Funciones en Varias Variables en La Economía

7/25/2019 Funciones en Varias Variables en La Economa

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FUNCIONES EN VARIAS VARIABLES EN LA ECONOMA

En muchas situaciones en la vida real, se requiere trabajar con modelos

econmicos que necesariamente consideran ms de una variable en formasimultnea. Las funciones de varias variables son necesarias para explicarprocesos complejos. Por ejemplo, la cantidad de dinero que obtenemos al naldel ao si invertimos en bonos depender del tipo de inters, pero tambin dela cantidad invertida. La demanda de un bien depende del precio, renta, !ustos" de los precios de los bienes complementarios. Este tipo de funciones son mu"importantes en econom#a porque muchas variables de inters con las queusualmente trabajamos estn funcionalmente relacionadas con otras variables.En macroeconom#a tenemos, por ejemplo, que el consumo se considera que esuna funcin del nivel del in!reso " la tasa de inters o que la demanda de

saldos monetarios es una funcin del nivel del producto de la econom#a, de latasa de inters " de la tasa de in$acin. En microeconom#a, la demanda de unbien depende del precio del mismo bien, los precios de los bienes sustitutos "complementarios, del in!reso del consumidor. Para simplicar nuestro anlisisvamos a referirnos exclusivamente a funciones de dos variables.

FUNCIN DE DOS VARIABLES.

%na funcin &,' de dos variables con dominio ( ), es una re!la queasi!na a cada par ordenado de n*meros reales &x, "' perteneciente a un

conjunto + un *nico n*mero real a cada punto &,' . El conjunto + es eldominio de la funcin " los valores que toma - &,' es el ran!o de la funcin.

l i!ual que en el caso de funciones de una variable, suponemos que a menosque se di!a lo contrario, el dominio de una funcin denida por una re!la ofrmula son los valores de las variables para los cuales la frmula tiene sentido" da un valor *nico. En particular, las funciones que tratamos en econom#a, ha"restricciones explicitas o impl#citas de variacin de las variables/ por ejemplo,la no ne!atividad de las variables

EJEMPLO:

0upon!amos una cooperativa rural que produce a1*car morena " renada. Elcosto de producir un 2ilo de a1*car morena es de 34 5s6 " la renada de )75s6. La cooperativa tiene costos jos mensuales de 7888 5s6.

a' Encuentre el costo mensual de produccin de ambos tipos de a1*car.b' 0i la cooperativa coloca en el mercado la a1*car morena en 98 5s6 " la

renada en :4, obten!a la funcin de utilidad.


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a' El costo de produccin de 2ilos de a1*car morena " 2ilos de a1*carrenada es de 34" de )7respectivamente.

&,' - ;

&,' - 7888 ;&34;)7'

b' Para encontrar la funcin de utilidad, primero encontramos la funcin dein!reso total para los dos tipos de a1*car.

&,' - 3 ;)

&,' - 98;:4

6inalmente la utilidad est dada por la diferencia entre

- &,' -


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Ejemplo@ =alcular el dominio de las si!uientes funciones " representar en forma!rca.

&,' - C;7)


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Lue!otomamosun puntodeprueba

fuera de la recta, si este punto satisface la desi!ualdad el semiplano es dondeest este punto, en caso que no se cumpla la desi!ualdad el conjunto solucines el otro semiplano.

El punto esco!ido es de nuevo &8,8' porque est fuera de la curva 7


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En tresdimensionesla !rca sevisuali1ar#aas#,

Mtra forma de encontrar la !rca de una funcin bivariada es la si!uiente.=onsideremos la si!uiente funcin.

&,' - 39


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Nepetimos ahora con un valor de x-8, la tabla de valores es la si!uiente,

Esta *ltima !raca representa solamente un tra1o de la funcin, podemosrepetir tra1os para diferentes valores de x " de " al nal tendr#amos una !rcacomo la si!uiente,

En una curva de nivel la funcin mantiene un valor constante, lo que explicalas diferentes formas que toma en la econom#a.

S =urvas de indiferencia o de preferencia. 0e denen cuando la funcin bajoconsideracin representa conjuntos de bienes para los que la satisfaccin delconsumidor es la misma en todos los puntos. Necordemos que la funcin deutilidad es una forma de representar las preferencias del consumidor.S Tsocuantas. En estas la funcin en cuestin es la funcin de produccin.Nepresenta diferentes combinaciones de factores, como podr#an ser el trabajo" el capital, que proporcionan en cualquier punto de la curva un mismo nivel deproduccin.S =urvas de isocoste. 0i la funcin de inters es el costo, esta funcin nos

expresa las diferentes combinaciones de factores de produccin, por ejemplode capital " de trabajo, que se pueden adquirir con el mismo !asto total. Lasl#neas de isocostos son rectas, armndose con esto que la empresa no tienecontrol sobre los precios de los insumos, aunque los precios sean i!uales, noimporta cuntas unidades se compren.

R 39


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DERIVADAS PARCIALES

Para una funcin de dos variables con &,' asociados a &,', podemos estudiarla existencia en cada punto &8,8' de su dominio la existencia de dosderivadas llamadas derivadas parciales. 0i dejamos una variable ja porejemplo UU variamos la otra, de esta manera tendremos una funcin de unavariable "a que las otras sern consideradas como constantes, &' - &8,8',donde8 es una constante, que para nuestro caso vale VW.

Xisto de esta manera, la funcin es una funcin numrica de una variable realsi jamos la variable a un cierto valor 8 " la derivada de esta funcin es,con la notacin de Leibni1,

&8,8'

s#, si es una funcin de dos variables " , la derivada parcial de conrespecto a VW o

VW est denida por,&8,8' - lim &8 ; Y ,8' derivada parcial de con respecto a x. Mtras notacionescom*nmente

utili1adas son o " tambin o para referirse a las parciales de conrespecto a UU " UU respectivamente.

Las derivadas parciales pueden obtenerse si aplicamos las mismas re!lasutili1adas en la evaluacin de las derivadas para una sola variable. 0olodebemos recordar que excepto la variable de derivacin el resto de lasvariables deben ser consideradas como constantes.


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Ejemplos. =alcule " para las si!uientes funciones. a' &,' - ; ;4)

0e!uimos las mismas re!las que para las derivadas de una variable. Primero

calculamos , recordemos que la variable " se comporta como una constante,entonces, & ; ; 4)' - (' ; &' ; &4)'

- ) ; &' ; 8

- ); & ; ; 4)' - 8 ; &' ; &4)'

- Q) ; 38

2. INTEGRALES MULTIPLES: PLT==TZ[ +E L T[IE\NL +E6T[T+ L]E=^[T=

0e quiere fabricar un molde para barras de hierro cu"o dimetro sea de 4m "de una lon!itud de 34m. Para la fabricacin de estos lin!otes se somete almtodo de fundicin, el cual consiste en pasar el hierro del estado slido all#quido, que posteriormente ser vaciado al molde. Por lo tanto se necesitaconocer cul es la cantidad de hierro que se vaciara en el molde una ve1 queste est listo. [ecesitamos entonces conocer el volumen del molde.

0_[IE0T0@3. En base a los datos obtenemos la ecuacin@ x); ")- 9.)4, " despejamos a "obteniendo "-9.)4`x).). Esta ser nuestra funcin a inte!rar@ 9.)4`x), " procedemos a dibujar eltrin!ulo para ubicar la funcin.. plicamos la frmula del cos x " buscamos a x " dx./ x-).4cosx, dx-`).4sendx7. 0ustituimos estos valores en la funcin 9.)4`x) " aplicando identidadestri!onomtricas obtenemos@ ).4senx4. El valor obtenido ser i!ual a la funcin de la inte!ral, por lo tanto

sustituimos ).4 senx en lu!ar de la funcin " nos hace ms sencilla la inte!ral9.[uestra nueva inte!ral es@ ).4 senx dx-).4 senx`).4 senx dx-9.)4 sen)x dx:. 0acamos a la constante dejando *nicamente a@ sen)x dx. l inte!rar esto ser el resultado ser@ &3)x`37sen )x' " sustituimos losvalores de x " del sen )x queen este caso ser#an ).4 " `4 respectivamente.


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Q. ]ultiplicamos esto por la constante que es 9.)4 " nuestra rea ser i!ual aQ.3m). Para conocer el volumen solo multiplicamos por la altura del moldeque ser#a 34m.

=omentario@ El problema propuesto trata el clculo de un molde para lin!otes

de hierro de la que se quiere conocer la capacidad del molde para ser llenado.Para la resolucin del problema se tiene en cuenta los mtodos de inte!racinaunque no se explique la totalidad de ellos, en este caso las inte!rales seaplican en

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