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Funciones & Cónicas

José Alfredo Martínez Valdés

Funciones

&

Cónicas José Alfredo Martínez Valdés

TABLA DE CONTENIDO

Pág.

Función:........................................................ 7

Dominio y rango de una función .................. 7

Igualdad de funciones.................................... 8

Funciones pares e impares ............................. 8

Tipos de funciones....................................... 9

Transformación de funciones:.................... 10

Funciones especiales: ............................... 10

Función valor absoluto ........................... 11 Función compuesta.................................... 12

Ejemplo: ................................................. 13 Función Inversa: ........................................ 13

Función Inyectiva: .................................. 14 Función Sobreyectiva:............................ 14

Función Lineal y = m x + b ............................... 15 Ejemplo de función Lineal.......................... 16

Alternativas para solucionar una ecuación de

segundo grado........................................... 19

Desigualdades: .......................................... 21

Propiedades de Valor Absoluto ................. 23

Universidad Nacional de Colombia Sede Palmira Matemática Fundamental ***************************************

----------------------------------- José Alfredo Martínez Valdés

iii

Líneas Rectas ............................................24

Distancia entre dos puntos.........................24

Pendiente de la recta ....................................24

Sistemas de Ecuaciones ................................25

Métodos de solución ....................................26

Método de igualación ..................................26

Método de Sustitución ..................................26

Método de Eliminación.................................26

Método Gráfico............................................26

Método de los Determinantes .......................28

Ecuación de Segundo Grado ...........................31 Ecuación General de una Cónica (sin coeficiente B)....................................................................32 Género Parábola .............................................33 Género Elipse ..................................................36

La parábola: .................................................40

Secante y tangente .................................48 Teoremas: ................................................49 Perímetro y Área .......................................51 Semicircunferencia y semicírculo ..............52 Posiciones relativas de dos circunferencias..52 Circunferencias secantes: ......................53 Congruencia ............................................54 Ángulos: ..................................................54 Proporcionalidades en la circunferencia .....58

Hipérbola ........................................................61 Definición: ..................................................61


Funciones y cónicas – Martínez V. José A. iv

Ecuación de la tangente: .............................. 68

Ejemplo 3 ....................................................... 73 Elipse .............................................................. 74

Definición: .................................................. 74

Elipse de eje focal paralelo al eje Y ................. 76

Ecuación ordinaria:................................... 76 Ecuación general:..................................... 78

EJERCICIOS: .................................................... 86 Funciones Circulares: .......................................... 90

LOGARITMOS Y EXPONENCIALES .................... 99 Propiedades de los logaritmos .................... 108

EJERCICIOS TÍPICOS DE EXAMENES . 109

__________________ José Alfredo Martínez Valdés

9

Al igual que no todo número real es par o impar (2 es

par, 3 es impar, pero 2,5 no es ni lo uno ni lo otro), no

toda función es par o impar:

Por Ejemplo: Evalúe las siguientes funciones para saber si

son pares o impares

2)( xxf =

senxxf =)(

xxf cos)( =

3)( xxf =

xxxf += 2)(

Tipos de funciones Constante, f (x) = c

Potencia, f (x) = xa , (a constate)

Polinómica, f (x) = an xn + an-1 x

n-1 an-2 xn-2 + …+ a1x

1 + a0x0

Racional, )()()(

xgxfxh =

Algebraicas: (Se obtienen mediante operaciones con

expresiones algebraicas)

Funciones y cónicas – Martínez V. José A. 6

Relaciones y Funciones.

Si A y B son dos conjuntos, se define el producto

cartesiano

A x B = {(a, b) / a∈A y b∈B}

Ejemplo:

Considere los conjuntos:

A = {a, b, c, d}

B = {1, 2, 3, 4, 5}

A x B = {(a, 1), (a, 2), (a, 3), (a, 4), (a, 5),

(b, 1), ( b, 2), ( b, 3), ( b, 4), ( b, 5),

( c, 1), ( c, 2), ( c, 3), ( c, 4), ( c, 5),

( d, 1), ( d, 2), ( d, 3), ( d, 4), ( d, 5)}

Cada una de las parejas ordenas, es un elemento del

conjunto, por tanto tenemos 4x 5 = 20 elementos.

¿Cuántos subconjuntos tiene este conjunto?

Recordemos que un conjunto finito con n elementos,

tendrá 2n Subconjuntos, en este caso,

Tendremos 220 = 1048576.


7

Lo interesante es saber, que entre estos conjuntos A y B,

existe un total de 1048576 relaciones.

De ese total, algunas de esas relaciones, alcanzan el

título de función, es decir si algo es una función, es

porque también es una relación, pero existen relaciones

que no cumplen con los requisitos de las funciones.

¿Cuándo una relación es una función?

Función:

Una función f es una regla que asigna a cada elemento

x de un conjunto X un único elemento y de un conjunto

Y. El elemento y se llama imagen de x por f y se denota

por f(x) (Se lee: “f de x”). El conjunto X se llama dominio

de f y el conjunto de todas las imágenes de los

elementos de X se llama el rango o imagen de la

función.

Dominio y rango de una función A menos que se especifique lo contrario, en este libro

entenderemos por dominio de una función el conjunto

de los números reales para los que la función está

definida. Llamaremos a esto el convenio del dominio. Si

una función no está definida en x, entonces x no está en

el dominio de la función.


Las exclusiones más frecuentes del dominio son

aquellos valores que originan una división por cero y los

valores negativos bajo una raíz cuadrada. En las

aplicaciones, el dominio suele venir dado por el

contexto. Por ejemplo, si x es el número de personas en

un ascensor, el contexto requiere que se excluya a los

número negativos y a los no enteros; así x debe ser un

entero tal que 0≤ x ≤ c, donde c es la capacidad

máxima del ascensor.

Igualdad de funciones

Dos funciones f y g, son iguales si y solo sí

1. f y g tienen el mismo dominio

2. f(x) = g(x) para todo x del dominio

Funciones pares e impares

Una función f se llama

Par si f (-x) = f(x),

Impar si f (-x) = - f(x)

Para todo x del dominio de f


13

Ejemplo: Si f(x) = x2 , g(x) = 5x

(g o f)(x)

Se lee: “ g compuesta f” o “g aplicada después de f”, y se

define así:

(g o f)(1)= g ( f (1)) = g(1) = 5(1)

(g o f)(-5)= g ( f (-5)) =

(g o f)(6)= g ( f (6)) =

(g o f)(-15)= g ( f (-15x)) =

(g o f)(12)= g ( f (12)) =

(g o f)(8)= g ( f (8)) =

Función Inversa: Si f es un función y (a, b) pertenece al grafo de la

función f, entonces (b, a) pertenece al grafo de su

inversa f -1

No siempre la inversa de una función, es una función.

Para que f -1 sea una función, se requiere que f, sea una

función biyectiva.

Ejemplos de Funciones y su inversa


xxxf+−

=1

1)(

Trascendentales:

Logarítmicas f (x) = Log a x (a > 0)

Exponenciales f (x) = ax , ( a ≠ 1)

Trigonométricas = sen(x), cos(x), tan(x),…

Transformación de funciones: Traslaciones verticales y horizontales

Alargamiento y reflexiones

Funciones especiales: Función valor absoluto

Función compuesta

Función inversa


11

Función valor absoluto Es una función cuya ecuación es de la forma

f(x) = |x| se define Como:

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−

≥=

eceroxesmenorqusix

xsixxf

0)(

Figura. 1


Función compuesta Para realizar (g o f) (x) tomamos un elemento del

dominio de f y obtenemos su imagen f (x); si éste

número pertenece al dominio de g, entonces

calculamos g (f (x)).

El dominio de g o f está formado por todos los valores

de x del dominio de f, para los cuales f (x) pertenece al

dominio de g.

Si f y g son dos funciones tales que el rango de f tiene

elementos comunes con el dominio de g, entonces

podemos definir la función compuesta g o f así:

(g o f)(x) = g ( f (x))

El dominio de g o f es el conjunto de valores de x del

dominio de f para los cuales f (x) pertenece al dominio

de g


17

Función cuadrática

Y = ax 2 + b x + c (a distinto de cero)

Las coordenadas (x, y) del vértice, son:

abx

2−

= , a

bacy4

4 2−=

Para encontrar los puntos de corte con el eje horizontal,

se hace y = o. Por tanto, se debe resolver la ecuación:

02 =++ cbxax .

Recuerde que su solución es: a

acbbx2

42 −±−=

(Si a mayor que cero, la parábola se abre hacia arriba).

En este caso, su vértice es un mínimo

Figura No. 3

Si a menor que cero, la parábola se abre hacia abajo


f (x) = x3 y su inversa g(x) = 3 x

Nota: No todas las funciones tienen una inversa. Para

que una función tenga inversa, se requiere que sea una

función biyectiva1.

Función Inyectiva: Una función f, se dice inyectiva si para todo x, y en el

dominio de f, se cumple que si f (x) = f(y) entonces x = y

En el lenguaje cotidiano: Una función es inyectiva si

cualquiera dos elementos distintos del dominio, tienen

imágenes distintas.

Función Sobreyectiva: Una función f, se dice sobreyectiva si para todo, y en el

codominio de f, se cumple que si f-1 (y) = x. para algún x,

en el dominio de la función.

En el lenguaje cotidiano: Una función es sobreyectiva

(sobre) si cada elemento del codominio, tienen al menos

una preimagen.

Note:

f y g, son funciones mutuamente inversas. Se debe

cumplir que

1 Si f es una función, se dice que f es biyectiva si es inyectiva y además sobreyectiva.


15

f og (x) = g o f (x)= la función identidad2 = I(x)

Ejercicio:

Evalúe si la función f(x) = x2 – 16 tiene inversa. En caso

afirmativo, escríbala.

Función Lineal

y = m x + b

Su gráfica siempre es una línea recta

Figura No. 2

2 I(x) usualmente, denota la función identidad f(x) = x


Ejemplo de función Lineal Suponga que un comprador tiene un total de 100.000

pesos para gastos. Los precios de corbatas y camisas son

fijos. El costo de las camisas es de $ 20.000 por unidad y

el de las corbatas es $10.000 por prenda. Partiendo del

hecho de que este hombre gasta todo su dinero en

alguna combinación de corbatas y camisas:

A. Trace una gráfica que describa esta situación

(Camisas en el eje x, corbatas en el eje y)

Explique el significado del punto (0, 10)

Interprete el significado del punto (5, 0)

Ejemplo de función lineal

20.000X + 10.000y = 100.000

Simplificando, se tiene 2x + y = 10;

y = -2X + 10

¿Cuántas corbatas y cuántas camisas?

Si no compra ninguna camisa, puede comprar

y = 100000/10000 = 10

Si no compra ninguna corbata, puede comprar

y = 100000/20000 = 5 camisas


21

Desigualdades:

o Intervalos

o Desigualdades Lineales

o Desigualdades Cuadráticas

o Desigualdades Polinómicas

o Desigualdades Con Valor Absoluto

Clasificación de Intervalos

Abiertos (3,8)

Cerrados [4, 21]

Abierto - Cerrado (-1, 6]

Cerrado - Abierto [ 3, 9),

Desigualdades Lineales:

• 2U -11< 5U + 6

• 3X – 5 < 1 + X < 2X - 3


En este caso, su vértice, es un máximo

Figura No. 4

y = -2 x 2 + 6 x - 5

Figura No. 5


19

Alternativas para solucionar una ecuación de segundo grado

Por factorización

Completando cuadrado

Por fórmula

Solucione las siguientes ecuaciones,

por factorización

• X2 - 7X + 12 = 0

• 6X2 + (5/2)X + (1/4) = 0

Solucione las siguientes ecuaciones, completando el

cuadrado.

• 2X2 + 3X – 4 = 0 • (x + 1)2 = 2(x – 1)2

• 5x(x + 2) + 6 = 0

Soluciones las siguientes ecuaciones, usando la fórmula

• 7x + 6x – 1 = 0

• x( x + 1)(x + 3) = (x +2)2


Ejemplo de aplicación

Un capital de $100 se invierte a cierto interés a un año;

luego, junto con el interés ganado, se invierte en el

segundo año a un interés igual al doble de la primera

tasa de interés. Si la suma total obtenida es de $ 112.32,

¿Cuáles son las dos tasas de interés?


25

12

12

xxyym

−−

=

Pendiente es entonces cateto opuesto sobre cateto

adyacente

Pendiente es también = tanθ

(θ : Ángulo que forma la recta con el eje horizontal)

Ejemplos

Encuentre las ecuaciones de las rectas que:

Pasa por (2, -1) y es paralela a la recta

3x + y -2 = 0

Pas por (0, -1) y es paralela a la recta determinada

por (2,2) y (3,1)

Sistemas de Ecuaciones

a1x + b1y = c1

a2 x + b2y = c2

Donde a1, b1, c1, a2, b2, c2, son seis constantes


Ejemplos de Aplicación

Desigualdad Lineal

Un fabricante puede vender todas las unidades que

puede produce al precio de 30 dólares cada una. Tiene

costos fijos de 12.000 dólares al mes; y además, le cuesta

22 dólares producir y vender cada artículo. ¿Cuántas

unidades debe producir y vender al mes para obtener

ganancias?

Desigualdad cuadrática

Resuelva la siguiente desigualdad

X2 + 13 < 6x

Ejemplo de Desigualdad Cuadrática

Un granjero desea delimitar un terreno rectangular y

tiene 200 yardas de cerca disponible. Encuentre las

dimensiones posibles del terreno si su área debe ser de

al menos 2100 yardas cuadradas.

Ejemplos de Desigualdades con Valor Absoluto

|3 -7x| = 4

|2x - 3| = x – 4

|3x - 2| + |2x -7| < 0


23

Propiedades de Valor Absoluto

1. | x | >= 0

2. Si |a| = b, (donde b >= 0) entonces a=b o a = -b

3. Si |a| = |b|, entonces a=b o a = -b

4. | x |2 = x2

5. | -a | = | a |

6. -| a | ≤ a ≤ | a |

7. Sea a 0≥ ; | x | < a si y solo si -a < x < a

8. Sea a > 0; | x | > a si y solo si x >a o bien x< a

9. |ab| = | a || b |

10. | a/b | = |a | / | b | (b diferente de 0)

11. | a + b | ≤ | a |+| b |

Ejemplo de desigualdad

Un distribuidor de licores compra whisky a $2 la botella

y lo vende a p dólares por botella. El volumen de ventas

x (en cientos de miles de botellas a la semana) está dado

por x = 24 – 2p cuando el precio es p ¿Qué valor de p

arroja un ingreso total de $7 millones por semana?

¿Qué valores de p dan una utilidad al distribuidor de

licores de al menos $4.8 millones por semana?


Líneas Rectas

Líneas rectas y ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones

Aplicaciones al análisis en la administración

Oferta y Demanda

Distancia entre dos puntos

Si P (x1, y1) y Q (x2 , y2) son dos puntos cualesquiera en el

plano, entonces la distancia d = 212

212 )()( yyxx −+−

Definición: La gráfica de una ecuación con dos

incógnitas, tales como x y y, es el conjunto de todos lo

puntos cuyas coordenadas (x, y) satisfacen la ecuación

Ax + Bx + C = 0

Ecuación de una recta

Pendiente de la recta

La pendiente de una recta se define como la tangente

del ángulo que la recta hace con el eje horizontal, en la

dirección positiva de las x


29

Ejemplo de aplicación.

Un almacén de productos químicos tiene dos tipos de

soluciones ácidas. Una de ellas contiene 25% de ácido y

la otra 15% de ácido. ¿Cuántos galones de cada tipo

deberá mezclar para obtener 200 galones de mezcla

que contengan 18% de ácido?

Sistemas de ecuaciones 3x3

. x + 3y + 4z = 1

2x + 7y + 3z = -7

3x + 10y + 8z = -3

Solución de un sistema 3x3

A =

333

222

111

cbdcbdcbd

B =

333

222

111

cdacdacda

C =

333

222

111

dbadbadba


Métodos de solución

Igualación

Sustitución

Eliminación

Método Gráfico

Determinantes

Método de igualación

3x + 5t = 12 y 4x – 3t = -13

Método de Sustitución

5x -7y + 2 = 0 y 15x - 21y = 7

Método de Eliminación

2y + x = 4

3x + 6y = 12

Método Gráfico

4x – y = -2

3x + 4y = 27

Consiste en trazar las dos rectas, en un mismo sistema de

coordenadas. El punto donde se interceptan las dos,


27

corresponde a la solución, en este caso, la solución es el

punto (1, 6)

Figura No. 6


Método de los Determinantes

A = 22

11

bcbc

B = 22

11

caca

C = 22

11

baba

Solución por Determinantes

Si H = dcba

, entonces determinante de H (det H)

)(det bcadH −=

CAx

detdet

=

CBy

detdet

=


33

(A ≥ 0 ∧ A 2 + C 2 > 0)

Discusión:

1) A C = 0 ⇒ género parábola

2) A C > 0 ⇒ género elipse

3) A C < 0 ⇒ género hipérbola

Género Parábola

1) C D ≠ 0 ⇒ parábola con eje de simetría

paralelo al eje X

2) A E ≠ 0 ⇒ parábola con eje de simetría

paralelo al eje Y


D =

333

222

111

cbacbacba

Si M =

333

222

111

cbacbacba

,

Mdet = + 1a33

22

cbcb

- 1b33

22

caca

+ 1c33

22

bcba

DAx

detdet

=

DBy

detdet

=

DCz

detdet

=


31

Ecuación de Segundo Grado

A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0 ( B ≠ 0 )

Discusión:

1) B 2 – 4 A C = 0 ⇒ género parábola

2) B 2 – 4 A C < 0 ⇒ género elipse

3) B 2 – 4 A C > 0 ⇒ género hipérbola

Eliminación del Coeficiente B

Para eliminar el coeficiente B, se deben girar los ejes en

un ángulo positivo agudo θ , de acuerdo a lo siguiente:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=θ⇒≠

=θ⇒=

C–ABarctg

21CA)2

º45CA)1

Una vez efectuada esa operación, la nueva ecuación

queda de la forma:

A’ x’ 2 + C’ y’ 2 + D’ x’ + E’ y’ + F’ = 0


Donde:

A’ = A cos2 θ + B sen θ cos θ + C sen2 θ

C’ = A sen2 θ – B sen θ cos θ + C cos2 θ

D’ = D cos θ + E sen θ

E’ = E cos θ – D sen θ

F’ = F

Ecuación de la tangente en un punto dado de la cónica

Dada la ecuación general de la cónica:

A x 2 + B x y + C y 2 + D x + E y + F = 0

La ecuación general de la tangente en el punto

P (x 0, y 0) de la cónica, es:

( ) ( ) ( ) 0Fyy2Exx

2DyyCxyyx

2BxxA 000000 =++++++++

Ecuación General de una Cónica (sin coeficiente B)

A x 2 + C y 2 + D x + E y + F = 0


37

Ejemplo: 25 x 2 + 64 y 2 – 1600 = 0

Figura No. 10

x

y

-15 -10 -5 0 5 10 15

-5

0

5


Ejemplo: x 2 – 2 y – 14 = 0

Figura No. 7

Figura No. 8

x

y

-15 -10 -5 0 5 10 15

-5

0

5


35

Casos Particulares:

3) A = D = 0

a) E 2 – 4 C F > 0 ⇒ 2 rectas

paralelas al eje X

b) E 2 – 4 C F = 0 ⇒ 1 recta

paralela al eje X

c) E 2 – 4 C F < 0 ⇒ ningún

lugar geométrico

4) C = E = 0

a) D 2 – 4 A F > 0 ⇒ 2 rectas

paralelas al eje Y

b) D 2 – 4 A F = 0 ⇒ 1 recta

paralela al eje Y

c) D 2 – 4 A F < 0 ⇒ ningún

lugar geométrico


Género Elipse

1) CD 2 + AE 2 – 4 ACF > 0

a) A = C ⇒ Circunferencia

b) A < C ⇒ Elipse con eje focal paralelo

al eje X

c) A > C ⇒ Elipse con eje focal paralelo

al eje Y

Ejemplo: x 2 + y 2 – 49 = 0

Figura No. 9

x

y

-15 -10 -5 0 5 10 15

-5

0

5


41

Ejemplo 1: Encontrar una ecuación de la parábola que

tenga su foco en (0,-3) y como su directriz a la recta y =

3. Trazar la gráfica.

Ejemplo 2: Un espejo parabólico tiene una profundidad

de 12cm en el centro y la distancia a lo largo de su parte

superior es de 32cm, Calcular la distancia del vértice al

foco.

Teorema 2a: Si p es la distancia dirigida del vértice al

foco, una ecuación de la parábola con vértice en (h, k) y

con su eje paralelo al eje x es:

(y – k)2 = 4p(x – h)

Una parábola con l mismo vértice y con su eje paralelo

al eje y tiene por ecuación

(x – h)2 = 4p (y – k)


Casos Particulares

2) CD 2 + AE 2 – 4 ACF = 0 ⇒ un punto

3) CD 2 + AE 2 – 4 ACF < 0 ⇒ ningún

lugar geométrico

Género Hipérbola

1 ) CD 2 + AE 2 – 4 ACF < 0 ⇒ hipérbola con

eje focal paralelo al eje X

2 ) CD 2 + AE 2 – 4 ACF > 0 ⇒ hipérbola con

eje focal paralelo al eje Y

Ejemplo: 9 x 2 – 16 y 2 – 144 = 0

Figura No. 10a

x

y

-15 -10 -5 0 5 10 15

-5

0

5


39

Caso Particular

3) CD 2 + AE 2 – 4 ACF = 0 ⇒ 2 rectas secantes

Ecuación de la tangente en un punto dado de la cónica

Dada la ecuación general de la cónica:

A x 2 + C y 2 + D x + E y + F = 0

(A ≥ 0 ∧ A 2 + C 2 > 0)

La ecuación general de la tangente en el punto P (x 0, y 0)

de la cónica, es:

( ) ( ) 0Fyy2Exx

2DyyCxxA 0000 =++++++

Secciones cónicas:

Una sección cónica es una curva de intersección de un

plano con un cono circular recto. Hay tres tipos de

curvas que se obtienen de esta manera: la parábola, la


elipse, la hipérbola. La curva resultante, depende de la

inclinación del eje del cono relativa al plano que lo corta.

La parábola:

Definición 1: Una parábola es el conjunto de todos los

puntos en un plano, equidistantes de un punto fijo y

una recta fija. El punto fijo se llama foco y la recta fija se

llama directriz.

Teorema 1a: La ecuación de una parábola que tiene su

foco (p, 0) y como su directriz la recta

x = -p es:

y2 = 4px

Teorema 1a: La ecuación de una parábola que tiene su

foco (0, p) y como su directriz la recta

y = -p es:

x2 = 4py


45

Teorema: La cónica central que tiene como ecuación:

1)1( 22

2

2

2

=−

+ea

yax

Es una elipse.

Aquí, b = a 21 e− , transformando la ecuación en

1169

22

=−yx

Encontrar los vértices, focos, directrices, excentricidad y

longitud de los ejes transverso y conjugado. Hacer un

dibujo de la hipérbola y señalar los focos y las directrices.

Solución: a = 3 y b = 4, los vértices, están en los puntos (-

3, 0) y (3,0), el número de unidades del eje transverso es

2a = 6 y el eje conjugado es 2b = 8, como b = a 12 −e ,

entonces e = 35 , los focos están en (-5, 0) y (5,0), las

directrices son ± ae = ± 59


Ejemplo 3:

Hallar una ecuación de la parábola que tiene por

directriz la recta y = 1 y por foco el punto F (-3, 7).

Solución: Ya que la directriz es paralela al eje x, el eje será

paralelo al eje y, y la ecuación tendrá la forma: (x – h)2 =

4p (y – k). Como el vértice está a la mitad entre la

directriz y el foco, V tiene las coordenadas (-3, 4). La

distancia dirigida del vértice al foco es p, así:

P = 7 – 4 = 3

Por lo tanto, una ecuación es: (x +3)2 = 12(y – 4)

Al resolver, se tiene que x2 + 6x -12y + 57 = 0

Ejemplo: Dada la parábola que tiene por ecuación y2 +

6x + 8y + 1 = 0, hallar el vértice, el foco, una ecuación de

la directriz, una ecuación del eje y la longitud del lado

recto y trazar la gráfica.

Solución: al reagrupar y completar el cuadrado, quedará

(y + 4)2 = - 6(x - 25 ) con h = -4, k = 2

5 , p = 23


43

Por tanto, el vértice, está en ( 25 , -4), una ecuación del eje,

y = -4; foco está en (1, -4); una ecuación de la directriz es

x = 4, y la longitud del lado recto es 6

Lado Recto: Cuando trazamos la gráfica de una

parábola, conviene dibujar la cuerda a través del foco,

perpendicular al eje de la parábola, porque los extremos

de esta cuerda dan dos puntos de la parábola. Esta

cuerda se llama lado recto de la parábola. La longitud

del lado recto es |4p|

Excentricidad:

La razón constante e = 1

Teorema: Si e es la excentricidad de una cónica no

degenerada, entonces si e ≠ 1, la cónica tiene dos

vértices; si e = 1, la cónica tiene solamente uno.

Si 0 < e <1, la cónica es una elipse y si e>1, la cónica es

una hipérbola.



1)1( 22

2

2

2

=−

+ea

yax

Es una elipse.

Aquí, b = a 21 e− , transformando la ecuación en

12

2

2

2

=+by

ax


1)1( 22

2

2

2

=−

+eay

ax

Es una hipérbola.

Aquí, b = a 12 −e , transformando la ecuación en

12

2

2

2

=−by

ax


49

Figura No. 13

Teoremas:

Teorema 1: Sea AB cuerda de la circunferencia de

centro O, S simetral de AB , C punto medio de AB y

D punto de AB , entonces:

a) O ∈ S

b) OD ⊥ AB ⇔ D = C

Figura No. 14

Teorema 2: En toda circunferencia, dos cuerdas son

congruentes si y sólo si están a igual distancia del centro

de ésta.


Circunferencia:

Definición:

Sea O punto del plano ( P ) y r un real positivo,

entonces se denomina circunferencia de centro O y

radio r ( C ( O , r ) ), al conjunto formado por y sólo por

los puntos del plano ( P ) que están a una distancia r

del punto O.

C ( O , r ) = { A ∈ ( P ) : OA = r }

Círculo:

Se define como círculo de una circunferencia, a la

unión de ésta con su interior.

Ejemplo: En la figura 11, se ha dibujado una

circunferencia con su

círculo.

Figura No. 11


47

Elementos de la Circunferencia

Radio

Se denomina radio de una circunferencia, a todo trazo

cuyos extremos son un punto de la circunferencia y el

centro de ella. Su longitud se designa por r.

Ejemplo: En la figura 11, OA es radio de la

circunferencia.

Cuerda, diámetro y arco

Se denomina cuerda de una circunferencia, a todo trazo

cuyos extremos pertenecen a ella. Si el centro de la

circunferencia pertenece a dicha cuerda, ésta recibe el

nombre de diámetro de la circunferencia.

Al subconjunto de la circunferencia determinado por

esta cuerda se le denomina arco de la circunferencia.

Ejemplo: En la figura 12, AB es cuerda, es arco y

CD es diámetro de la circunferencia.


Figura No. 12

La longitud del diámetro se designa generalmente por

d y se cumple que:

d = 2r

Secante y tangente

Se denomina secante de una circunferencia a toda recta

que la intercepta en dos puntos. Si una recta la

intercepta en un y sólo un punto se llama tangente de

la circunferencia.

Ejemplo: En la figura 13, L es secante y T es tangente a

la circunferencia en el punto C. Al trazo OC se le

llama radio de contacto.


53

Circunferencias secantes:

Figura No. 17

Circunferencias concéntricas:

Figura No. 18

Circunferencias tangentes exteriormente:

Figura No. 19 Circunferencias tangentes interiormente:

Figura No. 20


Figura No. 15

Teorema 3: En toda circunferencia, el radio de contacto

es perpendicular a la tangente respectiva.

Ejemplo: En la figura 13, OC ⊥ T.

Teorema 4: En toda circunferencia, si desde un punto

exterior a ella se trazan dos rayos tangentes a la

circunferencia, los segmentos determinados son

congruentes y además, la bisectriz del ángulo que

forman esos rayos, pasa por el centro de la

circunferencia.


51

Figura No. 16

Perímetro y Área

Dada una circunferencia de radio r, entonces su

perímetro y el área de su círculo son:

Perímetro de la circunferencia = 2 π r

Área del círculo = π r ²

Teorema 5: Dadas dos circunferencias de radios r y r’,

entonces:

),()','('

rOCnciacircunfereladePerímetrorOCnciacircunfereladePerímetro

= r'r

)r,O(CcírculodelArea)'r,'O('CcírculodelArea

= 2

r'r⎟⎠⎞

⎜⎝⎛


Ejemplo: Si los radios de dos circunferencias están en la

razón 2 : 3 , entonces sus perímetros están en la razón

2 : 3 y sus círculos en la razón 4 : 9 , respectivamente.

Semicircunferencia y semicírculo

En toda circunferencia de radio r, cada diámetro

determina en ella dos semicircunferencias y dos

semicírculos. Además se cumple que:

Perímetro de la semicircunferencia = π r

Área del semicírculo = 2r 2π

Posiciones relativas de dos circunferencias

Dadas dos circunferencias coplanares, C ( O , r ) y C' (

O' , r' ) se dan, entre otras, las siguientes situaciones:


57

Figura No. 25

Ángulo semi-inscrito

Un ángulo está semi-inscrito a una circunferencia si y

sólo si su vértice pertenece a ella, un lado es secante y

el otro es tangente a esa circunferencia.

Figura No. 26

Ángulo interior

Ángulo interior de una circunferencia, es aquel cuyo

vértice está en el interior de ella.


Congruencia

Dos circunferencias son congruentes si y sólo si sus

radios son de igual medida.

C' (O’, r’) ≅ C (O, r) ⇔ r' = r

Ángulos:

Ángulo del centro

Ángulo del centro de una circunferencia es aquel cuyo

vértice es el centro de ella.

Figura No. 21

Observación: A la intersección del interior de un ángulo

del centro con el círculo de la circunferencia

respectiva, se le denomina sector circular.


55

Teorema 6: En toda circunferencia, la magnitud de un

ángulo del centro y la longitud del arco

comprendido respectivo, son directamente

proporcionales. Lo mismo ocurre entre el ángulo del

centro y el área del sector circular correspondiente.

Figura No. 22

Teorema 7: En toda circunferencia, las siguientes

afirmaciones son equivalentes:

a. Las cuerdas son congruentes.

b. Los arcos subtendidos por ellas son congruentes.

c. Los ángulos del centro correspondientes son

congruentes.


Figura No. 23

Ángulo inscrito

Ángulo inscrito en una circunferencia, es aquel cuyo

vértice pertenece a ella y sus lados son secantes a la

circunferencia.

Figura No. 24

Teorema 8: Todo ángulo inscrito en una

semicircunferencia es recto.


61

Hipérbola

Definición: Hipérbola es el lugar geométrico de todos los puntos del

plano y solamente aquellos, tal que el valor absoluto de

la diferencia entre las distancias a dos puntos del plano,

llamados focos de la hipérbola, es constante y menor

que la distancia entre ellos.

Hipérbola de eje focal paralelo al eje X

Ecuación ordinaria:

1b

)k–y(–a

)h–x(2

2

2

2=

( a > 0 ∧ b > 0 )

Centro: C (h, k)

Focos: F 1 ( h + c , k ) F 2 ( h – c , k )

22 bac +=

Vertices: V 1 ( h + a , k ) V 2 ( h – a , k )

Ecuación del eje focal: y = k


Figura No. 27

Ángulo exterior

Ángulo exterior de una circunferencia, es aquel cuyo

vértice está en el exterior de ella y sus lados la intersecan.

Figura No. 28

Proporcionalidades en la circunferencia


59

Teorema de las cuerdas

En cada circunferencia, si dos cuerdas se intersecan en

su interior, entonces los segmentos determinados en

cada una de ellas, son inversamente proporcionales.

Al producto de las magnitudes de esos segmentos de

cada cuerda, se le denomina potencia del punto interior

(punto de intersección).

Figura No. 29

Teorema de las secantes

En cada circunferencia, si dos secantes a ella se

intersecan en su exterior, entonces los segmentos

exteriores y mayores determinados en cada una de ellas,

son inversamente proporcionales.

Al producto de las magnitudes de esos segmentos de

cada secante, se le denomina potencia del punto

exterior (punto de intersección).


Figura No. 30

Teorema de la secante y tangente

En cada circunferencia, si una tangente y una secante a

ella se intersecan en su exterior, entonces el segmento

determinado en la tangente es media proporcional

geométrica entre los segmentos exteriores y mayores

determinados en la secante.

Al producto de las magnitudes de esos segmentos de la

secante, se le denomina potencia del punto exterior

(punto de intersección).

Figura No. 31


65

A2D–h =

C2E–k =

2

222

CA4FCA4–DCEAa +=

CA4FCA4–DCEA–b

2

222 +=


Ecuación del eje normal: x = h

Ecuación de las directrices:

cahx

2±=

Ecuación de las asíntotas:

ka

)h–x(by +±=

Distancia focal = 2 c

Longitud del eje transverso = 2 a

Longitud del eje conjugado = 2 b

Longitud del lado recto = ab2 2

Excentricidad: e = ac

> 1

Ecuación general: A x 2 + C y 2 + D x + E y + F = 0

( A > 0 ∧ C < 0 ∧ A E 2 + C D 2 – 4 A C F < 0 )


63

A2D–h =

C2E–k =

CA4FCA4–DCEAa

2

222 +=

2

222

CA4FCA4–DCEA–b +=

Hipérbola de eje focal paralelo al eje Y


1

b)h–x(–

a)k–y(

2

2

2

2=

( a > 0 ∧ b > 0 )

Centro: C (h, k)

Focos: F 1 (h, k + c) F 2 (h, k – c)

22 bac +=

Vértices: V 1 ( h , k + a ) V 2 ( h , k – a )

Ecuación del eje focal: x = h

Ecuación del eje normal: y = k


Ecuación de las directrices: caky

2±=

Ecuación de las asíntotas: k

b)h–x(ay +±=


Longitud del eje transverso = 2 a

Longitud del eje conjugado = 2 b



> 1


( A > 0 ∧ C < 0 ∧ A E 2 + C D 2 – 4 A C F > 0 )


69

La ecuación de la tangente a la hipérbola en el punto P

(x 0, y 0) es:

1b

)h–x()h–x(–

a)k–y()k–y(

20

20 =

c) Dada la ecuación general de la hipérbola:

A x 2 + C y 2 + D x + E y + F = 0

La ecuación general de la tangente a la hipérbola

en el punto P (x 0, y 0) es:

( ) ( ) 0Fyy2Exx

2DyyCxxA 0000 =++++++

2) Dada la pendiente m de la tangente:

a) Dada la ecuación ordinaria de la hipérbola de

eje focal paralelo al eje X:

1b

)k–y(–a

)h–x(2

2

2

2=


Ejemplo 1

Figura No. 32

Ecuación general:

16 x 2 – 9 y 2 – 32 x + 54 y – 209 = 0


1

16)3–y(–

9)1–x( 22

=

Centro: C (1, 3)

Focos: F 1= (6, 3) F 2 = (– 4, 3)

x

y

-15 -10 -5 0 5 10 15

-5

0

5

10


67

Vértices: V 1 (4, 3) V 2 (– 2, 3)

Ecuación del eje focal: y = 3

Ecuación del eje normal: x = 1

Ecuaciones de las directrices: x 1 = 2,8

x 2 = – 0,8

Ecuaciones de las asíntotas:

4 x – 3 y + 5 = 0 4 x + 3 y – 13 = 0

Distancia focal = 10

Longitud del eje transverso = 6

Longitud del eje conjugado = 8

Longitud del lado recto = 3

32

Excentricidad: e = 35


Ecuación de la tangente:

1) Dado el punto de contacto P (x 0, y 0):

a) Dada la ecuación ordinaria de la hipérbola de eje

focal paralelo al eje X:

1b

)k–y(–a

)h–x(2

2

2

2=

La ecuación de la tangente a la hipérbola en el punto P

(x 0, y 0) es:

1b

)k–y()k–y(–

a)h–x()h–x(

20

20 =

b) Dada la ecuación ordinaria de la hipérbola de eje

focal paralelo al eje Y:

1b

)h–x(–a

)k–y(2

2

2

2=


73

Ejemplo 3

Ecuación ordinaria de la hipérbola:

12

)3–x(–24

)1–y( 22=

Ecuaciones principales de las tangentes de pendiente

m = 2:

y = 2 x – 1

y = 2 x – 9

x

y

-15 -10 -5 0 5 10 15 20

-5

0

5

10

Figura No. 34


Las ecuaciones principales de las tangentes de

pendiente m son:

y = m (x – h) + k + 222 b–ma

| M | > ab

y = m (x – h) + k – 222 b–ma

b) Dada la ecuación ordinaria de la hipérbola de

eje focal paralelo al eje Y:

1b

)h–x(–a

)k–y(2

2

2

2=


pendiente m son:

y = m (x – h) + k + 222 mb–a

| M | < ba


71

y = m (x – h) + k – 222 mb–a

Ejemplo 2

Ecuación ordinaria de la hipérbola:

14

)2–y(–9

)1–x( 22=

Ecuación general de la hipérbola:

4 x 2 – 9 y 2 – 8 x + 36 y – 68 = 0


Ecuación de la tangente en el punto

P ( 5,5 , 2 + 5 ) : 2 x – 5 y + 2 5 – 6 = 0

Figura No. 33

x

y

-4 -2 0 2 4 6 80

2

4

6


77

Focos: F 1 (h, k + c) F 2 (h, k – c)

22 b–ac =

Vértices: V 1 ( h , k + a ) V 2 ( h , k – a )

Ecuación del eje focal: x = h

Ecuación del eje normal: y = k

Ecuación de las directrices: caky

2±=


Longitud del eje mayor = 2 a

Longitud del eje menor = 2 b



< 1


Elipse

Definición: Elipse es el lugar geométrico de todos los puntos del

plano y solamente aquellos, tal que la suma de las

distancias a dos puntos de él, llamados focos de la elipse,

es constante y mayor que la distancia entre estos.

Elipse de eje focal paralelo al eje X


1b

)k–y(a

)h–x(2

2

2

2=+ (a > b > 0)

Centro: C (h, k)

Focos: F 1 ( h + c , k ) F 2 ( h – c , k )

22 b–ac =

Vértices: V 1 ( h + a , k ) V 2 ( h – a , k )


75

Ecuación del eje focal: y = k

Ecuación del eje normal: x = h

Ecuación de las directrices: cahx

2±=


Longitud del eje mayor = 2 a

Longitud del eje menor = 2 b



< 1



( C > A > 0 ∧ A E 2 + C D 2 – 4 A C F > 0 )

A2D–h =

C2E–k =

CA4FCA4–DCEAa

2

222 +=

2

222

CA4FCA4–DCEAb +=

Elipse de eje focal paralelo al eje Y


1a

)k–y(b

)h–x(2

2

2

2=+ (a > b > 0)

Centro: C (h, k)


81

La ecuación de la tangente a la elipse en el punto

P (x 0, y 0) es:

1b

)k–y()k–y(a

)h–x()h–x(2

02

0 =+

b) Dada la ecuación ordinaria de la elipse de eje


1a

)k–y(b

)h–x(2

2

2

2=+

La ecuación de la tangente a la elipse en el punto

P (x 0, y 0) es:

1a

)k–y()k–y(b

)h–x()h–x(2

02

0 =+

c) Dada la ecuación general de la elipse:

A x 2 + C y 2 + D x + E y + F = 0



( A > C > 0 ∧ A E 2 + C D 2 – 4 A C F > 0 )

A2D–h =

C2E–k =

2

222

CA4FCA4–DCEAa +=

CA4

FCA4–DCEAb2

222 +=

Ejemplo 1

Figura No. 35

x

y

-10 -5 0 5 10 15 20

-5

0

5

10


79

Ecuación general:

9 x 2 + 25 y 2 – 72 x – 100 y – 656 = 0


136

)2–y(100

)4–x( 22

=+

Centro: C (4, 2)

Focos: F 1 (12, 2) F 2 (– 4, 2)

Vértices: V 1 (14, 2) V 2 (– 6, 2)

Ecuación del eje focal: y = 2

Ecuación del eje normal: x = 4

Ecuación de las directrices:

x 1 = 16,5 x 2 = – 8,5

Distancia focal = 16


Longitud del eje mayor = 20

Longitud del eje menor = 12

Longitud del lado recto = 7,2

Excentricidad: e = 0,8

Ecuación de la tangente

1) Dado el punto de contacto P (x 0, y 0):

a) Dada la ecuación ordinaria de la elipse de eje


1b

)k–y(a

)h–x(2

2

2

2=+


85

x

y

-5 0 5 10 150

5

10

Figura No. 36

Ejemplo 3

Ecuación ordinaria de la elipse:

132

)2–y(8

)1–x( 22=+

Ecuaciones principales de las tangentes de pendiente

m = 2:

y = 2 x + 8

y = 2 x – 8


La ecuación general de la tangente a la elipse en

el punto P (x 0, y 0) es:

( ) ( ) 0Fyy2Exx

2DyyCxxA 0000 =++++++


83

2) Dada la pendiente m de la tangente:

a) Dada la ecuación ordinaria de la elipse de eje


1b

)k–y(a

)h–x(2

2

2

2=+


pendiente m son:

y = m (x – h) + k + 222 bma +

y = m (x – h) + k – 222 bma +

b) Dada la ecuación ordinaria de la elipse de eje


1a

)k–y(b

)h–x(2

2

2

2=+



pendiente m son:

y = m (x – h) + k + 222 amb +

y = m (x – h) + k – 222 amb +

Ejemplo 2

Ecuación ordinaria de la elipse:

18

)4–y(32

)7–x( 22=+

Ecuación general de la elipse:

x 2 + 4 y 2 – 14 x – 32 y + 81 = 0

Ecuación general de la tangente en el punto

P (3, 2): x + 2 y – 7 = 0


89

23. 4x 2 = y2 - 4y + 8

24. 4x2 - 5y2 - 16x + 10y + 31 = 0

En los ejercicios 25 al 29, encontrar la ecuación de la

hipérbola que satisface las, condiciones dadas:

25. Focos F (± 8, O) Vértices V (± 5, O)

26. Focos F (O, ± 3), longitud del eje

conjugado 2

27. Vértices V(± 10,0) , ecuaciones de las asíntotas y =

±21

x

28. Centro en C(2, -3), Focos en (2± 13 , -3) y excentricidad

de 213

29. Vértices V(± 6,0), pasa por el punto (10,4),


x

y

-10 -5 0 5 100

5

Figura No. 37

EJERCICIOS:

(Secciones Cónicas)

Encontrar el foco y la directriz de las parábolas que

tienen por ecuación:

1. x2 = 4y

2. x2 = - 6y

3. y2 = 3x

4. 6 (x - 5)2 = 8 - y


87

5. y2 - 20y + 100 = 6x

En los ejercicios 6 a 10, encontrar la ecuación de la

parábola que satisface condiciones dadas.

6. Vértice (- 3, 1), foco (0, 1)

7. Vértice (0, 1), directriz y = 2

8. Foco (- 6, 0), directriz x = 0

9. Vértice en el origen, simétrica con respecto

al eje y, pasa por el punto A (3, - 2)

10. Vértice en V (1, - 4), eje paralelo al eje x,

pasa por A (- 6,7)

Determinar las coordenadas de los vértices, focos y

extremos del eje menor de las siguientes ecuaciones

11. 12549

22

=+yx

12. y 2+ 25x2 = 25

13. 14

)2(16

)1( 22

=−

+− yx

14. 4x2 + y2 + 24x - 10y + 45 = O


En los ejercicios 15 a 19 encontrar la ecuación de la

elipse que satisface las condiciones dadas.

15. Vértices V (0 ,± 8), focos F (O, ± 5)

16. Centro C ( - 3, O), focos F ( - 3, - 2), a = 4

17. Vértices V(±5, O) longitud del eje menor 3

18. Focos F(±1, 1) y pasa por el origen

19. Excentricidad 32

y la recta x = 9 es la directriz

correspondiente al foco (4, 0)

20. Encontrar los puntos de intersección de las gráficas

representadas por las ecuaciones:

x2 + 4y2 = 20

x + 2y = 6

En los siguientes ejercicios encontrar las coordenadas

del centro, de los vértices y de los focos y las ecuaciones

de las asíntotas.

21. 12549

22

=−yx

22. 16x2 - 36y2 = 1


93

arctan

Sen


30. Encontrar los puntos de intersección de las gráficas

representadas por las ecuaciones siguientes:

y2 - 4x2 = 16

y – x = 4

Funciones Circulares:

HipoenusaOpuestoSeno =

OpuestoHipotenusaecante =cos

AdyacenteOpuestoTangente =

OpuestoAdyacentegenteCo =tan

HipoenusaAdyacenteCoseno =

OpuestoAdyacenteSecante =

Las abreviaremos como sen, cos, tan, cot, sec, csc


91

Arcsen


Arccos


97

AAAsenA seccostan =+

θθθ cot

tan1cot1

=++

yyy 222 sec2)tan1()tan1( =−++

x

senxxxcos

1tansec +=+

1cos)cot(tan =+ xsenxxx

xsenxxx 22

2

2

costan1tan1

−=+−

ysenxsenyxsenyxsen 222222 coscos −=−

senA

AAA

AA+

=+ 1

coscoscot

coscot

tsentsentt

tsent cos1cos

cos 33

+=−−

tsentttsen 22

2

4

tancos

−=

0)cot1(tan)tan1(cot 22 =−+− tttt

t

sentsent

tcos1

cos1+

=−


Cos

Tan


95

Cot

Sec


Csc

Figura No. 38

Ejercicios:

1. Simplifique cada una de las siguientes expresiones:

θ

θ2

2

cos1cos−

θ

θθ2

22

cotcos+sen

θθ 22 tansec −

x

senxsenx

xcos

cos+

2. Demuestre las siguientes identidades:


101

Figura No. 40

xxf 3)( = (Color Rosado)

xexf =)( (Color Azul)

xxf 2)( = (Color Rojo)


xsenxxxsen

xxsenxx

coscos

tan1)(costan 33

2

22

++

=−

−

xsenxsenxx

xsenxxxxsenx cos1cos

)tancot(coscos+=

−−

12cos

)(cos 244

222

−=−− xsen

xxsenxsenx

senx

xx

xxx+

=−

1sec

costansecsec 2

2

2


99

LOGARITMOS Y EXPONENCIALES

Funciones exponenciales

Logaritmos

Aplicaciones de los logaritmos

Exponenciales naturales y logaritmos

Gráfica de y = 2x

Gráfica de y = (1/3)x

Función exponencial y = ax

El número a se conoce como la base, puede ser

cualquier número real positivo excepto 1.


Con frecuencia es útil usar como base al irracional

e = 2.71828…

Gráfica de ex

Figura No. 39


105

Figura No. 41

Gráfica de y = log2 x

Figura No. 42


Interés Compuesto

Consideremos el caso general de una inversión que

crece con interés compuesto. Sea P una suma invertida a

una tasa R por ciento anual. Luego, el interés en el

primer año es (R/100), de modo que el valor de la

inversión después de 1 año es:

P + (R/100)P = P(1 + R/100) = P(1 + i)

Interés Compuesto

Después de n años, el valor está dado por la fórmula

Valor después de n años = P(1 + i )n , i = R/100

P(1 + i )n es equivalente a una función exponencial con

base a = (1 + i)

Capitalización

Si el interés es capitalizado más de una vez por año. Por

ejemplo:

Semestralmente (2 veces al año)

Trimestralmente ( 4 veces al año)

En estos casos, el porcentaje R de la tasa de interés anual

la cual por lo regular se cotiza se denomina la tasa

nominal. Si se compone de k veces por año y si la tasa

de interés nominal, es R por ciento, esto significa que la


103

tasa en cada composición es (R/k) por ciento. En n

años, el número de composiciones es kn

Valor después de n años = P(1 + i / k ) nk , i = R/100

Ejemplo

Un capital de $2000 se invierte a una tasa de interés

nominal anual del 12%. Calcule su valor:

Después de 1 año si la capitalización es trimestral

Después de 4 años si la capitalización ocurre cada 6

meses

Solución

.a Valor = P(1 + i / k ) nk = 2000(1 + 0.12/4)1*4

= 2000(1+ 0.12/4)4 = 2251.01762

.b Valor = P (1 + i / k) nk = 2000(1 + 0.12/2)4*2

= 2000(1 + 0.12/2)8 = 3187.696149

Logaritmos

Si x = Log a y se lee el logaritmo de y con base a es igual

a x. significa que ax = y

Entonces x = Log a y si y solo si y = ax


Log a y es la potencia a la cual a debe elevarse para

obtener y (a puede ser cualquier

número positivo distinto de 1)

Funciones Logarítmicas

x = Log ay si y solo si y = ax

a : base

y : potencia

x : exponente

x = logay si y solo si y = ax

Log a y es la potencia a la cual a debe elevarse para

obtener y

Si a = 10, no es necesario escribirla, y se les llama

logaritmo decimal.

Si Log m = 25, significa que 1025 = m

Si la base, es el número e, se le da el nombre de

logaritmo natural (ln)


109

EJERCICIOS TÍPICOS DE EXAMENES

1. Resuelva la siguiente

inecuación.

0832144689 234 ≤+−−+ xxxx

2. Para amenizar una fiesta se ha

pedido cotización a dos grupos

musicales, uno pide $1.000.000

y el otro $400.000 más el 25%

de lo que se reciba por la venta

de las boletas. Si el número de

asistentes es de 500 personas,

¿cuál es el mayor precio que se

debe cobrar por boleta para

que el segundo grupo no

resulte más costoso que el

primero?


Gráfica de x = 2y

Figura No. 43


107

Figura No. 44


Propiedades de los logaritmos

1. Loga1 = 0, porque a0 = 1

2. Log aa = 1, porque a1 = a

3. Log a (u v) = Log a u + Log a v ax . ay = a x + y

4. Log a (u / v) = Log a u - Log a v ax / ay = ax-y

5. Log a (1 / v) = - Log a v a-x = 1/ax

6. Log a (un) = n Log a u (a x )n = a xn

7. Log b N = LnbLnN

=bN

loglog

Demostración

Haciendo Log b N = x, entonces N = b x

Como Log a N = Log a b x = x Log a b

Despejando x, se completa la demostración

Logaritmos Naturales o neperianos

Se denotan por el símbolo ln

Aquí, la base es el número e

Y = ex significa que x = Log e y = lny

Además, ln e = 1

Ln 1 = 0


113

6. Si ln a = 3 y ln b = 7. Entonces el ln ab es igual

a:

A. 10

B. 3

C. 7

D. 5

7. El valor de x, en la expresión

)2ln216(lnln 31 +=x es:

A. 7

B. 4

C. 9

D. 20

8. El valor de x, en la expresión:

5 = 1 + 4e-6x es:

A. 1

B. 0

C. - 61

D. 61

9. El valor de la expresión 2ln4ln3 −e es:

A. 9

_________________________ José Alfredo Martínez Valdés

110

3. Encuentre las coordenadas del

vértice y trace la gráfica de la

parábola

57235 +−= − xxy

4. Resuelva la siguiente ecuación y

verifique que las respuestas

obtenidas son correctas:

1321

32

+=− xx

5. Resuelva el siguiente sistema,

utilizando el método gráfico

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

−==+

xx

y

y

317214

18

9


111

PREGUNTAS DE SELECCIÓN MÚLTIPE CON

ÚNICA RESPUESTA (TIPO I)

1. El valor de la x, en la ecuación:

52x-1 = 3125 es:

A. 5

B. 6

C. 7

D. 3

2. Si f(x) = ekx y f (1) = 20. El valor de f(2) es:

A. 400

B. 320

C. 20

D. 2.7182

3. Si f(x) = A2kx, f (0) = 20 y f (2) = 40.

El valor para f(8) es:

A. 320

B. 400

C. 800

D. 160


112

4. Uno de los siguientes enunciados, no es

cierto.

A. Log(A x B) = Log A + Log B

B. Log n A = n

Alog

C. Log BA

BA

loglog

=

D. Log 0.001 = -3

5. Uno de los siguientes enunciados, no es cierto

A. Los números negativos no tienen

logaritmos

B. La base de un sistema de logaritmos puede

ser negativa

C. En todo sistema de logaritmos, el logaritmo

de la base es 1

D. Los números menores que 1 tienen

logaritmo negativo.


117

12. Las coordenadas del foco son:

A. (3.0)

B. (7,4)

C. (4,7)

D. (4, - 1)

13. La ecuación de la cónica es:

A. )4(16)3( 2 −=− xy

B. )3(16)4( 2 −=− xy

C. )4(16)3( 2 −=− yx

D. )4(16)3( 2 +=+ yx

14. La longitud del lado recto es:

A. 8

B. 12

C. 16

D. 20


114

B. 16

C. 32

D. 2


115

10. Se estima que dentro de t años la población de

cierto país será:

tetP 05.021

30)( −+= Millones

La población actual es:

A. 30millones

B. 10millones

C. 15millones

D. 40millones

11. Dada la ecuación: 1622 =+ yx es cierto

afirmar que su área es:

A. 4π B. 4π 2

C. 16π

D. 16π 2


116

LAS PREGUNTAS 12 - 14 SE HACEN CON LA

SIGUIENTE INFORMACIÓN

.

Figura No. 45


121

19. La cúbica está centrada en el punto:

A. (0.0)

B. (-3,2)

C. (3,-2)

D. (-3,0)

20. Su ecuación es:

A. 16

)2(9

)3( 22 −−

+ yx= 1

B. 9

)2(16

)3( 22 −−

+ yx= 1

C. 16

)2(9

)3( 22 +−

− yx= 1

D. 9

)2(16

)3( 22 +−

− yx= 1


118



−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5

−5

−4

−3

−2

−1

1

2

3

4

5

x

y

Figura No. 46

15. La ecuación de la cónica es:

A. 1259

22

=+yx

B. 1925

22

=+yx

C. 1259

22

=−yx

D. 1925

22

=−yx


119

16. La longitud del lado recto es:

A. 185

B. 518

C. 58

D. 350

17. las coordenadas de los vértices son:

A. )3,0( ±

B. )5,0( ±

C. )0,3(±

D. )0,5(±

18. De acuerdo con la gráfica, No es cierto afirmar

que:

A. La longitud del eje mayor es 10

B. La longitud del eje menor es 6

C. Uno de los focos está en (4, 0)

D. Uno de los focos está en (0, 4)


120



Figura No. 47

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