Funciones

PROFESOR: Leonardo Flórez

FUNCIONES REALES

MATERIAL DE APOYO PARA ESTUDIANTES QUEASISTEN A REFUERZO DE MITAD DE AÑO.

COMPLEMENTE CON SU CUADERNO, TUTOR Y MEDIOSVIRTUALES SUGERIDOS POR EL PROFESOR

RELACIONES – DOMINIO Y RANGO

1. Dados los conjuntosA = y B = , hallar el conjunto solución (S), para cada una de las siguientes relaciones, definidas de A en Ba) R1 = {(a, b)/ a>b} b) R2 = {(a, b)/ a<b}c) R3 = {(a, b)/a = b/2} d) R4 = {(a, b)/a = }

2. Determine el dominio y el rango de las siguientes relaciones:a) 4xy – 5y = -2 b) –xy – y – 3 = 0 c) 3xy + 2y – 1 = 0d) 5xy = 4 – y e) 3y – 4 = – xy f) xy = 1g) y(x2 – 4) = 5 h) y(x2 – 9) – 1 = 0 i) 5x – y2 –3 = 0j) 4xy–3x = 10 k) x2 + y2 = 16 l) m) 2x – 5xy – 3 = 0 n) 5x + 3xy + 2 = 0 o) 5x2 – 2y = –3 p) 3x + 4y = –1 q) x2 + y2 = 4 r) y =

FUNCIONES - CONCEPTO1. Dados los conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} y B = {2, 4, 6, 8}, determine cuáles de las siguientes

relaciones son funciones y cuáles no. Justifique su respuesta.a) S = {(1, 2), (1, 4), (2, 2), (3, 6), (4, 8), (5, 6), (7, 2), (8, 8), (9, 6)}b) T = {(1, 2), (2, 2), (3, 6), (8, 4), (9, 8), (7, 6), (4, 8), (5, 2), (6, 6)}c) R = {(1, 8), (2, 2), (3, 4), (4, 2), (5, 6), (6, 2), (7, 4), (8, 8)}

2. Las siguientes son representaciones sagitales de diferentes tipos de relaciones. Indique cuál es función y cuál no lo es, justificando la respuesta:a) b) c)

3. Dada la función f(x) = 2 – 2x, definida en (conjunto de los números reales), determina:a) f(3/4) b) f(-1) c) f(0) d) f(-2) e) f(3) f) f(1/2) g) f(1) e) f(-5)

CálculoFunciones

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4. Dada la función: , determina:

a) f(1/b) b) f( ) c) [f(b)]2

d) f(b2) e) f)

5. Determine si los puntos indicados pertenecen a la función dada:a) y = x2 – 3x + 2 Puntos (-1, 0); (-1, 6); (1/2, 3/4); (-2, 0)b) y = (x – 4 )1/2 Puntos (4, 0); (0, -2); (20, 4); (-5, 3)

c) y = Puntos (0, 1); (0, -1); (1, 0); (-1, 0)

6. Indicar cuáles de las siguientes gráficas representa funciones:a) b)

c) d)

e) f)

FUNCIÓN LINEAL

1. Dibujar la gráfica, hallar la pendiente e indicar si la función es creciente, decreciente o constanteCálculo

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a) b) c) y = 3(x – 2)

d) 3y + 4x = 12 e) f) y = – x + 1

2. Un taxista debe pagar al final del día $80.000 de sus ganancias por concepto de arriendo del auto. Además se sabe que: Consume en promedio 7 galones de gasolina corriente a un precio de $5600 cada galón. El precio de la lavada del taxi es de $3.100 Si el promedio por carrera es de $5.000, determine:

a) La función que relaciona las ganancias con el número de carreras diarias.b) Cuántas carreras debe hacer como mínimo en un día para no tener pérdidas.c) Cuántas carreras deberá hacer para obtener una ganancia de $100.000?d) A cuánto ascienden las ganancias o las pérdidas si en un día realiza:

25 carreras 48 carreras

e) Una gráfica (puede ser un polígono de frecucencias), que muestre las ganancias del taxista en la última semana, si se sabe que el número de carreras hechas por día fueron lunes: 28; martes: 35; miércoles: 39; jueves: 29; viernes: 51; sábado: 55; domingo: 26

7. Una empresa que alquila autos tiene una tarifa de $200.000 diarios. Si el arrendatario usa el vehículo por más de 5 días, el costo baja a partir del sexto día a 180.000 diarios. Sabiendo que el tiempo máximo de alquiler es de 10 días. Hallar la ecuación de costo

8. Elabore en un mismo plano cada grUpo de funciones y escriba una conclusión:

a) y = 3x; y = – 4x; y =

b) y = x + 1 y = 2x + 1 y = – 4x + 1c) y = 2(cos ) y = log10100 y = -3

1. Cuál es el domino y el rango de una función lineal?

FUNCIÓN CUADRÁTICA

1. Representar los siguientes grupos de funciones en un mismo sistema de coordenadas y determinar el dominio y rango:a) f(x) = x2, g(x) = x2 + 1, h(x) = x2 – 1b) f(x) = x2, g(x) = 2x2, h(x) = 3x2

c) f(x) = x2, g(x) = x2/2 , h(x) = x2/3

2. Escriba algunas conclusiones acerca de la práctica anterior.

3. Un excursionista lanza al aire una bengala en línea vertical desde el suelo, en el instante t = 0, con una velocidad de 19.2 metros por segundo. Su altura en el tiempo t está dada por y = – 4.8t2 + 19.2t. hallar:

a) El tiempo que tarda la bengala en regresar al suelo.b) El instante en que llega a su punto más alto.c) La altura máxima que alcanza la bengala

4. Graficar las siguientes funciones, determinando el vértice y los puntos de corte (indique también el dominio y el rango para cada una de ellas):a ) f(x) =2x2 – x – 1 b) f(x) =x2 – x c) f(x) = – 2x2 – x – 1d) f(x) =x – x2 e) f(x) =x2 + x f) f(x) =x2 + 2x + 1g) f(x) = –x2 – x – 2 h) f(x) =x2 – 5 x + 6

5. El número Q de litros de agua que hay en un estanque, t minutos después de haber empezado a vaciarlo, esta dado por la expresión: .

a) ¿Cuántos litros de agua habían en el estanque antes de iniciar el vaciado?Cálculo

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b) ¿Cuánto tiempo tarda el estanque en quedar vacío?c) Represente la situación en forma gráfica

6. Realice la gráfica de la expresión x = y2 – 5y + 6. Se puede afirmar que esta expresión representa una función? Justifique su respuesta

7. El cable de un puente de suspensión tiene forma de parábola. El cable se extiende sobre 200 pies de autopista. El cable de soporte más largo, en cada extremo del puente, mide 100 pies; el más corto, a la mitad del puente, mide 30 pies. Determine la longitud del cable de soporte que está a 40 pies del cable de soporte más largo.

8. Los puntos más altos de dos torres de un puente colgante están a 30.5 m. sobre el nivel de la carretera y separados entre sí 115 m. un cable que los une tiene forma de parábola y su punto más bajo está a 12 m. arriba de la carretera. ¿a qué altura se encuentra un punto en el cable, cuya distancia horizontal a una de las torres es 18 m? (ilustre con el gráfico)

9. El cable de suspensión de un puente colgante adopta la forma de un arco de parábola. Los pilares que la soportan están a 60 m. de altura y están separados una distancia de 500 m., quedando el punto más bajo del cable a una altura de 10 m. sobre la calzada del puente:a) Hallar la ecuación de la parábola que describe el cable de suspensión.b) Calcula la altura de un punto situado a 80 metros del centro del puente.

10. Vista de frente, una embarcación tiene forma de parábola. La altura del arco formado tiene 9 m. y el ancho de la cubierta es de 6 m. ¿Qué ancho tiene la embarcación 3 m. debajo de la cubierta?

11. Un reflector está diseñado de modo que una cubierta cilíndrica guarda un espejo reflejante parabólico y la fuente de luz. ¿Si la cubierta tiene una profundidad de 2 pulgadas y un diámetro de 4 pulgadas, ¿dónde debe colocarse la fuente de luz con respecto al vértice del espejo. (consulte la propiedad de la reflexión de la parábola)

FUNCIÓN RADICAL Y RACIONAL, REVISAR TEXTO GUÍA Y CUADERNO

FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA

Trazar la gráfica de cada función y determinar el dominio y el rango en cada caso:1. y = 3x 2. y = 4-x 3. y = log3x 4. y = log4x

PROBLEMITAS

1. Interés Compuesto. Si cierta cantidad de dinero P (llamada la principal) se invierte al r por ciento de interés compuesto anual, la cantidad A de dinero, después de t años, está dada por esta ecuación:

A = P (1 + r) t.

a. ¿Cuánto producirán $1000 (dólares)en 5 años, al 6 por ciento de interés compuesto anual?b. Trace la gráfica de esta función para P = 10; r = 0.10 y 0 t 10c. ¿Cuánto tiempo (hasta el año completo más cercano) se necesitará para que una suma de

dinero se duplique, si se invierte al 5 por ciento de interés compuesto anual? Consulte el problema anterior.

2. Ciencias de la tierra. La presión atmosférica P, en libras por pulgada cuadrada, se puede calcular aproximadamente por medio de la fórmula

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P = 14.7e-0.21x, donde x es la altura sobre el nivel del mar, en millas.

Trace la gráfica de la función para: – 1 x 5

3. Crecimiento Bacteriano. Una sola bacteria del cólera se divide cada media hora para producir dos bacterias íntegras del cólera. Si empezamos con una colonia de 5000 bacterias, al cabo de t horas tendremos

A = 5000 · 2 2 t bacterias.

¿Cuánto tiempo se necesitará para que A sea 1’000.000?

4. Astronomía. Se necesita un instrumento óptico para observar estrellas menores que las de sexta magnitud, que el límite de la vista ordinaria. No obstante, aún los instrumentos ópticos tienen limitaciones. La magnitud limitante L de cualquier telescopio óptico, con una lente de diámetro D, en pulgadas, está dada por:

L = 8.8 + 5.1 log10 D.

a. Encuentre la magnitud limitante de un telescopio reflejante, de 6 pulgadas de diámetro, hecho en casa.

b. Encuentre el diámetro de una lente que tiene una magnitud limitante de 20.6

5. Al estudiar muchos fenómenos físicos, la función f(x) = ex, donde e es un número irracional que se aproxima a 2.71828…, se denomina función exponencial natural. Elaborar una tabla de valores para f(X) = ex y f(X) = e-x. Determine el dominio y el rango.

a) Mostrar que , donde n N. (complete la tabla)

n 1 2 3 4 5

b) Probar que otra aproximación para e está dada por:

c) ¿Cuál de los dos métodos proporciona la mejor aproximación?

6. La función f(X) = e-kx en el análisis de tumores cancerígenos, representa la fracción de tumor que sobrevive al realizar una radioterapia de x unidades, si se conoce el tamaño promedio k del tumor.¿Cuál es la fracción de tumor que sobrevive si se sabe que su tamaño es 25 mm y la dosis de radioterapia es 30 unidades?

7. La presión atmosférica P, en libras por pulgada cuadrada, depende de la altura h, en pies, y esta dada por la formula P= (14,7)20.00005555h. ¿Cuál es la presión a 15.000 pies de altura?

8. En una empresa de publicidad se estima que el numero N de personas informadas, después de t semanas

de haber lanzado un comercial por televisión, esta dado por

a. despejo t en la ecuación. b. ¿Cuántas personas se habrán informado después de 3 semanas?c. Si se informó a 520.000 personas, ¿Cuántas semanas transcurrieron después del lanzamiento del

comercial?

CálculoFunciones

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9. La ley de enfrentamiento,(de Newton), está dada por la función F(t)=x+ (y-x)10 –kt donde t es el numero de minutos que trascurren cuando un objeto de temperatura y está expuesto a una temperatura x del aire o del agua, k es una constante positiva.

a. Despejo de t en la ecuación.b. Si k =1, ¿Qué temperatura tiene, después de 2 minutos, un cuerpo con temperatura de 60 C0 que es

sumergido en agua a 15 Co?c. Para k = 2, ¿Cuánto tiempo se debe tener un cuerpo con temperatura de 60 C0, expuesto a un aire de

10 C0, ‘para que su temperatura baje a 20 C0?

10. La presión atmosférica a la cual está expuesto un cuerpo a una altura h, en pies es: P = 14.7e-0.0000555h.

a. Expreso h en términos de p.b. ¿Cuál es la presión a que está expuesto un cuerpo a 150 pies de altura?c. Si la presión es de 3.5 unidades, ¿a qué altura se encuentra el cuerpo?

FUNCIONES SEGMENTADAS

Clasificar las siguientes funciones, realizar sus gráficas y hallar su dominio y rango:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. f(x) = |x + 1| 11. f(x) = + 2 12. f(x) =

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