F.T. de ángulos compuestos: MATEMÁTICA 5

F.T. de ángulos múltiples:

F.T. de la suma de dos ángulos: F.T. de la diferencia de dos ángulos:

Sen (α + β) = Sen α.Cos β + Cos α.Sen β

Cos (α + β) = Cos α.Cos β - Sen α.Sen β

Tg α + Tg βTg (α + β) =

1 - Tg α .Tg β

Cotg α. Cot β - 1Ctg (α + β) =

Cotg β + Cotg α

Sen (α - β) = Sen α.Cos β - Cos α.Sen β

Cos (α - β) = Cos α.Cos β + Sen α.Sen β

Tg α - Tg βTg (α - β) =

1 + Tg α .Tg β

Cotg α. Cot β + 1Ctg (α - β) =

Cotg β - Cotg α

F.T. de ángulo doble:

2 2

2

2

2

2

Sen 2α = 2.Sen α.Cos α

Cos α - Sen α

Cos 2α 1- 2.Sen α

2.Cos α - 1

2Tg αTg 2α =

1 - Tg α

Cotg α - 1Ctg 2α =

2.Cotg α

2α

2Tg α 1 + Tg2α

1 - Tg2α

2

2

2

2Tg αSen 2α =

1 + Tg α

1 - Tg αCos 2α =

1 + Tg α

F.T. de ángulo triple

3

3

3

2

3

2

Sen 3α = 3.Sen α - 4.Sen α

Cos 3α = 4.Cos α - 3.Cos α

3.Tg α - Tg αTg 3α =

1 - 3.Tg α

3.Cotg α - Cotg αCtg 3α =

1 - 3.Cotg α

Sen 3α = 4.Sen α - Sen (60° - α).Sen (60° + α)

Cos 3α = 4.Cos α - Cos (60° - α).Cos(60° + α)

Tg 3α = Tg α - Tg (60° - α).Tg (60° + α)

Sen 3α = 2.Cos 2α + 1

Sen α

Cos 3α = 2.Cos 2α - 1

Cos α

Tg 3α 2.C =

Tg α

os 2α + 1

2.Cos 2α - 1

F.T. de ángulos múltiples: MATEMÁTICA 5

F.T. del ángulo mitad

α 1 - Cos αSen =

2 2

α 1 + Cos αCos =

2 2

α 1 - Cos αTg =

2 1 + Cos α

α 1 + Cos αCtg =

2 1 - Cos α

± :se elige de acuerdo al signo

que tenga la F.T. en el cuadrante

αen el cual se ubica

2

2

2

α2Sen = 1 - Cos α

2

α2Cos = 1 + Cos α

2

α Tg = Cosec α - Cotg α

2

α Ctg = Cosec α + Cotg α

2

3

2

α2 Sen = 2 - 2 + 2 +...+ 2 + 2 Cos α

2

α2 Cos = 2 + 2 + 2 +...+ 2 + 2 Cos α

2

Ejemplos aplicativos:

16 α2 - 2 + 2 + 2 Cos 16 α 2 Sen 2 Sen 2α

2

4 α2 + 2 + 2 Cos 4 α 2 Cos 2 Cos α

2

2

n

n

6

6 radicales

8

8 radicales

8α α - 2 +...+ 2 + 2 Cos 8α 2 Sen 2 Sen

2 8

64α α2 + 2 +... + 2 + 2 Cos 64α = 2 Sen 2 Cos

2 4

Observaciones

"Aprendamos a discrepar, a tolerarnos mutuamente, sin complicidades ni claudicaciones."

HAYA DE LA TORRE, VICTOR RAUL

Transformaciones trigonométricas MATEMÁTICA 5

Transforma a producto las siguientes

expresiones:

A) Sen 42° + Sen 24°

B) Sen 5α - Sen α

C) Cos 8α + Cos α

D) Cos 40° + Cos 60°

Simplificar:

J = Cos 20° + Cos 100° + Cos 140°

U = 2.Sen 40°.Cos 20° - Sen 20°

A = Cos 10° + Cos 110° + Cos 130°

N = Sen 18°. Cos 4° - Cos 12° . Sen 10°

Ejercicios de aplicación:

Expresar como suma o

diferencia, según convenga,

las siguientes expresiones:

A) 2.Sen 40° . Cos 12°

B) 2.Cos 8 . Sen 2

C) 2.Cos 20° . Cos 8°

D) 2.Sen 5 . Sen 3

2n - 1π 3π 5π 1Cos + Cos + Cos + ... + Cos =

2n + 1 2n + 1 2n + 1 2n + 1 2

2n2π 4π 6π 1Cos + Cos + Cos + ... + Cos = -

2n + 1 2n + 1 2n + 1 2n + 1 2

Donde: n

Propiedad:

π 3π 5π 7 1 Cos + Cos + Cos + Cos =

9 9 9 9 2

π 3π 5π 29 1 Cos + Cos + Cos + ... + Cos =

31 31 31 31 2

2π 4π 6π 1 Cos + Cos + Cos = -

7 7 7 2

2π 4π 6π 26π 1 Cos + Cos + Cos + ... + Cos = -

27 27 27 27 2

α + β α - βSen α + Sen β = 2.Sen . Cos Siendo : α > β

2 2

α + β α - βSen α - Sen β = 2.Cos . Sen Siendo : α > β

2 2

α + β α - βCos α + Cos β = 2.Cos . Cos Sien

2 2do : α > β

α + β α - βCos β - Cos α = 2.Sen . Sen Siendo : α > β

2 2

Transformaciones de suma o diferencia a producto (factorización trigonométrica )

Transformaciones de producto a suma o diferencia ( α > β )

2.Sen α.Cos β = Sen (α + β) + Sen (α - β)

2.Cos α.Sen β = Sen (α + β) - Sen (α - β)

2.Cos α.Cos β = Cos (α + β) + Cos (α - β)

2.Sen α.Sen β = Cos (α - β) - Sen (α + β)

Ejemplos:

Propiedad: Si: α + β + = 180°; entonces:

α βSen α + Sen β + Sen = 4.Cos . Cos . Cos

2 2 2

α βCos α + Cos β + Cos = 4.Sen . Sen . Sen

2 2 2

Tg α + Tg β + Tag = Tg α . Tg β . Tag

"Jamás tienes una cosa, hasta que la das."

HEMINGWAY, ERNEST

Aplico lo aprendido MATEMÁTICA 5

"La felicidad está en nosotros mismos. Somos felices porque amamos, no porque nos amen."

MADRE TERESA DE CALCUTA

Ejercicio N°:1 Transforma a producto las siguientes expresiones:

A) Sen 32° + Sen 20°

B) Sen 9α - Sen 3α

C) Cos 24° + Cos 16°

D) Cos 10° - Cos 40°

2.Sen 6α.Cos 4α =

2.Cos 40°.Sen 18° =

2.Cos 74°.Cos 12° =

2.Sen 5α.Sen α =

Ejercicio N°:2 Escribe como suma o diferencia las siguientes expresiones:

G = Sen 10° + Sen 50° - Sen 70° =

Ejercicio N°:3 Simplifica:

Sen 6 .Cos 2 + Cos 5 .Sen 2

= Sen .Cos ,

Calcula: " + " 0

Ejercicio N°:4 Si sabemos que:

= 2 + 2.Cos 25°

Ejercicio N°:6 Transforma a producto:

Ejercicio N°:7 Si sabemos que:2 2Sen 7 - Sen 3 = Sen .Sen ,

Calcula: " - " 0

Sen (3 20 ) + Sen ( 10 )U =

Cos 3 20 + Cos 10

= Si : = 19°

Ejercicio N°:5 Halla el valor de:

Ejercicio N°:8 Simplifica:

= Sen 3 .Cos 2

+ Cos 6 .Sen 2 - Sen 4 .Cos 3

Ejercicio N°:12 Reduce:

= 1 + Cos20° - 1- Cos20°

Sen 6Si = ,

Cos γ 5

Calcula:

χ + γ χ - γTg .Ctg

2 2

Ejercicio N°:14

Ejercicio N°:13 Si sabemos que:

Sen + Sen = P

Cos + Cos = Q

Halla: "Sen "

Ejercicio N°:11 Transforma a producto:

2 2 = Cos 5 - Sen 3

Sen + Sen 3 + Sen 5 =

Cos + Cos 3 + Cos 5

= Si : = 10°

Ejercicio N°:9 Halla el valor de:Sec 40° + Sec 80°

= 4.Sen 40°

Ejercicio N°:10 Reduce: