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Funciones de Varias Variables
Juan Manuel Rodríguez Prieto
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Funciones de varias variables
Consideremos el volumen de un cilindro circular recto
El volumen del cilindro depende de:
• radio
• Altura
• Matemáticamente, se puede escribir como sigue:
Decimos entonces que el volumen, es un función que depende de el radio y la altura
2( , )V r h r h
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Funciones de varias variables
2( , )V r h r h
02
46
810
0
5
100
500
1000
1500
2000
2500
3000
x
x2 y
y
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Funciones de varias variables
2( , )V r h r h
• A los valores que pueden tomar r y h, lo llamaremos dominio de la función. • Qué valores pueden tomar r y h en la función de volumen del cilindro?
• A los valores que puede tomar V(r,h) los llamaremos rango de la función. • Qué valores pueden tomar V?
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Funciones de varias variables
2( , )w x y y x
• Qué valores pueden tomar x y y? Cual es el dominio de w?
• Debido a que la raíz cuadrado, puede tener como dominio solo valores positivos, se tiene que
• O que
Considere la siguiente función:
2 0y x
2y x
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Funciones de varias variables
2( , )w x y y x
Recordemos la gráfica de
Considere la siguiente función:
2y x
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Funciones de varias variables
2( , )w x y y x
Qué valores de la grafica satisfacen la desigualdad?
Considere la siguiente función:
2y x
Cualquier pareja de puntos que se encuentra sobre la parábola, de donde, podemos decir que el dominio es cualquier pareja de puntos que se encuentran sobre la parábola.
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Funciones de varias variables
2( , )w x y y x
Considere la siguiente función:
El rango de la función w va a estar dado por: 0, )
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Funciones de varias variables
1
( , )w x yxy
Considere la siguiente función:
El dominio de la función w va a estar dado por: 0xy
El rango de la función w va a estar dado por: ,0) (0, )
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Funciones de varias variables
( , ) sin( )w x y xy
Considere la siguiente función:
El dominio de la función w va a estar dado por: todo el plano x y y
El rango de la función w va a estar dado por: 1,1 -1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
1-1
-0.5
0
0.5
1
x
sin(x y)
y
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Funciones de varias variables
2 2( , )
1
yw x y
x y
Considere la siguiente función:
-5
0
5
-5
0
5
-0.5
0
0.5
x
y/(x2 + y2 + 1)
y
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Funciones de varias variables
2 2( , )w x y x y
Considere la siguiente función:
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
0.5
10
0.5
1
1.5
2
x
x2 + y2
y
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Funciones de varias variables
2 2( , ) sin( )w x y x y
Considere la siguiente función:
-1
0
1
-1
0
1
-1
-0.5
0
0.5
1
x
sin(x2 + y2)
y
-4
-2
0
2
4
-4
-2
0
2
4-1
-0.5
0
0.5
1
x
sin(x2 + y2)
y
z
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Funciones de varias variables
2 2( , ) cos( )w x y x y
Considere la siguiente función:
-1
0
1
-1
0
1
-1
-0.5
0
0.5
1
x
cos(x2 + y2)
y
-4
-2
0
2
4
-4
-2
0
2
4-1
-0.5
0
0.5
1
x
cos(x2 + y2)
y
z
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Funciones de varias variables
( , ) sin( )cos( )w x y x y
Considere la siguiente función:
-2
0
2
-2
0
2
-1
-0.5
0
0.5
1
x
cos(y) sin(x)
y
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Funciones de varias variables
2 2 2( , )w x y x y z
Considere la siguiente función:
El dominio de la función w va a estar dado por: todo el espacio (cualquier valor de x y y z)
El rango de la función w va a estar dado por: 0, )
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Funciones de varias variables Curvas de nivel
El conjunto de puntos en el plano donde una función f(x,y) tiene un valor constante f(x,y) = c es una curva de nivel de f Dada la función Trace las curvas de nivel
2 2( , ) 100f x y x y
( , ) 0f x y ( , ) 51f x y ( , ) 75f x y
2 2 100x y 2 2 49x y
2 2 25x y
Circulo de radio 10 y centro en el origen
Circulo de radio 7 y centro en el origen
Circulo de radio 5 y centro en el origen
Las tres ecuaciones se reconocen como la ecuación de un circulo
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Funciones de varias variables Curvas de nivel
El conjunto de puntos en el plano donde una función f(x,y) tiene un valor constante f(x,y) = c es una curva de nivel de f Dada la función Trace las curvas de nivel SI f representa la temperatura y x y y dos puntos en el espacio, f(x,y)=0 representa todo el conjunto de puntos donde la temperatura es 0. De la misma manera f(x,y)=51, representa todos los puntos donde la temperatura es 51, sobre el circulo de radio 7 y centro en el origen la temperatura es 51.
2 2( , ) 100f x y x y
( , ) 0f x y ( , ) 51f x y ( , ) 75f x y
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Funciones de varias variables Curvas de nivel
El conjunto de puntos en el plano donde una función f(x,y) tiene un valor constante f(x,y) = c es una curva de nivel de f Dada la función
2 2( , ) 100f x y x y
-74.7
-49.7
-24.8
0.2
25.1
50.1
75
radio
altura
Curvas de nivel
0 2 4 6 8 100
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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Funciones de varias variables Curvas de nivel
El conjunto de puntos en el plano donde una función f(x,y) tiene un valor constante f(x,y) = c es una curva de nivel de f Dada la función
2( , )f r h r h
392
783
1.17e+03
1.57e+03
1.96e+03
2.35e+03
2.74e+03
radio
altura
Curvas de nivel
2 4 6 8 10 120
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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Funciones de varias variables Curvas de nivel
El conjunto de puntos en el plano donde una función f(x,y) tiene un valor constante f(x,y) = c es una curva de nivel de f Dada la función
-0.75
-0.75
-0.75
-0.75
-0.75
-0.75
-0.5
-0.5
-0.5
-0.5
-0.5
-0.25
-0.25
-0.25
-0.25
-0.25
2.11e-10
2.11e-10
2.11e-10
2.11e-10
2.11e-10
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.75
0.750.75
0.75
0.75
0.75
eje x
eje
y
Curvas de nivel
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2 2( , ) sin( )w x y x y
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Funciones de varias variables Curvas de nivel
El conjunto de puntos en el plano donde una función f(x,y) tiene un valor constante f(x,y) = c es una curva de nivel de f Dada la función
2 2( , ) cos( )w x y x y
-0.75
-0.75
-0.5
-0.5
-0.5
-0.5
-0.5
-0.25
-0.25
-0.25
-0.25
-0.25
3.75e-09
3.75e-09
3.75e-09
3.75e-09
3.75e-09
3.75e-093.75e-09
3.75e-09
3.75e-09
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.25
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.5
0.75
0.75
0.75
0.75
0.75
0.75
0.75
0.75
0.75
eje x
eje
y
Curvas de nivel
-2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
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Funciones de varias variables Ejercicios
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Funciones de varias variables Ejercicios
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Funciones de varias variables Ejercicios
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Funciones de varias variables Ejercicios
567
567
567
567
572
572
572
572
577
577
577
577
581
581
581
581
586
591
595
eje x
eje
y
Curvas de nivel
-6 -4 -2 0 2 4 6-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
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Funciones de varias variables Ejercicios
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Funciones de varias variables Ejercicios
0.588
1.18
1.76
2.35
2.94
3.53
4.11
4.7
5.29
5.88
peso
esta
tura
Curvas de nivel
0 10 20 30 40 500
5
10
15
20
25
30
35
40
45
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Funciones de varias variables Ejercicios
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Funciones de varias variables Ejercicios
-5
0
5
-5
0
5-10
-5
0
5
10
x
(2 x + 3 y)/(5 x - 2 y)
y
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Funciones de varias variables Ejercicios
-20
-10
0
10
20
-20
-10
0
10
200
2
4
6
8
10
x
(x2 + y2 - 64)1/2
y
z
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Funciones de varias variables Ejercicios
-5
0
5
-5
0
5
-40
-20
0
20
40
x
x y
y
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Funciones de varias variables Ejercicios
-10
-5
0
5
10
-10
-5
0
5
10-1
-0.5
0
0.5
1
x
(2 x)/(x2 + y2 + 3)
y
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Funciones de varias variables Ejercicios
0
5
10
-10
-5
0
5
10-2
-1
0
1
2
3
4
x
log(2 x + y - 1)
y
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Funciones de varias variables Ejercicios
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Funciones de varias variables Geogebra
Solución sistema lineal de 2 por 2
A:={{1, 4}, {-1, 2}}
B:={{0}, {-1}}
Inversa[ A ]*B
{x+3y=4,2x-y=2}
b:=x^2+2x+10
Derivada[ b ]
Integral[ b, 0, 2 ]
Integral[ b ]
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Funciones de varias variables Ejercicios
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