fundamentos del análisis matricial de estructuras articuladas
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FUNDAMENTOS DEL ANÁLISISMATRICIAL DE ESTRUCTURAS
ARTICULADAS
Prof. Carlos Navarro
Departamento de Mecánica de Medios Continuosy Teoría de Estructuras
MATRIZ DE RIGIDEZ DE UNA BARRA BIARTICULADA
L
X
Y
x
y
x-y: sistema de ejes locales de la barraX-Y: sistema de ejes globales de la estructura
Para el cálculo matricial de estructuras de barras es necesario emplear dos sistemas de referencia para expresar todas las magnitudes que intervienen. Por tanto, en todo lo quesigue, supondremos definidos dos sistemas de coordenadas: uno, que denominaremos global,y que será común para todas las barras de la estructura y, para cada una de las barras de laestructura, un sistema de referencia (que denominaremos local) en el que el eje x tendrá la dirección de la barra y su sentido vendrá definido desde el que consideremos nudo inicio de labarra al que consideremos nudo final de la misma.
Sistemas de referencia que vamos a utilizar:
δδδσεL
EANóNEAL
EA
N
LE==⇒=⇒=
x
y
NN
21
δkNyL
EAk ==
Planteamiento en ejes locales:
x
y
21
Manteniendo el nudo 2 fijo, veamos qué fuerza es necesaria aplicar en el nudo 1 para conseguir un desplazamiento u1 en dicho nudo:
x
y
Nudo 1S’x1
Nudos de la barra y sus desplazamientos:
Emplearemos el símbolo “prima” cuando queramos a magnitudes referidasa los ejes locales de la barra
x
y
Nudo 1S’x1
S’x1
u’x1
11 '' xx ukS ⋅=
Pero en el nudo 2 aparecerá una fuerza horizontal S’x2 de valorigual a la anterior pero de signo contrario
S’x2
12 '' xx ukS ⋅−=
Ec. (1)
Ec. (2)
x
y
Nudo 1 S’x2
x
y
Nudo 1u’x2
Nudo 2
S’x2
Hagamos lo mismo para el nudo 2 manteniendo el nudo 1 fijo:
22 '' xx ukS ⋅= Ec. (3)
21 '' xx ukS ⋅−=
xNudo 1u’x2
S’x2
y
S’x1
Para equilibrar esta fuerza (S’x2) en el nudo 1 tendrá que actuar una fuerza igual y de signo contrario a la anterior, por lo que:
Ec. (4)
xu’x2
S’x2
y
S’x1
u’x1
Si planteáramos un estado de cargas y de desplazamientosgenéricos sobre la barra que estamos analizando:
podríamos escribir:
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
2
1
2
1
''
''
x
x
x
x
uu
kkkk
SS
{ } [ ]{ }'' uKS e=
Matriz de rigidezdel elemento en ejeslocales de la barra
Vector de cargasen los nudos enejes locales
Vector desplazamientode los nudos en ejeslocales
CASO DE UNA ESTRUCTURA ARTICULADA DEDOS BARRAS ALINEADAS
X
Y FX2,uX2FX1,uX1
21FX3,uX3
31
2
Analicemos, ahora el problema mostrado en la figura:
Si, para cada una de las barras, se considera que su nudoorigen coincide con el nudo de numeración más baja dela estructura, y su nudo final con el de numeración másalta, los ejes globales de la estructura y los locales decada barra son paralelos.
21 1
S’x1(= FX1), u’x1
(S’x2)’, u’x2
(S’x2)’’, u’x2
2S’x3(=FX3), u’x3
32
X
Y
FX2,u’x2
(S’x2)’’,u’x2
2
(S’x2)’, u’x2
EQUILIBRIO DEL NUDO 2:
y
x y
x
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=′=′
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
′=
22
11
11
11
2
11
Xx
Xx
x
xX
uuuu
kkkk
SSF)'('
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=′=′
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
′=
′
33
22
22
22
33
2
Xx
Xx
xX
x
uuuu
kkkk
SFS ')'(
Ecuación fuerza-desplazamiento para la barra 1 (ejes locales):
Ecuación fuerza-desplazamiento para la barra 2 (ejes locales):
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ′
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
′
3
2
22
22
3
2
2
1
11
11
2
1
')'(
)'(
X
X
X
x
Y
X
x
X
uu
kkkk
FS
uu
kkkk
SF
Elemento 1
Elemento 2
Como quiera que tenemos tres nudos en este problemavamos a añadir una línea más a las ecuaciones matricialesque hemos planteado de manera tal que:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧′
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
−=
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
′
3
2
1
22
22
3
2
3
2
1
11
11
2
1
00
000')'(
0
00000
0)'(
X
X
X
X
x
X
X
X
x
X
uuu
kkkk
FS
uuu
kkkk
SF
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ′
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
′
3
2
22
22
3
2
2
1
11
11
2
1
')'(
)'(
X
X
X
x
Y
X
x
X
uu
kkkk
FS
uu
kkkk
SF
Elemento 1
Elemento 1
Elemento 2
Elemento 2
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−+−
−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧′+′
3
2
1
22
2211
11
3
22
1
0
0')'()'(
X
X
X
X
xx
X
uuu
kkkkkk
kk
FSS
F
Si, ahora sumamos ambas ecuaciones matriciales (procesoconocido como ensamblaje en el análisis matricial de estructuras), tendríamos:
222 Xxx FSS =′′+′2
FX2,uX2
(S’x2)’’, u’x2(S’x2)’, u’x2
Como el nudo de conexión de las dos barras (nudo 2) debeestar en equilibrio, debe verificarse que:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−+−
−=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
3
2
1
22
2211
11
3
2
1
0
0
X
X
X
X
X
X
uuu
kkkkkk
kk
FFF
Matriz de rigidez dela estructura
Vector de cargasexteriores en nudos
Vector de desplazamientosnodales
Por tanto, podemos plantear en ejes globales de laestructura:
uKF =Matriz de rigidez dela estructura
Vector de cargasexteriores en nudos Vector de desplazamientos
nodales
Pero la estructura que tengamos que calcular puede ser máscomplicada que la que acabamos de ver:
X
Y
X
Y
S’x2,u’x2
S’x1,u’x1
2
1
xy
θ
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
′′′′
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
′′′′
2
2
1
1
2
2
1
1
000000000000
y
x
y
x
y
x
y
x
uuuu
kk
kk
SSSS
Sistema de referenciade la barra
Sistema de referenciaglobal de la estructura
Relación entre fuerzas en extremos de barra y desplazamientos nodales (en ejes locales):
Relación entre las fuerzas en los extremos de barra, en ejes globales, y las mismas expresadas en ejes locales. (Paso de ejes globales a locales)
X
Y
SX2
SX1
2
1
xy
θ
SY2
SY1
Y
X
S’x2
S’x1
2
1
xy
θ
S’y1
S’y2
θθθθ
θθθθ
cossensencos
cossensencos
222
222
111
111
YXy
YXx
YXy
YXx
SSSSSS
SSSSSS
+−=′+=′
+−=′+=′
Y
X
S’x2
S’x1
2
1
xy
θ
S’y1
S’y2
θθ
sencos
==
sc
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
′′′′
2
2
1
1
2
2
1
1
0000
0000
Y
X
Y
X
y
x
y
x
SSSS
cssc
cssc
SSSS
Vector de fuerzas nodalesen coordenadas locales
Vector de fuerzas nodalesen coordenadas globales
θθθθ
θθθθ
cossensencos
cossensencos
222
222
111
111
YXy
YXx
YXy
YXx
SSSSSS
SSSSSS
+−=′+=′
+−=′+=′
{ } [ ] { } globalesejesT
localesejes STS =′
[ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
cssc
cssc
T T
0000
0000
{ } [ ]{ } localesejesglobalesejes STS ′=
[ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
cssc
cssc
T
0000
0000
{ } [ ]{ }STS ′=
{ } [ ] { }STS T=′
Propiedad importante de la matriz de transformación T
La matriz de transformación T es ortogonal: su inversa coincide con su transpuesta
TTT =−1
X
Y
u’x2
u’x1
2
1
xy
θX
Y
uX2
uX1
2
1
xy
θ
uY2
uY1
Relación entre los desplazamientos en los extremos de barra, en ejes locales, y los mismos expresados en ejes globales.
u’y1
u’y2
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
′′′′
2
2
1
1
2
2
1
1
0000
0000
Y
X
Y
X
y
x
y
x
uuuu
cssc
cssc
uuuu
Relación entre los desplazamientos en los extremos de barra, en ejes locales, y los mismos expresados en ejes globales.
Vector de desplazamientosnodales en ejes locales
Vector de desplazamientosnodales en ejes globales
{ } [ ] { } globalesejesT
localesejes uTu =′
[ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
cssc
cssc
T T
0000
0000
{ } [ ]{ } localesejesglobalesejes uTu ′=
[ ]⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
cssc
cssc
T
0000
0000
{ } [ ] { }uTu T=′
{ } [ ]{ }uTu ′=
{ } [ ] { } globalesejesT
localesejes uTu =′
{ } [ ] { } [ ][ ] { } globalesejesTe
globalesejesT
localesejes uTKSTS ==′
{ } [ ][ ] [ ] { } globalesejesTe
globalesejes uTKTS =
{ } [ ]{ }STS ′=y, como:
{ } [ ][ ] [ ] { }uTKTS Te=
ó:
[ ] [ ][ ] [ ]Tlocalesejese
globalesejese TKTK =
{ } [ ] { } globalesejesglobalesejese
globalesejes uKS =
[ ]⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−−−
−−−−
=
22
22
22
22
scsscscsccscscsscscsccsc
kK globalesejese
LEAk =siendo:
P
1X
Y
2
3
1 2
3
L
L
EJEMPLO:
Número Áreade barra
1 A2 2A3 A
112
3
1 2
3
2
6
5
43
GDL DEL SISTEMA ESTRUCTURAL
NUDO HORIZONTAL (X) VERTICAL (Y)1 1 22 3 43 5 6
BARRAS NUDO INICIAL NUDO FINAL1 2 32 1 33 2 1
GDL’s
CONEXIONES
R X1 , u X1
1
2
3
1 2
3
R Y1 , u Y1
RY3 , uY3
RX3 , u X3
R X2 , u X2
R Y2 , u Y2
Fuerzas y desplazamientos (*) en los nudos de la estructura expresadosen ejes globales
(*) Se está realizando un planteamiento general en lo que sigue. Si alguna componente de fuerza o desplazamiento resultara ser nula, posteriormente será anulada.
12
3
1
2
3
R Y1
R Y3
R X3
R X2
R Y2
R X1
13Xs
13Ys
13Xs
13Ys 2
3Xs
23Ys2
3Ys2
3Xs
21Xs
21Ys
21Ys
21Xs
12Xs1
2Xs1
2Ys
12Ys
32Ys3
2Ys 32Xs
32Xs
31Ys
31Ys
31Xs
31Xs
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
3
3
2
2
13
13
12
12
000000
000000
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
uuuu
kk
kk
SSSS
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−
−−
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
3
3
1
1
23
23
21
21
2222
2222
2222
2222
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
uuuu
kkkk
kkkk
kkkk
kkkk
SSSS
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
1
1
2
2
31
31
32
32
000000000000
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
uuuu
kk
kk
SSSS
Elemento 1
Elemento 2
Elemento 3
Relación entre fuerzas y desplazamientos nodales enejes globales:
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
3
3
2
2
1
1
13
13
12
12
0000000000
0000000000000000000000
00
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
uuuuuu
kk
kk
SSSS
Elemento 1
EXPANSIÓN DE LAS RELACIONES ANTERIORES:
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−
−−
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
3
3
2
2
1
1
23
23
21
21
2200
22
2200
22
000000000000
2200
22
2200
22
00
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
uuuuuu
kkkk
kkkk
kkkk
kkkk
SS
SS
Elemento 2
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
3
3
2
2
1
1
32
32
31
31
00000000000000000000000000000000
00
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
uuuuuu
kk
kk
SSSS
Elemento 3
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−−−
−−−
−
−−
−−−+
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
+++
+
++
3
3
2
2
1
1
23
13
23
13
32
12
32
12
31
21
31
21
220
22
2200
22
00000000
2200
22
220
22
Y
X
Y
X
Y
X
YY
XX
YY
XX
YY
XX
uuuuuu
kkkkkk
kkkkkk
kk
kkkk
kkkkkk
SSSSSS
SS
SSSS
Sumando las ecuaciones matriciales anteriores:
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
+++
+
++
3
3
2
2
1
1
23
13
23
13
32
12
32
12
31
21
31
21
Y
X
Y
X
Y
X
YY
XX
YY
XX
YY
XX
RRRRRR
SSSSSS
SS
SSSSEquilibrio de nudos:
1
2
3
1 2
3
R Y1 , u Y1
RY3 , uY3
RX3 , u X3
R X2 , u X2
R Y2 , u Y2
R X1 , u X1
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−−−
−−−
−
−−
−−−+
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
3
3
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
220
22
2200
22
00000000
2200
22
220
22
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
uuuuuu
kkkkkk
kkkkkk
kk
kkkk
kkkkkk
RRRRRR
1
2
3
1 2
3
R Y1 , u Y1
RY3 , uY3
RX3 , u X3
R X2 , u X2
R Y2 , u Y2
R X1 , u X1
P1
X
Y
2
3
1 2
3
L
La) En relación a las fuerzas exteriores (teniendo en cuenta las ligaduras a que se
encuentra sometida la estructura):
RX1 = 0, pues no hay fuerza exterior aplicada en el nudo 1 según el eje X.
RY1 = -P, que es la fuerza exterior aplicada a la estructura en ese nudo.
RY3 = 0, pues el nudo 3 no se encuentra coaccionado en la dirección Y.
Por tanto, del vector de fuerzas sólo tenemos 3 incógnitas: RX2, RY2, RX3
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−−−
−−−
−
−−
−−−+
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
3
3
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
220
22
2200
22
00000000
2200
22
220
22
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
uuuuuu
kkkkkk
kkkkkk
kk
kkkk
kkkkkk
RRRRRR
P1
X
Y
2
3
1 2
3
L
Lb) En relación a los desplazamientos:
uX2 = uY2 =0, por encontrarse impedidos los desplazamientos del nudo 2
uX3 = 0, por encontrarse impedido el desplazamiento del nudo 3 en la dirección X.
En resumen, los desplazamientos incógnitas del problema son, también, 3: uX1, uY1, uY3.
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−−−
−−−
−
−−
−−−+
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
3
3
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
220
22
2200
22
00000000
2200
22
220
22
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
uuuuuu
kkkkkk
kkkkkk
kk
kkkk
kkkkkk
RRRRRR
P1
X
Y
2
3
1 2
3
L
L
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−−−
−−−
−
−−
−−−+
=
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
3
3
2
2
1
1
3
3
2
2
1
1
220
22
2200
22
00000000
2200
22
220
22
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
Y
X
uuuuuu
kkkkkk
kkkkkk
kk
kkkk
kkkkkk
RRRRRR
P1
X
Y
2
3
1 2
3
L
L
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
−−
−+
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
3
1
1
222
222
222
0
0
Y
Y
X
uuu
kkkk
kkk
kkkk
P
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎨
⎧
3
1
1
000
Y
Y
X
u
uu
Vector desplazamientos de la estructura (en ejes globales):
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
+−
−−
−+
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−
0
0
222
222
222
1
3
1
1
P
kkkk
kkk
kkkk
uuu
Y
Y
X
Ya podríamos determinar las fuerzas que actúan en los extremos de todas y cada una de las barras de la estructura:
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
′′′′
Yj
Xj
Yi
Xi
yj
xj
yi
xi
SSSS
cssc
cssc
SSSS
0000
0000
y las reacciones:
3113
32
12
222 YYXX
YY
XX
ukukukR
ukRukR
⋅−⋅+⋅−=
⋅−=⋅−=
[ ]
[ ] { }
[ ] { } globalesejesT
localesejes
uT
u
0101L1
0101L1
u'u'u'u'
0101L1
Lu'u'ε
y2
x2
y1
x1
x1x2
−=
−=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−=−
=
Cálculo de las deformaciones de cada barra (en ejes locales)
[ ] { }
[ ]{ }
[ ]⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−−=
−−=
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−−=
Y2
X2
Y1
X1
uuuu
L1
L1
0000
0000
0101L1ε
scsc
uscsc
u
cssc
cssc
globalesejes
globalesejes
Cálculo de las tensiones y axiles en cada elemento
( ) [ ]{ } globalesejesuscsc −−=−==σLEu'u'
LEEε x1x2
Esfuerzo axil:
Tensión:
( ) [ ]{ } globalesejesuscscN −−=−==L
EAu'u'L
EAEAε X1X2
¿Cómo ensamblar directamente la matriz de rigidez de la estructura?
P
1X
Y
2
3
1 2
3
L
L
112
3
1 2
3
2
6
5
43
GDL DEL SISTEMA ESTRUCTURAL
NUDO HORIZONTAL (X) VERTICAL (Y)1 1 22 3 43 5 6
BARRAS NUDO INICIAL NUDO FINAL1 2 32 1 33 2 1
GDL’s
Conexiones ó Incidencias
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
6
5
4
3
6
5
4
3
000000
000000
dddd
kk
kk
FFFF
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−
−−
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
6
5
2
1
6
5
2
1
2222
2222
2222
2222
dddd
kkkk
kkkk
kkkk
kkkk
FFFF
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
2
1
4
3
2
1
4
3
000000000000
dddd
kk
kk
FFFF
Elemento 1
Elemento 2
Elemento 3
Relación entre fuerzas en cada gdl (Fi) y los desplazamientos en cada gdl (di) en ejes globales:
ENSAMBLAJE DE LA MATRIZ DE RIGIDEZ
12
3
1 2
3
2
6
5
43 1
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
6
5
4
3
6
5
4
3
000000
000000
dddd
kk
kk
FFFF
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−−
−−
−−
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
6
5
2
1
6
5
2
1
2222
2222
2222
2222
dddd
kkkk
kkkk
kkkk
kkkk
FFFF
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−
−
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
2
1
4
3
2
1
4
3
000000000000
dddd
kk
kk
FFFF
Elemento 1
Elemento 2
Elemento 3
Matrices de rigidez de los elementos (en ejes globales):
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
0 0 0 0
k 0 -k
0 0
k
SIMÉTRICA
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
0 0 0 0
k 0 -k
0 0
k2/k
2/k 2/k−
2/k 2/k 2/k−
2/k 2/k2/k− 2/k−
SIMÉTRICA
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
0 0 0 0
k 0 -k
0 0
k2/k
2/k 2/k−
2/k 2/k 2/k−
2/k 2/k2/k− 2/k−
k 0
-k
0
0
0
0
k 0
0
SIMÉTRICA
MATRIZ DE RIGIDEZ DE LA ESTRUCTURA
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
k 0 -k
k+ 2/k
2/k 2/k−
2/k 2/k 2/k−
2/k 2/k2/k− 2/k−
k 0 0 0
-k
0
0
0
k+
SIMÉTRICA
Significado físico de la matriz de rigidez
Si consideramos, en general, una matriz de rigidez de la forma:
y la relación carga-desplazamiento:
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
3
2
1
3
2
1
333231
232221
131211
FFF
ddd
kkkkkkkkk
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
333231
232221
131211
kkkkkkkkk
K
La primera ecuación es:
1313212111 Fdkdkdk =++Equilibrio de fuerzas en el nudo 1
¿Qué sucede si d1=1, d2=0, d3=0 ?
313
212
111
kFkFkF
=== Fuerza actuando según el gdl 1 debido a un desplazamiento unidad del gdl 1
Los gdl 2 y 3 se mantienen sin desplazamiento y el gdl 1 sufre un desplazamiento unidad en la dirección de F1
De manera similar se podría ver qué significado físico tienen los otros términos de la matriz de rigidez
Significado de los elementos de las columnas de la matriz K:
Fuerza actuando según el gdl 2 debido a un desplazamiento unidad del gdl 1
Fuerza actuando según el gdl 3 debido a un desplazamiento unidad del gdl 1
ijK = Fuerza actuante en el gdl “i” debida a un desplazamientounidad del gdl “j” manteniendo el resto de gdl del sistemafijos
En general: