Instituto Tecnolgico de Minatitln Investigacin IV UnidadIngeniera electrnica3 SemestreFunciones discontinua Una funcin es discontinua si tiene puntos en los cuales una pequea variacin de la variable independiente produce un salto en los valores de la variable dependiente. A estos puntos se les denomina puntos de discontinuidad.Los puntos de discontinuidad pueden ser de dos tipos: * Puntos en los que la funcin no est definida, es decir, los puntos que no pertenecen al dominio de la funcin, grfica a. * Puntos en los que la grfica presenta un salto, grfica b.1) Si el lmite no existe o es infinito entonces la funcin es discontinuaSi el lmite existe hay que compararlo con el valor asignado a la funcin en ese punto.2) Si son iguales entonces la funcin es continua.3) Si son distintos la funcin es discontinua En este caso se dice que es una discontinuidad evitable.Teniendo el concepto de lo que es una funcin discontinua, pasaremos a dar la definicin de los tipos de funciones que utilizaremos:

Grafica b)Grafica a)

Transformada de la Place.Primero presentaremos una definicin de la transformada de Laplace y un breve anlisis de la condicin para la existencia de sta y despus ofreceremos ejemplos de la derivacin de las transformadas de Laplace en varias funciones, comunes.Definamos

= Un smbolo operativo que le indica que la cantidad a la que antecede se va a transformar mediante la integral de la Place

A continuacin, la transformada de Laplace de f(t) se obtiene mediante:

El proceso inverso de encontrar la funcin del tiempo a partir de la transformada de Laplace se denomina transformada inversa de Laplace. La notacin para la transformada inversa de Laplace es , se encuentra a partir de mediante la siguiente integral de inversin:

en donde c, la abscisa de convergencia, es una constante real y se eligi ms grande que las partes reales para todos los puntos singulares de . Por tanto, la trayectoria de integracin es paralela al eje y se desplaza una cantidad c a partir de l. Esta trayectoria de integracin va hacia la derecha de todos los puntos singulares. Parece complicado evaluar la integral de inversin. En la prctica, rara vez se emplea esta integral para encontrar Hay mtodos ms sencillos para obtener Funcin rampaLa funcin rampa es la integral de la funcin escaln. Si consideramos que estamos sumando toda el rea bajo la funcin escaln a hasta un tiempo. Si < 0 (cero), el valor de la integral ser 0 (cero). Si es mayor que 0 (cero) , entonces el valor ser igual a la integral de 1 desde el tiempo 0 hasta el tiempo , la cual tambin tiene el valor , es decir:

en donde A es una constante. La transformada de Laplace de esta funcin rampa se obtiene como:

F(t)=0 =(a-t)atF(t)=tt

grafica b)grafica a)

Aplicacin en Circuitos Elctricos

Esta funcion y la funcion escalon son la respuesta de un circuito que tiene una sola entrada la cual es una funcion unitaria. Estas funciones pueden ser de corriente o de voltaje. Ahora esta funcion se debe a la entrada del escalon puesto que no se tienen energias iniciales en los elementos del circuito por este motivo todas las corrientes y todos los voltajes son 0 en t=0 debido aque la funcion escalon es cero para - ~ < t < 0. Asi la funcion rampa es la respuesta ala entrada de un escalon unitario sin energia inicial almacenada en el circuito.Veremos ahora un ejemplo de esto:

Si calculamos ahora la respuesta del circuito si V1 = Vu(t). para este caso como V2(0-) = 0 y V2 es el voltaje del capacitor, entonces V2(0+) = 0. por consiguiente tenemos que

Si t < 0, entonces u(t) = 0, y V2(t) = 0, para t > 0, u(t) = 1 y tenemos que

Ahora la funcion rampa seria de la siguiente forma.

A esto le llamaremos funcion rampa con una pendiente de -V /RC.

Funcin escaln:Se define la funcin forzada escaln unitario como una funcin del tiempo que es nula para todos los valores de su argumento que son menores que cero y que es la unidad para todos los valores positivos de su argumento. Sea el argumento y representamos la funcin de escaln unitario por u, entonces debe ser cero para todos los valores de menores que , y ser la unidad para todos los valores de mayores que to. En , cambia en forma abrupta desde 0 hasta 1. Su valor en no est definido, pero se conoce en todos los instantes de tiempo que estn arbitrariamente cerca de . A menudo se indica lo anterior escribiendo y . La definicin matemtica concisa de la funcin forzada de escaln unitario es y la funcin se muestra de manera grfica en la figura 3.u(t)1

t

Figura 3

La propiedad fundamental de la funcin recin definida esta relacionada con la Transformada de Laplace es la siguiente.Dada una funcin continas por tramos y orden exponencial y a, se cumple:

Por definicin de la transformada de Laplace.

Si representaramos una tension, seria necesario multiplicar u(t -to) por una una tension constante que podia ser V. Entonces, v(t) = Vu(t - to) esto es una fuente ideal de tension que es 0 antes de t= to y una constante V voltios despues de t= to.

Aqui vemos que la funcion excitatriz esta conectada a una red, Para tener equivalente, puesto que la tension es cero antes de t= to es V despues de t= to y la corrientepuede tomar cualquier valor finito en ambos intervalos de tiempos, podemos pensar asi ala ligera que el equivalente por sus caracteristicas puede ser la siguiente figura.

Ahora aqui vemos una fuente de V voltios en serie con un interruptor que se sierra cuanfdo t= to, Pero ahora esta res no es equivalente para t=to, puesto que la tension atraves de la fuente y el interruptor queda sin especificar para este intervalo de tiempo en el que estamos interesados y las corrientes iniciales circulan en las dos redes son iguales cuando t=to, entonces su equivalente real seria.

Esto si observamos seria la representacion de un conmutador unipolar con dos contactos, antes de t=to, el conmutador sirve para asegurar una tension cero a traves de los terminales de entrada de nuestra red. Despues de t=to el conmutador se ha conmutado de manera que proporciona una entrada de tension constante de V voltios. Y para t=to la tension es indeterminada como la funcion escalon.Aunque podemos hacer un elemento como la funcion escalon, claro que el resultado final es un conmutador, puesto que un conmutador es una resistencia que cambia instantaneamente su valor de cero a infinto ohms, y de viceversa. De todo esto podemos concluir que un equivalente axacto de una bateria y un conmutador en serie tiene que ser una bateria en serie con alguna representacion de una resistencia variable con el tiempo.

Funcin ImpulsoLa funcin impulso es ms un concepto matemtico que una funcin, que se define de la siguiente manera:

La funcin es cero para cualquier valor de t, excepto cero. Cuando la t es cero el valor de la funcin es infinito Por definicin el rea de esta funcin es igual a uno)

Funcin impulso (Driac)

La funcin impulso posee algunas propiedades que pueden resultar tiles.

Tambin es importante para posteriores desarrollos la propiedad de desplazamiento o corrimiento.Para esto definimos las siguientes integrales:

El concepto de la funcin impulso es muy til para diferenciar funciones discontinuas. La funcin impulso unitario se considera la derivada de la funcin escaln unitario en el punto de discontinuidad .

Por el contrario, si se integra la funcin impulso unitario , el resultado es la funcin escaln unitario . Con el concepto de la funcin impulso podemos diferenciar una funcin que contenga discontinuidades, proporcionando los impulsos cuyas magnitudes son iguales a la magnitud de cada discontinuidad correspondiente. Analizaremos la funcion impulso, que se representa con &(t). veamos el pulso centrado en t=0.

Pulso de ancho a y altura 1/a centrado en t=0. La ecuacion seria la siguiente

Donde a es muy pequeo. Hay que notar que el area bajo el pulso se mantiene igual a 1 cualquiera que sea el valor de a. Si a se hace mas pequeo el area se maniene igual a 1 manteniendose un pulso de gran altura y muy estrecho.Ahora definiendo un impulso podemos decir que, Un impulso es un pulso de amplitud infinita durante un tiempo infinitesimal cuya area es finita.

La funcion impulso la podemos definir como sigue. Por consiguiente f(t)&(t) = f(0)&(t) puesto que &(t)=0 cuando t es diferente de cero. Para determinar la transformada de Laplace de la funcion impulso se aplica la definicion.

Donde el limite inferior es 0- dado que tenemos una discontinuidad infinita en t = 0.Como &(t)=0, la la integral de la ecuacion anterior se valua desde 0- a 0+ para obtener

Ahora determinaremos la transformada de una funcion del tiempo desplazada t segundos. Si tuvieramos una f(t)

y si queremos retrazarla t segundos mas tarde puede expresarse como: f(T- t)u(T- t) donde u(T- t)es la funcion escalon unitario que vale cero cuando T < t y 1 cuando T >t. La funcion desplazada que daria como sigue.

Para obtener la transformada de la funcion trasladada en el tiempo, se aplica la definicion de la transformada para obtener

Ahora hacemos t - t = x para obtener

Si tuvieramos una funcion escalon de amplitud A trasladada 2 segundos, su transformada de Laplace es

Puesto que:

Podemos obtener otra propiedad de la transformada de Laplace de e-at f(t) como sigue:

Aqui entonces tenemos lo que se conoce como propiedad de traslacion de frecuencia.

Funcin exponencial. Considere la funcin exponencial

en donde A y a son constantes. La transformada de Laplace de esta funcin exponencial se obtiene del modo siguiente:

Se aprecia que la funcin exponencial produce un polo en el plano complejo.Al obtener la transformada de Laplace de , fue necesario que la parte real de fuera mayor que (la abscisa de convergencia). Puede surgir de inmediato la pregunta de si la transformada de Laplace obtenida de esta forma es vlida o no, en el rango en que en el plano . Para contestar esta pregunta, debemos recurrir a la teora de la variable compleja. En la teora de la variable compleja, existe un teorema conocido como teorema de extensin analtica. ste plantea que, si dos funciones analticas son iguales para una longitud finita a lo largo de cualquier arco en una regin en la cual ambas son analticas, entonces son iguales en cualquier parte de la regin. El arco de igualdad es por lo general el eje real o una parte de l. Si se usa este teorema, prevalece la forma de determinada mediante una integracin en la cual se permite que tenga cualquier valor positivo real mayor que la abscisa de convergencia para todos los valores complejos de s en los cuales es analtica. Por tanto, aunque requerimos que la parte real de s sea mayor que la abscisa de convergencia, para hacer la absolutamente convergente, una vez obtenida la transformada de Laplace , esta ltima se considera vlida en todo el plano, excepto en los polos de

Ahora veremos la respuesta de un circuito con una coneccion de un inductor y un resistor, como en el ejemplo que veremos a continuacin.

Para este circuito suponemos que el inductor conduce una corriente I0 en t = 0, aqui no hay fuente de corriente ni de voltaje y las respuestas de corriente y de voltaje se deben ala energia almacenada en el inductor. Entonces podemos decir que la energia almacenada esta dada por " WL (0) = 1/2 LI02 "Ahora si sumamos los voltajes alrededor del circuito, tenemos que: " L di / dt + Ri = 0 "o tambien " di / dt + ( R / L )i = 0 "Esta ecuacion se puede resolver separando als variables, Pero supongamos una forma general de la solucion basada en la inspeccion de la ecuacion por resolver, Incluiremos varias constantes desconociday determinaremos sus valores de manera que la solucion supuesta satisfaga la ecuacion diferencial y las condiciones iniciales del circuito. La inspeccion de la ecuacion " di / dt + ( R / L )i = 0 "nos da que i debe ser una funcin que no cambie su forma por la diferenciacion, es decir, di / dt es un multiplo de i. La unica funcin que satisface esta requisito es una funcion EXPONENCIAL de t, tal como " i(t) = Aest "Entonces la tomaremos como nuestra proposicin, siendo A y s las constantes por determinar. Si sustituimos en la ecuacion anterior a esta tenemos que " ( S + (R/L) ) Aest = 0 "Aqui vemos claramente que, esta solucion es valida si Aest = 0 o si s = -R/L. El primer caso lo pasamos por alto por que por " i(t) = Aest "El resultado es i = 0 para toda t y no puede satisfacer i(0) = Io, asi que tomasremos el caso de s = -R/L y " i(t) = Aest "esto se hace como sigue " i(t) = Ae-Rt/L "La constante A puede determinarse ahora a partir de la condicion inicial i(0) = Io. Esta condicion necesita que " i(0) = Io = A "Por tal esto se hace como " i(t) = Ioe-Rt/L "Es claro que la solucion es una funcion " EXPONENCIAL ", tiene una constante t. Enterminos de t podemos escribir la corriente en la forma general " i(t) = Ioe-T/t "t es la constante tao Donde por comparacion con " i(t) = Ioe-Rt/L "Aqui podemos ver que t = L /R, y sus unidades son H/ohms = (V-s/A)/(V / A)=s. Cuando se incrementa L, se incrementa la constante de tiempo, Pero , un incremento en R, disminuye el valor de la constante de tiempo.

Esta es la respuesta de corriente de nuestro circuito. La potencia instantanea entregada al resistor es " p(t) = Ri2 (t) = RI02e-2Rt/L "La energia absorvida por el resistor cuando el tiempo se hace infinito esta dada por

Si comparamos esta ecuacion con " WL (0) = 1/2 LI02 "vemos que la energia almacenada en el inductor se disipa por la resistencia, tal como lo esperavamos. Ahora si suponemos que deceamos encontrar el voltaje del inductor v, en lugar de corriente i. Podemos aplicar la LCK

Si diferenciamos esta ecuacion con respecto al tiempo obtenemos " (1/R) (dv/dt) + (1/L) v "o tambien " (dv/dt) + (R/L) v = 0 "Ahora si reemplazamos v por i, obtenemos " (di/dt) + (R/L) i = 0 "De estas dos ultimas ecuaciones observamos que v e i satisfacen la misma ecuacion y asi tienen la misma forma.

BibliografaFraile Mora Jess J. 1995 ,3 edicin, Electromagnetismo y circuitos elctricos. Ed Colegio de ingenieros de caminos. Ogata Katsuhico. 3 Edicin. Ingeniera de control moderna. Ed Pearson.http://cnx.org/content/m12824/latest/http://es.wikibooks.org/wiki/Introducci%C3%B3n_a_Se%C3%B1ales,_Sistemas_y_Control#Funci.C3.B3n_Rampahttp://www.kalipedia.com/matematicas-funciones/tema/funciones-continuas-discontinuas.html?x=20070926klpmatfnc_47.Kes

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