Una función lineal y = 2x + 3 y su inversa

f(x) = 2x + 3 f*(x) = 0,5(x - 3) y = f(x) = x

1. Dada la función: f(x) = 2x - 5. Graficar: a) f(x) y b) f-1(x)

2. Dada la función: f(x) = 0,5x + 2. Graficar: a) f(x) y b) f-1(x)

Funciones trigonométricas (F.T.)

F.T = (x; y)RR / y = RT(x)

Se denomina función trigonométrica al conjunto de pares ordenados (x; y), tal que la primera componente “x” es la medida de un ángulo trigonométrico en radianes (número real) y a segunda componente “y” es el valor de la razón trigonométrica de x.

Función seno

f(x) = (x; y)RR / y = sen(x), x R

O simplemente:y = f(x) = sen x, xRDsen x = R

Rsen x = -1; 1

f(x) = (x; y)RR / y = cos(x), x R

O simplemente:y = f(x) = cos x, xRDcos x = R

Rcos x = -1; 1

Función coseno

f(x) = (x; y)RR / y = tan(x), x ≠ (2k + 1)(/2), kZ

O simplemente:y = f(x) = tan xDtan x = R - (2k + 1)(/2), kZ

Rtan x = R

Función tangente

Método práctico para el trazado de gráficas

y = f(x) + k

1. Desplazamiento vertical

La gráfica se desplaza hacia arriba si k > 0

La gráfica se desplaza hacia abajo si k < 0

Ejemplos:a) Si f(x) = x2 – 2x, graficar y = f(x) +

3b) Si f(x) = sen x, graficar y = f(x) + 2c) Si f(x) = cos x, graficar y = f(x) - 3

y = f(x - k)

2. Desplazamiento horizontal

La gráfica se desplaza hacia la derecha si k > 0La gráfica se desplaza hacia la izquierda si k < 0

Ejemplos:a) Si f(x) = x2 – 2x, graficar y = f(x -

2)b) Si f(x) = x2 – 2x, graficar y = f(x +

3)c) Si f(x) = sen x, graficar y = f(x -

/4)d) Si f(x) = sen x, graficar y = f(x +

/2)

y = - f(x)

3. Reflejo vertical

Ejemplos:a) Graficar: f(x) = sen x, y f(x) = -

sen x b) Graficar: f(x) = x2 – 2x, y y = -f(x)

y = f(-x)

4. Reflejo horizontal

Ejemplos:a) Graficar: f(x) = (2/3)x - 3, y y = f(-x)b) Graficar: f(x) = sen x, y f(x) = sen (-

x)

0 30 60 90 120 150 180 210 240 270 300 330 360

-1.50

-1.00

-0.50

0.00

0.50

1.00

1.50

Gráfica de sen x y sen (-x)

sen x sen (-x)

y = af(x)

Si 0 < a < 1 la gráfica se comprime “a” veces.Si a > 1 la gráfica se dilata “a” veces.

Ejemplos:a) Graficar: f(x) = (0,5)sen xb) Graficar: f(x) = 2.sen x

5. Dilatación o compresión vertical

y = f(ax)

Si 0 < a < 1 la gráfica se dilata con el factor 1/a.Si a > 1 la gráfica se comprime con el factor 1/a.

6. Dilatación o compresión horizontal

Ejemplos:a) Si f(x) = x2 – 2x, graficar y = f(2x)b) Si f(x) = cos x, graficar y = f(0,5x)

y = f(x) = A F.T. (Bx + C) + D

Periodo de las funciones compuestas de la forma:

Caso 1:

f(x) = A sen (Bx + C) + D, óf(x) = A cos (Bx + C) + DPeriodo: B

2T =

Ejemplos: Determine el periodo de:a) f(x) = 1 – 3.sen (2x + /4)b) f(x) = 2 + 5.cos (/6 - 3x)

Caso 2:

f(x) = A sec (Bx + C) + D, óf(x) = A csc (Bx + C) + DPeriodo: B

2T =

Ejemplos: Determine el periodo de:a) f(x) = sec (/3 - x)b) f(x) = 6 + 2.cos (2x/3 - /2)

Caso 3:

f(x) = A tan (Bx + C) + D, óf(x) = A cot (Bx + C) + DPeriodo: B

T =

Ejemplos: Determine el periodo de:a) f(x) = 1 - tan (/8 - 2x)b) f(x) = 3.cot (3x/4 - /3)

Líneas trigonométric

as

E(1; tg )Q(ctg ; 1)P(cos ; sen )

Líneas trigonométric

as

C(sec ; 0)D(0; csc )

Resumen de las características de las funciones trigonométricas

Ejercicios1. Determine el dominio de la función: h(x) = cot x + sen x

2. Calcule el dominio de la función:

f(x) = cos x

sen x + 7

3. Calcule el dominio de:

f(x) =sen x - 2

sen x

4. Si el rango de la función:f(x) = a.cos x + b; Rf -1; 3Calcule el valor de la expresiónM = 2a - b

5. Determine el dominio de la función: F = (x; y) / y = 2sen x – 1 + sen x; 0 x 2

6. Calcula el rango de la función:f(x) = (1 + sen x) (3 + sen x)

7. Calcula el rango de la función f, cuya regla de correspondencia es:f(x) = 4sen2 x + 4sen x

8. Calcular el máxima valor de: sen + cos

9. Calcular el máxima valor de: R = 2sen - 3cos

10. Del gráfico, calcular el área de la región sombreada:

11. Del gráfico, calcular el área de la región sombreada:

12. Del gráfico, calcular el área de la región sombreada:

14. De la figura mostrada, determina el área (en u2) de la región sombreada.

13. La función: y = f(x) = - 4.cos (2x + /3) - 3; es igual a -1 cuando x es igual a:

a) /6 b) /4 c) 2/3 d) e) 2

1. Calcula el rango de la función f, si:f(x) = cos2 x + 2cos x; x 0; /2

2. Graficar: f(x) = 1 + (0,5) sen (2x - /4

Trabajo grupal

2. Graficar: f(x) = 1 + (0,5) sen (2x - /4

0 22.5 45 67.5 90 112.5 135 157.5 180 202.5 2250

0.25

0.5

0.75

1

1.25

1.5

1.75

Gráfico de la función: y = 1 + 0,5.sen (2x - /4)

x (°) x (rad) y

22,5 0,39 1,00

45 0,79 1,35

67,5 1,18 1,50

90 1,57 1,35

112,5 1,96 1,00

135 2,36 0,65

157,5 2,75 0,50

180 3,14 0,65

202,5 3,53 1,00

2. Graficar: f(x) = 2 + sen (2x - /4

0 22.5 45 67.5 90 112.5 135 157.5 180 202.5 2250

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

y = 2 + sen (2x - /4) = 2 + sen (2x - 45°)x (°) x (rad) y

22,5 0,39 2,00

45 0,79 2,71

67,5 1,18 3,00

90 1,57 2,71

112,5 1,96 2,00

135 2,36 1,29

157,5 2,75 1,00

180 3,14 1,29

202,5 3,53 2,00

Función exponencial

f(x) = ax, a > 0 a ≠ 1

Una función exponencial, es una función de la forma f(x) = ax, donde a es un número real positivo distinto de 1.

Para toda función exponencial, de la forma y = ax o f(x) = ax, donde a > 0 a ≠ 1.El dominio de la función es el conjunto de los números reales.El rango de la función exponencial es 0; +La gráfica pasa por los puntos (-1; 1/a), (0; 1) y (1; a)

1. Grafique la función exponencial y = f(x) = 2x, determine el dominio y rango de la función.

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.50

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

8

8.5

Gráfico de la función exponencial f(x) = 2x

2. Grafique la función exponencial y = f(x) = ( )x, determine el dominio y rango de la función.

21

-2 -1 0 1 2 3 40

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Gráfico de la función exponencial f(x) = (1/2)x

Gráfica de las funciones exponenciales

3. Una suma de $.1 000 se invierte a una tasa de interés de 12% al año. Encuentre las cantidades en la cuenta después de 3 años si el interés se capitaliza anual, semestral, trimestral, mensualmente y a diario.

4. Si se invierten $.10 000 a una tasa de interés del 3% al año, capitalizada semestralmente, encuentre el valor de la inversión después de 10 años.

5. Si se invierten $.2 500 a una tasa de interés del 2,5% por año, capitalizado a diario, encuentre el valor de la inversión después de 2 años.

LogaritmosLa función logarítmica está definida, como:

Propiedades:

logbN = x N = bx, N > 0, b > 0 b ≠ 1

i) logb1 = 0 ii) logbb = 1

iii) logbAn = n.logbA iv) logbA = logbA

vi) logb( ) = logbN - logbM

v) logb(N.M) = logbN + logbM

nn1

MN

vii) logbN =

logab

logaN Cambio de base

Cambio de logaritmo natural de un número cualquiera al logaritmo

vulgar

viii) ln(N) = log e

log

N

Halla ln(100) =

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Gráfico de la función logarítmica f(x) = log2x

1. Grafique y determina el dominio y rango de la función f(x) = log2x

Comparando gráficas de funciones exponenciales y logarítmicas.

De acuerdo con la definición de logaritmo, podemos reescribir esta función como y = loga x, que es una ecuación donde y está despejada. Por consiguiente, y = ax y y = loga x son funciones inversas, y podemos escribir: si f(x) = ax, entonces f -1(x) = loga x.

2. Calcular: log5 (5)3 + log7(7)2 =

2

3. Calcula el valor de x en: log2(x) + log2(4) = 4

4. Resuelva: log(27) - log(3) + 2 + loga(a)3

23

5. Resuelva: 2.log(x) + log(64) = log(x)3

6. Resuelva: 5.log(x) - log(32) = log( )2x

OPERACIONES CON FUNCIONES

Se pueden formar nuevas funciones a partir de funciones dadas, mediante la adición, sustracción, multiplicación y división de sus valores. Las nuevas funciones se conocen como la suma, diferencia, producto y cociente de funciones originales.Igualdad de funciones:Las funciones f y g son iguales si y sólo si:i) Df = Dg

ii) f(x) = g(x) x Df = Dg

Las funciones f(x) = x3 – 1, g(x) = x3 – 1; son iguales, porque Df = Dg = R

OPERACIONES CON FUNCIONES

Dadas las funciones f y g, tenemos:

i) La suma, denotada por f + g, es la función definida por: (f + g)(x) = f(x) + g(x)ii) La diferencia, denotada por f - g, es la función definida por: (f - g)(x) = f(x) - g(x)iii) El producto, denotada por f . g, es la función definida por: (f . g)(x) = f(x) . g(x)iv) El cociente, denotada por f / g, es la función definida por: (f / g)(x) = f(x) / g(x); g(x) 0 En cada caso, el dominio de la función resultante consta de aquellos valores de x comunes a los dominios de f y g, pero para el caso iv) g(x) 0

Aplicaciones:

1. Dadas las funciones: f = (-2; 3), (0; 3), (4; 0), (5; -3), (6; 3) y g = (0; -2), (-2; 5), (3; 2), (5; 0), (8; -2). Hallar: a) f + g; b) f - g; c) f . g; d) f / g

2. Dadas las funciones: f = (2; 1), (-2; 3), (1; 5), (-3; 4), (7; 8) y g = (3; -2), (7; 2), (-3; 1), (2; 4). Hallar: a) f + g; b) f - g; c) f . g; d) f / g

Determine el dominio de la función resultante: a) f + g; b) f - g; c) f . g; d) f / g; e) g / f; en: 3. f(x) = x2 + 1; g(x) = 3x - 2

4. f(x) = x ; g(x) = x2 + 1

5. Calcular (f + g)(x) si:

f(x) =

g(x) =

2x + 1, si x ≥ 1x2 - 2, si x < 0

2x3, si x > 10

3x + 1, si x 8

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Dadas las dos funciones f y g, la función compuesta, denotada por f g, está definida por

(f g)(x) = f(g(x))El dominio de f g, es el conjunto de todos los números x del dominio de g tales que g(x) está en el dominio de f.

a.

b.

c.

d.

n.

m.

p.

q.

r.

s.

t.

v.

A B C

f g

fg(f g)(a) = f(g(a)) = f(m) = t(f g)(d) = f(g(d)) = f(p) = r

f g = (a, t); (d, r)

Ejemplo

PROPIEDADES DE COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

Consideremos las funciones f, g, h y la “I” (identidad):i) (f g)(x) (g f )(x) no es conmutativa

iii) (f + g) h = (f h) + (g h) distributiva

ii) (f g) h = f (g h) es asociativa

v) f I = I f = f, f

iv) (f . g) h = (f h) . (g h)

1. Sea f = (0; 1), (1; 2), (2; 3), (4; 3), (5; 2) y g = (6; 7), (5; 4), (4; 3), (2; 4), (1; 4), (0; 7)Halla a) f g, b) Dfg y c) Rfg

2. Sea f, g: R R tal que: f(x) = x2 + 2x + 3, g (x) = x - 5Hallar:(g o f)(1) + (f o g) (2).(f o g) (3) - (g o g)

(2)(f o g) (2)

3. Sean: f(x) = g (x) = 2x + 1x -

2

5 y

Obtenga (f o g)(3) de dos maneras.

4. Si f y g están definidas por:

Calcule: a) (f o f) b) (g o g) c) (f o g) d) (g o f)

f (x) = x y g(x) = x2 - 1

5. Sea:

Hallar:(gog)(1) + 2.g(-1)

g(x) = x - 1, si x < 1

-3x2 + 1, si x ≥ 1

g2(1) + (gog)(-1)

FUNCIONES COMO MODELOS MATEMÁTICOS

1. La nómina de pago diario de una cuadrilla es directamente proporcional al número de trabajadores, y una cuadrilla de 12 tiene una nómina de $.810. a) Encuentre un modelo matemático que exprese la nómina de pago diario como una función del número de trabajadores. b) ¿Cuál es la nómina de pago diario para una cuadrilla de 15 trabajadores?

2. A un campo de forma rectangular se le colocaron 240 m de cerca. a) Encuentre un modelo matemático que exprese el área del terreno como una función de su longitud. b) ¿Cuál es el dominio de la función? c) ¿Cuáles son las dimensiones del campo rectangular de mayor área que pueda cercarse con 240 m?

3. Realice el ejercicio anterior (2) considerando ahora que un lado del terreno está sobre la orilla de un río, por lo que tiene un límite natural, y el material para cercar se empleará en los otros tres lados.

Trabajo grupal

1. Graficar la función: f (x) = (1/3)x

2. Si se invierten $.2 000 a una tasa de interés del 3,5% al año, capitalizado continuamente, encuentre el valor de la inversión después de 4 años.

4. Sean: f(x) = g (x) = 2x - 3x + 3

5 y

Obtenga (f o g)(2) de dos maneras.

3. Calcular (f . g)(x) si:

f(x) = g(x) =

2x + 1, si x ≥ 1x2 - 2, si x < 0

2x3, si x > 10

3x – 1, si x 8