FUNCIONES. FUNCIONES ELEMENTALES.
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FUNCIONES.
FUNCIONES
ELEMENTALES.
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FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL
UNA FUNCIÓN f REAL DE VARIABLE REAL, es una correspondencia
entre dos conjuntos reales A y B, que asocia a cada elemento x de A un solo
elemento y de B. Y se simboliza por:
f : A B : x y = f (x)
A los elementos x A, se le denomina VARIABLE INDEPENDIENTE, y
a los elementos y B VARIABLE DEPENDIENTE.
La ECUACIÓN de la FUNCIÓN y = f(x), es la relación algebraica entre x e
y, donde:
Dominio de f = D f = { x A : existe y B tal que y = f(x) }
Imagen de f = R f = { y B : existe x A tal que y = f(x) }
Si x es tal que y = f (x), y es la IMAGEN de x, y x es la ANTIMAGEN de y
Si una función viene definida solamente por su ecuación y = f(x), el DOMINIO de f, será el conjunto más amplio de los números reales, para los cuales está definida f
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Ejemplos:
1. 1, no es una función, pues para cada x mayor que 1,
tiene dos valores (por ejemplo 3 = 2).
Sin embargo:
1., si es una función, cuyo DOMINIO de f es:
Dom f = 1
f x x
f x f
f x x
,+
puesto que es el conjunto para el cual está definida la raíz cuadrada,
y el RECORRIDO o IMAGEN de f será:
Ima f = 0,+ .
Por ejemplo la IMAGEN de 3, es 3 3 1 2,
2.- Si : 1
f
f
2
2 2
0,10 0,100 : ( ) ,
la ANTIMAGEN de 9 = 3,+3 ya que ( 3) ( 3) 9 ( 3) ( 3)
x f x x
f f
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GRÁFICA DE UNA FUNCIÓN REAL DE VARIABLE REAL
Dada una función real f (x), al conjunto de puntos del plano Cartesiano:
{ ( x , f(x) ) : x D f }
Se le denomina GRÁFICA de la función f.
Es decir, la GRÁFICA de una función son todos los puntos del plano
cartesiano, cuyas coordenadas son (x , f(x) ) “ ó ( x, y ) donde y = f(x) “.
El conjunto de la abscisas lo compone el Domino de f, y el conjunto de
las ordenadas el Recorrido de f
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Ejemplo: 2La gráfica de la función ( ) 3 :f x x será
(-3, f(-3) ) = ( -3 , 0 )
Eje de ordenadas
Eje de abcisas
(-5, f(-5) ) = ( -3 , 0 )
(0, f(0) ) = ( 0 , 9 )
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PROPIEDADES GRÁFICAS DE FUNCIONES
Una función f (x) es MONÓTONA CRECIENTE en un intervalo (a,b)
cuando para cada x, y (a,b) si x < y, entonces f (x) < f (y).
Una función f (x) es MONÓTONA DECRECIENTE en un intervalo
(a,b) cuando para cada x, y (a,b) si x < y, entonces f (x) > f (y).
Una función f (x) es MONÓTONA en un intervalo (a,b) cuando es
MONÓTONA CRECIENTE ó MONÓTONA DECRECIENTE.
Una función f (x) tiene un MÁXIMO RELATIVO en un punto M,
cuando existe un intervalo (a,b) tal que M (a,b) y para cada x (a,M)
o (M,b) será f(x) < f(M)
Una función f (x) tiene un MÍNIMO RELATIVO en un punto M, cuando
existe un intervalo (a,b) tal que M (a,b) y para cada x (a,M) o
(M,b) será f(x) > f(M)
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Ejemplo. La siguiente función
Es monótona creciente en (0,2) y en (5,8) y monótona decreciente en (2,5).
Tiene un máximo relativo en x = 2, y x = 8, y tiene un mínimo relativo en x = 5.
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PROPIEDADES GRÁFICAS DE FUNCIONES
Una función f (x) es PAR o SIMÉTRICA RESPECTO DEL EJE OY,
cuando para cada x se cumple que f (x) = f (-x).
Una función f (x) es IMPAR o SIMÉTRICA RESPECTO DEL ORIGEN
DE COORDENADAS, cuando para cada x se cumple que f (x) = - f (-
x).Una función f (x) es CONTINUA en un intervalo, si su gráfica es
continua en dicho intervalos.
Los puntos en los que se interrumpe la gráfica, se denominan PUNTOS
de DISCONTINUIDAD.
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Ejemplo.
La función
Es una función PAR
La función
Es una función IMPAR
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Ejemplo. La siguiente función
Es continua en (-3,0) y en (0,1) y es discontinua en x = 0
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FUNCIONES POLINÓMICAS ELEMENTALES.
Las funciones polinómicas son de la forma:
f (x) = a n x n + a n - 1 x n - 1 + … + a 2 x 2 + a 1 x 1 + a 0
Donde, a n , a n - 1 , … , a 2 , a 1 , a 0 son números reales.
La función f (x) = a, con a un número real, se denomina función
CONSTANTE.
La función f (x) = a x, con a un número real, se denomina función
LINEAL.
La función f (x) = a x + b, con a y b números reales, se denomina función
AFÍN.
La función f (x) = a x 2 + b x + c, con a, b y c números reales, se
denomina función CUADRÁTICA.
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Ejemplos Gráficos de funciones polinómicas
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FUNCIONES RACIONALES ELEMENTALES.
Las funciones racionales son de la forma: P(x)f(x) = ------ con P(x) y Q(x) (“grado(Q) 1”) polinomios.
Q(x)
Estas funciones se define para todos los números reales que no se anule
el denominador.
Ejemplos:
f
g2
11. , tiene por DOMINIO: D = 1
12 3
2.- g , tiene por DOMINIO: D = 2,24
f xxx
xx
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FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA.
Las funciones de proporcionalidad inversa, son funciones racionales de la
forma: kf(x) = ------ con k un número constante.
x
Estas funciones tiene por DOMINIO todos los números reales salvo el 0.
Ejemplo:
1La función ,
tiene GRÁFICA
una hiperbola equilatera.
f xx
por
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TRASLACIÓN DE FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA.
Las gráfica de la función de proporcionalidad inversa, de la forma: kf(x) = b + ------ con k un número constante.
x - a Es la traslación de la gráfica de la función k/x mediante el vector (a,b)
Ejemplo:
La función
1 2x 12 = ,
1 x 1
tiene GRÁFICA.
f xx
por
Hoja de cálculo, en la que se puede
variar a, b y k, de la función: kf(x) = b + ------
x - a
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OTRAS FUNCIONES ELEMENTALES.
Otras funciones elementales que estudiaremos en cursos posteriores son:
Las funciones exponenciales.
Las funciones logarítmicas.
Las funciones trigonométricas.
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FUNCIONES DEFINIDAS POR INTERVALOS
En ocasiones, nos interesa estudiar funciones definidas por intervalos.
Ejemplo:
La función
x+1 si 3 x<1
+1 si 1 x 2
x+2 si 2 x 5
tiene GRÁFICA.
f x
por
2
— —
—x
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