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FUNCIONES Y ESCALAS
4.1. Relaciones matemáticas
Muchas de las leyes de la ciencia física son mas útiles cuando se expresan mediante
relaciones matemáticas, las cuales muestran como una cosa que podemos medir
depende de otras cosas que, así mismo, pueden ser medidas. En esta sección
estudiaremos algunas de estas relaciones.
Proporción directa
Una de las relaciones más simples entre dos cantidades es llamada proporción directa.
Observemos, por ejemplo, la relación entre el volumen de un pedazo de hierro y su peso. Si
efectuamos mediciones en varios pedazos de hierro, hallamos que un pie cúbico pesa 440
lbs, dos pies cúbicos pesan 880 lbs, tres pies cúbicos pesan 1320 lbs, y así sucesivamente.
Esta clase de relación, en la cual al doblar el volumen se dobla de peso, al triplicar el
volumen se triplica el peso, etc., es conocida con el nombre de proporción directa. Usted
encontrará muchos casos de proporción directa en física. Por tanto, es necesario entender
las distintas maneras de escribir esta relación. Podemos decir que el peso “es proporcional”
al volumen del hierro, o que el peso “varía directamente con” el volumen del hierro. Ambas
expresiones significan la misma cosa: a doble volumen, doble el peso por diez veces el
volumen, diez veces el peso, así sucesivamente. Podemos escribir esta relación en la forma
más concisa
VWα
Donde W es el peso del pedazo del hierro, V su volumen, y el símbolo α significa: “es
proporcional a”. Si tenemos dos volúmenes diferentes de hierro V y ´V , el hecho de que
su peso W y ´W sean proporcionales a sus volúmenes puede ser también expresado como:
VV
WW ´´ =
VWα es exactamente otra manera de escribir este principio.
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Otra formula útil de esta relación expresa el hecho de que cuando el peso y el volumen
están relacionados por proporción directa, ellos tienen una razón constante. Si dividimos el
peso de una muestra de hierro por su volumen, el resultado será el mismo que el obtenido al
dividir el peso de cualquier otra muestra por su volumen.
kVW
VW
muestraotrademuestraunade
=
=
´´
La razón constante se denomina “constante de proporcionalidad”. En nuestro ejemplo del
hierro, cubico. piepor .440 lbsk = Esta razón la podemos expresar con una ecuación
valida para cualquier pedazo de hierro:
kVW = o ´´ kVW =
Observe que esta expresión es muy semejante a la relación VWα . En realidad, si no
conocemos el valor numérico de k las dos quieren decir exactamente la misma cosa. Pero
cuando k es conocido, kVW = nos dice más; ella es la ecuación que nos da la relación
numérica entre W y V ..
Esta relación entre peso y el volumen del hierro puede ser ilustrada mediante una gráfica.
Debemos escoger escalas: una para la dirección vertical, en el cual se indicará algún
número de libras por cada división vertical del papel; y una para la dirección horizontal en
el cual se indicará el volumen en pies cúbicos. Podemos marcar ahora en un punto sobre la
gráfica para cada uno de los pares de valores que conocemos.
Volumen Peso
1 pie³. 440 lbs.
2 pies³. 880 lbs.
3 pies³. 1320 lbs.
La gráfica resultante es la línea recta que aparece en la figura 4.1. En ella se muestran dos
valores de V y los correspondientes de W . Mediante la semejanza de triángulos usted
puede ver que la razón VW es la misma en ambos casos. Una gráfica así presenta
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visualmente el significado de la ecuación kVW = . Se dice que ella representa esta
ecuación. Todas las proporciones directas están representadas gráficamente por líneas
rectas, tales como la que hemos dibujado. Diferentes líneas rectas o escalas verticales,
corresponden a distintos valores de la constante de proporcionalidad, k.
Figura 4.1. Representación gráfica de una proporción gráfica. ¿Si el peso de un pie2 de hierro fuera menor, la gráfica sería más pendiente? ¿O menos pendiente?
Variación de la segunda y tercera potencia. Figuras semejantes.
Otro tipo de relación ocurre cuando una cantidad varia como el cuadrado de otra. Por
ejemplo, el área A de un cuadrado de lado L es igual a 2L :
2LA = )1( =k
Si L está medido en metros, el área A estará dada en metros cuadrados (m²). Igualmente,
el área A de un circulo de radio R está dada por:
2RA π= )( π=k
Cada una de estas ecuaciones muestra que una cantidad, un área, varia con el cuadrado de
otra, una longitud.
Todos los círculos son figuras semejantes: todos tienen la misma forma. Ellos son sólo
copias, aumentadas o reducidas, unos de otros. También todos los cuadrados son figuras
semejantes. Pero ellos no son las únicas figuras semejantes. Toda clase de figuras pueden
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hacerse en copias aumentadas o reducidas. Las dos áreas de forma irregular de la fig. 4.2.
son semejantes. Una de ellas fue hecha aumentado la otra hasta que cada dimensión lineal
resultó triplicada. Usted puede comprobar este hecho viendo que los lados de cada
cuadrado del área mayor son exactamente tres veces más grandes que los lados de los
cuadrados correspondientes del área pequeña. Esto significa que cada cuadrado del área
grande tiene exactamente nueve veces el área del cuadrado pequeño correspondiente. El
área total de la figura grande es, por consiguiente, también nueve veces más grande que la
pequeña. Exactamente como en el caso de los círculos y los cuadrados, las áreas de
cualesquiera figuras semejantes varían como el cuadrado de una dimensión lineal. Cuando
la dimensión lineal se multiplica por tres, el área multiplicada por nueve. Por consiguiente,
para figuras semejantes se tiene en general,
2LAα
Figura 4.2. Estas dos figuras son semejantes; cada dimensión lineal de la figura más grande es un múltiplo de la dimensión correspondiente de la más pequeña. En este caso las dimensiones de la figura más grande son tres veces las de la más pequeña. Usted puede comprobar esto midiendo cuadrados correspondientes
Nótese que no importa que dimensión lineal tome usted para L , siempre y cuando usted
use la medida correspondiente para todas las figuras semejantes que esta comparando. Por
ejemplo, para un cuadrado puede usar la diagonal, lo mismo que el lado de un cuadrado es
n veces más largo que el de otro, las diagonales están en la misma razón. El área del
primer cuadrado es 2n veces más grande que la del segundo. La misma cosa se aplica a las
longitudes correspondientes en cualquier par de figuras semejantes. (Vea la figura 4.3).
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Figura 4.3. Puesto que estas dos figuras son semejantes, la razón de sus áreas es igual a la razón de los
cuadrados de dos dimensiones cualesquiera correspondientes. Aquí, puesto que L´ es el doble de L (M´
también es el doble de M). El área de la figura más grande es cuatro veces el área de la más pequeña.
Algunas figuras que tienen el mismo nombre pueden no ser semejantes. Por ejemplo no
todos los rectángulos son semejantes. Podemos tener dos rectángulos con la misma base b
pero diferentes alturas h . El área esta dada por el producto bhA = . Aunque tales
ejemplos son diferentes de los de figuras semejantes, ellos tienen en común el hecho el
hecho de que el área está siempre medida en unidades del cuadrado de una longitud. Si
usamos el metro como la medida de todas las longitudes, las áreas estarán especificadas en
metros cuadrados.
Así como todas las áreas son el producto de dos longitudes, todos los volúmenes son el
producto de tres dimensiones lineales. De nuevo debemos distinguir entre figuras sólidas
como los cilindros, que pueden tener la misma base y diferentes alturas, y conjuntos de
figuras semejantes, como esferas y cubos, en las cuales cada dimensión lineal está
aumentada o disminuida por el mismo factor. Para figuras sólidas semejantes, cuando las
dimensiones lineales se multiplican por el factor n , los volúmenes son multiplicados por el
factor 3n , una n para cada dimensión lineal. Por ejemplo el volumen de una esfera es
3
34 RV π=
Donde R es su radio. De aquí que una esfera de radio nRR =´ tenga un volumen:
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6
Vn
Rn
RV
3
33
3
34
´34´
=
=
=
π
π
Esto es precisamente en ejemplo particular de la regla general: la razón de los volúmenes
de los sólidos semejantes es el cubo de la razón de sus dimensiones lineales. Compruebe
usted mismo para cubos o para sólidos de alguna forma curiosa que usted haya construido.
Una buena manera es construir una figura de bloques o ladrillos y luego hallar la razón
entre el número de ladrillos que usted debe usar para construir un sólido semejante con
cada dimensión lineal dos veces más grande. Hallará que necesita 8 veces, - esto es, 2³ -, el
número original de ladrillos.
Ecuaciones, representación gráfica; Leyes de potenciación; funciones.
Para figuras semejantes especiales, tales como cuadrados o círculos, podemos hacer algo más que mostrar la proporcionalidad del área con las dimensiones lineales: 2LAα . Podemos escribir ecuaciones incluyendo la constante de proporcionalidad: 2LA = para el cuadrado, y 2RA π= para el círculo. Exactamente como pudimos representar por una gráfica la ecuación kVW = , así mismo podemos representar estas ecuaciones mediante otras gráficas. La relación entre la longitud de un lado y el área de un cuadrado, se muestra en la siguiente tabla:
Longitud del lado Area 1 metro 1 m² 2 metros 4 m² 3 metros 9 m² 4 metros 16 m²
En la fig.4.4. hemos usado los valores de esta tabla para dibujar la gráfica de 2LA = .
Puesto que la ecuación para las áreas de cualquier conjunto de figuras semejantes puede
escribirse siempre como 2kLA = , podemos usar la gráfica de la figura 4.4 como la relación
entre el área y la dimensión lineal para cualquier conjuntos de figuras semejantes. Todo lo
que tenemos que hacer es cambiar la escala vertical para ajustarla a los diferentes valores
de k. Por ejemplo, como 2RA π= para un circulo, podemos leer el radio sobre la escala
horizontal y el área sobre la vertical multiplicando por π cada lectura vertical.
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Figura 4.4. Representación gráfica del área de un cuadrado en función de la longitud de un lado. ¿Cómo puede usted utilizar esta gráfica para hallar el área de un cuadrado si conoce la longitud de un lado? ¿Cómo podría utilizarla para hallar la longitud de un lado conociendo el área?
Podemos hacer la misma clase de representación gráfica para los volúmenes de las figuras
semejantes. La tabla muestra unos pocos valores de la relación para el volumen de un cubo, 3LV = .
Longitud de una arista Volumen. 1 metro 1 metro³ 2 metros 8 metros³ 3 metros 27 metros³
Hemos usado estos valores para construir la gráfica de la fig. 4.5. De nuevo podemos usar
esta figura para todos los conjuntos de volúmenes semejantes ajustando la escala vertical
para el valor de k en 3kLV = . Por ejemplo, si leemos el radio de una esfera sobre la escala
horizontal, el volumen es π34 veces el número de la escala vertical.
Estas relaciones en las cuales una cantidad es proporcional a una potencia de otra, tal como
el cuadrado, cubo, etc., ocurren frecuentemente en física, ellas se denominan leyes de
potenciación. Además de la primera, segunda y tercera leyes de la potenciación , tales
como kVW = , 2kLA = , 3kLV = , las cuales hemos estudiado aquí, también hallamos leyes
del inverso de las potencias tales como 2LkI = , en donde vemos que la intensidad de la luz
es inversamente proporcional a la segunda potencia de la distancia a la fuente luminosa.
Discutiremos la relación del inverso de los cuadrados en la sección 4.3.
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Figura 4.5. Representación gráfica del volumen de un cubo en función de la longitud de su lado
Siempre que tengamos una relación entre los valores de una cantidad, en términos de los
valores de otra, tenemos lo que se denomina una función matemática. El área de un cuadro
es una función de la longitud de su lado, y el volumen de una esfera es una función de su
radio.
La idea de relación de funciones es muy general. Por ejemplo, la hora de llegada de un tren
a cualquier estación a lo largo de su ruta es una función de la posición de la estación a lo
largo de la línea. Un horario de trenes representa un conjunto de tales funciones para varios
trenes y rutas. Ecuaciones, tablas y gráficos, como lo hemos visto son todas ellas maneras
útiles de representar las funciones matemáticas. Los matemáticos han extendido las ideas
de función y relación mucho más allá de lo que hemos indicado aquí. Si usted esta
interesado, puede leer algunos de los libros de referencia citados al final del capitulo.
4.2 Interpolación y extrapolación.
Supongamos que medimos los volúmenes y los radios correspondientes de un número de
esferas y hacemos una gráfica con los resultados (volumen y radio). Mediante las
mediciones, estamos seguros de las posiciones de un número de puntos sobre está gráfica,
uno por cada esfera. Si a continuación unimos estos puntos por una línea de curvatura
suave, obtendremos una curva mediante la cual podemos hallar el volumen de una esfera de
cualquier radio, y no únicamente para los valores de los radios que hayamos medido. El
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proceso de obtener nuevos valores en esta gráfica, localizados entre los valores medios, se
denomina interpolación. Este proceso es significativo y útil cuando hay buenas razones
para creer que la curva es válida para los valores entre los puntos medios. De el se obtiene
información sobre puntos intermedios sin necesidad de hacer mediciones directas.
En el ejemplo de la relación entre volúmenes y los radios de las esferas, conocemos por la
ecuación 3
34 RV π= que el volumen cambia regularmente con el radio. Por este motivo es
razonable trazar una curva regular a través de unos pocos puntos medidos o calculados. Sin
embargo, cuando no se conoce la fórmula, dependemos únicamente de las mediciones
experimentales. Por consiguiente, el dibujar una curva regular manifiesta nuestro
convencimiento de que las cosas en la naturaleza cambian en forma regular. La
interpolación siempre lleva consigo un poco de riesgo. Aún si las cantidades cambian
regularmente, debemos obtener valores experimentales bastante cercanos unos de otros, si
queremos conocer cómo va la gráfica en una región donde se curva fuertemente. La
interpolación no se usa para las gráficas de funciones que no pueden ser representadas por
curvas regulares.
La extrapolación, que lleva la gráfica más allá del limite de los datos, es aun más
arriesgada. Aquí los errores pueden presentarse más fácilmente, pero así mismo es fácil
llegar a nuevos descubrimientos. Por ejemplo, los problemas encontrados por un avión al
romper la barrera del sonido, fueron previstos por extrapolación de las ecuaciones que
describen el comportamiento exacto de un avión a velocidades por debajo de la del sonido.
La extrapolación del comportamiento de los gases a temperaturas normales, conduce a la
idea de la temperatura más baja posible, el cero absoluto: pero la extrapolación de las
experiencias ordinarias nos conduce a resultados absurdos cuando se trata de objetos que
viajan con velocidad cercana a la de la luz.
En nuestros ejemplos de los volúmenes de una serie de esferas y de las áreas de los
cuadrados, la extrapolación podría ser tan segura como la interpolación, porque sabemos
que las ecuaciones son válidas según la Geometría de Euclides para esferas o cuadrados de
cualquier tamaño, inclusive los muy grandes. Pero los físicos han tenido que admitir que
no tienen pruebas ciertas para la validez de la Geometría de Euclides más allá de las
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distancias de las galaxias. Y, ciertamente, los físicos teóricos han inventado proposiciones
para cambiar las leyes de Euclides siempre que se trate de distancias enormes. Desde el
punto de vista de la física, la Geometría del Espacio está sujeta a experimentación. La
Geometría de Euclides puede nos ser una descripción exacta de nuestras mediciones si las
formas que estudiamos alcanzan en el tamaño muchos órdenes de magnitud. Naturalmente,
no cambiaremos nuestras descripciones a menos que ellos nos ofrezcan demasiados
problemas. En este curso nos servirá bastante bien la Geometría de Euclides.
4.3 Relación del inverso de los cuadrados.
Observe una hilera de las luces que iluminan las calles y que se extiende lejos de usted en la
distancia. Las lámparas son todas iguales –o sea que cada uno emite la misma cantidad de
la luz cada segundo -, pero la más cercana es para usted la que aparece más intensa. Si la
luz se extiende igualmente en todas las direcciones (lo cual es casi verdadero para una
lámpara de la calle, una estrella, y muchas otras fuentes), puede ser representada como se
muestra en la figura 4.6. aquí consideramos precisamente una porción de la luz que sale a
través de una especie de “pirámide” desde el punto P. A medida que la distancia de la
fuente aumenta, la luz se extiende sobre un área mayor y la luz aparece menos intensa. Esto
sugiere que la intensidad de la luz es inversamente proporcional al área sobre la cual incide
Figura 4.6. Relación del inverso del cuadrado. La luz procedente de un punto (P) se irradia en todas las direcciones. Puesto que al duplicar la distancia, la luz se dispersa para cubrir un área cuatro veces mayor, se deduce que ella tiene únicamente un cuarto de su intensidad. Así pues, cuando la distancia se duplica, la intensidad decrece a un cuarto, o la intensidad es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.
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AI 1α
Donde I representa la intensidad y A el área. Por el momento vamos a suponer que esta
representación es valida para la luz. Más tarde estudiaremos las intensidades luminosas
experimentales.
Cada uno de los lados de los cuadrados en la fig. 4.6 es proporcional a su distancia a P. Por
consiguiente, el área de cada cuadrado es proporcional al cuadrado de esta distancia. Si
designamos tal distancia por d esto puede expresarse como
2dAα
Combinando esta relación con A
I 1α hallamos que 2
1d
Iα
Esta es la relación del inverso de los cuadrados, la cual indica para la luz, que la intensidad
es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia de la fuente.
En detalle, usted puede ver que 2
1d
Iα si recuerda que A
I 1α significa que ´
´AA
II = (1)
y que 2dAα significa que ( )2
2
´´ dd
AA = (2)
Así, combinando (1) y (2) da ( )2
2
´´
dd
II = (3)
Esto es lo mismo que 2
1d
Iα
Observe que la relación (3) es valida para una sola fuente a las distancias ´d y d . También
es válida para las dos fuente idénticas, una a la distancia ´d y otra a la distancia d . Por
ejemplo, supongamos que tenemos dos lámparas, las cuales denominamos 1 y 2, a
distancias diferentes 1d y 2d de un muro pintado de blanco, al cual ellas iluminan. Por
consiguiente sus intensidades en el muro están en la razón
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12
( )21
22
2
1
dd
II
=
Esta relación nos capacita para calcular la distancia a una lámpara si tenemos otra igual a
una distancia conocida. Por ejemplo, supongamos que una lámpara, situada a 10 metros
( 1d ) de distancia, de una intensidad que es 16 veces la de la lámpara idéntica situada alguna
distancia desconocida 2d . (Las células fotoeléctricas, los iluminómetros para cámaras de
fotografía y las placas fotográficas, pueden dar medidas exactas de intensidad relativa.
También el ojo puede darlas con la ayuda de una pantalla especial para hacer
comparaciones sobre ella).¿Cómo podemos encontrar 2d ?. Sabemos que 2
1
II es igual a 16
y conocemos que 1d es 10 metros.
( )2
22
2
1
1016
metrosd
II ==
Si resolvemos esta ecuación para 2d obtenemos:
metrosmetrosmetrosd 40104)10(16 22 =×=×=
Este es precisamente el método que nos permite conocer las distancias a las estrellas
lejanas, cuando esas distancias son demasiadas grandes para ser medidas mediante métodos
geométricos que utilizan el diámetro de la órbita terrestre como línea base. La medición es
hecha comparando la intensidad de la imagen débil de una estrella muy lejana sobre una
placa fotográfica, con la intensidad de una estrella cercana que parece emitir la misma
cantidad de luz. La cantidad es tal vez poco exacta, debido a que no sabemos si las dos
estrellas son realmente fuentes de igual intensidad de luz. Pero en esta forma aproximada
podemos ir mucho más allá de las posibilidades de los métodos de triangulación y, al
menos, determinar el orden de magnitud de las distancias a las estrellas más lejanas.
Podemos ver como trabaja la relación del inverso de los cuadrados, si la usamos para medir
la distancia de una estrella cercana, y comparamos nuestros resultados con la distancia
medida geométricamente. Hay una estrella apropiada para este fin, que es Alfa del centauro
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A. Juzgando por su color y su masa calculada, esta estrella es muy semejante al sol. Pero la
intensidad de iluminación del sol aquí en la tierra es 1110 veces mayor que la de Alfa de
Centauro A. Mediante la relación del inverso de los cuadrados obtenemos que la estrella
Alfa del Centauro A debe estar alrededor de 511 10310 ×= veces más lejos de nosotros
que el sol. Este se encuentra a metros11105,1 × metros de distancia, así que la estrella debe
estar a una distancia de alrededor de metros16105,4 × . Y estos es casi exactamente lo que
también nos indica una medición geométrica. En este caso la relación de los inversos de los
cuadrados se justifica por si misma como un método para medir las distancias. Cuando
aplicamos la relación de los inversos de los cuadrados a la medición de distancias de las
estrellas muy lejanas, nuestra confianza en el método se confirma porque concuerda con
otros métodos indirectos de medición.
Hemos sido capaces de hallar la distancia a una estrella mediante dos métodos, pero no
tengamos mucha esperanza de hallar el tamaño geométricamente. El ángulo subtendido a
nuestros ojos es demasiado pequeño para ser medido visualmente aún cuando se usen los
mejores instrumentos. Si la estrella es del mismo tamaño que el Sol, este ángulo es
aproximadamente de la misma magnitud que el ángulo que podía subtender una moneda de
10 centavos a una distancia de 300 kilómetros. Esta es casi la distancia de New York a
Washington. No tenemos por qué sorprendernos de que no puedan ser medidos
directamente los tamaños de las estrellas, aún a través de los telescopios más grandes.
La relación del inverso del cuadrado nos proporciona un medio nuevo y eficaz para medir
grandes distancias. Muchas otras relaciones matemáticas pueden ser utilizadas en física
para indicarnos hechos acerca del mundo físico. Con frecuencia éstos no aparecen muy
relacionados con los experimentos que dieron origen a tales funciones matemáticas. Hemos
introducido aquí la del cuadrado inverso para ilustrar el uso de esas relaciones en física, no
para discutir la naturaleza de la luz. Este será nuestro tema un poco más tarde.
Debemos admitir, sin embargo, que el método del inverso del cuadrado para la medición de
distancias tiene sus limitaciones. Dicha relación no se aplicará ciertamente si hay cualquier
cosa entre el ojo y la fuente que haga que la luz se desvíe de una trayectoria recta o absorba
parte de ella. Lógicamente, un manto de niebla podría reducir la intensidad procedente de
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una lámpara distante y trastornar cualquier cálculo basado en la ley del cuadrado inverso.
También, la distancia entre el ojo y la fuente debe tener un significado especifico. Esto
parece obvio, y lo es, si pensamos en una lámpara de la calle situada en la siguiente cuadra.
Medimos desde donde estamos a cualquier punto de la lámpara. Como ella está bastante
lejos, todas estas mediciones dan esencialmente la misma distancia d. Así usted puede ver
que la relación del inverso del cuadrado será verdadera o válida si las dimensiones de la
fuente luminosa son pequeñas (digamos que menos del cinco por ciento) comparadas con la
distancia entre el ojo y la fuente. La relación del inverso del cuadrado describe muchas
situaciones de la naturaleza donde algo –luz, partículas, o líneas de fuerza eléctrica- irradia
uniformemente desde un punto, en línea recta y en todas direcciones. Muchos resultados
experimentales de esta ley para la luz y otros efectos, han probado su validez y verificado
las deducciones que hemos hecho por geometría.
4.4 La física de Liliput. Comparación de escalas.
El viajero de ficción Lemuel Gulliver pasó un ocupadísimo tiempo en el reino denominado
Liliput, donde todos los seres vivientes - hombres, ganado, arboles, pasto - eran
exactamente semejantes a los de nuestro mundo, excepto en que estaban todos hechos a una
escala de una pulgada por un pie. Los liliputienses tenían un poco menos de 6 pulgadas de
altura en promedio, y estaban formados proporcionalmente como nosotros. Gulliver
también visito a Brobdingnag, el país de lo gigantes, quienes eran exactamente como los
hombres, pero 12 veces más altos, como Swift describió, la vida diaria en ambos reinos era
poco más o menos como la nuestra (en el siglo XVIII). Sus comentarios sobre el
comportamiento humano son aún dignos de leerse, pero, como veremos, gente de tales
tamaños no podía haber sido precisamente como él la describió.
Mucho tiempo antes de haber vivido Swift, Galileo entendió porque tipos de hombres muy
pequeños o muy grandes no podían ser como nosotros; pero aparentemente Dean Swift
nunca leyó lo que Galileo escribió. Un personaje de la obra “dos nuevas ciencias” de
Galileo, dice “Ahora puesto que … en geometría … La limitación del tamaño no destruye
la figura, yo no veo que las propiedades de círculos, triángulo, cilindros, conos, y otras
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figuras sólidas pueden cambiar con su tamaño”. Pero su amigo, el físico, replica: “la
opinión común esta aquí absolutamente errada”. Vamos a ver porque.
Empecemos con la resistencia de una cuerda. Se comprende fácilmente que si un hombre
puede casi romper una cuerda, al tirar de ella con cierta fuerza, dos de tales cuerdas
resistirán el tirón de dos hombres. Una cuerda única, grande, con una área total igual a la
sección transversal combinada de las dos cuerdas más pequeñas, contendrá exactamente
dos veces él número de fibras de una de las cuerdas pequeñas y hará la misma tarea. En
otras palabras, la resistencia al rompimiento de un alambre o cuerda, es proporcional al área
de su sección transversal, o al cuadrado de su diámetro. La experiencia y la teoría
concuerdan con esta conclusión. Aún más, la misma relación es valida, no únicamente para
cuerdas o cables que soportan una tensión, si no también para columnas o estructuras que
soportan un empuje o presión. La presión que soportará una columna, comparando
únicamente aquellas de un material dado, es también proporcional al área de la sección
recta de la columna.
Ahora bien, el cuerpo de un hombre o de un animal es soportado mediante un conjunto de
columnas o estructuras –el esqueleto- sostenido por varios tirantes y cables, que son los
músculos y los tendones. Pero el peso del cuerpo que debe ser soportado, es proporcional a
la cantidad de carne y huesos presentes, esto es, al volumen.
Vamos ahora a comparar a Gulliver con el gigante Brobdingnag, que tiene doce veces su
estatura, puesto que el gigante es en construcción exactamente igual a Gulliver, cada una de
sus dimensiones lineales es 12 veces la correspondiente a una de Gulliver. Como la de su
resistencia de sus columnas y ligamentos es proporcional al área de las secciones rectas y,
por tanto, al cuadrado de sus dimensiones lineales (resistencia L² α ), sus huesos serán 12²
o 144 veces más fuertes que los de Gulliver. Debido a que su peso es proporcional a su
volumen, y por tanto, a 3L . Será 123 o 1728 veces más grande que el de Gulliver. Por
consiguiente el gigante tendrá una razón de fuerza a peso una docena de veces más pequeña
que la nuestra. Solamente para soportar su propio peso, él tendría tanto problema como el
que nosotros tendríamos para transportar 11 hombres sobre nuestras espaldas.
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Naturalmente, en realidad, Liliput y Brobdingnag no existen. Pero podemos ver efectos
reales de diferencia en las escalas si comparamos animales parecidos de muy diferentes
tamaños. Los pequeños no son modelos a escala de los más grandes. La fig. 4.7 muestra los
huesos de las piernas de dos animales estrechamente relacionados, de la familia de los
ciervos: uno de una pequeña gacela y otro de un bisonte. Observe que el hueso del animal
grande no es en absoluto, geométricamente semejante al del pequeño; es mucho más grande
con respecto a su longitud, contrarrestando así el cambio a escala, de la cual se obtendría un
hueso estrictamente semejante, pero demasiado débil.
Figuras 4.7.a Huesos de las patas delanteras de un bisonte y una gacela. Los animales son del mismo género, pero la gacela es mucho más pequeña. La fotografía muestra el tamaño relativo aproximado de los huesos.
4.7.b. Hueso de la pata de una gacela aumentado hasta la longitud del hueso del bisonte. Observe que el hueso del animal más grande, es mucho más grueso en comparación con su longitud que el de la gacela. El cervatillo tiene generalmente, una conformación mas ligera y elegante. ¿Puede usted imaginarse cuán diferentes deben haber sido los liliputienes de los hombres de tamaño normal?
Galileo escribió muy claramente sobre este punto. Impugnado la posibilidad de un
Brobdingnag, o de cualquier otro gigante semejante: “si uno desea mantener un gran
gigante la misma proporción hallada en los miembros de un hombre ordinario aquel debe
tener un material más fuerte y resistente para la formación de sus huesos, o debe admitir
una disminución de fuerza en comparación con los hombres de estatura mediana: porque si
su altura es aumentada desordenadamente, caerá y se aplastará bajo su propio peso.
Mientras que, si el tamaño de un cuerpo es disminuido, la fuerza de este cuerpo no es
disminuida en la misma proporción; indudablemente, mientras más pequeño sea el cuerpo,
mayor es su fuerza relativa. Así pues, un perro pequeño podría probablemente llevar sobre
su lomo dos o tres perros de su propio tamaño, pero yo creo que un caballo no podría ni aún
llevar uno de su propio peso”. El esquema de la fig. 4.8 es tomado de Galileo, quien lo
dibujo para ilustrar el parágrafo aquí citado.
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Un elefante es ya tan grande que sus miembros están groseramente engrosados. Sin
embargo, una ballena, el más grande de todos lo animales puede tener 40 veces el peso de
un elefante; y, aun así, los huesos de la ballena no son engrosados proporcionalmente. Ellos
son suficientemente fuertes, porque la ballena es soportada por el agua. ¿Cuál es el porvenir
de una ballena que ha encallado?. Sus costillas se rompen, algunos de lo dinosaurios de la
edad prehistórica fueron animales de tamaño semejante al de la ballena. ¿Cómo hicieron
ellos par mantenerse erguidos?.
Figura 1.9. dibujo hecho por Galileo como ilustración de las escalas. Hace más de 300 años Galileo
escribió que un hueso de mayor longitud debe ser aumentado en espesor en proporción mucho más
grande a fin de que los dos modelos tengan comparativamente la misma resistencia. El hueso más grande
en esta ilustración tomada de su libro es alrededor de tres veces más largo que el hueso pequeño y casi
nueve veces más grueso. El hueso grande sólo debe tener un espesor de 5,2 veces el de el pequeño. ¿Está
usted de acuerdo? ¿Por qué?
Siguiendo a Galileo, hemos investigado los problemas de escala, hasta incluir los gigantes.
Vamos ahora a dar una mirada a algunos de los problemas que nacen cuando descendemos
en la escala.
Cuando usted sale de una piscina, mojado y goteando, hay una pequeña película de agua
sobre su piel. Sus dedos no están menos mojados que su antebrazo; el espesor de la película
es casi igual sobre todo su cuerpo. Aproximadamente, por lo menos, la cantidad de agua
que usted saca es proporcional a la superficie de su cuerpo. Usted puede expresar esto con
la relación
Cantidad de agua L² α
Donde L es su altura. La carga original sobre su esqueleto es, como antes, proporcional a
su volumen. Así pues, la razón original carga
extra carga es proporcional a 3
2
LL , o sea
L1 . Quizás
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18
usted saque de la piscina algo así como lo equivalente a un vaso lleno de agua, lo cual
corresponde a un aumento de alrededor de 1 por ciento sobre lo que usted tiene que mover;
pero un Liliputiense sacaría alrededor del 12% de su peso, lo cual equivaldría a un pesado
vestido de invierno, con sobretodo. La salida de la piscina, en estas circunstancias, no seria
muy divertida. Si una mosca se moja, el peso de su cuerpo se duplica y toda ella quedara
aprisionada por una gota de agua.
Hay todavía un efecto más importante en la escala de los seres vivientes. Su cuerpo pierde
calor principalmente a través de la piel (y un poco a través de la respiración al exhalar el
aire caliente). Es muy fácil creer –y puede ser comprobado experimentalmente- que la
perdida de calor es proporcional al área de la superficie, así que
perdida de calor L² α
manteniendo constantes otros factores tales como la temperatura, naturaleza de la piel, etc.
Los alimentos que tomamos suplen este calor, así como también nos proporcionan la
energía que usamos al movernos. Así pues, las necesidades mínimas de alimentación son
proporcionales a L². Si un hombre como Gulliver puede vivir de una pierna de cordero y
una hogaza de pan por uno o dos días, un Liliputiense con la misma temperatura necesitara
un volumen de alimentación de solo 2
121
de aquella. Pero su pierna de cordero, puesto en
escala con respecto a su mundo, será más pequeña en volumen por un factor de3
121
. Por
consiguiente, él necesitaría una docena de asados y hogazas para sentirse tan bien
alimentado como se sentiría Gulliver con una. Los Liliputienses tendrían que ser un grupo
hambriento, ágiles, activos y llenos de gracia, pero fácilmente podrían morir ahogados. Es
posible reconocer estas cualidades en muchos mamíferos pequeños, tales como los ratones.
Podemos ver que no hay animales de sangre caliente mucho más pequeños que el ratón.
Los pescados, las ranas y los insectos pueden ser mucho más pequeños, porque sus
temperaturas no son mucho más altas que la del medio que los rodea. De acuerdo con las
leyes de las escalas de áreas y volúmenes, los pequeños animales de sangre caliente
necesitan relativamente una gran cantidad de alimentos; realmente los animales pequeños
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no podrían recoger, no aun digerir, tan enorme cantidad. Indudablemente la agricultura de
los Liliputienses no podría sostener un reino como el descrito por Gulliver.
Ahora vemos por que ni Brobdingnag ni Liliput pueden ser realmente modelos a escala de
nuestro mundo. Pero ¿Qué tienen estas conclusiones que ver con la física?.
Vamos a partir de nuevo de lo muy grande. A medida que agrandamos a escala cualquier
sistema, la carga eventualmente se hace mucho más grande que la resistencia de la
estructura. Este efecto se aplica, naturalmente, no solo a los animales: si no a todos los
sistemas físicos. Los edificios pueden ser muy grandes porque sus materiales son mas
fuertes que lo huesos, sus formas son diferentes, y ellas no se mueven. Estos efectos
determinan las constates como k en la ecuación
Resistencia L² k=
Pero rigen las mismas leyes. No puede construirse ninguna edificación que se asemeje al
“Empire State”, pero que sea tan alto como una montaña, digamos 10.000 metros. Las
montañas son estructuras sólidas, en su mayor parte, sin cavidades interiores. Exactamente
como los huesos de un gigante deben ser gruesos, un objeto del tamaño de una montaña
sobre la tierra debe ser todo sólido o construído de materiales nuevos a un desconocidos.
Nuestros argumentos no están restringidos a la superficie de la tierra. Podemos imaginarnos
la construcción de una tremenda estructura en el espacio remoto alejada de la fuerza
gravitacional terrestre. El peso no esta dado, por consiguiente, por la fuerza gravitatoria
terrestre; pero a medida que la estructura se hace más y más grande, cada una de las partes
atrae gravitacionalmente a la otra y pronto la parte externa de la estructura es atraída hacia
el centro con gran fuerza. El interior construido con materiales ordinarios es comprimido,
grandes protuberancias asoman a la superficie y grandes porciones se hunden. Como
resultado, cualquier estructura grande como un planeta tiene una forma simple y, si es
suficientemente grande, la forma se acerca a la de una esfera. Cualquier otra forma será
incapaz de soportarse por sí misma. Esta es la razón esencial por la cual los planetas y el sol
tienden a ser esféricos. La fuerza de gravedad es importante para nosotros sobre la tierra
pero, a medida que extendemos el alcance de las dimensiones que estudiamos, ella viene a
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ser absolutamente dominante en lo muy grande. Unicamente el movimiento puede cambiar
este resultado. Las grandes masas de gas, como las nebulosas, por ejemplo están cambiando
con el tiempo, y ello modifica la ley de que los grandes objetos deben ser de forma simple.
Cuando pasamos de nuestro tamaño normal a lo muy pequeño, los efectos gravitacionales
dejan de ser importantes. Pero, como, lo vimos al estudiar a Liliput, los efectos de
superficie vienen a ser importantes. Si vamos suficientemente lejos hacia lo muy pequeño,
las superficies no aparecen ya suaves, si no que son tan abruptas, que tendremos dificultad
para definir una superficie. Deben usarse otras descripciones. En todo caso, no será una
completa sorpresa el encontrar que en el dominio del átomo, lo muy pequeño, los factores
de comparación a escala demuestran que la atracción dominante es una fuerza que no es
fácilmente observada en la experiencia diaria.
Argumentos como éstos se encuentran a través de toda la física. Como las mediciones por
el sistema de ordenes de magnitud, ellos son extremadamente valiosos cuando empezamos
el estudio de cualquier sistema físico. Con frecuencia la mejor guía para un análisis
detallado, es saber cómo cambiará el comportamiento de un sistema al variarse la escala de
sus dimensiones, su movimiento, etc.
Aún más, es debido al estudio de sistemas construidos sobre muchas escalas poco comunes,
como los físicos han podido descubrir relaciones físicas insospechadas. Cuando se cambia
la escala, un aspecto del mundo físico puede ser realzado, mientras que otro puede hacerse
mínimo. En esta forma podemos descubrir o al menos adquirir una visión más clara de las
cosas que son menos obvias en nuestra acostumbrada escala experimental. Esta es
principalmente la razón por la cual los físicos examinan dentro y fuera de sus laboratorios,
lo muy grande y lo muy pequeño, lo lento y lo rápido, lo caliente y lo frío, y todas las otras
circunstancias inusitadas que ellos pueden imaginar. Al examinar lo que sucede en estas
circunstancias usamos instrumentos, tanto para producir las situaciones poco comunes,
como, para extender nuestros sentidos al efectuar las mediciones.
Es difícil resistirnos a indicar cuanto afecta la escala del tamaño del hombre la manera
como él ve el mundo. Por mucho tiempo ha sido tarea de la física tratar de formar un
cuadro del mundo que no dependa de la manera cómo nosotros hemos sido formados. Pero
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es difícil librarnos de los efectos de nuestra propia escala. Podemos construir grandes
carreteras y puentes que sean largos y angostos, pero, estas no son esencialmente
estructuras complejas tridimensionales, las cosas más grandes que podemos hacer dotadas
de alguna redondez, completamente tridimensionales, son los edificios y los grandes
barcos. Sin embargo, estas construcciones están bastante lejos de tener sus dimensiones
lineales mil veces más grandes que las de los hombres.
Todavía no podemos construir nada tan complejo como un reloj o un tubo de radio cuya
escala sea inferior a 10-3 de nuestra propia longitud. En este margen de magnitudes
descansa toda nuestra ingeniería. La física va mucho más allá, más lejos de las galaxias y se
adentra hacia el núcleo del átomo. La extensión de nuestra ingeniería tecnológica hacia lo
muy pequeño y hacia lo realmente gigante pertenece al futuro. Plantas motrices de una de
altura, o circuitos de radio construidos en la cabeza de un alfiler, representarían nuevas y
enormes posibilidades para la tecnología. Ellos pueden venir, pero para el futuro inmediato,
la escala humana fijará la naturaleza física de la mayor parte de nuestros esfuerzos.
Aun dentro de la tecnología actual son importantes nuestros argumentos de las escalas. Si
proyectamos un nuevo objeto de tamaño grande, sobre la base de uno pequeño, estamos
advertidos de que nuevos efectos, demasiados pequeños para ser detectados en nuestra
escala, puedan hacerse presentes y aún llegar a ser las cosas más importantes por
considerar. No podemos agrandar o reducir a escala a ciegas, geométricamente; pero
tomando las escalas a la luz de razonamientos físicos, podemos algunas veces prever los
cambios que ocurrirán. En esta forma podemos emplear las escalas por ejemplo, en el
diseño inteligente de un aeroplano, y no salir con un transporte de retropropulsión que se
parezca a una abeja y no pueda volar.