MA265 – Matemática Discreta

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Ejercicios de clase SV: Funciones de Permutación

1. Sea A = {1; 2; 3}. Determine todas las permutaciones definidas sobre A. 2. Sea A = {1; 2; 3} y las permutaciones definidas en A indicadas:

p4 = {(1, 3), (2, 1), (3, 2)}; p3 = {(1, 2), (2, 3), (3, 1)} y p2 = {(1, 2), (2, 1), (3, 3)}, calcule:

(a) La permutación inversa de p4

(b) La permutación p3 o p2

3. Sea A = {1; 2; 3; 4; 5}. Responda lo siguiente:

(a) Indique la permutación determinada por el ciclo (1, 3, 5). (b) Indique las permutaciones que son determinadas por los ciclos (3, 5, 1) y (5, 1, 3) (c) Las permutaciones obtenidas en los dos ítems anteriores. ¿tienen alguna relación?

4. Sea A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Calcule:

(a) (4, 1, 3, 5) o (5, 6, 3) (b) (5, 6, 3) o (4, 1, 3, 5) (c) ¿Los resultados de los ítems anteriores son iguales?

5. Sea A = {1; 2; 3; 4; 5; 6}. Responda:

(a) Los ciclos (1, 2, 5) y (3, 4, 6), ¿son disjuntos? (b) Los ciclos (1, 2, 5) y (2, 4, 6), ¿son disjuntos?

6. Sea A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8}. Escriba la siguiente permutación:

p = {(1, 3), (2, 4), (3, 6), (4, 5), (5, 2), (6, 1), (7, 8), (8, 7)}

(a) Como producto de ciclos disjuntos. (b) Como producto de transposiciones.

7. Sea A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. Indique si la siguiente transposición:

p = {(1, 2), (2, 4), (3, 5), (4, 7), (5, 6), (6, 3), (7, 1)}, es par o impar.

8. Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y las permutaciones definidas en A indicadas:

p = {(1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 1), (5, 5), (6, 3)} y

q = {(1, 4), (2, 3), (3, 5), (4, 1), (5, 2), (6, 6)}

(a) Calcule q p y re-escriba la permutación p como producto de ciclos disjuntos.

(b) Re-escriba la permutación q como producto de transposiciones.

(c) ¿Cuál es la paridad de q?

(d) Determine el periodo de q, es decir el menor entero positivo k para el cual p k = I. Donde

I es la permutación identidad.