UNIDAD 7: RESOLVAMOS DESIGUALDADES.

Funciones en general.

1.1 Introducción.

En general, el término función se utiliza para indicar la relación entre dos cantidades.

Así decimos que la fuerza de un cuerpo varía en función de la aceleración. Esto

significa que al variar la aceleración, varía la fuerza. Por tal motivo, tanto la fuerza

como la aceleración se conocen como variables. Otros ejemplos son los siguientes: la

presión que soporta un cuerpo bajo el agua está en función de la profundidad; la

energía cinética de un cuerpo está en función de la velocidad; la energía potencial de

un cuerpo está en función de la altura a la que se encuentra; la fuerza de atracción

gravitacional entre 2 cuerpos, está en función de la distancia entre ellos. Las

relaciones entre estas cantidades pueden expresarse como una fórmula matemática.

Veámoslo.

FORMULA VARIABLES

F = ma F es la fuerza de un cuerpo con una aceleración a; m es la masa del

cuerpo, que no es una variable: es una constante.

P = Dgh P es la presión que soporta un cuerpo a una profundidad h bajo el

agua. D y g son constantes: la densidad del agua y la gravedad.

Ec = 0.5mv 2 Ec es la energía cinética de un cuerpo que se mueve a una velocidad

v. m es la masa del cuerpo.

Ep = mgh Ep es la energía potencial de un cuerpo que se encuentra a una altura

h. m y g son la masa del cuerpo y la gravedad.

Fg = Gm1m2/d

2 Fg es la fuerza gravitacional entre 2 cuerpos separados por una

distancia d. Las masas de los cuerpos son m1 y m2. G es la constante

gravitatoria.

En toda relación de variables, una se denomina variable dependiente y la otra se

denomina variable independiente. Se le llama dependiente porque su valor depende

del valor que tome la independiente. Por lo general, estas relaciones se escriben de

manera que del lado izquierdo de la igualdad quede la dependiente y en el derecho

quede la independiente

Para el caso en Ec = 0.5mv2, Ec es la variable dependiente, mientras que v es la

independiente. Calculemos la Ec a varias velocidades para un cuerpo de 10

kilogramos. La velocidad estará dada en m/s, pero omitiremos las unidades.

V Ec = 0.5mv2

5 Ec = 0.5 (10)(5)2 = 5(25) = 125

10 Ec = 0.5 (10)(10)2 = 5(100) = 500

15 Ec = 0.5 (10)(15)2 = 5(225) = 1125

20 Ec = 0.5 (10)(20)2 = 5(400) = 2000

No toda relación es función

Aunque dijimos que en general el término función se utiliza para indicar la relación

entre dos cantidades, resulta que NO TODA RELACION ES FUNCION. Una relación

es función si cumple las siguientes condiciones:

1. todos los elementos del conjunto de partida participan de la relación

2. cada elemento del dominio de la relación participa sólo una vez. Es decir que en

una función cada elemento del dominio tiene sólo un elemento en el rango.

1

2

5

7

1

4

8

9

1

2

5

1

4

8

9

1

2

5

7

1

4

8

9

Esta relación no es función porque no cumple con la primera condición.

Hay un elemento en el conjunto de partida que no participa de la

relación: el número 7.

Esta relación no es función porque no cumple con la segunda condición. Hay un elemento en el conjunto de partida que participa 2 veces de la relación: el número 5.

Esta relación sí es función, pues cumple con las 2 condiciones:

todos los elementos del conjunto de partida participan de la

relación, y cada elemento del dominio participa sólo una vez

Consideremos la segunda condición: cada elemento del dominio tiene sólo un

elemento en el rango. Y tomemos 2 relaciones en los reales:

1. y = X2 2. y = X

En el primer caso, cada valor del dominio, X, tiene sólo un valor en el rango (y) Por lo

tanto en el primer caso tenemos una función.

En el segundo caso, cada valor del dominio (X) tiene 2 en el rango (y) Veámoslo. Si

X = 4, entonces y tomará dos valores: 2 y –2. Por lo tanto la relación NO es función.

Recuerda que... todo número positivo tiene 2 raíces: una positiva y otra negativa. Las

raíces de 16 son 4 y –4: 42 = 16, (-4)2 = 16.

Gráficamente resulta fácil determinar si una relación es función. Si existe una vertical

que corte a la gráfica en 2 puntos o más, la relación no es función. Esto debido a que

un elemento del dominio tiene 2 en el rango.

Línea vertical

Las 2 relaciones anteriores NO son funciones, porque la vertical corta los gráficos en 2 puntos.

En cambio las relaciones siguientes sí son funciones.

Tracen verticales

1.2 Funciones reales y de variable real

Trabajaremos ahora con funciones en el plano cartesiano, en ℜXℜ. Es decir que el conjunto de

partida y llegada serán los reales. Aunque consideraremos casos en los que el dominio sea sólo

una parte de los reales.

Trataremos funciones en las que y sea una función de X. Por ejemplo: y = X2 + 5X + 6. En

notación funcional se escribe así:

.

Recordemos que... el dominio son los valores que puede tomar X (la variable independiente); y

el rango son los valores que puede tomar y(la dependiente)

Dos clases de funciones con dominio restringido.

1. Cuando la variable independiente está dentro del signo radical.

Ya vimos que la relación y = X no es una función. Esto debido a que un número positivo

tiene 2 raíces, lo que hace que a un valor del dominio le correspondan 2 en el rango. Pero si

tomamos sólo las raíces positivas o las negativas, entonces la relación es una función. Es decir

que son funciones:

y = + √ X y y = – √ X.

La gráfica de y = X es:

y = + X

f(x) = X2 + 5X + 6.

En la gráfica podemos observar que para y = + X y y = – X, la X sólo toma valores

desde CERO hasta el infinito. Es decir que el dominio está restringido a [0, +∞[ Esto se debe

a que la raíz de un número negativo NO existe: es imaginario.

Por lo anterior se tiene que en toda función en la que la variable independiente

aparezca dentro del signo radical, el dominio es restringido: es sólo parte de los reales.

¡¡ Ojo !! En los ejemplos, discusiones y prácticas de esta sección, sólo

trabajaremos con la raíz positiva.

2. Cuando la variable independiente está en el denominador.

Sabemos que la división entre CERO no está determinada. Sea la función siguiente:

3X + 6.

X2 – 5X + 6.

En esta función, la variable X aparece en el denominador. Por lo tanto, los valores de X que

hacen CERO el denominador, no pertenecen al dominio. Al factorar, los valores son X = 2 y X

= 3. Estos elementos no pertenecen al dominio.

Ejemplos. Encontrar dominio, rango y el gráfico de las funciones siguientes: 1. f(x) = X + 2.

2. f(x) = X – 2. 3. y = 2X – 4 4. y = 3 – X 5. y = 2 – X 6. f(x) = X2 – X – 6

7. y = 5/(x – 3) 8. y = 4/( X2 – 4)

Solución.

f(x) = X + 2. En esta función, X tomará valores desde CERO al +∞. Ese es el dominio.

La variable dependiente, y, tomará su primer valor cuando X = 0. Se tiene que para X = 0, y =

2. El gráfico se inicia en el punto (0, 2) y continúa indefinidamente. Por lo tanto el rango es [2,

+∞[

Otro punto: cuando X = 4, y = 4.

El gráfico es el siguiente:

y = – X

f(x) =

f(x) = X – 2. El dominio es [0, +∞[

La variable dependiente, y, tomará su primer valor cuando X = 0. Se tiene que para X = 0, y =

–2. El gráfico se inicia en el punto (0, –2) y continúa indefinidamente. Por lo tanto el rango es

[–2, +∞[

El gráfico cortará al eje X. ¿En qué punto lo hará? Cuando una gráfica corta al eje X, el valor de

y es cero. Es decir que: f(x) = 0. Por lo tanto:

X – 2 = 0.

X = 2. Si elevamos al cuadrado (ambos miembros), se anula el radicando y obtenemos:

X = 4.

El gráfico corta al eje X en X = 4. Es decir, en el punto (4, 0)

El gráfico es el siguiente:

Este es el punto (0, 2)

2

4

4

-2

4

Estamos considerando sólo las raíces

positivas. De lo contrario no tendríamos una

función, sino una relación.

No olvidemos que estamos tomando

en cuenta sólo las raíces positivas.

y = 2X – 4 Observemos que 2X – 4 está dentro del signo radical. Por lo tanto 2X – 4

debe ser igual o mayor que CERO.

2X – 4 ≥ 0 2X ≥ 4 X ≥ 4/2 X ≥ 2.

El dominio es: [2, +∞[

Cuando X tome su menor valor (2), y

tomará el valor de cero. El gráfico arranca

en (2, 0) y se extiende hacia el infinito. El

rango es: [0, +∞[

Un punto también importante: si X = 10, y

= 4.

y = 3 – X En esta función el dominio es [0, +∞[

Para X = 0, y = 3. La gráfica arrancará en el punto (0, 3)

Calculemos el rango. El primer valor que tomará y es 3. ¿Qué ocurrirá después?... y se hará

cada vez más pequeño. Veamos la tabla siguiente:

Valor de X 1 4 9 16 25 36 49

Valor de y 2 1 0 -1 -2 -3 -4

¿Corta el gráfico al eje X?... Sí. En la tabla podemos ver que la gráfica pasa por el punto (9, 0)

Es decir que corta al eje X en X = 9. Igualando a cero se llega a la misma conclusión:

3 – X = 0 – X = –3 X = 3 Al elevar al cuadrado obtenemos : X = 9

2 10

4

La gráfica arranca

en (0, 3) y pasa por (9, 0)

y = 2 – X 2 – X debe ser cero o mayor que cero:

2 – X ≥ 0 – X ≥ –2 X ≤ 2 Observa que la desigualdad se invierte.

Por lo tanto, el dominio es: ] - ∞, 2 ]

Para X = 2, y = 0. La gráfica arranca en (2, 0)

Para el rango, veamos el comportamiento de y a medida que X decrece:

Valor de X 2 1 0 -2 -7 -14 -23

Valor de y 0 1 2 3 4 5

Los valores de y arrancan de cero y aumentan indefinidamente: el rango es: [0, +∞[

La gráfica arranca en (2, 0), X tomará valores hacia - ∞, y y hacia + ∞. Además, de acuerdo

con la tabla, la gráfica corta el eje y en .

9

2

3

f(x) = X2 – X – 6 X2

– X – 6 debe ser igual o mayor que cero: X2 – X – 6 ≥ 0

Como ya se vio, una desigualdad cuadrática se resuelve encontrando las raíces, que

son las fronteras, y evaluado dónde el polinomio es positivo o negativo. En este caso

sólo nos interesan las zonas en las que el trinomio es positivo: mayor o igual a cero.

Mediante la fórmula general se llega a que las raíces de X2 – X – 6 son –2 y 3. estas son las

fronteras, y están incluidas. Probemos un valor dentro de cada intervalo:

En ]-∞, –2] tomemos el -4: X2 – X – 6 = (-4)

2 – (-4) – 6 = 14: 14 > CERO (positivo)

En [ –2, 3] tomemos el CERO: X2 – X – 6 = (0)

2 – (0) – 6 = -6 (negativo)

En [ 3, +∞[ tomemos el 4: X2 – X – 6 = (4)

2 – (4) – 6 = 6 (positivo)

Lo anterior se resume en la tabla siguiente:

-∞ –2 3 +∞

X2 – X – 6 + – +

Por lo tanto, X2 – X – 6 ≥ 0 es cierto en ]- ∞, –2] y [ 3, +∞[

El dominio es: ]-∞, –2]+[ 3, +∞[

Calculemos el rango. Para X = -2, y = 0; para X = 3, y = 0. El rango es [ 0, +∞[

El gráfico comprende 2 curvas: una arranca en (-2, 0) y la otra arranca en (3, 0). ¿Hacia dónde

se abrirán? La respuesta es evidente, pero una tabla de valores nos orientará mejor. Los valores

se tomarán dentro de los intervalos.

Valor X -5 -4 -3 -2 3 4 5 6

Valor y 4.9 3.7 2.4 0 0 2.4 3.7 4.9

La que arranca en (-2, 0) se abre hacia la izquierda; la que arranca en (3, 0) se abre hacia la

derecha.

El gráfico es el siguiente:

-2 3

Sabemos que una curva corta al eje y en X = 0. Si en la función y = X2 – X – 6, hacemos X =

0, obtenemos –6, que es una raíz inexistente. Con esto se explica que el gráfico NO CORTA al

eje y. Por lo tanto las curvas deben abrirse sin tocar al eje y.

y = 5

(x – 3)

El dominio son los reales excepto el 3: ℜ – 3

Calculemos el rango. Puede verse que si X es mayor que 3, y es positiva; y si X es menor que 3,

y es negativa. .y puede tomar cualquier valor, pero nunca el de cero; esto puede verse al

despejar X: se obtiene 5/y + 3. Por lo tanto, el rango son todos los reales, excepto el

cero. Esto quedará más claro con la tabla de valores que construiremos para el gráfico.

Para construir el gráfico se debe tomar en cuenta que X jamás tomará el valor de 3. Es decir que

X = 3 es una recta que jamás la tocarán las curvas. Dicha recta (X = 3) se conoce como

asíntota.

Para construir el gráfico, tomamos valores que se aproximen a 3, tanto por la izquierda como

por la derecha. En ambos casos deben tomarse valores muy cercanos a la asíntota.

Valores que se aproximen a 3 por la izquierda.

Valor de X -5 -2 0 1 2 2.5 2.7 2.9 2.99 2.999

Valor de y -0.6 -1 -1.7 -2.5 -5 -10 -16.7 -50 -500 -5000

Se aprecia que al acercarnos por la izquierda a la asíntota, y toma valores negativos crecientes

(en valor absoluto) Esto nos da la primera parte de la gráfica. La otra parte se obtiene al

acercarnos a 3 por la derecha. También la tabla nos da el punto donde el eje y es cortado: (, -

1.7)

Valores que se aproximen a 3 por la derecha.

En esta función la X no puede tomar el valor de 3, pues para tal valor no está

determinada. Pero puede tomar cualquier otro valor.

1 2 3

La recta X = 3 es una asíntota de la función en estudio.

Una asíntota es una recta a la cual se aproxima una curva,

pero nunca la toca.

5

(x – 3)

Valor de X 11 8 6 5 4 3.5 3.3 3.1 3.01 3.001

Valor de y 0.6 1 1.7 2.5 5 10 16.7 50 500 5000

El gráfico es el siguiente:

.........................................................................................................................

...

Si en la función tuviéramos en el denominador 3 – X, la gráfica se invierte, tendríamos:

1 2 3

Vimos que y nunca tomará el valor de

cero. Es decir que y = 0 es otra asíntota.

Pero y = 0 es el eje X. El eje X es otra

asíntota, al igual que X = 3.

-1.7

Aquí es cortado el

eje y

y = 4/( X2 – 4)

El dominio son los reales excepto 2 y –2.

Para el rango despejemos X. Obtenemos 4 / y + 4. Aquí y no puede tomar valores entre cero y

–1, aunque sí éste último. Por ejemplo, para y = -0.5, obtenemos –8+4 = -4, que no tiene raíz.

Por lo tanto, el rango son los reales excepto ] -1, 0 ].

Para construir el gráfico tomaremos valores a la izquierda de –2, entre –2 y 2, y a la derecha de

2. Estos valores los tomamos sólo para ver la tendencia, ya que es muy difícil hacer una gráfica

con tanta precisión. Además, bastan unos 3 ó 4 valores.

Valores a la izquierda de –2.

Valor de X -5 -4 -3 -2.5 -2.4 -2.3 -2.2 -2.1 -2.01 -2.001

Valor de y 0.19 0.33 0.8 1.8 2.27 3.1 4.8 9.8 100 1000

Valores entre –2 y 2.

Valor de X -1.99 -1 0 1 1.99

Valor de y -100 -1.3 -1 -1.3 -100

El binomio X2 – 4 es una diferencia de cuadrados. Factorada queda:

(X – 2)( X + 2) Por lo tanto las raíces son 2 y –2: son las asíntotas.

La tabla anterior nos da esta parte del gráfico. X = -2

Asíntota

Como ya se ha dicho, para determinar en qué punto es cortado el eje y, se hace X = 0. Significa

que el punto (0, n) es donde una curva corta al eje y. En la tabla, ese punto es (0, -1) La

segunda parte del gráfico es el siguiente:

Valores a la derecha de 2.

Valor de X 2.01 3 4 10

Valor de y 100 0.8 0.33 0.04

De acuerdo con las 3 tablas, tenemos 3 curvas. Además se tienen 3 asíntotas: X = 2, X = –2 y

y = 0 (el eje X)

El gráfico es el siguiente

-1

Asíntota X = -2 Asíntota y = 0

Asíntota X =

2

Actividad 1. En cada caso encuentra dominio, rango y el gráfico de la función.

1. f(x) = X + 3. 2. f(x) = X + 5. 3. f(x) = X – 2. 4 y = X – 4. 5. f(x) = X – 5.

6. f(x) = -X + 3 7. y = 3X – 9 8. f(x) = X – 2. 9. y = 4 – X. 10. y = –4 –

X.

11. y = 2 – X 12. y = –2 – X 13. y = X2 + X – 6 14. y = X2

+ 2X – 8

15. y = 9/( X2 – 9) 16. y = 9/( 9 – X2

) 17. y = –6/( X2 + X – 6) 18. y = 6/( X2

+ X –

6)

19. f(x) = 15/( X2 + 2X – 15) 20. f(x) = –15/( X2

+ 2X – 15)

discusión 1. Encontrar el dominio de y = 1 /[(X4 – 4 X2

)( X – 3)]

-1 Esta parte de y no

pertenece al rango, es:

] -1, 0 ]