FUNCIONES IMPLICITAS
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CLASE 20 PARTE 1: FUNCIÓN IMPLÍCITA. Definición.
Caso de una sola ecuación.
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Dada una ecuación en dos variables
y dado un punto que la verifica:
se llama FUNCIÓN IMPLÍCITA LOCALEN TORNO DEL PUNTO atal que:
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EJEMPLO DE FUNCIÓN IMPLÍCITA EN UNA ECUACIÓN.Sea la ecuación de la circunferencia:
Pasa por el punto
La curva circunferencia, alrededor del punto dado,es la gráfica de una función implícita en la ecuaciónLa función es (despejando y en función de x, de modo quepase por el punto dado):
Se cumple:
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La misma ecuación de la circunferencia:
Pasa por el punto
La curva circunferencia, alrededor del punto dado,es la gráfica de una función implícita en la ecuaciónLa función es (despejando y en función de x, de modo quepase por el punto dado):
Se cumple:
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Dada una ecuación en tres variables
y dado un punto que la verifica:
se llama FUNCIÓN IMPLÍCITA LOCALEN TORNO DEL PUNTO atal que:
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EJEMPLO DE FUNCIÓN IMPLÍCITA EN UNA ECUACIÓN.Sea la ecuación de la superficie esférica:
Pasa por el punto
La sup. esférica, alrededor del punto dado,es la gráfica de una función implícita en la ecuaciónLa función es (despejando z en función de x e y, de modo que pase por el punto dado):
En cambio, la misma ecuación, por este otro punto:
define como función implícita esta otra:
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Dada una ecuación en q +1 variables
y dado un punto que la verifica:
se llama FUNCIÓN IMPLÍCITA LOCALEN TORNO DEL PUNTO a
tal que:
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CLASE 20 PARTE 2: TEOREMA DE LA FUNCIÓN
IMPLÍCITA LOCAL. Enunciado.Caso de una sola ecuación.
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TEOREMA DE LA FUNCIÓN IMPLÍCITA LOCAL(Caso de una sola ecuación). HIPÓTESISSea dada en U abierto,
y un punto en U,tales que:
1.
2. F es diferenciable en U
3. En U:
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TESIS1. Existe función implícita local en torno del punto dado. Es decir: existe
tal que1a)
1b)
2. La función implícita f es diferenciable.
3.
4. Si F es entonces f también es .
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CLASE 20 PARTE 3: TEOREMA DE LA FUNCIÓN
IMPLÍCITA LOCAL. Demostración.Caso de una sola ecuación.
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Dem. del teorema de la función implícita (una sola ecuación).
Paso 1. Existencia y unicidad de f
Para fijar ideas suponemos que es positiva.y
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Teníamos:
PASO 2. CONTINUIDAD DE LA FUNCIÓN IMPLÍCITA f.Hemos construido en el paso 1, la función implícita f tal quedado existe que cumple:
Por definición, f escontinua en a.En vez de a puede usarse p genérico.
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PASO 3. Diferenciabilidad y derivadas parciales de f.
sigue
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Teníamos
Despejando f(x) – b :
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Llamando:
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Lo anterior prueba que f es diferenciable en a y que susderivadas parciales son:
El mismo razonamiento puede hacerse para cualquier puntop donde la función implícita esté definida, en vez de a.
PASO 5. Probar que si F es de clase
entonces la función implícita f también lo es.
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CLASE 20 PARTE 4: TEOREMA DE LA FUNCIÓN IMPLÍCITA LOCAL. Ejemplo.Caso de una sola ecuación.
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EJEMPLO
Ecuación implícita:
Por el teorema de la función implícita local existe y = f(x) tal que:
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Teníamos:
Derivando respecto de x en x=1; f(1) = 2
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Teníamos:
Derivando (1) nuevamente respecto de x, en x=1, f(1)= 2