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Cátedra de Teoría de Circuitos Apunte de Función Transferencia

1 de 27 (Versión Abr-2011)

FUNCIONES DE REDES: FUNCION TRANSFERENCIA Cuando se aplica a una red, una única fuente y sólo interesa las variables en una rama (y no los valores en todas ellas), es conveniente hacer uso de la “función transferencia”. Supondremos la “red” pasiva y además lineal, caso muy importante en la práctica. Si hay más de una fuente, se puede aplicar superposición para hallar las variables en la rama de interés. La excitación es el aporte energético de la fuente y la respuesta es la variable de interés en la rama de “salida”. Señal es la manifestación de ellas (por ejemplo: u o i). 1. Tipos de Señales 1.1. Función Constante

cteYy c ==

Figura N°1

1.1.1. Función Escalón unitario (Escalón de Heaviside)

y = h(t)

≥

<

=

0 tsi 1

0 t si 0

)( th

Figura N°2

Ejemplos: Factor matemático, conexión de CC, golpe de ariete.



1.1.2. Función Escalón Unitario Retardado y = h (t-t0)

≥

<

=−

0

0

0

t tsi 1

t t si 0

)( tth

Relaciones: )()( 0 thtth ′=−

Figura N°3

Ejemplos: Factor matemático, conexión de CC.

1.1.3. Función Escalón no unitario

)(. thky =

Figura N°4

1.2. Función Pulso

( ) ( )[ ]TtthtthYy C −−−−= 00

Ejemplo: Impacto



Figura N°5

Area: A=Yc.T. Si A=1, se tendrá un pulso de área unitaria:

Figura N°6

1.3. Función Exponencial

t0

αeyy =

Ejemplos: 0<α : descarga de capacitor, liberación de presión de vapor.

Figura N°7

En a se suele explicitar el signo (-)

1.4. Función Armónica amortiguada

0con )cos( <+= αβα wteyy t

n



Figura N°8

Ejemplos: 0<α : circuito RLC, 0=α : CA, vibración de máquina.

Fasor

R

J

Yn

t=0

Figura N°9

1.5. Función Rampa

)(.)(..1 tkthtkyy ρ===

Ejemplos: Prueba de tracción.

Figura N°10

1.6. Función Parábola

)(..2 22 thtkyy ==



Figura N°11

Relaciones: dt

dyy 10 = ∫

∞−

==t

dtydt

dyy .0

21 (con y0 :constante y1: rampa e y2: parábola)

1.7. Función Delta de Dirac La función pulso con área unitaria y T 0 y se define como )(tδ

→∆

≠=

0 si /1

0 si0)(

tt

ttδ

Figura N°12



Figura N°13

Relaciones:dt

tdht

)()( =δ

∫ ∫∫− −

→→

∞

∞−

=∆

=∆

=ε

ε

ε

εεε

δ dtt

dtt

dtt1

lím.1

lím).(00

)(1))(.(.2

1lím

0th==−−=

→εε

εε

1.8. Función Impulso (no unitario)

I Area = )(. tIy δ=

1.9. Impulso Desplazado

∫∞−

≥

<=−

t

ttsik

ttsidtttk

0

00

0).(δ

kδ(t-t0)

t0

Figura N°14

La respuesta a la función escalón y al impulso se denominan: Excitación Respuesta Escalón indicial Impulso Impulsiva



1.10. Función Exponencial Generalizada

aamortiguad armónica con ⇒±±=

=

jws

theYy st

α

)(..0

puede existir la parte real sola, la parte imaginaria sola o ambas a la vez. Ejemplos: Engloba todas las señales precedentes (menos la rampa y las poliarmónicas).

).(2

1cos

lexponencia

000tjtj eYeYtYjs

s

cteos

ωωωω

α

−+=→±=

→±=

→=

Por ejemplo, la exponencial unitaria (ver Figura 15):

t

t

t eee −−

− == τα

τ 2τ 3τ 4τ 5τ

Figura N°15

se ve que no tiene sentido estudiar el transitorio para t≥5τ. Sea la siguiente expresión general:

)(.)( thYety st=

que incluye varios casos según la ubicación de s en el plano complejo. En las siguientes Figuras se muestra la forma de la respuesta en función de la ubicación de s:

ω

σ

Figura N°16



)(.)(0 thYtys =→= :

σ

ω

Figura N°17

)(..)( theYtys tαα =→= :

ω

σα

Figura N°18

si α2>α1, la respuesta crece más rápido:

ω

σα

Figura N°19

)(..)( theYtys tαα −=→−= :



ω

σ−α

Figura N°20

si α2>α1, para s=-α2 (mayor velocidad de caída):

−α σ

ω

Figura N°21

)(.sen)( thtYtyjs ωω =⇒±= :

ω

σ

ω

ω

Figura N°22

12 ωω jjs >±= (mayor frecuencia): ω

σ

ω

ω



Figura N°23

)(.sen)( 11 thtYetyjs

t ωωα α=⇒±= :

ω

σ

ω

ω

-15

-10

-5

0

5

10

1 5 9

13

17

21

25

29

33

37

41

45

49

53

57

61

65

69

73

77

81

85

89

93

97

10

1

10

5

10

9

11

3

11

7

t

y(t)

Figura N°24

1221 ωωωα >±= conjs , igual al anterior, pero con mayor “frecuencia”.

)(.sen)( thtYetyjs t ωωα α−=⇒±−= :

ω

σ

ω

ω



-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1 5 9

13

17

21

25

29

33

37

41

45

49

53

57

61

65

69

73

77

81

85

89

93

97

10

1

10

5

10

9

11

3

11

7

t

y(t)

Figura N°25



2. Función Transferencia o Transmitancia Es la expresión que relaciona respuesta con excitación y será, en general, función del operador p (=d/dt):

)(

)()(

te

trpT = [ ]1

Ejemplo: dado:

e(t) L

R

r(t)

T(p) r(t)e(t)

Figura N°26

Es pLR

pL

ipLR

piL

te

upT L

.

.

)()()(

+=

⋅+

⋅==

r(t) es la variable dependiente (desconocida) y e(t) la independiente (conocida). Se suelen expresar mediante los polinomios N(p) y D(p)

)(

)(

...

...

)(

)()(

01

01

te

tr

apapa

bpbpb

pD

pNpT

n

n

m

m =+⋅++⋅

+⋅++⋅== [ ]2 que, operando nos queda:

ad r

dta

dr

dta r b

d e

dtb

de

dtb e f tn

n

n m

m

m⋅ + + ⋅ + ⋅ = ⋅ + + ⋅ + ⋅ =... ... ( )1 0 1 0 [ ]3

Con f(t) conocida, llamada función de excitación. La [3] es una ecuación diferencial ordinaria (las incógnitas dependen de una sola variable independiente t) de orden n con coeficientes constantes (elementos lineales), cuya solución está formada por las componentes forzada y natural: r (t) = rf +rn (por el principio de superposición), y que se corresponden, respectivamente, con las soluciones:

• Particular de la ecuación completa o con el 2° miembro no nulo, y

• General de la ecuación homogénea o con el 2° miembro nulo. 2.1. Ecuación característica La expresión [3] puede escribirse:



( ... ) ( ) ( )a p a p a r t f tnn⋅ + + ⋅ + ⋅ =1 0

pues el operador p (=d/dt) tiene propiedades algebraicas. Cuando f(t)=0 (ecuación homogénea) deberá ser:

a p a p ann⋅ + + ⋅ + =... 1 0 0 [ ]3 ecuación característica

para no tener una solución trivial (r = 0). Esta ecuación corresponde al denominador de T(p) igualado a cero (D(p)=0), y tiene gran importancia en el comportamiento transitorio del circuito, como se verá más adelante. Para hallar r(t) a partir de la expresión [3], no obstante, es imprescindible conocer T(p). Este capítulo está dedicado a estudiar su determinación.

El grado n de la [3’] es igual al n° de variables de estado (VE) presentes en el circuito. 3. Métodos para hallar T(p) Analítico : aplicando Ohm y Kirchoff. En general muy engorroso. Gráficos:

Bloques: Reducción. Diagramas de fluencia o lineales o Grafos de señales

3.1. Bloques: Definiciones básicas:

3.1.1. Bloques

xT y=x.T

xT1 y=x.T1.T2T2

z

Figura N°27

3.1.2. Sumador

x

y

+/-

X=x+/-y

Figura N°28

3.1.3. Derivador:

x

y=x

Figura N°29



3.1.4. Sistema realimentado

H

G

-

xy

Figura N°30

HG

Gxy

xGHGy

xGyHGy

yHxGy

.1.

.).1.(

...

).(

+=⇒

=+

=+

−=

3.1.5. Ejemplo 1

Dado el circuito de la Figura, hallar 1

2)(u

upT =

Figura N°31

=

=

−=

=

−=

pCui

iii

Riuu

upCi

Riuu

a

a

aa

a

..

-

.

..

.

222

12

222

1

111

u1 ua

u2

R2

C1p

R1

iai2

i1

--C2p

Figura N°32 Parece complicado de resolver. Otra forma de indicar este circuito, de forma más sencilla, sería:



⋅=

−=

⋅

−=

−=

pC

iu

R

uui

pC

iiu

R

uui

a

a

a

2

22

2

22

1

21

1

11

u1

1/R1 1/C1p 1/R2 1/C2pi1 ua i2 u2

- --

Figura N°33

Para esta última configuración se inicia el proceso de reducción para lo cual primero se trasladan el sumador y el derivador indicados: Para el sumador

Tx

z

y

-

zTxy −= .

Figura N°34

z1/T

-

T yx

).1

.( zT

xTy −=

Figura N°35

Para el derivador:



Tx

z

y x

z

Ty

1/T

xTy

xz

..=

= y

Tz .

1=

Figuras N°36 y 37 y resulta:

1/R1

R1 C2p

1/R2 1/C2pu1

- - -

u2

(a) (b)

1/C1p

Figura N°38

-

u11/(1+R1C1p)

R1C2p

1/(1+R2C2p)u2

Figura N°39

∴ =+ ⋅ ⋅

⋅+ ⋅ ⋅

+⋅ ⋅

+ ⋅ ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

T(pR C p R C p

R C p

R C p R C p

)( ) ( )

( ) ( )

1

1

1

1

11 1

1 1 2 2

1 2

1 1 2 2

igual a la que luego se obtendrá mediante grafo de señal. 3.2. Grafos de Señal

3.2.1. Definiciones Básicas

Tx y=x.T

x

y x+y

u=x+y

v=x+y

Figura N°40



Figura N°41

Figura N°42

Figura N°43

3.2.2. Ejemplo

Figura N°44

Lpiu

iLpRu

L =

+= ).(

Figura N°45

3.2.3. Realimentaciones

Figura N°46



)( zdxabbyz +==

Figura N°47

para reducir y eliminar “y”, por ejemplo, se hace (de la Figura N°46):

ω

Figura N°48

para reducir un autolazo L, en general:

Figura N°49

se aisla el autolazo de las transmitancias:

Figura N°50

Lywy += 1.

se reemplaza lo que hay entre w e y:

Lwy

−=

1

1



Figura N°51

en el problema anterior:

Figura N°52

3.2.4. Fórmula de Mason

...)1()1()1(1 321 +⋅⋅−+⋅−+−+=∆∆

∆⋅= ∑∑ ∑∑

kjijii

KKLLLLLLdonde

TT

Donde Li son los lazos individuales; Li Lj los lazos que no tienen nodos comunes tomados de a dos; ; Li Lj Lk idem, de a tres. La transmitancia directa Tk es cualquier camino directo entre la entrada y la salida, respetando las direcciones, pasando solo una vez por cada nodo.

∆K =∆ del subgrafo que queda al retirarse la “transmitancia directa” TK

3.2.5. Resolución del Ejemplo 1 mediante ambos métodos Para las mismas ecuaciones del Ejemplo 1:

⋅=

−=

⋅−=

⋅⋅=

⋅−=

222

12

222

1

111

.. upCi

iii

Riuu

upCi

Riuu

a

a

aa

a

Resolveremos por dos métodos, aplicables a los grafos de señal.

u1

1

1

11

c2p-R2

c1p-R1

i1 ia

u2

i2

ua

Figura N°53



3.2.5.1. Resolución por el método de reducción: Se pasa de i1 a ua

u111

C2p-R2

-C1R1pu2

i2

ua

-R1

Figura N°54

Se aplica

x3

T2

T1

T3=

T2T3

T1T3

x3

x2

x1

x2

x1

Figura N°55

Se pasa de i2 a u2

11

-C 2R 2p

-C 1R 1pu2

ua

-R 1C 2p

Figura N°56

Se aplica

1

2T2

T1

T3=

T1T3

T1T2

1

3

2

3

Figura N°57

Como se observa, a los nodos involucrados sigue llegando la misma información. Por lo tanto queda:

u1

-C2R2p-C1R1p

-R1C2p

ua1 1 ua 1 1u2 1 u2 u2

Figura N°58

Para reducir los autolazos L:

1

L

u ux 1 1/1-L xx

L

u x

+

Figura N°59

-Lu

x

-Lu

xux.L x

1

1

1

1 =≡=≡+=

Al final nos queda:



u11 1/(1+C2R2p)1/(1+C1R1p)ua

-R1C2p

u2

a b

-

G

H

u1ua u2

Figura N°60

...

..

2211

2

⋅−=

=

upCRuu

ubau

a

a

ua1u1

-R1C2pH

Ga b u2u2

Figura N°61

de aquí: GH

GT

−=1

)1()1(1

1

1

1

1

2211

21

2211

pCRpCR

pCR

pCRpCRT

⋅⋅+⋅⋅⋅+

⋅⋅+

⋅⋅+⋅

⋅⋅+=∴

(igual al resultado obtenido por bloques)

1)(

1

)1()1(

1

21221121212

212211

+⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅⋅=

⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅⋅+=

CRCRCRpCCRRp

pCRpCRpCR

El grado de la ecuación característica es 2 (hay dos variables de estado). 3.2.5.2. Resolución por el método de Mason

Figura N°62



⋅=

−=

⋅

−=

−=

pC

iu

R

uui

pC

iiu

R

uui

a

a

a

2

22

2

22

1

21

1

11

u11/C1p1/R1 i2i1 u2ua 1/C2p1/R2 1 u2

-1/R1 -1/C1p -1/R2

L1 L2 L3

Figura N°63

...)1()1()1(1 321 +⋅⋅−+⋅−+−−=∆∆

∆⋅= ∑∑ ∑∑

kjijiiKK

LLLLLLdondeT

T

Para este ejemplo es:

=∆

⋅⋅⋅

⋅⋅=

⋅+++−=∆

1

1111

)()(1

1

22111

31321

pCRpCRT

LLLLL

pCRL

⋅⋅−=

111

1

pCRL

⋅⋅−=

122

1

pCRL

⋅⋅−=

223

1

⋅⋅−⋅

⋅⋅−+

⋅⋅−

⋅⋅−

⋅⋅−−=∆

pCRpCRpCRpCRpCR 2211221211

111111

( )( )( )( )

=

++++

=∴

22121221211

2211

....

1

..

1

..

1

..

11

1../1./1../1./1

pCCRRpCRpCRpCR

pCRpCRT

1).(.

1

2122112

2121 +⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅=

pCRCRCRpCCRR

Con el esquema de la Figura 53 previa transformación, quedaría:



u1

1

11

C2p-R2C1p-R1

u2ua 1 1 1

L1

L2

L3

Figura N°64

anterior la a igual :

)..).(..(

)......(1

1

1.1.1.1.1

3

22

1

11

3

22

2

21

1

11

1

1

T

pCRpCR

pCRpCRpCR

T

LL

LLL

∴

−−+

−−−−=∆

=∆

=

4342143421

434214342143421

3.2.6. Ejemplo 2

Sistema doblemente excitado. Motor de C.C.

4444 84444 76 ROTOR

Figura N°65

Determinar la velocidad Ω resultante cuando se aplican (o varían) u y Tu

⋅=

⋅⋅=

++=

+⋅⋅+=

→=Ω

=

⋅⋅=

⋅⋅=

ΩBT

ΩpJT

T)T(TT

eip)L(Ru

i

TeK

iKT

ΩKe

B

J

UBJe

e

e

66Fig.verφφ

φ

[1]



e

i

k :1

T

Figura N°66

Figura N°67

(todo correspondiendo al rotor)

u

-

1/(B+Jp)1/(R+Lp) k

k

e

i Te

Tu

-

Figura N°68

u1/(R+Lp)1 Tei 1k 1/(B+Jp)

Tu-1

k

e

-1

Figura N°69

Aplicando superposición:

⇒=

⋅+⋅⋅+

⋅+

⋅+−

=Ω ′′

=

⋅+⋅⋅+

⋅+

⋅+⋅⋅+

⋅

=Ω′

)(

)()(

)(1

1

; )(

)()(

)(1

)()(2212pT

pLRpJB

K

pJB

TpT

pJBpLR

K

pJBpLR

K

u U φφ

φ



1-Tu 1/(B+Jp)

-(K )²/(R+Lp)

-Tu1/(B+Jp)

-(K )²/(B+Jp).(R+Lp)

=

Figura N°70

Combinando: Ω Ω Ω= ′ + ′′ = ⋅ + ⋅T p u T p Tu1 2( ) ( )

Reemplazando se tiene:

[ ]uTLpRukkLpRJpB

⋅+−+++

=Ω )().()()).((

12

φφ

Si trabajamos con variables de estado, las ecuaciones [1] se podrían haber combinado así:

=+Ω⋅⋅+=

Ω⋅⋅+⋅⋅+=

iktTpJBT

KipLRtu

ue φ

φ

)()(

)()( en variables de estado ( i, Ω )

o sea:

⋅

−

+

Ω⋅

−⋅

⋅−−

=

Ω⋅

⋅

)(

)(1

0

01

tT

tu

J

Li

J

B

J

KL

K

L

R

p

ip

uφ

φ

expresión de la forma: p x A x B u t[ ] [ ] [ ( )]= ⋅ + ⋅

donde aparecen las constantes de tiempo:

=

=

.)10:(:

.)1.0:(:

segejemploporB

JMecánica

segejemploporR

LEléctrica

u

e

τ

τ

Si u = Uc = cte. (CC) y el régimen es permanente (Tu = Tuc ), desaparece “p”

222 )(

)(1

1

)(1

φ

φ

φφ

φ

⋅+⋅

⋅−⋅⋅=⋅

⋅

⋅+

−⋅

⋅

⋅+

⋅

⋅

=ΩKRB

RTUKT

BR

K

BU

BR

K

BR

K

C

C

Uc

UCC

Tuc

c

Uc1U

c2

Figura N°71



Si u = 0 (frenado dinámico) queda:

1/(B+Jp)

(K )²/(R+Lp)

Tu

-

-

Figura N°72

o, como diagrama de flujo:

Tu1/(B+Jp)-1

(K )²/(R+Lp)

Figura N°73

∴ =− + ⋅

+ ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅

Ω

T

R L p

R L p B J p KU

( )

( ) ( ) ( )φ 2

y en régimen permanente (p=0):

2)( φ⋅−⋅

−=

Ω

KBR

R

Tu

Si se desea hallar i sólo por influencia de Tu (con u = 0):

kφ

-K /(B+Jp)(R+Lp)Tu

i

-

-

Figura N°74



4. Índice

FUNCIONES DE REDES: FUNCION TRANSFERENCIA ........................................................................................1

1. TIPOS DE SEÑALES .............................................................................................................................................1

1.1. FUNCIÓN CONSTANTE.......................................................................................................................................1 1.1.1. Función Escalón unitario (Escalón de Heaviside)......................................................................................1 1.1.2. Función Escalón Unitario Retardado .........................................................................................................2 1.1.3. Función Escalón no unitario.......................................................................................................................2

1.2. FUNCIÓN PULSO ...............................................................................................................................................2 1.3. FUNCIÓN EXPONENCIAL ...................................................................................................................................3 1.4. FUNCIÓN ARMÓNICA AMORTIGUADA ...............................................................................................................3 1.5. FUNCIÓN RAMPA ..............................................................................................................................................4 1.6. FUNCIÓN PARÁBOLA ........................................................................................................................................4 1.7. FUNCIÓN DELTA DE DIRAC...............................................................................................................................5 1.8. FUNCIÓN IMPULSO (NO UNITARIO)....................................................................................................................6 1.9. IMPULSO DESPLAZADO .....................................................................................................................................6 1.10. FUNCIÓN EXPONENCIAL GENERALIZADA .........................................................................................................7

2. FUNCIÓN TRANSFERENCIA O TRANSMITANCIA....................................................................................12

2.1. ECUACIÓN CARACTERÍSTICA ..........................................................................................................................12

3. MÉTODOS PARA HALLAR T(P).....................................................................................................................13

3.1. BLOQUES: DEFINICIONES BÁSICAS:.................................................................................................................13 3.1.1. Bloques......................................................................................................................................................13 3.1.2. Sumador ....................................................................................................................................................13 3.1.3. Derivador:.................................................................................................................................................13 3.1.4. Sistema realimentado ................................................................................................................................14 3.1.5. Ejemplo 1 ..................................................................................................................................................14

3.2. GRAFOS DE SEÑAL..........................................................................................................................................16 3.2.1. Definiciones Básicas .................................................................................................................................16 3.2.2. Ejemplo .....................................................................................................................................................17 3.2.3. Realimentaciones ......................................................................................................................................17 3.2.4. Fórmula de Mason ....................................................................................................................................19 3.2.5. Resolución del Ejemplo 1 mediante ambos métodos.................................................................................19 3.2.6. Ejemplo 2 ..................................................................................................................................................23

4. ÍNDICE...................................................................................................................................................................27

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