Funciones polinomiales de grado tres y cuatro
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Matemáticas IVFunciones polinomiales de grado tres y cuatro
José Marcelino Rodríguez Márquez
Comportamiento y
bosquejo de graficas
de funciones de grado 3 y 4
Y=mx+b
Función lineal
raíz
Grado 1
La forma de la grafica de una función polinomial dependerá directamente de su
grado
y=a
Función cuadrática
Función de 2 grado
raízraíz
El numero de raíces nos da información acerca de como es la grafica de una función
𝑦=𝑎𝑥 3+𝑏𝑥2+𝑐𝑥+𝑑 𝑎𝑥 4+𝑏𝑥3+𝑐𝑥4+𝑑𝑥+𝑒
Grafica de una función cubica Grafica de una función de 4 grado
Funciones de grado tres. (cúbicas)
• La forma general es
• a≠ 0• su forma
estándar se presenta como
• b, c y d son números reales.
• Una función de grado 3 esta completa cuando todos sus coeficientes tienen un valor distinto de cero. Si el valor del parámetro es positivo, la grafica presenta un máximo y un mínimo en ese orden para valores de x desde -∞a∞
Máximo
mínimo
• Tienen una parte cóncava y una convexa. ambas se unen por el punto de inflexión, que es el punto donde la grafica cambia de dirección
Punto de inflexióncóncava
convexa
Una función es cóncava cuando se unen dos puntos cualesquiera y el segmento de la recta esta debajo de la grafica
Una función es convexa cuando se uno dos puntos cualesquiera y el segmento de la recta esta por encima de la grafica
Para resolver la función de grado 3
• Primero se trabajará con la forma estándar, para observar el comportamiento de la gráfica con respecto a los cambios que sufren los parámetros.
Para graficar una función cúbica de forma estándar:
1. Encontrar y graficar P.I.(h,k). • 2. A partir del P.I se recorre una
unidad a la derecha y si el parámetro “a” es positivo, se ubica el punto hacia arriba “a”, de no ser así, se ubica hacia abajo.
• 3. Ahora, a partir del P.I, se recorre una unidad hacia la izquierda y se coloca el punto en sentido contrario del punto
que se colocó en el paso 2, es decir, si el punto que está a la derecha del punto de inflexión quedó hacia arriba, éste quedará hacia abajo “a” unidades y viceversa.
• 4. Se traza la gráfica de forma suave.
Ejemplo .
• P.I.(1, 3). • el parámetro a=2,
cuando se recorra una unidad a la derecha del punto de inflexión, el segundo punto se ubicará dos unidades hacia arriba
• Posteriormente, se situará el tercer punto, recorriendo una unidad hacia la izquierda y dos unidades hacia abajo, debido a que es en sentido contrario del segundo punto.
• Para trazar la gráfica se parte del punto de inflexión, considerando que a la derecha de éste es cóncava hacia arriba y a su izquierda es cóncava hacia abajo, quedando la gráfica de la siguiente forma.
FUNCIÓN POLINÓMICA DE GRADO 4• Es la función de fórmula: • F(x) = ax4+ bx3+ cx2+ dx + e• a≠ (distinto) 0.• b, c, d y e son números
reales.• La función cuártica tiene un
comportamiento parecido a la parábola, sólo que el crecimiento es más rápido.
• forma estándar. F(x)=
• En la función cuartica el dominio es el conjunto de números reales, pero el rango sólo es una parte de ellos, a diferencia de la función cúbica la cual cruza desde hasta -∞ hasta ∞
• Los parámetros en el caso de que “a” sea positivo la función tiende infinitamente hacia arriba, si el parámetro “a” es negativo, la función tiende infinitamente hacia abajo.
Ejemplo
utilizando los parámetros. Como a=−3, la función tiende infinitamente hacia abajo y su punto máximo es P(h,k)y para obtenerlo se realiza la siguiente comparación.
𝑓 (𝑥 )=−3 𝑥 (+2)4+4
Por lo tanto, el punto máximo es P(−2, 4).
𝒇 (𝒙 )=−𝟑 𝒙 (+𝟐)𝟒+𝟒
𝒇 (𝒙 )=−𝒂𝒙 (+𝒉)𝟒+𝒌
Ecuaciones fectorizables
• Método para encontrar las raíces de una función polinomial eligiendo los valores del dominio y sustituirlos en la función para así, al graficar, hallar los ceros o raíces de ellas.
Ceros factores y soluciones
• Ejemplo :
1: para encontrar la raíz igualamos a 0
𝑥3−5 𝑥2−6 𝑥=0
2:al factor izar por factor común
𝑥 (𝑥¿¿ 2−5 𝑥−6)=0¿
Al resolverla
𝑥2−5 𝑥−6=0X=0 Un raíz es igual a 0;
3:Para encontrar las otras rieses narcotizamos el termino
(x-6)(x+1)=0
Las raíces del termino son:
X-6=0X=6
x+1=0X=-1
Por lo tanto las raíces de la función son𝑥1=0 𝑥3=−1𝑥2=6
Y=
Igualamos a 0 y factorizamos para resolver
𝑥2(𝑥¿¿2−1)=0¿
X=0 (x-1)(x+1=0
Las raíces son
𝑥1=0 𝑥2=1 𝑥3=−1X=0 X-1=0 X+1=0
𝑥1=0 𝑥2=1
Bosquejo de la grafica 𝑥3=−1