Teoría de funciones de una variable real (Análisis matemático I), Universidad de Zaratoga)
Funciones de variable real
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Funciones de una Variable Real.
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Dominio de una función de
variable real.
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Representación gráfica de una función de variable real.
Para graficar una función
se representan unos
cuantos puntos
significativos y se dibuja el
resto de la gráfica de
acuerdo a las
características
de cada función.
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Función inyectiva
•Es inyectiva si para cualquier elección de un número x que pertenece al dominio de f, existe exclusivamente un valor y en el rango. En otras palabras, ningún valor y en el rango es imagen de más de un valor x en el dominio.
Función Sobreyectiva
•una función f: x Y es Sobreyectiva, se tendrá que conocer el conjunto de llegada Y.
•si y sólo si todo elemento de Y se encuentra relacionado con algún elemento de X,
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Función Creciente
Una función f es creciente en un
intervalo , si y sólo si para cualquier
elección de x1 y x2 en , siempre que x1 y x2, tenemos f (x1) menor o igual (x2).
Función Decreciente
Una función f es decreciente en un intervalo , si y sólo si
para cualquier elección de x1 y x2 en I, siempre que x1 < x2, tenemos f (x1) mayor o igual f (x2).
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Demostrar que ƒ es una
función:
F(-x) = f(x)f (-x) = 3x⁴- 2x² + 5
F(- x) = 3(-x)⁴ – 2(-x)² + 5
F(- x) = 3(x⁴) – 2(x)² + 5
F(- x) = 3x⁴ – 2x² + 5
Es una función par
Demostrar que f es una función impar
F(-x) = -f(x)F(-x) = 2x⁵ - 7x³ + 4xF(-x) = 2(-x)⁵ - 7(-x)³ + 4(-x)
F(-x) = 2(-x⁵) - 7(-x³) + 4(-x)
F(-x) = -2x⁵ - 7x³ + 4x
F(-x) = -f(x)Al cumplir la condiciónEstamos en el caso de una función impar
FUNCION PAR.- Una
función ƒ es una
función con
dominio d es:
Par si f (- x) =f (x)
para todo x en D.
Impar si f (- x)= -f(x)
para todo x en D
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Funciones periódicas
Tiene la característicade repetir los valoresde su rango, así comosu comportamientográfico, cada ciertointervalo de sudominio.
Funciones acotadas
Cuando el rango deuna función estácontenido en uncierto intervalolimitado, se dice que fes acotada.
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Funciones
Lineales
Cuadráticas
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.
Función Lineal
.
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x Y
1
2 3 0 -1 -2
4
5
I
3
2
1
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x Y
1
2 3 0 -1 -2
-4
-2
0
-6
-8
-10
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x Y
1
2 3 0 -1 -2
5
7
9
3
1
-1
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Función cuadrática
En matemáticas, una función
cuadrática o función de segundo grado es
una función polinómica definida como:
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euros
descuento 0 1 2 x
Precio 30 30-1 30-2 30-x
Nº
espectado
res 500
500+100.1 500+100.2 500+ 100x
Ingresos
30.5
00
(30-
1)·(500+100.
1)
(30-
2)·(500+100.2)
(30-
x)·(500+100.x
)
Actividad resuelta
1.El director de un teatro estima que si cobra
30 € por localidad, podría contar con 500
espectadores y que cada bajada de 1 € le supondría
100 personas más. Calcula las ganancias obtenidas
en función del número de bajadas del precio.
Observa la tabla:
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Una función cuadrática es toda función que pueda escribirse de la
forma f(x) = a x2 + b x + c, donde a, b y c son números cualesquiera,
con la condición de que a sea distinto de 0 .
Los ingresos obtenidos son
siendo x el nº de euros de descuento, en el precio de la
entrada.
Las funciones f(x) = x2 + 6x, g(x) = x2 + 16 y G(x) = -
100 x2 + 2500 x + 15000
que se corresponden con las tres primeras actividades, son
ejemplos de funciones cuadráticas.
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x -3 -2 -1 -0'5 0 0'5 1 2 3
f(x) =
x2 9 4 1 0'25 0 0'25 1 4 9
Gráfica de las funciones cuadráticas
La función cuadrática más sencilla es f(x) = x2 cuya gráfica es:
Esta curva simétrica se llama parábola.
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x -1 0 1 2 3 4
f(x) 0 -3 -4 -3 0 5
Funciones cuadráticas más complejas se dibujan de la misma
forma.
Dibujemos la gráfica de f(x) = x2 -2 x - 3.
Completando la gráfica obtengo: