Funciones Psu Matemáticas 2012. Función Definición: – Sean A y B conjuntos no vacíos. Una...
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FuncionesPsu Matemáticas 2012
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Función• Definición:
– Sean A y B conjuntos no vacíos. Una función de A en B es una relación que asigna a cada elemento x del conjunto A uno y solo un elemento y del conjunto B.
Se expresa como: f: A B x f(x) = y
Se dice que y es la imagen de x mediante f, y que x es la pre-imagen de f(x) = y
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Función• Conceptos:
– Dominio: es el conjunto de todos los valores para los cuales está definida la función y se denota Dom f.
– Recorrido: es el conjunto de todos los valores que toma la variable independiente (Y), y se denota Rec f.
– Función Creciente: es aquella que al aumentar la variable independiente, también aumenta la variable dependiente.
– Función Decreciente: es aquella que al aumentar la variable independiente, la variable dependiente disminuye.
– Función Constante: es aquella que para todos los valores de la variable independiente, la variable dependiente toma un único valor
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Función
• Conceptos Fundamentales:
– Si tenemos una relación f entre dos conjuntos A y B, f se dirá función si a cada valor del conjunto de partida A le corresponde uno y sólo un valor en el conjunto de llegada B.
f(x)
A Bf
a
x
b = f(a)
f(x)
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Función
• Conceptos Fundamentales:– La variable x corresponde a la variable independiente y la variable
cuyo valor viene determinado por el que toma x, se llama variable independiente. Se designa generalmente por y o f(x) [se lee “f de x”]. Decir que “y” es función de “x” equivale a decir que “y” depende de “x”.
A Bf
a
x
b = f(a)
f(x)
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Función– Rango o Recorrido de f:
Es aquel subconjunto del codominio en el cual todos sus elementos son imagen de alguna preimagen del dominio o conjunto de partida. Se denota por Rec f.
1234567
Se puede ver que para todo elemento de A, existe sólo una imagen en B.
abcde
1234567
A Bf
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• Luego para la función f denotada:
– Dominio de f = Dom f = A = {a, b, c, d, e}– Codominio = B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}– Rango o Recorrido de f = Rec f = {1, 2, 3, 4, 7}
abcde
1234567
A Bf
Los elementos {5, 6} no son imagen de ninguna preimagen en A, luego no pertenecen al rango de f .
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Clasificación• a) Función Inyectiva: Una inyección de A en B es toda f de A en B, de modo que a
elementos distintos del dominio A le corresponden imágenes distintas en el codominio B.Cada elemento de A tiene una única imagen en B (y sólo una), de tal forma que se verifica que # A ≤ # B.
Como se ve, 4 € B y no es imagen de ningún elemento de A
abcd
12345
A Bf
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• b) Función Epiyectiva o Sobreyectiva: Una epiyección o sobreyección de A en B, de modo que todo elemento del codominio B es imagen de, al meno, un elemento del dominio A. Cada elemento de B es imagen de por lo menos un elemento de A. Se verifica que # A ≥ # B. Es decir, que en este caso el codominio es igual al recorrido.
abcd
1
2
A Bf
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• c) Función Biyectiva: una función f es biyectiva de A en B si y sólo si la función f es tanto Inyectiva como Epiyectiva a la vez, por lo que se verifica que #A = #B y que a cada elemento de A le corresponde una única imagen en B y que cada imagen de B le corresponde una preimagen en A.
abc
123
A Bf
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I. Función afín
• Es de la forma f(x) = mx + ncon m : Pendiente
n : Ordenada del punto de intersección entre la recta y el eje Y (coeficiente de posición).
Ejemplo:La función f(x) = 5x – 3, tiene pendiente 5 e intersecta al eje Y en la ordenada -3.
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I. Función afín• Análisis de la Pendiente
Para saber con qué tipo de función se está trabajando, se debe analizar el signo de la pendiente.
• Si m < 0, entonces la función es decreciente.• Si m = 0, entonces la función es constante.• Si m > 0, entonces la función es creciente.
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Función afín
I) II)
X
Y
n
m > 0n > 0
X
Y
n m < 0n > 0
X
Y
n
m > 0n < 0
X
Y
n
m < 0n < 0
III) IV)
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Función Lineal• Es la función que su coeficiente de posición es cero f(x) =m x con m distinto de cero• Caso especial
– a) La función de forma f(x) = x, se reconoce como función identidad y su gráfica es:
1
2
f(x)
x1 2-1
-1
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Función constante Tipos de funciones especiales:
b) La función de la forma f(x) = c, con c: Constante Real, se conoce como función constante y su gráfica es:
f(x)
x
●c
con c > 0
f(x)
x
●c
con c < 0
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II. Función Cuadrática• Son de la forma:
• Gráfica:Siempre es una parábola, dependiendo su forma y la ubicación de sus coeficientes a, b y c.
f(x) = ax² + bx + c
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II. Función Cuadrática• Concavidad:
El coeficiente a de la función cuadrática indica si la parábola es abierta hacia arriba o hacia abajo.
x
y
0 x0
y
a > 0, Abierta hacia arriba
a < 0, Abierta hacia abajo
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II. Función Cuadrática• Eje de simetría y vértice:
El eje de simetría es aquella recta paralela al eje Y y que pasa por el vértice de la parábola.
El vértice está dado por:
Vértice = -b , f -b = -b , 4ac – b²
2a 2a 2a 4a
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II. Función Cuadrática
Además, la recta x = , corresponde al Eje de simetría.-b 2a
_ b² - 4ac 4a
x
y
·
-b 2a
x0
y
·_ b² - 4ac 4a
-b 2a
a > 0 a < 0
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II. Función Cuadrática• Intersección con los ejes
– Intersección con el eje Y El coeficiente c nos da el punto en el cual la parábola corta al eje Y.Sus coordenadas son (0, c)
0
c·
y
x
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II. Función Cuadrática– Intersección con el eje X
para determinar el o los puntos donde la parábola corta al eje X, es necesario conocer el valor del discriminante de la función cuadrática.
Se define el discriminante como:
D = b² - 4ac
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II. Función Cuadrática• a) Si el D = 0, la parábola corta en un solo punto al eje X.
0 ·
Y
X
a > 0
(x = x , 0)
1 2
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II. Función Cuadrática• b) Si el D > 0, la parábola corta en dos puntos al eje X
0 ·
Y
X
a > 0
·
(x ,0) y (x , 0)1 2
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II. Función Cuadrática• c) Si el D < 0, la parábola no corta al eje X.
0
Y
X
a > 0
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II. Función Cuadrática• Naturaleza de las raíces de una ecuación de 2º grado
Si f(x) = 0, tendremos que ax² + bx + c = 0, llamada Ecuación de 2º grado en su forma general.Toda ecuación de 2º grado posee dos soluciones, pudiendo ser reales o imaginarias, las que vienen dadas por la expresión:
x = -b ±√b²- 4ac 2a
x = -b ±√b²- 4ac 2a
1
x = -b ±√b²- 4ac 2a
2
Estas soluciones, raíces o ceros de la ecuación corresponden gráficamente a los puntos donde la función f(x) = ax² + bx + c corta al eje X. Estos puntos tienen como coordenadas (x ,0) y (x , 0)
1 2
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II. Función Cuadrática Tipos de soluciones
Dependen del valor del Discriminante
a)Si D = 0, 2 soluciones reales iguales
b)Si D > 0, 2 soluciones reales distintas (x y x € C, con x ≠ x )
c)Si D < 0, 2 soluciones imaginarias distintas (x y x € C, con x ≠ x )
D = b² - 4ac
(x = y)1 1
1 12 2
1 12 2
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III. Función Parte Entera Su valor, para cada número x € IR, es la parte entera de x y se designa por [x]. Ésta
se escribe:
Dado un número real x, la función parte entera le asigna el mayor entero que es menor o igual a x, es decir:
Ejemplos:
[2,9] = 2 ;[-7/2] = -4 ;[5] = 5 ;[√2] = 1
f(x) = [x]
[x] ≤ x < [x+1]
Todo número real está comprendido entre dos números enteros, la parte entera de un número es el menor de los números enteros entre los que está comprendido.
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III. Función Parte Entera
Obsérvese que esta función es constante en los intervalos semiabiertos (semicerrados) de la forma [n, n + 1[ con n € Z. Por tanto, los segmentos horizontales contienen sus extremos izquierdos, pero no los derechos
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IV. Función Valor Absoluto• El valor absoluto de un número x € IR, denotado por |x|, es siempre un número
real no negativo que se define:
Ejemplo:
|-3| = 3 |12| = 12|-18| = 18 |-5,3| = 5,3
f(x) = |x| =
x si x ≥ 0
-x si x < 0
Si los números reales están representados geométricamente en el eje real, el número |x| se llama distancia de x al origen.
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IV. Función Valor Absoluto– a indica el punto de traslación en el eje de las coordenadas.
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IV. Función Valor Absoluto– b indica el punto de traslación en el eje de las abscisas.
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IV. Función Valor Absoluto• Propiedades:
– a. Si |x| ≤ a entonces -a ≤ x a; con a ≥ 0
– b. Si |x| ≥ a entonces x ≥ a ó -x ≥ a
– c. |xy| = |x| · |y|
– d. |x + y| ≤ |x| + |y| (Desigualdad Triangular)
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IV. Función Valor Absoluto• La última propiedad se llama desigualdad triangular, pues, cuando, se generaliza a
vectores indica que la longitud de cada lado de un triangulo es menor o igual a la suma de las longitudes de los otros dos.
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V. Función Exponencial• Es la función inversa del logaritmo natural y se denota equivalentemente como: x
e^x o x exp(x)
La función exponencial f con base a se define como
f(x) = a Si a > 0 ^ a ≠ 1, x € IR x
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V. Función Exponencial• Propiedades:
– El dominio de la función exponencial está dado por los números IR.
– El recorrido de la función exponencial está dado por los IR*.
– El punto de intersección de la función con el eje Y es (0, 1).
– La función no intercepta el eje X.
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V. Función Exponencial• Crecimiento y decrecimiento exponencial:
– Si a > 1, f(x) es creciente en todo IR.
Mientras más grande el número de la base, la línea estará más cerca del eje Y.
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V. Función Exponencial• Crecimiento y decrecimiento exponencial:
– Si 0 < a < 1, f(x) es decreciente en IR
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V. Función Logarítmica• Propiedades
– El dominio de la función logarítmica está dado por los números IR, la función no está definida para x ≤ 0.
– El punto de intersección de la función con el eje X es (1, 0).
– La función no intercepta el eje Y.
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V. Función Logarítmica• Crecimiento y decrecimiento Logarítmico:
– Si a > 1, f(x) = log x es creciente para x > 0.a
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V. Función Logarítmica• Crecimiento y decrecimiento Logarítmico:
– Si 0 < a < 1, f(x) = log x es decreciente para x > 0.a