ETAPA 3

La recta como lugar geométrico

FUnCIONES y relaciones

La Distancia entre dos puntos 𝒙𝟏, 𝒚𝟏 y 𝒙𝟐,𝒚𝟐 esta dada

por la fórmula:

𝒅 = 𝒙𝟐 − 𝒙𝟏𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝒚𝟏

𝟐

Distancia entre dos puntos:

Ejemplo 1.- Determina la distancia entre los puntos: 𝐴 3, −9 y 𝐵 −5, 6

Solución:

Dadas las coordenadas de los dos puntos, sustituimos en la fórmula de distancia:

𝑑 = (𝑥2 − 𝑥1)2+(𝑦2 − 𝑦1)

2

𝑑 = (−5 − 3)2+(6 − (−9))2

𝑑 = (−8)2+(15)2

𝑑 = 64 + 225

𝑑 = 289

𝑑 = 17

Ejemplo 2.- Determina el perímetro del triángulo que se forma al unir los vértices 𝐴 −7, 1 , 𝐵 0, 0 y 𝐶 −1,7 .

Solución: Para determinar el perímetro del triángulo, necesitamos

calcular la longitud de cada lado; en éste caso dada por la distancia

entre cada par de puntos consecutivos:

Para la distancia entre el vértice 𝐴 −7, 1 y el vértice 𝐵 0,0 , tenemos:

𝑑𝐴𝐵 = (0 − (−7))2+(0 − 1)2= (7)2+(−1)2= 49 + 1 = 50 = 7.07

Para la distancia entre el vértice 𝐵 0, 0 y 𝐶 −1, 7 , se obtiene:

𝑑𝐵𝐶 = ( −1 − 0)2+(7 − 0)2= (−1)2+(7)2= 49 + 1 = 50 = 7.07

Y entre el vértice 𝐴 −7, 1 y el vértice C −1,7 , se tiene que: 𝑑𝐴𝑐 = ((−1) − (−7))2+(7 − 1)2= (6)2+(6)2= 8.49

Por lo tanto, el perímetro del triángulo es P = 7.07 + 7.07 + 8.49 = 22.63 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠

El punto medio (𝒙𝒎 , 𝒚𝒎 ) de un segmento rectilíneo, cuyos extremos son las

coordenadas 𝐴 𝑥1, 𝑦1 y 𝐵 𝑥2, 𝑦2 , se obtiene con la fórmula:

𝑃𝑚𝑥1 + 𝑥2

2,𝑦1 + 𝑦2

2

Punto medio de un segmento:

Es decir, cada coordenada del punto medio esta dada por:

𝑥𝑚 =𝑥1+𝑥2

2y 𝑦𝑚 =

𝑦1+𝑦2

2

Punto medio de un segmento:

Ejemplo 1.-Encuentra la coordenada del punto medio para el segmento de recta cuyos extremos son: 𝑃 3,−7 y

𝑄(−5, 1)

Solución: Si el punto 𝑃 3,−7 representa a la coordenada 𝑥1, 𝑦1 y el punto 𝑄 −5, 1 representa a la

coordenada 𝑥2, 𝑦2 , tenemos que 𝑥1 = 3, 𝑦1 = −7, 𝑥2 = −5, 𝑦2 = 1.

Sustituyendo en la fórmula del punto medio tenemos:

𝑃𝑚𝑥1+𝑥2

2,𝑦1+𝑦2

2=𝑃𝑚

3+(−5)

2,−7+1

2= 𝑃𝑚

−2

2,−6

2= 𝑃𝑚 −1,−3

Ejemplo 2.- Del segmento 𝑃𝑄 se sabe que las coordenadas del punto medio son (11, 1) y las coordenadas de

uno de los extremos es 𝑃(7, 3). Determina las coordenadas del otro punto extremo Q.

Solución: Si el punto 11, 1 representa a la coordenada 𝑥𝑚, 𝑦𝑚 y el punto 𝑃 7, 3 representa a la coordenada

𝑥1, 𝑦1 , tenemos que: 𝑥1 = 7, 𝑦1 = 3, 𝑥𝑚 =11, 𝑦𝑚 = 1.

Sustituyendo en las fórmulas 𝑥𝑚 =𝑥1+𝑥2

2y 𝑦𝑚 =

𝑦1+𝑦2

2

tenemos:

11 =7+𝑥2

21 =

3+𝑦2

2

22 = 7 + 𝑥2 2 = 3 + 𝑦2

22 − 7 = 𝑥2 2 − 3 = 𝑦2

𝑥2 = 15 𝑦2 = −1

Por lo tanto, el otro punto

extremo del segmento 𝑃𝑄 es

el punto Q(15,−1).

Ángulo de inclinación de una recta:

El ángulo de inclinación (θ) de una recta es el ángulo que forma la recta con el eje X,

medido desde el eje positivo X en contra de las manecillas del reloj; por lo tanto el

ángulo de inclinación de una recta varía entre 0° y 180°.

Pendiente y ángulo de inclinación de una recta:

Pendiente de una recta:

La pendiente ( m ) de una recta se define como la tangente trigonométrica de su

ángulo de inclinación; es decir

Pendiente 𝑚 = 𝑡𝑎𝑛𝜃

Entonces 𝜃 = 𝑡𝑎𝑛−1(𝑚)

Pendiente de una recta que pasa por dos puntos 𝑥1, 𝑦1 y 𝑥2, 𝑦2 :

La pendiente ( m ) de una recta esta dada por 𝑚 = 𝑡𝑎𝑛𝜃

Pero, de la figura se observa que la

tangente del ángulo de inclinación es:

tan 𝜃 =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1

Por lo tanto, la pendiente de la recta

esta dada por:

𝑚 =𝑦2 − 𝑦1𝑥2 − 𝑥1

Ejemplo 1.-Encuentra la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa

por los puntos 𝐴 −3, 1 y 𝐵 2, 5

Solución: La Pendiente de la recta esta dada por: 𝑚 =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1, entonces sustituyendo

las coordenadas correspondientes tenemos que 𝑚 =5−1

2−(−3)=

4

5

Luego, la Pendiente ( m ) y el ángulo de inclinación ( θ ) están relacionados por la

fórmula 𝑚 = 𝑡𝑎𝑛𝜃

De donde despejamos el ángulo de inclinación θ: θ = 𝑡𝑎𝑛−1(𝑚), entonces:

θ = 𝑡𝑎𝑛−14

5

θ = 38.66°

Ejemplo 2.-Encuentra la pendiente y el ángulo de inclinación de la recta que pasa

por los puntos 𝐴 8,−2 y 𝐵 −3, 6

Solución: La Pendiente de la recta esta dada por: 𝑚 =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1, entonces sustituyendo

las coordenadas correspondientes tenemos que 𝑚 =6−(−2)

−3−8=

8

−11= −

8

11

Luego, la Pendiente ( m ) y el ángulo de inclinación ( θ ) están relacionados por la

fórmula 𝑚 = 𝑡𝑎𝑛𝜃

De donde despejamos el ángulo de inclinación θ: θ = 𝑡𝑎𝑛−1(𝑚), entonces:

θ = 𝑡𝑎𝑛−1 −8

11

θ = -36.03°

Pero éste ángulo esta medido a favor de las manecillas del reloj por ser negativo; y

el ángulo que ocupamos, según la definición, es el ángulo positivo.

Por lo tanto, el ángulo de inclinación es θ = −36.03° + 180° = 143.97°

Formas de la ecuación de la recta:Las distintas formas en las que se puede expresar la ecuación de la recta son:

A) Forma Punto – Pendiente: 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)donde 𝑥1, 𝑦1 es cualquier punto de la recta y “m” es su pendiente

B) Forma Pendiente – Intersección: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏donde “m” es la pendiente de la recta y “b” es su intersección con el eje X.

C) Forma General u Ordinaria: 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0donde A, B, C son constantes reales. A y B no pueden ser iguales a cero

simultáneamente.

C) Forma Simétrica: 𝑥

𝑎+

𝑦

𝑏= 1

donde “a” es la intersección de la recta con el eje X, y “b” es la intersección de la

recta con el eje Y.

Ejemplo .- Si una recta pasa por los puntos 𝐴 9,−4 y 𝐵 −3, 4 determina:

A) La pendiente de la recta

B) La ecuación de la recta en la forma punto – pendiente.

C) La ecuación de la recta en la forma pendiente – intersección.

D) La ecuación de la recta en la forma general u ordinaria.

E) La ecuación de la recta en la forma simétrica.

A) Solución: La Pendiente de la recta esta dada por: 𝑚 =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1, entonces

sustituyendo las coordenadas correspondientes tenemos que 𝑚 =4−(−4)

−3−9=

8

−12= −

2

3

B) Solución:

La forma Punto - Pendiente es 𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) de donde sustituyendo 𝑚 = −2/3

y el punto 𝐴 9,−4 tenemos: 𝑦 − −4 = −2

3𝑥 − 9

𝑦 + 4 = −2

3𝑥 − 9

C) Solución:

Para tener la forma Pendiente – Intersección 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 despejamos “y” de la

ecuación anterior, ya que no conocemos el valor de “b”:

𝑦 + 4 = −2

3𝑥 − 9

𝑦 + 4 = −2

3𝑥 +

18

3𝑦 + 4 = −

2

3𝑥 + 6

𝑦 = −2

3𝑥 + 6 − 4

𝑦 = −2

3𝑥 + 2

Notar que en ésta última ecuación identificamos que la pendiente es m = - 2/3 y la

intersección en el eje Y es b = 2

D) Solución:

Para tener la forma General u Ordinaria 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 igualamos a cero la

ecuación anterior y ordenamos según indica la forma:

𝑦 = −2

3𝑥 + 2

−2

3𝑥 − 𝑦 + 2 = 0

Pero, de preferencia, que el término en x sea positivo y cuando se pueda, todas las

constantes enteras. En éste caso, entonces multiplicamos la ecuación por el mínimo

común denominador -3:

−3 −2

3𝑥 − 𝑦 + 2 = 0

2𝑥 + 3𝑦 − 6 = 0

E) Solución:

Para tener la forma Simétrica : 𝑥

𝑎+

𝑦

𝑏= 1 partimos de la ecuación general:

2𝑥 + 3𝑦 − 6 = 0Primero pasamos el término constante para el lado derecho de la ecuación:

2𝑥 + 3𝑦 = 6Luego, para lograr que este igualada a 1, dividimos cada término de la ecuación entre el

valor que quedo del lado derecho:2𝑥

6+3𝑦

6=6

6Entonces invertimos las fracciones de los términos x_y (si es necesario) porque la forma

simétrica indica que los coeficientes de x_y deben ser iguales a 1: 𝑥

6/2+

𝑦

6/3=6

6

Por lo tanto la forma simétrica es: 𝑥

3+

𝑦

2= 1

En ésta última ecuación identificamos: Intersección con el eje X: a = 3

Intersección con el eje Y: b = 2

RECTAS PARALELAS Y PERPENDICULARES:El valor de la pendiente nos ayuda a comparar rectas y determinar si son paralelas, perpendiculares u

oblicuas.

Dos rectas en el plano cartesiano son paralelas cuando la distancia entre ellas es constante; pero si lo

vemos de acuerdo con su inclinación, dos rectas son paralelas si tienen el mismo ángulo de inclinación,

esto es, si sus pendientes son iguales

Dos rectas en el plano cartesiano son perpendiculares cuando el ángulo entre ellas es de 90°;

algebraicamente el producto de sus pendientes es igual a -1; es decir 𝑚1𝑚2 = −1. Ésta última

condición también expresa que las pendientes deben ser recíprocas y de signo contrario.

Ejemplo 1 .- Determina la ecuación de una recta en su forma general si pasa por el punto

2, 4 y es paralela a la recta 𝑦 =1

2𝑥 − 7.

Solución:

Primero identificamos la pendiente de la recta dada 𝑦 =1

2𝑥 − 7 , en éste caso observamos que la

pendiente es ½. Por lo tanto la pendiente de la recta paralela buscada es también m=1/2.

Luego, usamos la forma punto – pendiente para

determinar la recta:

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)

𝑦 − 4 =1

2𝑥 − 2

Despejamos “y” para llegar a la forma pendiente –

intersección:

𝑦 =1

2𝑥 − 1 + 4

𝑦 =1

2𝑥 + 3

Luego igualamos a cero para transformar a la forma

general:1

2𝑥 − 𝑦 + 3 = 0

Y finalmente multiplicamos por el mínimo común

denominador:

21

2𝑥 − 𝑦 + 3 = 0

𝑥 − 2𝑦 + 6 = 0

Ejemplo 2.- Determina la forma general de la recta que pasa por el punto −1, 6 y es

perpendicular a la recta 𝑦 = −1

2𝑥 +

11

2.

Solución:

Primero identificamos la pendiente de la recta dada 𝑦 = −1

2𝑥 +

11

2, en éste caso observamos que la

pendiente es -½. Por lo tanto la pendiente de la recta perpendicular buscada es recíproca y de signo

contrario; es decir m=2.

Luego, usamos la forma punto – pendiente para

determinar la recta:

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)𝑦 − 6 = 2 𝑥 − (−1)

Despejamos “y” para llegar a la forma pendiente –

intersección:

𝑦 = 2𝑥 + 2 + 6𝑦 = 2𝑥 + 8

Luego igualamos a cero para transformar a la forma

general:

2𝑥 − 𝑦 + 8 = 0

Distancia de un punto a una recta:La menor distancia que existe entre una recta 𝐴𝑥 + 𝐵𝑦 + 𝐶 = 0 y un punto 𝑥0, 𝑦𝑜 es la longitud del

segmento perpendicular que se forma entre el punto y la recta:

Dicha distancia se calcula mediante la siguiente

fórmula:

𝑑 =𝐴𝑥0 + 𝐵𝑦0 + 𝐶

𝐴2 + 𝐵2

d=|Ax0+By0+C|A2+B2

Ejemplo .- Determina la distancia del punto (2, 8 ) a la recta 5𝑥 + 8𝑦 + 12 = 0.

Solución: Utilizamos la fórmula de distancia entre un

punto y una recta y sustituimos los valores dados:

𝑑 =|𝐴𝑥0 + 𝐵𝑦0 + 𝐶|

𝐴2 + 𝐵2

𝑑 =|5(2) + 8(8) + 12|

52 + 82

𝑑 =|10 + 64 + 12|

25 + 64

𝑑 =|86|

89= 9.12

Las funciones lineales como modelos matemáticosEjemplo 1.-Después de 10 minutos de haber empezado a leer un cuento, a Anita le faltan 35 páginas

para terminar de leerlo, y a los 50 minutos de lectura todavía le faltan 5 páginas para terminarlo.

Considera que el número de páginas que le faltan por leer varía linealmente con el número de minutos

que ha estado leyendo.

A) Escribe la ecuación particular que expresa las páginas que le faltan en términos del tiempo de

lectura

B) ¿Cuánto tiempo total le tomará terminar de leer el cuento?.

C) Bosqueja la gráfica.

Solución: Las cantidades involucradas en el problema son el tiempo de lectura y las páginas que le

faltan para terminar de leer el cuento. En éste caso, las páginas que le faltan dependen del tiempo

de lectura, entonces definamos las sigs variables:

x: Tiempo de lectura (en minutos)

y: Páginas que le faltan para terminar de leer el cuento

Entonces, los puntos coordenados (x, y) que representan la información del problema son (10, 35) y

(50, 5)

Luego, ya que las páginas que le faltan depende linealmente del tiempo de lectura, se

tiene que los dos puntos anteriores pertenecen a una recta, cuya pendiente esta dada

por: 𝑚 =𝑦2−𝑦1

𝑥2−𝑥1, entonces sustituyendo las coordenadas correspondientes tenemos

que 𝑚 =5−35

50−10=

−30

40= −0.75

De aquí podemos determinar la forma Punto - Pendiente de la ecuación de la recta:

𝑦 − 𝑦1 = 𝑚(𝑥 − 𝑥1)𝑦 − 35 = −0.75 𝑥 − 10

De donde despejamos “y” para determinar la ecuación particular:

𝑦 − 35 = −0.75𝑥 + 7.5𝑦 = −0.75𝑥 + 7.5 + 35

𝑦 = −0.75𝑥 + 42.5

B) ¿Cuánto tiempo total le tomará terminar de leer el libro?

Solución:

Preguntan el tiempo (x) que le llevará leer todo el cuento; es decir, el tiempo para que

ya no le falte ninguna página por leer (cuando y=0). Entonces sustituimos en la

ecuación particular y despejamos x:

𝑦 = −0.75𝑥 + 42.50 = −0.75𝑥 + 42.50 − 42.5 = −0.75𝑥

−42.5

−0.75= 𝑥

𝑥 = 56.67

Por lo tanto, Anita se tardará 56.67 minutos leer todo el cuento.

C) Gráfica:

Para reforzar…

Ejercicios Resueltos

Actividades de Aprendizaje

Referencia Bibliográfica:

Cuéllar, J., Charles, C., Contreras, F. & Nava, A.

(2019) Funciones y Relaciones (1ª ed.). México:

Ediciones de Lurel.

Cuéllar, J. (2010) Matemáticas 3: Precálculo (3ª

ed.). México: LA&GO Ediciones.

GRACIAS POR TU

ATENCIÒN