Funciones exponenciales 4º 1º
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FUNCIONES EXPONENCIALES
DEFINICIÓN
Se denomina función exponencial a toda aquella función que tenga la forma:
Exponente
Base de la función
Coeficiente de la función
Condiciones
El coeficiente (k) debe ser un
número real NO nulo.
La base (a) debe ser un número
real positivo distinto de 1.
a <1 es decreciente:
a >1 es creciente:
Si la base es:
La ecuación general completa es: y= k.ax +b
Dominio: todos los reales
Asíntota horizontal y=b
k>0 imagen (b, )
K<0 imagen (- ,b)
Si k> 0 a>1 crece
0<a<1 decrece
Si k<0 a>1 crece
0<a<1 decrece
Representación sin grafico
Para recordar:
Representación grafica
• El conjunto imagen de todas las funciones exponenciales es:
(0 ; ).
• Como han podido observar en el grafico, la curva que
representa a la función crece de manera muy rápida. A este
crecimiento se lo denomina “crecimiento exponencial”.
Asíntota
Hay dos funciones de “gran presencia”
que corresponden a las bases:
F(x) = 10x
F(x) = ℮x
Coeficiente:
•Positivo
•Negativo
•Nunca nulo
En este caso se generan
grandes diferencias:
Conjunto Imagen:
a.(0;∞)
b.(-∞;0)
Ordenada al origen:
a.(0;2)
b.(0;-2)
¿Crece o Decrece?
a. Crece
b. Decrece
Conclusiones:
▪ Si el coeficiente es positivo, la función crece. Mientras que si el coeficiente
es negativo, la función decrece.
▪ Las curvas de las funciones que tienen igual base y coeficientes opuestos
son simétricas respecto al eje de las abscisas (eje x).
Donde K:
fg
• Ambas curvas se cortan en el
punto (0,1).
• No cortan el eje de las abscisas.
• El conjunto imagen es (0; ).
Conclusiones:
• Si la base A es mayor a 1, la función es creciente.
• Si la base A es menor a 1, la función es decreciente.
LAS BASES AL SER INVERSAS O RECÍPROCAS, SON SIMÉTRICAS
CON RESPECTO AL EJE DE LAS COORDENADAS (EJE Y).
Variaciones
Variaciones
Las funciones y = ax + b son de tipo
exponencial. Su grafica se obtiene trasladando
la grafica de y = ax en b unidades hacia arriba
si b es positivo, y en b unidades hacia abajo si
es negativo.
Las funciones y = ax + b son también de tipo
exponencial. Su grafica se obtiene trasladando
la grafica de y = ax en b unidades hacia la
izquierda si b es positivo, y b unidades hacia la
derecha si es negativo.
Ejemplo
Hallar la fórmula de una función
Podemos encontrar la fórmula de una
función exponencial conociendo dos
puntos de la curva:
A: (-1;(2/3)) B: (4;162)
Reemplazamos en la formula general de
la función exponencial:
y = k . ax
2/3 = k. a-1 162 = k. a-4
Despejamos “k”
(2/3) : a-1 = k 162 : (a4) = k
Explicación práctica
Igualamos ambas expresiones:
(2/3) . a4 = 162 . (a-1)
Pasaje de término, operamos y despejamos
“a” y encontramos “k”:
(a4): a-1 = 162 : (2/3)
a4-(-1) = 162 : (2/3)
a5 = 162: (2/3)
a5 = 243
a = 5 √243
Entonces la función es:
Explicación práctica
K= 2a = 3
f(x) = 2 . 3x
Aplicaciones de las
funciones exponenciales
Alcohol y conducción de vehículos
Se puede calcular el riesgo de tener un accidente
automovilístico mediante la función:
X = Concentración de alcohol en sangre
K = ConstanteR = Riesgo (en porcentaje)
R = 6ekx
La mitosis o división celularEste proceso obedece a la ley de crecimiento inhibido
Una fórmula que proporciona el número (N) de células en
el cultivo después de transcurrir un tiempo (t) (en las
primeras etapas del crecimiento) es:
Donde k es una constante positiva.Donde N0 es el número inicial de células.
Aplicación
N(t)= N0ekt
Eficiencia de un artefacto
El proceso de declinación de la eficiencia
de un aparato o instrumento puede ser
representado por funciones
exponenciales decrecientes.
Aplicación
Cicatrización de heridas
A0= área original de la herida
A= área de la herida luego de “nº” de días
A= A0e-0.35n
Aplicación
La presión atmosférica de un globo o
aeroplano puede representarse en una
función decreciente.
Aplicación
P = presión atmosférica a
una altura h
H = altura
P0 = presión atmosférica
a nivel del mar
m = masa de las
moléculas de aire
k = constante de
Boltzmann
T = temperatura
G = gravedad
P = P0 . e-mgh/kT
Ejercicios
Bibliografía y Links
•Matemática 1 - Serie Polimodal. Ed.
Santillana
•http://docencia.udea.edu.co/ingeni
eria/calculo/pdf/1_3_3.pdf
(Aplicaciones)
•http://goo.gl/nlu1z (Aplicaciones)
•Apuntes de la carpeta
Vitutor. Funciones exponenciales
Integrantes
Altobelli, Leandro.
Cancinos, José.
González, Gloria.
Hnilitza, Fernanda.
4º 1º Economía - 2013