Funciones

• Uno de los conceptos más importantes en matemática es el concepto de función.

• En general una función es una relación binaria que con características especiales.

• Toda función es una relación , pero no a la inversa.

• Y=f(x) , representa la notación cartesiana de una función en el plano

· Considere:E = { x/x € N: 2<x<8 }·Se define:R1 = { (x,y) / (x,y) € ExE: x-y = 0 }·Desarrollo:R1 = { (3,3) (4,4) (5,5) (6,6) (7,7) }

Ejemplo

34567

34567

Función Biyectiva

A B

• En genral , una función:Es una relación especial que tiene que tener• Los siguientes requisitos: - No puede haber pre-imágenes libres.- Una pre-imagen no puede tener dos imágenes.• ·Y existen diferentes tipos de funciones:• - Biyectiva : Va de una a una y cubre todo el

Recorrido.• -Inyectiva: Va de una a una.• - Sobreyectiva: cubre todo el

La función de primer grado

• La función cartesiana de primer grado se representa por f(x)=mx+b

• Los parámetros m y b tienen un sentido gráfico.

• X: representa el valor de preimagen y va asociada al eje OX.(variable independiente)

• f(x): es el valor de la función, va asociada al eje OY.(Variable dependiente)

Pendiente (m)Mide la inclinación del ánguloEquivale a la tangente (tg) del ángulo

m = Y

XL

L’

A

B

Ejercicio.•Tomando en cuenta el gráfico anterior, calcularemos la pendiente de “l” en base a los puntos A y B.

m = 6 – 4 = 1

5 -- 3

Esto nos permitirá calcular el ángulo

m = 1 < = 45º

PENDIENTE EN LA RECTA

• En la ecuación principal de la recta y = mx + n, el valor de m corresponde a la pendiente de la recta y n es el coeficiente de posición.

• La pendiente permite obtener el grado de inclinación que tiene una recta.

Cuando se tienen dos puntos cualesquiera (x1,y1) y (x2,y2), la pendiente queda determinada por el cuociente entre la diferencia de las ordenadas de dos puntos de ella y la diferencia de las abscisas de los mismos puntos, o sea

Pendiente

y = 4x , la pendiente es m = 4

y = 4x

y = 3x , la pendiente es m = 3

y = 3x

La pendiente depende de m ( coeficiente de

direccion o pendiente ) A menos o mayor

inclinacion , menor o mayor pendiente .

Determinar la pendiente y el coeficiente de posición en la

ecuación 2x + y – 8 = 0

y = -2x + 8

2x + y = 0 + 8

Luego, m = -2 y n = 8

Formulas de la Ecuación Ecuación Principal F (x)= m x + b y= m x + b

Ecuación General: A x + by + c = 0 Ecuación Canónica Y1-y= m( x1- x) Ecuación Particular x/a+ y/b -1 =0

•Conceptos Previos• Pendiente de una Recta :• En la ecuación principal de la recta y = m x + n,

el valor de m corresponde a la pendiente de la recta y n es el coeficiente de posición. La pendiente permite obtener el grado de inclinación que tiene una recta, mientras que el coeficiente de posición señala el punto en que la recta interceptará al eje de las ordenadas.

Ejemplo 2:•

Encuentre la pendiente y el coeficiente de posición de la recta de ecuación 4x – 8y + 16 = 0  

• Despejamos y 

• 4x + 16 = 8y 

• m =  

• n = 2 

• 4x – 8y + 16 = 0 

• Se puede obtener la ecuación de la recta a partir de la fórmula de la pendiente:

• Esta forma de obtener la ecuación de una recta se suele utilizar cuando se conocen su pendiente y las coordenadas de uno de sus puntos. La pendiente m es la tangente de la recta con el eje de abscisas

Paralelismoen

el plano

mx+y+b=0Siendo m pendiente.

L1 y L2 de pendientes iguales.

EjemploDados los puntos L1: p(6,4) y O(-2,3), y L2:p’(8,4)y O’(-8,2)Determine m de L1 y L2L1: m= 6-(-2)/4-3 m=8 L2: m`=8-(-8)/4-2 m`=8

Si m` y m son iguales, L1 y L2 son paralelas.

Perpendicularidaden el plano

• mL1 debe ser reciproca negativa de mL2

• L1= Y X

• L2 = - X Y

L1 L2

Ejemplo

• Compruebe analíticamente si las siguientes rectas son perpendiculares

• y = 2x + 20• y = - 1x + 20 2• y = 1x + 20 2

Respuesta

• y = 2x + 20 Éstas son• y = - 1x + 20

perpendiculares, 2 ya que sus• y = 1x + 20 pendientes son 2 recíprocas

negativas.

L1

L2

x

yT

Condición de perpendicularidad en el plano

El producto de las pendientes de las

rectas debe ser equivalente a -1

mxm`=-1

Paralelismo y Perpendicularidad

y= -2x+1

• Rectas Paralelas: interpretación angular

•Para que dos rectas sean paralelas, es necesario que tengan la misma pendiente.

•Ecuación principal:

y = m·x + b

m= pendiente

α = β → tg α = tg β por lo tanto las pendientes son

igualesyo = mo .x + bo y1 = m1 . x + b1

yo // y1 ↔ mo = m1

Sistema de EcuacionesUn sistema de ecuaciones lineales formado por dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas cada una representa dos rectas en el plano, y resolverlo significa hallar la intersección de ambas rectas.

Un sistema de ecuaciones con dos incógnitas puede estar representado por :•Rectas que se cortan en un punto•Rectas coincidentes, que tienen igual pendiente y ordenada al origen•Rectas paralelas, que tienen igual pendiente y distinta ordenada al origen.

El conjunto solución de un sistema de ecuaciones con dos incógnitas puede estar formado por:• un solo punto (sistema compatible determinado)

• infinitos puntos (sistema compatible indeterminado)• ningún punto (sistema incompatible)

¿Qué condiciones deben cumplir las ecuaciones para que el sistema tenga una, ninguna o infinitas soluciones?

1. Una solución: Los coeficientes de x e y de las dos ecuaciones no son proporcionales 2. Infinitas soluciones: Los coeficientes de x e y, y el término independiente de una ecuación, son

proporcionales a los de la otra 3. Ninguna solución: Los coeficientes de x e y de una ecuación son proporcionales a los de la otra,

mientras que los términos independientes no lo son.

Para encontrar el área de un polígono en un plano cartesiano, se necesita conocer sus coordenadas y con estas “completar el polígono”: (1,6)(7,2)

(-3,-2) y luego de nuevo (1,6).

Se anotan las coordenadas y se multiplican cruzadas, las coordenadas Y de abajo con las X de arriba y las X de abajo con las Y de arriba

Luego se suman los valores absolutos de los resultados y se divide por dos:

30+34 = 32 unidades 2 cuadradas¡Bueno el problema!

(1,6) 2 42(7,2) -14 -6(-3,-2) -18 -2(1,6) -30 34

• Montoya.

Muchas gracias Montoya.

Muchas gracias Montoya.