FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. CÁLCULO

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Universidad de Oviedo CÁLCULO

Escuela Universitaria de Ingeniería Técnica en Informática de Oviedo (E.U.I.T.I.O)

Alberto Suárez López Página 57

Capítulo 3: FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. CÁLCULO DIFERENCIAL.

Capítulo 3.1. TASA DE VARIACIÓN MEDIA: Dada una función )(xfy = continua en el intervalo cerrado [ ]ba, , se llama tasa de

variación media de )(xf en el intervalo [ ]ba, a la expresión: [ ]ab

afbfbaTVM

−−= )()(

, .

Da una primera idea de la rapidez con que crece o decrece en un determinado intervalo

la función y es el cociente entre la variación de la función y la variación de la variable independiente.

x

y

a b

f(a)

f(b)

b-a

f(b)-f(a)

y=f(x)

�

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Si tomamos el intervalo [ ]hxx +90 , , laTVM en dicho intervalo vendrá dada por:

( ) ( ) ( ) ( )xy

hxfhxf

xhxxfhxf

TVM∆∆=−+=

−+−+= 00

00

00 .

x

y

x0 x0+h

f(x0)

f(x0+h)

h

f(x0+h)- f(x0)

y=f(x)

�

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Capítulo 3.2. TASA DE VARIACIÓN INSTANTÁNEA: Si al calcular laTVM hacemos que la amplitud del intervalo h tienda a cero ( )0→h ,

será necesario calcular: ( ) ( )

xy

hxfhxf

hh ∆∆=−+

→→ 0

00

0limlim .

Se puede hablar ahora de tasa de variación instantánea o mejor aún, de derivada de la

función en el punto 0x .

x

y

x0 x0+h

f(x0)

f(x0+h)

f(x0+h)- f(x0)

y=f(x)

h

� �P

Q

M

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Capítulo 3.3. FUNCIÓN DERIVABLE EN UN PUNTO: Se dice que una función RRDf →⊆: es derivable en un punto c perteneciente al

dominio de la función, si existe y es finito el limite siguiente:

( ) ( )h

cfhcfh

−+→0

lim , en cuyo caso a dicho valor se le llama derivada de f en el

punto c y se representa: ( )cf ' . si xhc =+ ; entonces:

( ) ( ) ( )cfcx

cfxfcx

'lim =−−

→

Ejemplo:

211

)(x

xf+

= en 10 =x

21

42

4422

lim)442(

)2(lim

)442(2

lim

442222

lim21

221

lim)1()1(

lim)('

20202

2

0

2

2

0

2

00

−=−=++

−−=++

−−=++

−−

=++−+−

=−

++=−+=

→→→

→→→

hhh

hhhhh

hhhhh

hhhhh

hhh

hfhf

xf

hhh

hhh

Capítulo 3.3.1. INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA:

en PQM :h

xfhxfPQQM

tg)()( 00 −+==α

si PM → ; PQ → ; 0→h ; ϕα → ; ϕα tgtg →

hxfhxf

tgtgtghhPM

)()(limlimlim 00

00

−+===→→→

ααϕ

La derivada de una función )(xf en un punto 0x es la pendiente m de la recta tangente a la función en dicho punto.

)(' 0xftgm == ϕ

La derivada de una función )(xf en un punto 0x es la pendiente m de la recta tangente a la función en dicho punto.

)(' 0xftgm == α

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Capítulo 3.3.2. ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE A LA FUNCIÓN EUN PUNTO ( )[ ]cfc, :

( )( )

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )cxcfcfycfcyx

cfm

xxmyy

−=−��

==

−=−

·',,

'

·

00

00

Capítulo 3.3.3. DERIVADAS LATERALES: Como consecuencia de que la derivada de una función )(xf es un límite y teniendo en

cuenta que algunas veces el límite no existe, pero sí existen sus límites laterales, se pueden definir las derivadas laterales de )(xf de la siguiente forma:

),(),()(

0 bax

ba

xf

∈

Derivada lateral por la derecha:

hxfhxf

xfh

xfhxfxf

hh

)()(lim)('

)()(lim)(' 00

00

00

00

−+=�−+=

→

+

→

++

Derivada lateral por la izquierda:

hxfhxf

xfh

xfhxfxf

hh −−−=�

−+=→

−

→

−−

)()(lim)('

)()(lim)(' 00

0000

00

Por tanto:

)(')(')(' 000−+ == xfxfxf

Una función es derivable en un intervalo abierto ( )ba, si lo es en todos los puntos del

intervalo.

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Ejemplo:

Sea ( )��

<−≥

==00

xsix

xsixxxf , entonces:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )��

��

�

−==−

=−+=

==−

=−+=

−−−

+++

→→→

−

→→→

+

1lim0

lim00

lim0'

1lim0

lim00

lim0'

000

000

h

h

h

h

hfhf

f

h

h

h

h

hfhf

f

hhh

hhh0=x se dice que es un

pico o un punto anguloso y la función no es derivable en dicho punto.

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Capítulo 3.4. FUNCIÓN DERIVADA: Sea una función )(xf continua en el intervalo [ ]ba, y derivable en el intervalo ( )ba, , se

puede componer una función )('xf que nos permita conocer el valor de la derivada de la función en un punto cualquiera de su dominio.

Ejemplo: • si kxf =)( :

0lim)()(

lim)('00

=−=−+=→→ h

kkh

xfhxfxf

hh

• si xxf =)( :

1limlim)()(

lim)('000

==−+=−+=→→→ h

hh

xhxh

xfhxfxf

hhh

• si nmxxf +=)( :

( )

( ) mmh

mhh

nmxnmhmxh

nmxnhxmh

xfhxfxf

hhh

hh

==−+++=

=−−++=−+=

→→→

→→

000

00

limlimlim

·lim

)()(lim)('

• si 2)( xxf = :

( )

( ) ( ) xxhh

xhhh

xhhh

xxhhxh

xhxh

xfhxfxf

hhh

hhh

22lim2·

lim2

lim

2limlim

)()(lim)('

00

2

0

222

0

22

00

=+=+=+=

=−++=−+=−+=

→→→

→→→

• si xxf =)( :

( ) ( )( ) ( )

xxhx

xhxhxhx

xhxhxhxxhxxhx

xhxxhx

hxhx

hxhx

hxfhxf

xf

h

hh

hhh

211

lim

·lim

···

lim

·limlim)()(

lim)('

0

0

22

0

000

=++

=

=++

−+=++

−+−+++=

=++++−+=−+=−+=

→

→→

→→→

• …

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Capítulo 3.4.1. RELACIÓN ENTRE DERIVABILIDAD Y CONTINUIDAD: Si una función )(xf es derivable en el punto 0x , )(xf es continua en ese punto.

[ ] 00)·('lim·)()(

lim·)()(

lim)()(lim 00

00

0

00

0000==−+=−+=−+

→→→→xfh

hxfhxf

hh

xfhxfxfhxf

hhhh

[ ]

)(lim)(lim

0)(lim)(lim

0)()(lim

0000

0000

000

xfhxf

xfhxf

xfhxf

hh

hh

h

→→

→→

→

=+

=−+

=−+

)()(lim 000xfhxf

h=+

→ Definición de continuidad

Sin embargo, no toda función continua es derivable. Ejemplo:

��

<−≥

==00

)(xsix

xsixxxf

en )(lim)0(00)(lim

0lim)(lim

0)0(

00

0

0

0

xffx

xxf

f

xx

x

x

x→

→

→→

=��

��

�

��

��

�

��

��

��

��

=−=

=

=

=−

+

en )0(')0('

0)0()0(

1lim)0()0(

lim)0('

0)0()0(

1lim)0()0(

lim)0('

0

00

00

−+

→→

−

→→

+

≠

��

�

��

�

�

��

�

��

�

�

��

=−=−

−=−

=−

−−=

��

==+

+==−+=

= ff

f

hhfh

hh

fhff

f

hhfhh

hfhf

f

x

hh

hh

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Capítulo 3.5. PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES DERIVABLES: • Las funciones elementales son derivables en su dominio

,...,ln,cos,,,),( xxxsenxaexP xx , excepto x , que es derivable en ( )∞,0 • La suma, recta, producto y composición de funciones derivables es una función

derivable gf ± , gf · , fog

• El cociente de funciones derivables es una función derivable excepto en los puntos que anulan al denominador

gf

Capítulo 3.5.1. OPERACIONES CON FUNCIONES DERIVABLES: Si f y g son dos funciones derivables en un punto c , entonces:

• Suma: gf + es derivable en c

( ) ( ) ( ) ( )cgcfcgf ''' +=+

• Producto por un escalar: f·α es derivable en c

( ) ( ) ( )cfcf '·'· αα =

• Producto: gf · es derivable en c

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )cgcfcgcfcgf '··''· +=

• Cociente:gf

es derivable en c

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )[ ]2

''··'

cgcgcfcgcf

cgf −=��

��

• Polinomio: ( ) nn xaxaxaxaxaxP ·...···· 3

32

21

10

0 +++++= es derivable en c

( ) 123

121 ··...··3··2' −++++= n

n xanxaxaaxP

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Capítulo 3.6. DERIVADA DE LAS FUNCIONES COMPUESTAS. REGLA DE LA CADENA:

( ) ( )( )cgfcgc

RRR fg

→→→→

Si g es derivable en c y además f es derivable en ( )cg . Entonces se verifica que fog es

derivable en c y además se verifica lo siguiente: ( ) ( ) ( )( ) ( )cgcgfcfog '·'' = Ejemplo:

( ) ( )xsenxh 2=

( )xsenxx

RRR fg

22 →→→→

( ) ( )( ) ( ) ( ) 2·2cos'·'' xcgcgfxh ==

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Capítulo 3.7. DERIVADA DE LA FUNCIÓN INVERSA:

( ) ( )( )cffcfc

RRR ff

11

1

−− →→→→

−

Sea f una función inyectiva y 1−f su función inversa. Si f es derivable en ( )cf 1− con

derivada distinta de cero, entonces 1−f es derivable en c y adermás se verifica:

( ) ( ) ( )( )cffcf 1

1

'1

' −− =

Capítulo 3.7.1. DERIVADA DE LAS FUNCIONES LOGARÍTMICA Y EXPONENCIAL: • ( ) xxf alog=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )��

�� ==�=�=�=⇔=

===��

��

�

+=

=�

��

+=�

��

+=�

��

+

=�

��

+

=

=�

��

+

=−+=−+=

→→

→→→→

→→→

aae

xeaxeaeaxe

axaxe

xhxx

xh

xxhx

xhx

hxx

xhx

hx

xx

hx

hx

hxhx

hxfhxf

xf

xxa

ah

hx

ah

hx

ah

hx

ah

a

h

a

h

a

h

aa

hh

ln1

lnln

ln·lnlnlnlog

·ln1

ln1

·1

loglim·11

1loglim·1

1loglim·1

loglim·1

·loglim·

1log

lim

loglim

logloglimlim'

00

0000

000

• ( ) xaxg =

( ) ( )( ) ( ) aa

aaafxff

xg x

x

x ·ln

·ln11

'1

'1

' 1 ==== −

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Capítulo 3.7.2. DERIVADA DE LAS FUNCIONES SENO Y ARCOSENO: • ( ) ( )xsenxf =

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )xx

hxsenx

h

hxsen

hhx

hhxsen

hhsenx

hhsenxhxsen

hhsenxxsenhxsen

hxsenhsenxhxsen

hxsenhxsen

hxfhxf

xf

hhh

hhh

hh

hh

cos0cos2

·limcos2

·lim

·coslim

cos1·lim

·coslim

·cos1cos·lim

·cos·coslim

·cos·coslim

limlim'

0

2

00

000

00

00

=−=−=−=

=−−=+−=

=+−=−+=

=−+=−+=

→→→

→→→

→→

→→

• ( ) ( )xarcsenxg =

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2211

1

1

1cos

1'

1'

xxarcsensenxarcsenxffxg

−=

−=== −

Capítulo 3.7.3. DERIVADA DE LAS FUNCIONES COSENO Y ARCOCOSENO: • ( ) ( )xxf cos=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )xsenxsenxsenhx

hhxsenx

h

hx

hhsenxsenx

hhx

hhsenxsenhx

hxhsenxsenhx

hxhx

hxfhxf

xf

h

hhhh

hh

hh

−=−=−−=

=−−=−−−=

=−−=−−=

=−+=−+=

→

→→→→

→→

→→

02

·coslim

·lim2

·coslim

·lim

cos1·coslim

·1cos·coslim

cos··coscoslim

coscoslimlim'

0

0

2

000

00

00

• ( ) ( )xarcsenxg =

( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) 2211

1

arccoscos1

1arccos

1'

1'

xxxsenxffxg

−−=

−−=

−== −

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Capítulo 3.7.4. DERIVADA DE LAS FUNCIONES TANGENTE Y ARCOTANGENTE:

• ( ) ( ) ( )( )xxsen

xtgxfcos

==

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( )xx

xsenxxx

xsenxsenxxxf 22

22

2 cos1

cos·coscos

cos··coscos

' =+=−−=

• ( ) ( )xarctgxg =

( )( )( )

( )( ) ( )( )( )( )

( )( ) ( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )( )( )

( )( )

2

2

2

2

2

2

2

22

2

22

2

11

11

coscoscos

1

coscos

1cos

cos1

cos11

'

x

xarctgtgxarctgxarctgsen

xarctgxarctg

xarctgxarctgsenxarctg

xarctgxarctgxarctgsen

xarctg

xg

+=

=+

=+

=+

=

=+

==

Ejemplo: Calcular la función derivada de:

• ( ) ( ) ( )241ln2·2 xxarctgxf +−=

( ) ( )( )

2222

22222

411·4

4144

414

414

41·28

414

8·412

1·

41

12·

411

·2'

xx

xx

xx

x

xx

xx

xxxxf

+−=

+−=

+−

+=

=+

−+

=++

−+

=

• ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )2ln1·2ln

21·2

ln +−+=++= xtgxtg

xtgxtg

xg

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( )( )

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )( ) ( ) ( )

( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )xxsen

xxsenxxsenxxxsenxsen

xxsen

xxsen

xxxsen

xxsenx

xtgxtgxxtgxtgxtgx

xtgxtgxtgxtg

xxtgxtgxtgxtg

x

xtgxtgxxxtgxxtgxg

·cos·523

·cos·5·cos2·23

·cos2·cos·5·23

2cos

·5cos

·2·cos

3

2cos

·5cos

·2

3·

cos1

2·5·23

·cos

12·4·2

3·

cos1

2·1·21·24·2

·cos

12·1·2

1·22·2·

cos1

21

1·22

·cos

1cos

1·

21

cos1

·2·1·2

1'

2222

2

22

2

22

2222

22

222

+=

=++

=++

=

=

��

��

++

=++

=

=++

=+++

=

=++

−−+=++

+−+=

=��

��

+−

+=

+−

+=

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• ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xxxhxxhxxh xx ++=�+=�+= ++ 1·ln1lnln1lnln1 1ln1ln

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) �

��

+−+

−++−

+

++=++=

=++=+++=

=+

++=+

+=

++=

ex

ex

xx

x

xxxx

xxxxxx

xxx

xxhxh

xxxh

xh

1lnln1ln

11ln1ln1

1ln

1·1·ln21·1·ln2

1·1·ln21·1·1·ln21

1·1·ln2·1

11

·1·ln2·'

1·1

1·1·ln2'·

1

• ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )222222 ·lnlnlnln xaax

arctgxjxaxjxaxj ax

arctgax

arctg +�

��

=�+=�+= �

��

�

��

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ��

��

�

��

+++=

=��

��

�

��

++++=

=��

��

�

+

�

��

+++=

=��

��

�

+

�

��

++

++=

=+

�

��

+++++=

=+

�

��

+++=

+�

��

+++=

+�

��

+++

=

=+

�

��

+++

=

�

��

−�

��

−�

��

�

��

�

��

�

��

�

��

ax

arctgxxaaxa

ax

arctgxxaaxaxa

xaax

arctgxxaaxa

xaax

arctgx

xaxaa

xa

xax

ax

arctgxa

axaxa

xa

xax

ax

arctgxj

axaxa

xjxj

xax

ax

arctg

axaxa

xjxj

xax

ax

arctgxaa

axa

xjxj

xxaa

xarctgxa

aax

xjxj

arctga

xarctg

a

xarctg

ax

arctg

ax

arctg

a

xarctg

a

xarctg

·2·ln·

·2·ln··

·2·ln·

·2·ln

·

2··

ln·

2··

ln·'

2·

ln'·

1

2··ln

1·

1'·

1

2·1

··ln1

·1

1'·

1

22422

2212222

22

22

22

2222

2222

2222

22

2222

2222

22

2222

22

2222

2

22

2222

2

2

π

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Capítulo 3.8. TEOREMA DE ROLLE: Si una función )(xf es continua en el intervalo cerrado [ ]ba, y derivable en el intervalo

abierto ( )ba, , verificando además que )()( bfaf = , entonces existe al menos un

punto [ ]bac ,∈ en el que se verifica que 0)(' =cf .

• )(xf es constante

o 0)(')( =�= xfKxf o se verifica en todos los puntos del intervalo

• )(xf no es constante

y

x a b

f(a) f(b)

c

y

x a b

f(a) f(b)

c

y

x a b

f(a) f(b)

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Capítulo 3.8.1. TEOREMA DE CAUCHY: Si dos funciones, )(xF y )(xf son continuas en el intervalo cerrado [ ]ba, , derivables

ambas en el intervalo abierto ( )ba, y sus derivadas no se anulan simultáneamente en un punto

interior [ ]bac ,∈ , se verifica que:

)(')('

)()()()(

cFcf

aFbFafbf =

−−

( )ba <<<

Demostración: Sea la función [ ] [ ])()()·()()()·()( aFbFxfafbfxFxG −−−=

• )(xG es continua en [ ]ba,

• )(xG es derivable en ( )ba, , [ ] [ ])()()·(')()()·(')(' aFbFxfafbfxFxG −−−=

• )()( bGaG =

[ ] [ ]

)()·()()·()()·()()·()()·()()·(

)()()·()()()·()(

bFafbfaF

aFafbFafafaFbfaF

aFbFafafbfaFaG

−=+−−

=−−−=

[ ] [ ]

)()·()()·()()·()()·()()·()()·(

)()()·()()()·()(

afbFaFbf

aFbfbFbfafbFbfbF

aFbFbfafbfbFbG

−=+−−

=−−−=

Luego es aplicable el Teorema de Rolle: [ ] [ ]

[ ] [ ]

)(')('

)()()()(

)()()·(')()()·('0)()()·(')()()·(')('

cFcf

aFbFafbf

aFbFcfafbfcF

aFbFcfafbfcFcG

=−−

−=−=−−−=

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Capítulo 3.9. TEOREMA DE LAGRANGE, DEL VALOR MEDIO O DE LOS INCREMENTOS FINITOS:

Si una función )(xf es continua en el intervalo cerrado [ ]ba, y derivable en el intervalo

abierto ( )ba, , entonces existe un punto [ ]bac ,∈ en el que se verifica:

)(')()(

cfab

afbf =−−

( )ba <<<

Demostración: Aplicando el Teorema de Cauchy a )(xf y xxF =)( :

1)('1)(')()(

1)(')()(

)(')('

)()()()(

=→===

=−−→=

−−

cFxF

aaF

bbF

cfab

afbfcFcf

aFbFafbf

Interpretación gráfica: En todo arco de curva, con tangente en todos los puntos, existe al menos un punto en el

cual la tangente es paralela a la cuerda.

( ) ( ) ( )ab

afbftg

−−=α

x

y

a b c

A

B

�

b-a

f(b)-f(a)

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Capítulo 3.10. APLICACIONES: Capítulo 3.10.1. TEOREMAS DE BOLZANO Y ROLLE: Problema: Demostrar que una ecuación polinómica 0354 234 =−++ xxx tiene una solución real

única. Encontrar un intervalo que contenga dicha solución real. Solución: Vamos a estudiar, en primer lugar, la derivada primera de la función:

( )( ) ( )

( ) ( )��

��

�

−±−=−±−=�=++

==++�=

++=++=

−++=

446

45·2·466

0562

0056220'

562210124'

354

22

2

223

234

xxx

x

xxxxf

xxxxxxxf

xxxxf

Hemos obtenido que dicha función alcanzará un máximo o un mínimo en el punto 0=x .

Vamos a buscar un punto en el entorno de dicho punto en el cual podamos aplicar el Teorema de Bolzano:

Por tanteo:

( )( ) �

��

>=−++=<−=

0735411030

f

f

Hemos encontrado un punto 1=x cuyo signo difiere de signo de la raíz de ( )xf ' . Por

tanto, podemos aplicar el Teorema de Bolzano: Hipótesis: • ( )xf es continua en [ ]1,0 al ser polinómica.

• ( )xf es derivable en ( )1,0 por la misma justificación.

• ( ) ( ) 0217·31·0 <−=−=ff Tesis:

( ) ( ) 01,0 =∈∃ cfc Demostrada la existencia de al menos una raíz, vamos a demostrar que es única. Para lo

cual supondremos la existencia de una segunda raíz '' ccc < y aplicaremos el Teorema de

Rolle en el intervalo [ ]',cc : Hipótesis: • ( )xf es continua en [ ]',cc al ser polinómica

• ( )xf es derivable en ( )',cc por la misma justificación anterior.

• ( ) ( ) 0'== cfcf , supuesto. Tesis:

( ) ( ) 0'', =∈∃ mfccm

( ) xxxxf 10124' 23 ++=

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( )( )

( )

( )

��

�

��

�

�

��

��

�

−−

+−±−=−±−=�=++

∈=

=++�

�=++��

=++=

3323

426

446

0562

',0

05622

0101240'

10124'

22

2323

i

ii

mmm

ccm

mmm

mmmmf

mmmmf

Como la tesis no se verifica, las hipótesis iniciales tienen que fallar necesariamente. De

estas hipótesis, el único supuesto que hemos considerado es la existencia de una segunda raíz 'c por lo que dicha suposición será falsa y por tanto la ecuación 0354 234 =−++ xxx tendrá una única raíz ( )1,0∈c .

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Capítulo 3.10.2. TEOREMA DE LAGRANGE: Problema: Demostrarar que se cumple la desigualdad:

( ) xxx

x <+<+

1ln1

; 0>x

Solución: Para llevar a cabo la demostración vamos a aplicar el Teorema de Lagrange la

función ( ) ( )xxf ln= en el intervalo [ ]1,1 +x (la elección del intervalo se “tantea” para que la expresión del Teorema de Lagrange se asemeje a la desigualdad). Así pues:

Hipótesis: • ( )xf es continua en [ ]1,1 +x .

• ( )xf es derivable en ( )1,1 +x . Tesis:

( ) ( ) ( ) ( )11

11'1,1

−+−+=+∈∃

xfxf

cfxc

( )x

xf1

' =

( ) ( ) ( )

xx

xx

c+=−+= 1ln1ln1ln1

Hemos obtenido una identidad. Sin embargo, debemos demostrar una desigualdad, para

lo cual hemos de considerar el intervalo de existencia de c , ( )xc +∈ 1,1 :

xc +<< 11 Operando, llegaremos a una expresión de c similar a la que aparece en la identidad

hallada aplicando el Teorema de Lagrange:

11

11

111

11

<<+

+>>

cx

xc

Sustituyendo( )

xx

c+= 1ln1

:

( )1

1ln1

1 <+<+ x

xx

Y finalmente, multiplicando todos los términos de la expresión por 0>xx :

( ) xxx

x <+<+

1ln1

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Capítulo 3.11. REGLA DE L´HÔPITAL:

• Indeterminación00

�

��

==→→ 0

0)()(

lim)()(

limafaF

xfxF

axax

��

→→

→0)(0)(

xf

xFax

)()()()(

)()(

afxfaFxF

xfxF

−−= , aplicando el Teorema de Cauchy:

)(')('

)()()()(

cfcF

afxfafxF =

−−

( )ba <<<

)(')('

)(')('

lim)()()()(

lim)()(

limafaF

cfaF

afxfaFxF

xfxF

axaxax==

−−=

→→→

Si un cociente de funciones toma la forma00

)()(

lim)()(

lim ==→→ af

aFxfxF

axax, se

obtiene el verdadero valor de dicho límite calculando:

)(')('

)(')('

lim)()(

limafaF

cfaF

xfxF

axax==

→→

Ejemplo:

121

242

241·2

24cos2

lim00

242

lim

00

122cos2

lim00

422

lim00cos22

lim

00

20304

2

0

−=−=−=−=�

��

=−=

=�

��

=−=�

��

=−=�

��

=−−

→→

→→→

xx

senx

xx

xxsenx

xxx

xx

xxx

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• Indeterminación∞∞

�

��

∞∞==

→→ )()(

lim)()(

limafaF

xfxF

axax

��

��

�

=∞

→�∞→

=∞

→�∞→→

01

)(1

)(

01

)(1

)(

xfxf

xFxF

ax

[ ]

[ ]

[ ][ ]

22

2

2

2

2

)()(´

lim·)(')('

lim)()(

·)(')('

lim

)()·(')()·('

lim

)()('

)()('

lim00

)(1

)(1

lim)()(

lim

��

��

�=�

�

��

�

==−

−=�

��

==

→→→

→→→→

xfxF

xfxF

xfxF

xfxF

xFxfxfxF

xfxf

xFxF

xf

xFxfxF

axaxax

axaxaxax

si:

)(')('

lim

)(')('

1lim

)(')('

lim

1·

)(')('

lim)()(

lim 2

xFxf

xfxF

xfxF

llxfxF

llxfxF

axax

ax

axax →→

→

→→===→=→=

Ejemplo:

21

cos2cos·

lim00

2·cos

lim2·

1

·cos1

limln

lnlim

00

2

020=+−=�

��

===�

��

∞∞=

→→→→ xxsenxx

senxxx

xx

xsenx

xsenx

xxxx

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• Indeterminación ∞·0 ( )∞=

→·0)()·(lim xFxf

ax

��

∞→→

→)(

0)(xF

xfax

Se pasa a:

��

�

��

�

�

��

�

��

�

�

�

��

∞∞=∞==→

∞∞

�

��

=

∞

==→

→→

→→

01

)(1

)(lim)()·(lim

00

10

)(1

)(lim)()·(lim

00

xf

xFxFxf

xF

xfxFxf

axax

axax

y se

aplica L´Hôpital. Ejemplo:

( )

��

�

��

�

�

=−=−=→∞∞

�

��

=→

=∞=

→→→

→

→

0)(lim1

1

lim1

lnlim

00

ln1

lim00

·0lnlim

0

2

00

0

0

x

x

x

x

x

x

x

xx

xxx

x

x

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• Indeterminación ∞−∞ [ ] ( )∞−∞=−

→)()(lim xfxF

ax

��

∞→∞→

→)()(

xf

xFax

( )0·)(

1)(

1)()·(lim ∞=�

�

��

�−

→ xFxfxFxf

ax

Se pasa a00

ó∞∞

y se aplica L´Hôpital.

Ejemplo:

( )

020

0110

coscoslim

00

cos1cos

lim00

·lim

11lim

0

000

==++

=−+

−=

=�

��

=+

−=�

��

=−=∞−∞=�

��

−

→

→→→

xsenxxxsenx

xxsenxx

senxxxsenx

senxx

x

xxx

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• Indeterminaciones 00 , ∞1 , 0∞

[ ] )()(lim xf

axxF

→

000)(0)(

��

��

→→

→xf

xFax

∞

��

��

∞→→

→ 1)(

1)(xf

xFax

0

0)()(

∞��

��

→∞→

→xf

xFax

[ ] lxF xf

ax=

→

)()(lim . Tomamos neperianos:

[ ] [ ] )()·ln(lim)(lnlim)(limln )()( xFxfxFxFlax

xf

ax

xf

ax →→→=== ; de la

forma ∞·0 se pasa a00

ó∞∞

y se aplica L´Hôpital y su límite es K .

queda: [ ] )(ln)(lim)()(limlnxFxfxf

ax

k axexFlelkx →==→=→=→

.

Ejemplo:

( ) ksenx

xex ==

→

0

00lim

( )

1lim01

010

0cos·

·cos·2lim

coslim

cos

1

lim1

lnlim·0lnlim

0

00

2

0

2

000

===→=−

=−

=−

=

=−

=−==∞==

→→

→→→→

eexxsenxx

xsenx

xxxsen

xsenx

x

senx

xxsenxK

ksenx

xx

xxxx

( ) kx

xex ==+ ∞

→1)51(lim 21

0

( )52521

0

000

)51(lim

25

2

5·51

1

lim00

2)51ln(

lim0·)51ln(21

lim

eeex

xx

xx

xK

kx

x

xxx

===+→

→=+=�

��

=+=∞=+=

→

→→→

( ) kx

xex =∞=

∞→

01lim

( )

1lim

011

lim1

1

limln

lim·0ln1

lim

01 ===→

→=∞

===�

��

∞∞==∞==

∞→

∞→∞→∞→∞→

eex

xx

xx

xx

K

kx

x

xxxx

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Capítulo 3.12. DERIVADAS N – ÉSIMAS: La derivada n-ésima de una función )(xf es una expresión matemática que nos permite

determinar )()( xf n sin necesidad de operar y con sólo sustituir el valor n en la expresión. Para hallar dicha expresión es necesario determinar la ley de composición de las

sucesivas derivadas. El cálculo de la derivada n-ésima de una función se basa en dos propiedades: • )()()( ···· nnn gfFgfF βαβα +=→+=

• )()0()2()2()1()1()0()()( ··....··2

··1

··0

· nnnnn gfn

ngf

ngf

ngf

nFgfF ��

��

++��

��

+��

��

+��

��

=→= −−

Fórmula de Leibniz Ejemplo:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )n

nnnn

IV

IIIIII

xn

xny

xxy

xxyxyxyxy

!1·1!·1·1

...·3·2·1·1·3·2·1

·2·1·1·2·1·1ln

11

434

32321

−−=−−=

−=−−−=

−=−−=→−=→=→=

−−−

−−

−−−−

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Capítulo 3.12.1. DERIVADAS N – ÉSIMAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS: Seno:

�

��

+=�==

�

��

+=

�

��

+=�

��

++=�

��

+=

�

��

+=�

��

++=�

��

+=

�

��

+==

==

2·)(

2

...2

322

22

2cos'''

22

222cos''

2cos'

)(

)(

)(

π

π

ππππ

ππππ

π

nkxsenkysenkxxfy

nxseny

xsenxsenxy

xsenxsenxy

xsenxy

senxxfy

nn

n

Coseno:

�

��

+=�==

�

��

+=

�

��

+=�

��

++=�

��

+−=

�

��

+=�

��

++=�

��

+−=

�

��

+=−=

==

2·coscos)(

2cos

...2

3cos

222

cos2

2'''

22

cos22

cos2

''

2cos'

cos)(

)(

)(

π

π

ππππ

ππππ

π

nkxkykxxfy

nxy

xxxseny

xxxseny

xsenxy

xxfy

nn

n

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Desarrollo de Leibniz:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )( )

( )

( )( ) ( )( )

( ) ( )

( )( )( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )( )( )

( )( ) ( )

( )( )( ) 2

122

122

1222

12)(

212

212

)(

27

25

23

21

)2(

)1(

)0(

)2()2(

21

)1()1(

21

)0()(

21

)(

21

21

1·2

!!32·

1·2

!!12·11·

1·2

!!11·2·1·

1·2

!!12·1)(

1·2

!!121·

2!!12

...

1·1·1·1·25

·23

·21

'''

1·1·1·23

·21

''

1·1·21

'

1

01

11

11

21·

!21·

!2!·2!2·1·

!2!·2!

2

!1!1!·1!1·

!1!·1!

1

1!0

1!0!·

!0

0...01·1·2

1·1·1

1·1·0

)(

·1·11·1)(

11

−++−+

+

+−

−

−

−

−

−−

−−−

−−

−

−+−

−−=−

−−++−

−=

��

�

��

�

�

−

−=−−=

−−−−�

��

−�

��

−�

��

−=

−−−�

��

−�

��

−=

−−�

��

−=

−=

��

��

�

=+

=+

+=+

��

�

��

�

�

−=−=−

−−=−

=��

��

==−

−=−

=��

��

===��

��

++++�

��

−��

��

+

++�

��

−��

��

++�

��

−��

��

=

=+−=−+=

−+=

nnnnn

n

nn

n

nnn

x

nn

x

nx

x

nnx

x

nxF

x

nx

ny

xy

xy

xy

xy

x

x

xx

nnnnn

nnnn

nn

nn

nnn

nnn

nnn

xxn

xxn

xxn

xF

gfxxxxxF

xx

y

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Capítulo 3.13. POLINOMIO DE TAYLOR: Sea una función )(xf continua en [ ]ba, y con derivadas continuas hasta el orden n en un

punto ( )bax ,0 ∈ . Entonces existe a lo sumo un único polinomio a lo sumo de grado n que cumple las siguientes condiciones:

• ( ) ( )00 xfxPn =

• ( ) ( )00 '' xfxPn =

• ( ) ( )00 '''' xfxPn =

• ( ) ( )00 '''''' xfxPn =

• …

• ( ) ( )0)(

0)( xfxP nn

n = Y viene expresado por:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )�=

−=

=−++−+−+−+=

n

k

kk

nn

n

xxk

xf

xxn

xfxx

xfxx

xfxx

xfxfxP

00

0)(

00

)(3

002

00

00

0

·!

·!

...·!3

'''·

!2''

·!1

'

Es decir, se trata de aproximar una función en el entorno de un punto 0x por un

polinomio.

f(x)

P(x)

x0 x0-� x0+� x

y

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Capítulo 3.13.1. POLINOMIO DE MCLAURIN: Es un caso particular del polinomio de Taylor cuando 00 =x :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )�

=

=

=+++++=

n

k

kk

nn

n

xk

f

xn

fx

fx

fx

ffxP

0

)(

)(32

·!0

·!0

...·!30'''

·!20''

·!10'

0

Capítulo 3.13.2. FÓRMULA DE TAYLOR: Se trata de desarrollar una función en el entorno de un punto 0xx = . Definición: a) Sea una función )(xf continua en el intervalo [ ]ba, y con derivadas continuas hasta

el orden n en todo punto [ ]bax ,0 ∈ y con derivada finita de orden 1+n en un punto

interior de ( )ba, , entonces [ ] ( ) *,,, 00 xxcbax ∈∃∈∀

b) Sea )(xf una función derivable hasta el orden 1+n inclusive en el entorno de un

punto [ ]bax ,0 ∈ , entonces se verifica que [ ] ( ) *,,, 00 xxcbax ∈∃∈∀

(*)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) 1

0

)1(

00

)(

30

020

00

00

·!1

·!

...·!3

'''·

!2''

·!1

'

++

−+

+−+

++−+−+−+=

nn

nn

xxn

cfxx

nxf

xxxf

xxxf

xxxf

xfxf

f(x)

P(x)

x0 x0-� x0+�

x

y

a b x c

Error=Rn(x)

f(x)=P(x) + Rn(x)

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Siendo el elemento( )

( ) ( ) 10

)1(

·!1

++

−+

nn

xxn

cfel resto o término complementario según

Lagrange. ( )( )xRn

( )

( )1,0

,

0

0

0

∈∆+=

+=∈

θθθ

xxc

hxc

xxc

( ) ( ) ( )( ) ( ) 1

0

)1(

0 ·!1

++

−+

=−= nn

nn xx

ncf

xxoxR

Fórmula simbólica ( )( ) ( )�

�

��

�

−→

−n

n

n

xxxR

o

xxo

0

0

que erápidament más 0:que Indica

Peanosegún ariocomplement términoo RestoLandau de pequeña

Justificación:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( )

( )( )

( ) ( )nn

nn

xxnn

xx

nn

nn

xxxR

xxxR

xxxPxf

xxoxPxf

xxoxPxf

0'

0'0'

0'

0'

0limlim00

−<<<

=−

=−−

−=−

−+=

→→

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Capítulo 3.13.3. FÓRMULA DE MCLAURIN: Si el desarrollo se hace en el entorno del origen 00 =x , se obtiene la fórmula de

McLaurin:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( )

( )��

�

��

�

�

∈∆=

=∈

+++++++= +

+

1,0

,0

·!1

·!0

...·!30'''

·!20''

·!10'

0 1)1()(

32

θθθ

xc

hc

xc

xn

cfx

nf

xf

xf

xf

fxf nn

nn

Fórmula de Taylor:

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 1

0

)1(

00

0)(

·!1

·!

++

=

−+

+−=� nnn

k

kk

xxn

cfxx

kxf

xf

Fórmula de McLaurin:

( ) ( ) ( )( )

1)1(

0

)(

·!1

·!0 +

+

= ++=� n

nn

k

kk

xn

cfx

kf

xf

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Capítulo 3.13.4. ACOTACIÓN DEL RESTO: El resto acotado es una medida del error que se comete al sustituir una función ( )xf por

su polinomio de Taylor, ( )xPn . • Taylor:

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) Mcf

xxnM

xxcfn

xxn

cfxRError

xxxc

xxn

cfxR

n

nnnnn

n

nn

n

≤

−+

≤−+

=−+

==

��

�

��

�

�

∈−+=

−+

=

+

+++++

++

)1(

10

10

)1(10

)1(

00

10

)1(

·!1

··!1

1·

!1

1,0

·!1

θθ

• McLaurin:

( ) ( )( )

( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) Mcf

xnM

xcfn

xn

cfxRError

xc

xn

cfxR

n

nnnnn

n

nn

n

≤

+≤

+=

+==

��

�

��

�

�

∈=

+=

+

+++++

++

)1(

11)1(1)1(

1)1(

·!1

··!1

1·

!1

1,0

·!1

θθ

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Capítulo 3.13.5. APLICACIONES: Problema: Obtener 1cos con un error menor que 710− . Solución: En primer lugar vamos a calcular la derivada n-ésima de la función coseno necesaria en

la expresión del la fómula de Taylor.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )�

��

+=�

��

+=

=→�

��

+=

=→�

��

+=

−=→�

��

+=�

��

+−=

=→�

��

+=−=

=→=

2·2

cos2·

cos

...

...

102

4cos

002

3cos

102

2cos

2

002

cos

10cos

)( ππ

π

π

ππ

π

nx

nxxf

fxxf

fxxf

fxxsenxf

fxxsenxf

fxxf

n

IVIV

IIIIII

IIII

II

Escribimos la fórmula de McLaurin:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

( )1212

2642

10

)1(

00

)(

30

020

00

00

·!12

212cos

·1!2

·1!6!4!2

1

·!1

·!

...·!3

'''·

!2''

·!1

'

++

++

+

�

��

++−+−+−+−=

=−+

+−+

++−+−+−+=

nnn

n

nn

nn

xn

nc

nxxxx

xxn

cfxx

nxf

xxxf

xxxf

xxxf

xfxf

π

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Y acotamos el error:

( )( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )712

712

71212

7

10··!12

1

12

12cos112

12·cos

10··2

12·cos·!12

1

10·!12

212cos

·1

10

−+

−+

−++

−

<+

≤�

��

++≤��

−⇔≤�

��

++

<�

��

+++

<+

�

��

++−

<

n

n

nn

xn

ncnc

xncn

xn

nc

Error

ππ

π

π

Se evalúa el error para 1=x :

( )710

!121 −<+n

La inecuación obtenida se resuelve por tanteo:

8

6

4

3

10·5,25

10·75,24

10·98,13

10·33,82

166,01

−

−

−

−

→=

→=

→=

→=

→=

n

n

n

n

n

Cogemos 6 términos en el desarrollo ya que observando el término general, ( )!2

·12

nx n

n− ,

la n empieza en cero para obtener el primer término del desarrollo.

!101

!81

!61

!41

!21

11cos −+−+−=

Los términos hay que cogerlos con 8 decimales para que los 7 primeros decimales sean

exactos, y si hay error, éste estaría en el octavo.

54032303,0!10

1!8

1!6

1!4

1!2

111cos ≈−+−+−=

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Problema: A tomar como valor aproximado de la función ( ) ( )xxf += 1ln el

polinomio ( )2

2

2

xxxP −= se comete un error. Calcular dicho error cuando 110−≤x .

Solución: Escribimos la fórmula de McLaurin:

( )

( )2

1ln

...432

1ln

2

432

xxx

xxxxx

−≈+

+−+−=+

Luego, el resto vendría dado por la expresión:

( )( )( )

( ) !3·1·2

·!3 3

33

3

2 cx

xcf

xR+

==

Acotamos el error:

( ) ( )33

33

3

··!3

2·

11

·!3

2!3·1

·2xx

ccx

error ≤+

=+

=

Evaluamos el error en 110−≤x :

( )3000

110·

!32

101 31

2 =≤�

��

= −Rerror

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Problema:

Cuando se toma como ( )xcos el valor aproximado del polinomio ( )!4!2

142

4

xxxP +−= ,

¿qué valor debe tener x para que se cometa un error menor que 510− ? Solución: En primer lugar vamos a calcular la derivada n-ésima de la función coseno necesaria en

la expresión del la fómula de Taylor.

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )�

��

+=�

��

+=

=→�

��

+=

=→�

��

+=

−=→�

��

+=�

��

+−=

=→�

��

+=−=

=→=

2·2

cos2·

cos

...

...

102

4cos

002

3cos

102

2cos

2

002

cos

10cos

)( ππ

π

π

ππ

π

nx

nxxf

fxxf

fxxf

fxxsenxf

fxxsenxf

fxxf

n

IVIV

IIIIII

IIII

II

Escribimos la fórmula de McLaurin:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( )

( )1212

2642

10

)1(

00

)(

30

020

00

00

·!12

212cos

·1!2

·1!6!4!2

1

·!1

·!

...·!3

'''·

!2''

·!1

'

++

++

+

�

��

++−+−+−+−=

=−+

+−+

++−+−+−+=

nnn

n

nn

nn

xn

nc

nxxxx

xxn

cfxx

nxf

xxxf

xxxf

xxxf

xfxf

π

( )!4!2

1cos42 xx

x +−≈

El resto vendrá dado por:

( ) ( ) 9994 !9

2·9

cos

!92·9

cos·1 x

cx

cxR

�

��

+−=

�

��

+−=

ππ

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Acotando el error:

96288,3ln

96288,3ln

96288,3ln

96288,3ln

ln

9

9

59

59

59

5

99

96288,3ln

ln

6288,3ln·ln9

6288,3lnln

6288,3

10!·9

10·1·!9

1

12·9

cos112·9

cos

10·2·9

cos·!9

1

10

·2·9

cos·!9

1!9

2·9

cos

≤≤−

≤

≤

≤

≤

≤

≤

≤

≤

��

≤�

��

+≤−⇔≤�

��

+−

<�

��

+−

��

�

��

�

�

<

�

��

+−=�

��

+−=

−

−

−

−

xe

ex

ee

x

x

x

x

x

x

cc

xc

error

xcxc

error

x

ππ

ππ

π

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Cálculo de límites utilizando desarrollos limitados de McLaurin:

( )

( )

( )( ) ( ) ( )

( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( )

( )

( )

( )( ) 27

12·3·9

2!3·9!2·1

!29!3

1

!481

!29

!5!31

lim

!481

!29

·

!5!31

·lim

!481

!29

!5!3lim

!43

!23

11·

!5!3lim

...!4

3!2

311·

...!5!3

lim3cos1·

lim

...!4

3!2

313cos

...!4!2

1cos

...!5!3

00

3cos1·lim

3

52

3

52

0

3

523

3

523

05

53

553

04

42

553

0

442

553

00

442

442

553

0

====+−

+−=

=

��

��

+−

��

��

+−

=+−

+−=

��

��

�+−+−

+−+−=

=

��

�

��

�

��

��

+++−−

��

��

+++−−

=−−

��

�

��

�

�

+++−≈

+++−≈

+++−≈

�

��

=−−

→

→→→

→→

→

xxx

xxx

xxx

x

xxx

x

xoxx

xxx

xoxx

x

xxx

xx

xoxx

x

xoxx

xx

xxsenxx

xoxx

x

tott

t

xoxx

xsenx

xxsenxx

x

xxx

xx

x

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Capítulo 3.14. ESTUDIO DEL CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN: Se dice que una función )(xf es estrictamente creciente en un punto ax = , si en un

entorno ),( haha +− se verifica que: )()()( hafafhaf +<<− ; es decir, si a un

incremento positivo de )(xh se corresponde un incremento positivo de )(xf . Y se dice que es creciente si verifica )()()( hafafhaf +≤≤− .

x

y

a a+h a-h

f(a)

f(a+h)

f(a-h)

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De una manera similar, se dice que una función )(xf es estrictamente decreciente en un

punto ax = , si en un entorno ),( haha +− se verifica que: )()()( hafafhaf +>>− ; es

decir si a un incremento positivo de )(xh le corresponde un incremento negativo de )(xf . Y se dice que es decreciente si verifica )()()( hafafhaf +≥≥− .

x

y

a a+h a-h

f(a)

f(a+h)

f(a-h)

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Teorema 1: Sea el intervalo abierto ( )baIRI ,=⊂ y f derivable en dicho intervalo. Entonces:

• Si ( ) fIxxf �∈∀> ,0' es estrictamente creciente en I .

si 0>h , será:

0)('

0)()(

lim

0)()(

0)()(

0

>

>−+

>−+>−+

→

xfh

xfhxfh

xfhxf

xfhxf

h

• Si ( ) fIxxf �∈∀< ,0' es estrictamente decreciente en I .

si 0<h , será:

0)('

0)()(

lim

0)()(

0)()(

0

<

<−+

<−+<−+

→

xfh

xfhxfh

xfhxf

xfhxf

h

• Si ( ) fIxxf �∈∀= ,0' es constante en I .

si 0=h :

0)('

0)()(

lim

0)()(

0)()(

0

=

=−+

=−+=−+

→

xfh

xfhxfh

xfhxf

xfhxf

h

Ejemplo:

( )

( )( )( )( )�

�

��

�

<<==>>

=

=

00'00'00'

'

2

xsixf

xsixf

xsixf

xf

xxf

Teorema 2: Sea el intervalo cerrado [ ]baIRI ,=⊂ y f derivable en el abierto ( )ba, y continua en

el cerrado [ ]ba, . Entonces:

• Si ( ) ( ) fbaxxf �∈∀> ,,0' es estrictamente creciente en [ ]baI ,= .

• Si ( ) ( ) fbaxxf �∈∀< ,,0' es estrictamente decreciente en [ ]baI ,= .

• Si ( ) ( ) fbaxxf �∈∀= ,,0' es constante en [ ]baI ,= .

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Teorema 3: Si RRf →: presenta en un punto cx = un máximo o mínimo local o relativo

entonces: • ( ) 0' =cf ó • ( )cf '∃/ La implicación en el sentido contrario no es cierta. Contraejemplo 1:

( )( )( ) 003

0'3' 2

2

3

=�=��

==

=

xxxf

xxf

xxf

El punto 0=x es un candidato a máximo o mínimo. ¿Se produce en un entorno de dicho punto un cambio en el carácter creciente o

decreciente de la función? ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )0,0000

0,0000fxfxfxfx

fxfxfxfx

<<∀�=<<>>∀�=>>

No existe máximo o mínimo.

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Contraejemplo 2:

( )( )

( )0'·3

1'

3 2

3

fx

xf

xxf

∃/

=

=

El punto 0=x es un candidato a máximo o mínimo. ¿Se produce en un entorno de dicho punto un cambio en el carácter creciente o

decreciente de la función? ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )0,0000

0,0000fxfxfxfx

fxfxfxfx

<<∀�=<<>>∀�=>>

No existe máximo o mínimo. Capítulo 3.14.1. DEFINICIÓN DE PUNTO CRÍTICO: Decimos que cx = es un punto crítico de RRf →: si se verifica:

• ( ) 0' =cf ó

( )cf '∃/ Capítulo 3.14.2. CRITERIO DE LA DERIVADA PRIMERA: Sea c un punto crítico de f y f continua en cx = , si ( )δ,cE∃ :

• si( ) ( )( ) ( ) f

ccxxf

ccxxf�

��

��

+∈∀<−∈∀>

δδ

,,0',,0'

presenta en cx = un máximo local o relativo de

valor ( )cf .

• si( ) ( )( ) ( ) f

ccxxf

ccxxf�

��

��

+∈∀>−∈∀<

δδ

,,0',,0'

presenta en cx = un mínimo local o relativo de

valor ( )cf . Capítulo 3.14.3. CRITERIO DE LA DERIVADA N – ÉSIMA: Sea RRf →: , ( )baIRI ,=⊂ si cx = es un punto crítico de f y ( ) ( )ICf n∈ .

Si Ic ∈ y ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0... 1 ===== − cfcfcfcf nIIIIII y ( ) ( ) 0≠cf n : • si n es par:

o si ( ) ( ) fcf n �> 0 presenta en cx = un mínimo local o relativo de

valor ( )cf .

o si ( ) ( ) fcf n �< 0 presenta en cx = un máximo local o relativo de

valor ( )cf . • si n es impar: no presenta máximo o mínimo.

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Ejemplo:

( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( ) 0024

0024

0012

004

04

2

3

3

4

≠�=

=�==�=

=��

��

��

��

=

=�=

=

IVIV

IIIIII

IIII

II

fxf

fxxf

fxxf

xx

xfxxf

xxf

4=n (par) y ( ) ( ) 02401 >=−nf (máximo). Capítulo 3.14.4. MÁXIMOS Y MÍNIMOS EN EL EXTREMO: Para RRf →: definimos intervalos de la forma [ ]ba, , [ )∞,a , ( ]b,∞− , los

extremos finitos pueden dar lugar a máximos y mínimos en el extremo. Sea ax = extremo finito inferior de domf :

• f presenta en ax = un mínimo en el extremo� ( ) ( ) ( )xfafaE ≤∃ + δ, ,

( )δ,aEx +∈∀ .

• f presenta en ax = un máximo en el extremo� ( ) ( ) ( )xfafaE ≥∃ + δ, ,

( )δ,aEx +∈∀ . Sea bx = extremo finito superior de domf :

• f presenta en bx = un mínimo en el extremo� ( ) ( ) ( )xfbfbE ≤∃ − δ, ,

( )δ,bEx −∈∀ .

• f presenta en bx = un máximo en el extremo� ( ) ( ) ( )xfbfbE ≥∃ − δ, ,

( )δ,bEx −∈∀ . Capítulo 3.14.5. MÁXIMOS Y MÍNIMOS ABSOLUTOS: • Decimos que un punto cx = es máximo absoluto de RRf →: si y sólo

si ( ) ( ) domfxxfcf ∈∀≥ ,

• Decimos que un punto cx = es mínimo absoluto de RRf →: si y sólo

si ( ) ( ) domfxxfcf ∈∀≤ , Para calcular el máximo absoluto tomamos el mayor de los máximos locales y en el

extremo, si los hay. Para calcular el mínimo absoluto tomamos el menor de los mínimos locales y en el

extremo, si los hay.

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Capítulo 3.14.6. INTERVALOS DE MONOTONÍA: Se definen intervalos de monotononía como intervalos abiertos que dividen al domino de

definición de una función. Los estremos de dichos intervalos con puntos críticos consecutivos de f . Si domf∈∞± , han de tenerse en cuenta a la hora de formar estos intervalos.

En cada uno de ellos la función es derivable y su signo no varía. Por tanto, para

determinar el signo de la derivada primera en un intervalo de monotonía basta tomar un punto interior y el signo que adquiere la derivada primera en el intervalo es igual al signo de la derivada primera del punto.

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Capítulo 3.15. CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD: Sea la función RRf →: y el intervalo abierto ( ) RbabaIRI ∈∀=⊂ ,,, . Se dice que la función es cóncava en el intervalo o que vuelve su concavidad hacia la

parte positiva del eje de ordenadas cuando al trazar la cuerda que une los puntos ( )[ ]afa, y

( )[ ]bfb, está queda por encima de la gráfica de la función.

x

y

b a

[a,f(a)]

[b,f(b)]

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De manera similar, se dice que la función es convexa o que vuelve su concavidad hacia la parte negativa del eje de ordenadas cuando al trazar la cuerda que une los puntos ( )[ ]afa, y

( )[ ]bfb, está queda por debajo de la gráfica de la función.

Teorema: Si RRf →: , f es derivable dos veces en RI ⊂ , entonces:

• ( ) fIxxf �∈∀> ,0'' es cóncava en I .

( )xf ' pasa de negativa a positiva, es una función creciente y su derivada ( )( )xf '' es

la de una función creciente que es positiva, ( ) 0'' >xf ; por tanto, es cóncava en I .

• ( ) fIxxf �∈∀< ,0'' es convexa en I .

( )xf ' pasa de positiva a negativa, es una función decreciente y su

derivada ( )( )xf '' es la de una función decreciente que es negativa, ( ) 0'' <xf ; por

tanto, es convexa en I .

x

y

b a

[a,f(a)]

[b,f(b)]

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Capítulo 3.15.1. PUNTO DE INFLEXIÓN: Sea RRf →: . Decimos que un punto cx = es un punto de inflexión de ( )xf si

cx = separa arcos de distinta curvatura, es decir:

( ) ( ) ( ) opuestas esconcativad tiene,y,, δδδ +−∃ cccccE

Teorema: Sea RRf →: . y sea cx = un punto de inflexión de ( )xf , entonces:

• ( ) 0'' =∃/ cf ó • ( ) 0'' =cf El recíproco no es cierto. Capítulo 3.15.2. INTERVALOS DE CONCAVIDAD: Son intervalos abiertos del dominio de f cuyos extremos son puntos críticos

consecutivos de la función 'f ( ) ( )( )0'',0'' ==∃/ cfcf . Si domf∈∞± , han de tenerse en

cuenta a la hora de formar estos intervalos. En cada uno de dichos intervalos f es derivable dos veces y el signo de la derivada segunda es constante. Así pues, para determinar el signo de la derivada segunda en cada intervalo basta tomar un punto interior al intervalo y el signo que adquiere la derivada segunda en el intervalo es igual al signo de la derivada segunda en el punto.

x

y

c+� c-�

f(c-�)

[b,f(b)]

c

f(c)

f(c+�)

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Capítulo 3.16. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES EXPLÍCITAS, ( ))(xfy = :

1. Dominio o campo de existencia:

Conjunto de valores de x para los cuales está definida la función.

si)()(

)(xgxh

xf = , no está definida para los valores de x que hacen 0)( =xg

si n xgxf 2 )()( = , no está definida para los valores de x que hacen 0)( <xg

si )(log)( xgxf n= , no está definida para los valores de x que hacen 0)( ≤xg

2. Simetrías: respecto al eje OX:

si es )(xgy ±=

Ejemplo: 22222 111 xyxyyx −±=→−=→=+

respecto al eje OY: si )()( xfxf =− (Función par)

x

y

f(x) f(-x)

O

x

y

O

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Ejemplo: ( )( )�

�

�

��

�

�

=−

=−−

−=−

−=

)(44

)(

4)(

2

2

2

2

2

2

xfx

xx

xxf

xx

xf

respecto al origen:

si )()( xfxf −=− (Función impar)

Ejemplo: ( )( )�

�

�

��

�

�

−=+

−=+

−=+−

−=−

+=

)(222

)(

2)(

2

3

2

3

2

3

2

3

xfx

xx

xx

xxf

xx

xf

Si la función es simétrica, se reduce el dominio a 0≥∀ xx .

3. Periodicidad: Una función )(xfy = se dice que es una función periódica de periodoT si para

cualquier valor de x se verifica que ( ) ( ) mínimo 0, ≥∃=+ TxfTxf . Si la función es periódica se reduce el dominio a un intervalo de amplitud igual al periodo. Se representa la gráfica de la función en dicho intervalo y el resto se obtiene por traslaciones sucesivas a lo largo del eje OX. Sólo se cumple en funciones trigonométricas. Ejemplo: senxxf =)(

x

y

f(x)

-f(-x)

O

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4. Puntos de corte con los ejes: Los puntos de intersección de la curva con los ejes.

con OX: Se hace 0=y y se calculan los valores de x

con OY:

Se hace 0=x y se calculan los valores de y

x

y

P(0,y)

O

x

y

P(x,0)

O

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5. Asíntotas: Rectas tangentes a la curva en el infinito.

Horizontales, paralelas al eje OX: Son de la forma ky = , siendo )(lim xfk

x ∞→= .

Posición de la curva respecto de la asíntota: Depende del signo de la diferencia [ ]kxf −)( para +∞→x y −∞→x

( )[ ] +

+∞→=− 0lim kxf

x

( )[ ] −

+∞→=− 0lim kxf

x

k

y

x

k

y

x

k

y

x

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( )[ ] +

−∞→=− 0lim kxf

x

( )[ ] −

−∞→=− 0lim kxf

x

Ejemplo:

( )( )

[ ]

[ ]��

�

��

�

�

��

��

�

>→=∞−

−=−=−

<→=∞−=−=−

−=−−−=

−+−=

=−

+−+−=−−−

−+−=−

−+−=−

=→==�

��

∞∞=

−−=�

��

∞∞=

−+−=→=

−+−=

+

−∞→−∞→

−

+∞→+∞→

∞→∞→

1)(044

lim)(lim

1)(044

lim)(lim41·1·444

45451

45)(

1122

1252

lim45

lim

45

2

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

xfx

kxf

xfx

kxf

xxxx

xxx

xxxxxx

xxxx

xxxx

xxxx

kxf

yxx

xxxx

kky

xxxx

y

xx

xx

xx

k

y

x

k

y

x

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Verticales, paralelas al eje OY: Son de la forma hx = , siendo h los valores finitos de x que hacen ∞→)(xf .

si)()(

)(xgxm

xf = , h son los valores de x que hacen 0)( =xg

si )(log)( xgxf a= , h son los valores de x que hacen 0)( =xg ( )∞=0loga

Posición de la curva respecto de la asíntota: Se calculan los límites laterales: )(lim xf

hx +→y )(lim xf

hx −→

( ) +∞=+→

xfhx

lim

h

y

x x=h

h

y

x x=h

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( ) +∞=−→

xfhx

lim

( ) −∞=+→

xfhx

lim

( ) −∞=−→

xfhx

lim

h

y

x x=h

h

y

x x=h

h

y

x x=h

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Ejemplo:

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )��

�

��

�

�

��

�

��

�

�

−∞==−+

+=−+=

+∞==−+

+=−+=

��

−==

=−+→=−

−+=

−→→→

+→→→

−−−

+++

2·02

1·11

lim11

lim)(lim

2·02

1·11

lim11

lim)(lim:

11

01·101:

11

2

12

2

11

2

12

2

11

2

2

2

xxx

xx

xf

xxx

xx

xf

ónaproximaci

x

xxxxasíntotas

xx

y

xxx

xxx

Generales, oblicuas:

Sólo existen si la curva no tiene asíntotas horizontales.

Son de la forma nmxy += , siendoxxf

mx

)(lim

∞→= y [ ]mxxfn

x−=

∞→)(lim

��

��

�

→∞=→=

==

∞→OY dedirección laen parabólica rama una existeOX dedirección laen parabólica rama una existe0

finito)(

limxxf

mx

( )��

=→∞==

−=∞→ mxy

mxxfnx dedirección laen parabólica rama una existe

finito)(lim

y

x

y=mx+n

www.

.com

Mat

emat

ica1




Posición de la curva respecto de la asíntota: Al igual que en el caso de las asíntotas verticales, depende del signo de la diferencia [ ]kxf −)( para +∞→x y −∞→x

( ) ( )[ ] +

+∞→=+− 0lim nmxxf

x

( ) ( )[ ] −

+∞→=+− 0lim nmxxf

x

( ) ( )[ ] +

−∞→=+− 0lim nmxxf

x

y

x

y=mx+n

y

x

y=mx+n

y

x

y=mx+n

www.

.com

Mat

emat

ica1




( ) ( )[ ] −

−∞→=+− 0lim nmxxf

x

6. Puntos de corte de la curva y la asíntota: Solamente se pueden cortar a las asíntotas horizontales u oblicuas, puesto que en el caso de las verticales, la curva las cortará en el infinito. Se resuelve el sistema tomando dos ecuaciones:

��

==

)(xfy

ky

��

=+=)(xfy

nmxy

7. Máximos y mínimos:

Se buscan los puntos críticos y se evalúan. Intervalos de crecimiento y decrecimiento: Será creciente en los intervalos en que 0)(' >xf

Será decreciente en los invervalos en que 0)(' <xf

8. Puntos de inflexión: Se buscan los puntos críticos y se evalúan. Intervalos de concavidad y convexidad: Será cóncava en los invervalos en que 0)('' >xf

Será convexa en los invervalos en que 0)('' <xf

9. Tabla de valores (obtativo) 10. DIBUJAR la curva

y

x

y=mx+n

FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL. CÁLCULO

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