FUNCIONES INVERSAS

Funciones Uno-a-Uno

• Una función f con dominio D y co-dominio o rango R es una función uno-a-uno si satisface al menos una de la siguientes condiciones equivalentes.

1) Siempre que a ≠ b en D , f(a) ≠ f(b) en R .

2) Siempre que f(a) = f(b) en R, a = b en D .

Ejemplo:

• f(x) = x2 NO es uno-a-uno,

ya que f(2) = f(-2) = 4 , pero 2 ≠ -2 .

Función uno-a-uno

Cada valor de la

función en R

corresponde a

exactamente un

elemento en D .

Los valores del

campo de valores no

se comparten.

Ejemplo Si f(x) = 3x + 2 , demuestre que f es uno-a-uno.

Solución: a) Suponer que f(a) = f(b) para algún a y b en el dominio

de f . (Salidas iguales.)

b) Entonces, 3a + 2 = 3b + 2

c) 3a + 2-2 = 3b + 2 – 2

3a = 3b

3𝑎

3=

3𝑏

3

Por consiguiente a = b .

d) Por lo tanto f es uno-a-uno, por la condición 2 de la definición.

Ejemplo (cont.) b) Si g(x) = x2 – 3 , demuestre que g NO es uno-a-uno.

Solución:

Aquí buscaremos dos números distintos en el dominio que producen el mismo valor para la función.

Como g es una función par, existen muchas posibilidades:

• g(-1) = g(1) = -2

• g(-2) = g(2) = 1

• etc.

• Por lo tanto, g(x) = x2 – 3 , NO es uno-a-uno

Existe al menos un valor de y en el recorrido que corresponde a más de un valor de x en el dominio.

Prueba de la línea horizontal

• Esta prueba dice que una función f es uno-a-

uno si cada línea horizontal interseca la gráfica

de f en no más de un punto.

Aquí f NO

uno-a-uno.

Ejemplo

Use la prueba de la línea horizontal para

determinar si f(x) = 3x + 2 es uno-a-uno:

• Construir la gráfica de

f…

• Luego realizar la

prueba de la línea

horizontal.

• f es uno-a-uno …

Ejemplo

Use la prueba de la línea horizontal para

determinar si g(x) = x2 – 3 es uno-a-uno.

• Construir la gráfica de f…

• Luego realizar la prueba

de la línea horizontal.

• g NO es uno-a-uno, ya que

existe al menos una línea

horizontal que interseca la

gráfica de g en dos puntos.

Funciones crecientes/decrecientes

• Una función que es creciente en

todo su dominio es uno-a-uno;

• Una función que es decreciente en

todo su dominio es uno-a-uno;

Funciones Inversas • Si f es una función uno-a-uno, definida de D a R,

y = f(x), entonces

podemos definir una función g de R a D mediante la regla x = g(y) .

• El diagrama muestra que g invierte la correspondencia definida por f :

• Llamaremos g la función inversa de f y escribimos 𝑔 = 𝑓−1(𝑥) .

Teorema sobre funciones inversas

• Sea f una función uno-a-uno con dominio D y rango R .

• Si g es una función con dominio R y rango D , entonces g es la función inversa de f si y solo si se cumple lo siguiente :

– g(f(x)) = x para todo x en D

– f(g(y)) = y para todo y en R

• A la función g que es la inversa de f, le designamos la notación f-1 (x).

Ejemplo Determinar si g(x) =

1

4x – 3 es la función inversa

de f(x) = 4x + 12.

Ejemplo • Hallar la función inversa de f(x) = 3x - 5 :

Graficas de f -1

• Como una funcion y su inversa intercambian

su dominio y rango,

– el punto (a, b) está en la gráfica de f si y solo

si…

– el punto (b, a) está en la gráfica de f -1 .

• Las gráficas de f(x) y f -1(x) son reflexiones

sobre la recta y = x.

Ejemplo: Trace las gráficas de f(x) = 3x - 5 𝑓−1(𝑥) =

𝑥 + 5

3

x f-1 (x) x f(x) -3 -1 0 1 3

-14 -3

-8 -1 -5 0 -2 1 4 3

-14

-8 -5 -2

4

Ejemplo: Determine, f -1 (x), si existe,

para f(x) = 𝑥 + 3

Trace la gráfica de la función inversa de la función que se muestra.

Dominio f(x): Rango f(x):

X Y

-7

0

1

2

9

[-7,9]

[-1, 3]

f(x)

3

2

1

0

-1

FUNCIONES EXPONENCIALES

Funciones exponenciales

• Anteriormente han considerado ecuaciones de potencia que tienen la variable en la base y una potencia constante.

(base variable) (potencia constante) , tales como x2 , 4x3 , 8x , etc.

• Ahora, revisaremos ecuaciones con términos de la forma

(base constante) (potencia variable) ,

tales como 2 x , 4x , ½ x , etc.

Ejemplo • Definimos f(x) = 2x

• Mostramos algunos

valores para esta función

y una gráfica :

Notamos: • f(x) es creciente en todo su dominio. • Dominio: Todos los reales • Campo de valores: (0,∞)

Ejemplo

• Definimos g(x) = 𝟏

𝟐

𝒙

• Mostramos algunos valores para g:

Notamos: • g(x) es decreciente en todo su dominio. • Dominio: Todos los reales • Campo de valores: (0,∞)

f(x) = 2x g(x) = 𝟏

𝟐

𝒙

Definición • La función exponencial, f(x) = ax, (para a , un

número positivo diferente de 1 y x ,

cualquier número real) tiene las siguientes

características

Gráficas de Funciones Exponenciales

• Se observa que si a>1, y= ax

es una gráfica creciente.

• Sean f(x) = ax y g(x) = bx

funciones exponenciales. Si

a>1, b>1 y a>b, entonces:

– g(x) > f(x) para x<0

– f(x)> g(x) para x>0

• Decimos que f(x) crece más

rápido que g(x) para x > 1.

Teorema

• Las funciones exponenciales son crecientes o

decrecientes en todo su dominio

(monotónicas).

• Una función monotónica es una función uno-

a-uno.

• La propiedad uno-a-uno de las funciones

exponenciales nos permite resolver

ecuaciones exponenciales sencillas.

Ejemplo

• Hallar x tal que 73x = 72x + 5.

Ejemplo

Resolver para x, 2x – 3 = 𝟏

𝟐

𝒙+𝟒

Solución:

Ejemplos

• Resolver para x, 35x – 8 = 9x + 2

Ejemplo Obtener una ecuación de la forma

f(x) = b(ax ) para la gráfica

Solución: