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Guía grupal MATE21

Informática

Disciplinas Básicas: Matemáticas

Resolución de problemas en los números reales.Aprendizajes esperadosObtiene información numérica de gráficos y tablas relativas a situaciones de la especialidad.Resuelve situaciones problemáticas cotidianas y contextualizadas a la especialidad en el entorno numérico de los números racionales, con pensamiento crítico y comunicando sus resultados de manera efectiva.

Resuelve problemas que involucren potencias y raíces reales mediante propiedades y operatorias elementales, comunicando sus resultados de manera efectiva.

Introducción:

Todo ser humano nace con un gran potencial creativo, muchas personas utilizan muy poco este potencial y otros lo utilizan al máximo. La creatividad es un componente fundamental en la resolución de problemas. Esta habilidad para generar nuevas ideas y solucionar diversos tipos de problemas y desafíos debe ser cultivada, practicada y en la búsqueda constante de la estrategia personal.“Quien quiere hacer algo encuentra un medio; quien no quiere hacer nada encuentra una excusa”

Proverbio árabe

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1.1 Obtiene información numérica de gráficos y tablas relativas a situaciones de la especialidad.

1. La Aerolínea Chile presenta un estudio de 46 de sus vuelos durante un día lunes de temporada alta, desde el aeropuerto Arturo Merino Benítez, ubicado en la Región Metropolitana. Se pretende estudiar el destino de preferencia de los pasajeros, con el fin de establecer ofertas y promociones de vuelo para el semestre siguiente. Se presenta a continuación un gráfico que muestra la capacidad de cada avión (cantidad de personas) versus la cantidad de vuelos que hubo.

En base a los datos entregados en el gráfico:A. ¿Cuántos pasajeros volaron a Punta Arenas?B. ¿Cuántos pasajeros volaron a Arica? C. ¿Hubo más vuelos a Temuco que a Antofagasta? ¿Cuántos más? D. ¿Cuántos pasajeros abordaron un vuelo hacia el sur de Santiago? E. ¿Es más visitada la zona norte o la zona sur de nuestro país?, ¿cuántas personas

viajan a la zona más visitada?F. ¿Cuántas personas más van a la zona norte que a la zona sur?

2

Arica Antofagasta TemucoPunta ArenasLa Serena






































































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G. ¿Cuántos pasajeros más volaron a Temuco que a La Serena?H. ¿Es cierto que hubo más vuelos hacia Arica que hacia Punta Arenas?, ¿cuántos?I. ¿Cuál es la cantidad total de pasajeros que volaron en avión ese día? J. Se sabe que los vuelos hacia Arica salen cada 45 minutos y a Temuco cada 30

minutos. Si a las 8:00 am salen vuelos hacia Arica y hacia Temucoi. ¿En cuánto tiempo más saldrán juntos nuevamente?

ii. ¿cuántas veces saldrán a la misma hora antes de las 6 de la tarde?

2. El siguiente gráfico de barras resume la relación entre modelos de vehículos y la cantidad vendida en el año 2011 en Chile.

A. ¿Cuántos vehículos Chevrolet Optra fueron vendidos el año 2011?B. ¿Cuántos vehículos se vendieron el año 2011?C. ¿Cuántos vehículos Chevrolet fueron vendidos el año 2011?D. ¿Cuál es el vehículo más vendido el año 2011 en Suecia?E. ¿Cuántos vehículos de marca distinta a Chevrolet fueron vendidos el año 2011?

Explicite en forma escrita dos procedimientos distintos para responder esta pregunta.

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3. A continuación se presenta un pictograma

A. ¿Qué información podría entregar el gráfico?B. ¿Cuántas ampolletas fueron vendidas el año 2005?C. Según la tendencia descrita por el PICTOGRAMA, ¿qué se podría deducir en

relación a la cantidad de ampolletas que se venderán el año 2007?

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4. Según algunos estudios se ha modelado la cantidad de personas que viven en una determinada comuna. El gráfico que se presenta a continuación modela lo anteriormente descrito.

Considerando el gráfico, responda lo siguiente:A. ¿Qué cantidad de personas se tiene en el año 2005? B. Entre los años 2000 y 2008, ¿en cuántas personas aumentó la comuna?C. Aproximadamente, ¿qué cantidad de personas se tendrán para el año 2012?

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5. Un grupo de jóvenes organiza una actividad recreativa en un conocido parque de la ciudad. El siguiente gráfico representa la distancia que recorre el grupo hasta que llega a la sede.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

Distancia(Km)/ Tiempo(Horas)

Tiempo (Horas)

Distancia(Km.)

Responde según el gráfico:

A. ¿Cuántas horas duro la actividad?B. ¿Durante cuánto tiempo no se desplazaron?C. Después de 3 horas ¿Cuántos Km. Recorrieron?D. ¿Qué tiempo utilizaron en llegar al parque?E. ¿Cuánto tiempo se demoraron en volver a la sede?F. ¿Tuvo algún problema en trabajar con este gráfico, con la información o con

las preguntas? Justifique su respuesta.

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6. El siguiente gráfico muestra las temperaturas máximas y las temperaturas mínimas en grados Celsius, tomadas por un observatorio meteorológico de una ciudad del Sur durante una semana del mes de Julio.

L M M J V S D

-5-4-3-2-10123456789

Registro de Temperaturas en °C

Mínima Máxima

Días Semana

Temperaturas

A. El día lunes la diferencia en grados corresponde a:B. ¿La mayor diferencia de grados se produce el o los días?C. ¿La menor diferencia de grados corresponde al día?

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7. Un vehículo de carrera recorre una pista rápida de 3 Km. El siguiente gráfico muestra la situación.

- 0.2 0.4 0.5 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.5 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.5 2.6 2.8 3.0 0

20406080

100120140160180

Velocidad de un Automovil En una pista de 3 Km. (Segunda Vuelta)

Distancia Recorrida

Velocidad (Km/h)

A. ¿A qué distancia(s) del punto de partida la velocidad es de 80 km/h?B. Después de recorrer 2 Km el vehículo ¿a qué velocidad se desplaza?C. ¿Por qué posibles motivos se presentan cambios de velocidad durante el recorrido

de la pista? Analiza y explica.

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Línea de Partida

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8. Según la organización HPH Chile (Hábitat Para la Humanidad Chile) en su reporte 2010 – 2011 en relación a la reconstrucción de viviendas progresivas con aportes de HPH, beneficiaron a las siguientes regiones con sus respectivas comunas:

La siguiente tabla se muestra la cantidad de viviendas reconstruidas por comuna:

A. ¿Cuántas viviendas han sido reconstruidas en la comuna de Curepto?B. ¿Cuántas viviendas han sido reconstruidas en esta etapa?C. ¿En qué comuna se reconstruyó la mayor cantidad de viviendas?D. Según la información entregada. ¿Cuántas viviendas han sido reconstruidas en la

región del Maule?E. ¿En qué región se reconstruyó la mayor cantidad de viviendas?F. ¿Cuál es el promedio de viviendas reconstruidas por comuna?G. ¿Cuál es el promedio de viviendas reconstruidas por región?

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9. Los índices de calidad del aire han sido definidos por resolución del Ministerio de Salud para establecer los puntos de corte a partir de cuáles se exceden los límites de Alerta, Preemergencia y Emergencia Ambiental; como se indica en la siguiente tabla:

ICAP : ÍNDICE DE CALIDAD DEL AIRE POR MATERIAL PARTICULADO

A. ¿Entre qué valores de ICAP se debe declarar un episodio de ALERTA?B. Para un ICAP de 110 ¿Cuál es la calidad del aire?C. Para un ICAP de 301 ¿Cuál es la calidad del aire?D. Para un ICAP de 505 ¿Qué episodio se debería declarar?E. ¿Entre qué valores de ICAP se debe declarar un episodio de PREEMERGENCIA?

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10. Según la Asociación de Lucha contra la Bulimia y la Anorexia, las pautas culturales han determinado que la delgadez sea sinónimo de éxito social. Muchos jóvenes luchan para conseguir el “físico ideal” motivados por modelos, artistas o por la publicidad comercial. Durante el mes de marzo del año 2009, en el colegio “San Tomás” de la ciudad de Talca, después de las vacaciones de verano, se observó con precaución a alumnos de un curso con síntomas de anorexia, registrándose los siguientes signos visibles:

Dieta Severa Hiperactividad Dieta Severa Miedo a EngordarUso de Ropa Holgada Dieta Severa Dieta Severa Uso de Ropa HolgadaUso de Ropa Holgada Uso de Laxantes Hiperactividad Uso de LaxantesUso de Laxantes Uso de Laxantes Hiperactividad Dieta SeveraMiedo a Engordar Uso de Ropa Holgada Dieta Severa Dieta SeveraUso de Laxantes Uso de Ropa Holgada Uso de Ropa Holgada HiperactividadDieta Severa Miedo a Engordar Dieta Severa

A. Complete la siguiente tabla resumiendo la información:

B. En el colegio, el departamento de orientación quiere disminuir la cantidad de alumnos con signos visibles de anorexia o bulimia; para ello, considerando la tabla anterior

i. ¿Cuáles serían los tres signos visibles más frecuentes entre los estudiantes?

ii. ¿Por cuál de los signos visibles se debe empezar a solucionar el problema? ¿Por qué usted ha tomado esta decisión?

C. ¿Cuál es la diferencia entre la cantidad de estudiantes que tienen hiperactividad por sobre los que usan laxantes?

D. El colegio tiene un total 810 alumnos, repartidos en 30 cursos con la misma cantidad de estudiantes cada uno. Si la misma tendencia que ocurre en dicho curso se presenta a nivel de colegio, calcule que cantidad de estudiantes hay:

i. Con miedo a engordar:ii. Que usan laxantes:

iii. Con dieta severa:

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Signo Visible Número de Alumnos

Dieta SeveraMiedo a Engordar

HiperactividadUso de Laxantes

Uso de Ropa HolgadaTotal

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E. Al comenzar el año 2010, el Departamento de Orientación del colegio presenta la siguiente gráfica comparativa entre los resultados obtenidos en las encuestas, antes y después de las medidas adoptadas para remediar las causales el durante el año.

Dieta S

evera

Miedo a

engo

rdar

Hiperacti

vidad

Uso de l

axan

tes

Uso de r

opa holga

da 0123456789

1011

Número de alumnos 2009Número de alumnos 2010

i. ¿Cuántos alumnos, en total, presentaron una mejora en la observación de signos visibles para el año 2010?

ii. ¿Cuántos alumnos más usan ropa holgada en comparación con aquellos que tienen miedo a engordar, en el año 2010?

iii. ¿Fueron eficaces las medidas tomadas por el colegio? Justifique.

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1.2 Resuelve situaciones problemáticas cotidianas y contextualizadas a la especialidad en el entorno numérico de los números racionales, con pensamiento crítico y comunicando sus resultados de manera efectiva.

1. En una librería se compran 5 lápices a $750 cada uno y se compran 6 cuadernos. Si en total se cancelan $15.450, ¿qué precio se pagaría por un lápiz y un cuaderno?

2. En una tienda se compran 3 pantalones y 4 poleras. Considerando que el valor de un pantalón es de $17.950 y se ha cancelado $93.770, ¿cuál es el valor de 2 poleras y un pantalón?

3. Se ha cancelado $75.550 por la compra de un par de zapatos y un bolso. Si el bolso tiene un valor de $34.660, ¿cuál es el valor de 2 pares de zapatos iguales a los comprados?

4. Una cuenta de ahorro tiene un saldo inicial de $2.550.000. Si se han realizado 3 giros por $555.000 cada uno y se ha depositado la mitad de lo que se ha girado, ¿cuál es el valor que queda en la cuenta de ahorro?

5. Para una función de teatro la entrada de un adulto es de $4.500 y la de un niño es $2.350. Si asisten 3 niños y dos adultos y se cancela con $20.000, ¿cuál es el vuelto entregado?

6. A un recital asisten 3.500 personas, de las cuales los tres quintos son niños y los demás adultos. Si la entrada de un adulto es de $7.500 y en total se ha recaudado $21.000.000, ¿cuál es el valor de una entrada para niños?

7. La temperatura del aire baja según se asciende en la atmósfera, a razón de 6 ºC cada 200 metros. Si la temperatura al nivel del mar en un punto determinado es de 0ªC, ¿a qué altura vuela un avión si la temperatura del aire es de −84 ºC?

8. Hipatia de Alejandría fue una científica, filósofa y maestra que murió asesinada en el año 415 a la edad de 45 años. Arquímedes, en cambio, fue un matemático griego que murió a la edad de75 años durante el asedio a la ciudad de Siracusa por los romanos en el año 212 a.C. ¿En qué año nació cada uno?

9. Un buzo está a 32 metros bajo el nivel del mar, cuando nota que su compañero tiene un una cámara de fotos que le permitirá obtener un mejor panorama de la realidad marina. Entonces, asciende 13 metros para encontrarse con su compañero y luego, continua bajando otros 50 metros. ¿Cuánto nivel bajo el mar está el buzo?

10. Después de 30 días, Lucía perdió 4 kilos. En promedio, ¿Cuántos gramos bajó por día?11. Fernanda registró las ganancias o pérdidas diarias de su compañía durante una semana. El

lunes ganó 125.000, el martes perdió 340.000, el miércoles perdió 40.000, el jueves ganó 23.000 y el viernes ganó 540.000. ¿Cuál fue la ganancia o pérdida en la semana?

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12. Una gran empresa tiene cinco divisiones corporativas. Dos de las divisiones ganaron $4.400.689 cada una; las otras tres divisiones tuvieron, respectivamente, ganancia de $560.000, perdida de $1.450.230 y ganancia de 558.652. ¿Cuál fue la ganancia o pérdida de la empresa?

13. Mei-Ling, ciudadana de Singapur, estaba realizando los preparativos para ir a Sudáfrica como estudiante de intercambio durante 3 meses. Necesitaba cambiar algunos dólares de Singapur (SGD) a rands sudafricanos (ZAR). Al cabo de estos 3 meses el tipo de cambio había cambiado de 4,2 a 4,0 ZAR por SGD. ¿Favoreció a Mei-Ling que el tipo de cambio fuese de 4,0 ZAR en lugar de 4,2 ZAR cuando cambió los rands sudafricanos que le quedaban por dólares de Singapur? Da una explicación que justifique tu respuesta.

14. Una persona toma un taxi el que tiene una tarifa base de $200 y por cada 100 metros adicionalmente se cobran $90. Si una persona durante un día toma tres veces un taxi (los que tienen la misma tarifa) y, en el primer trayecto recorre 2 kilómetros, en el segundo trayecto recorre la mitad del primer trayecto y en el tercer trayecto recorre el triple de lo recorrido en el segundo trayecto, ¿qué cantidad de dinero gastó en taxi durante ese día?

15. Una persona viaja cada 8 días fuera de su ciudad y su hermano también viaja, pero cada 12 días, ambos lo hacen para ver a sus padres. Si se encuentran en la casa de sus padres el lunes 2 de mayo, ¿En cuántos días más volverán a encontrarse en la casa de sus padres? ¿Qué día específicamente volverán a encontrarse?

16. En una casa se tienen 3 luces que se prenden y apagan automáticamente cuando la familia está de vacaciones. Cada vez que se encienden permanecen 6, 12 y 15 minutos encendidas. Si las tres luces coinciden a las 9 am, ¿Cuánto tiempo transcurrirá para que vuelvan a coincidir?. En el mismo día, ¿Cuántas veces coincidirán hasta las 18:30 horas?

17. En una parada de buses se detienen buses cada 5, 8 y 10 minutos. Si los 3 buses coinciden a las 14:05 horas, y avanzan con la misma velocidad. ¿A qué hora volverán a coincidir?

18. Un reloj se encuentra atrasado en 1 hora y 20 minutos, cada día se adelanta 5 minutos ¿Cuántos días demorará en marcar la hora exacta?

19. En el tribunal de la familia de Aysén, se está repartiendo la herencia del dueño de un fundo. Los cuatro hermanos se reparten las tierras de acuerdo al aporte (en trabajo) que cada uno ha hecho hasta el momento. En el papel notarial, se ha estipulado lo siguiente: el mayor de los hermanos le corresponde 1/4 del total, al siguiente 1/3 del total, al número tres 1/5 del total y al menor el resto, sin embargo, no se sabe exactamente cuántas hectáreas le corresponde a cada uno. Si en total son 120 hectáreas, determine el total de hectáreas que debe recibir cada uno de los hijos del dueño del fundo.

20. En la municipalidad de Quinta Normal, se está tramitando la pensión alimenticia para el hijo de la señora Luisa. El papá del bebé tiene un sueldo líquido de $380.000. Y se ha destinado que 1/4 de su sueldo se destine a la pensión de su hijo. Si el promedio de pensión alimenticia nacional está en $42.500. ¿Cuánto dinero sobre el promedio nacional estará otorgando el papá del bebé por concepto de pensión alimentación?

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21. Dos empresas mezclan café de Colombia, café de Brasil, Café de Guinea y Café de Venezuela en bolsas de 1 Kg. La siguiente figura ilustra los dos tipos de mezclas.

A. La fracción que representa el café de Colombia utilizado en la mezcla A corresponde a la fracción:

B. El total de café de Colombia utilizado en ambas mezclas queda representado por la fracción:

22. Una de las sedes de Inacap tiene 3000 alumnos, los 1340

de los estudiantes tienen menos

de 20 años y los 2760

tienen entre 20 y 30 años, el resto tiene sobre 30 años.

A. El número de alumnos mayores a 30 años corresponden a :B. La fracción que representa a los estudiante menores o iguales a 30 años es :

23. Al encender una maquina congeladora esta desciende cada minuto cuatro grados Celsius. Si la temperatura inicial es de 12 grados Celsius. ¿Qué temperatura tendrá la maquina después de 5 minutos encendida?

24. Un Joven pretendía salir a cenar con sus 5 amigos, sin embargo, no tenía recursos suficientes. Sus amigos le sugirieron que pagará lo que pudiera y el saldo se lo repartían en partes iguales. Si el Joven pago $1.800 y cada amigo pagó $4.440 ¿Cuál fue el total de la cuenta?

25. En una sala de clases habían 10 hombres más que mujeres. Si salen 2 hombres y entran 2 mujeres, queda el doble de hombres que de mujeres. ¿Cuántas mujeres hay ahora en la sala de clases?

26. Tengo un montón de CD y unas cuantas cajas. Si pongo 7 CD en cada caja sobran 10 CD, pero si pongo 9 CD en cada caja me sobran 2 cajas. ¿Cuántas cajas tengo?

27. Tres amigos se ubican en fila. El primero dice 3, el segundo dice 6, el tercero dice 9, el primero dice 12 y siguen contando de 3 en 3. Juan dice 27, Esteban el 75 y Ana el 42. ¿Quién dice el 291 si siguen contando el mismo orden?

28. Cierto virus computacional atacó el disco duro de un computador, el primer día destruyo dos terceras partes, el segundo día, de lo que quedó destruyó una cuarta parte, finalmente el tercer día destruyo la quinta parte de lo que quedaba ¿Qué fracción del disco duro quedó sin dañar?

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Razonamiento matemático

1. Arturo tiene un problema. Debe cancelar una cuenta por morosidad, de una vez que salió con su amigo Jaime. Por concepto de morosidad, paga 1.000 y las cuentas de cada uno, fueron 7.000. Sabe que debe pagar 15.000, pero al realizar los cálculos, obtiene lo siguiente:

1.000+7.0002 = 16.000

¿Cuál es el problema?

2. Explique porqué todo número entero es un número racional, pero no todo racional es un entero.

3. Explique cuál es la diferencia entre 1,4 y 1,444444444…

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1.3 Resuelve problemas que involucren potencias y raíces reales mediante propiedades y operatorias elementales, comunicando sus resultados de manera efectiva.

1. Sobre la diagonal de un terreno rectangular que tiene 15 metros de ancho y 20 metros de largo, se proyecta un terreno cuadrado.

A. ¿Cuál es el perímetro del terreno cuadrado? ( Aplicar Teorema de Pitágoras para el cálculo de la diagonal )

B. Calcula la medida de la diagonal del cuadrado ABCD con 3 decimales aproximados.

2. Cierto programa antivirus computacional, actúa reduciendo a la mitad cada día los computadores contaminados. Inicialmente hay 580.000 computadores contaminados.

A. Diseña una tabla en donde se relacione el número de computadores contaminados por cada día transcurrido.

B. ¿Cuántos computadores contaminados habrá al finalizar el cuarto día?C. ¿Cuántos días han transcurrido si en un momento dado hay 1.000 computadores

contaminados?D. ¿Cuántos computadores contaminados han sido limpiados hasta el quinto día?

3. Las noticias llamativas y de la farandula se expanden rápidamente en una localidad de la costa. Cierta noticia llamativa es contada por una persona a otras tres, en 4 minutos, y estas a su vez la cuentan a otras tres personas, en los cuatro minutos siguientes, y así sucesivamente, ¿cuántas personas se enterarán de la noticia a una hora de ocurrido el hecho?

4. La velocidad de la luz aproximadamente es de 300.000 kilómetros por segundo. La distancia promedio de la Tierra al sol es de 150.000.000 de kilómetros. ¿Cuánto tiempo demora la luz del sol en llegar a la Tierra?

5. En cierta localidad del Sur de Chile un insecto la invadió y su población creció demasiado, aplicaron medidas de control y al siguiente año comenzó a decrecer en forma exponencial

con factor de decrecimiento 13

cada día. Si el domingo hay 6561 insectos, ¿Qué día quedan

solo 81 insectos? Construye un gráfico que muestre la situación antes explicada.6. Un virus se duplica cada 15 minutos. Si una muestra de laboratorio tenía un virus a las 9:00

a.m. ¿Cuál será la cantidad de virus de esa misma muestra a las 4 p.m.?

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7. Compré tres computadores que contienen tres programas cada uno. Si cada programa contiene tres archivos, y cada uno de ellos en tres lenguajes diferentes. ¿Qué potencia representa la cantidad total de lenguajes diferentes?

8. La sal de mesa está formada por iones de sodio y cloro. La distancia entre un ión de sodio y uno de cloro es de 0,000000028 cm., aproximadamente. Expresar esta distancia en metros.

9. Paulina y Matías practican un juego que consiste en que cada uno escribe un número de cuatro cifras con los dígitos del 1 al 9 (las cifras pueden repetirse) y cada uno trata de adivinar el número del otro, dándose pistas. Luego de jugar varias veces, deciden que el número será solo con los dígitos impares para que sea más fácil adivinarlo. ¿Cuántos números distintos pueden escribir cada participante con las condiciones que acordaron? Para responder esta pregunta, observa que si el número tiene 4 cifras y los dígitos que se pueden ocupar son el 1, 3, 5, 7, 9, significa que hay 5 números posibles para cada cifra, ya que estos pueden repetirse, es decir:

¿Cuántos números distintos podían escribir inicialmente?

10. Un estudiante de la carrera “Analista Programador” realiza en vacaciones, un circuito en cinco días, el primer día recorrió 2 km., el segundo día recorre el doble de lo que recorrió el día anterior, el tercer realiza el doble del trayecto del segundo día y así sucesivamente durante este periodo. ¿Qué distancia recorrió en los cinco días?

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Razonamiento matemático

1. Tu amigo sigue obteniendo 64 cuando calcula -26. ¿Cuál es el error que comete?

2. ¿Para qué número natural n se tiene que (-1)n=-1? ¿Para qué número natural n se tiene que (-1)n=1?

2. ¿3√2 es un número racional o irracional? Argumente su respuesta.

2.

5 · 5 · 5 · 5 = 54

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Variaciones Proporcionales.Aprendizajes esperadosResuelve problemas que involucren razones y reparto proporcional.Resuelve problemas mediante variaciones proporcionales.

Interpretan la relación de proporcionalidad mediante gráficos que muestran el grado de dependencia entre dos variables.

Resuelve problemas de situaciones cotidianas relacionadas con la economía, el mercado y la especialidad, mediante la estrategia de cálculo de porcentajes.

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2.1 Resuelve problemas que involucren razones y reparto proporcional, estructurando su estrategia de resolución y comunicando sus resultados de manera efectiva.

1. Un automóvil gasta 18 litros de bencina en recorrer 243 km. ¿Cuántos kilómetros recorre por cada litro de combustible?

2. En la tabla:

Curso Cantidad de Varones Total Curso5to A 24 365to B 21 356to A 16 326to B 15 40

Con los datos de la tabla responde:A. Determina el valor de la razón entre varones y total en cada curso. ¿Qué significa

este número?B. Realiza la pregunta anterior con el número de niñas y compara resultados.C. Determina el valor de la razón entre varones y niñas. ¿Qué significa este número?

3. Una encuesta determina el tipo de mascota en los diferentes tipos de hogar.

Animales Casa Departamento TotalConejos 12 6Perros 10 2Gatos 3 7

Hámster 5 15Total 30 30

Determine la razón entre:A. Número de casas con conejos y total casas.B. Número de casas con perros y total departamentos con perro.C. Número departamentos con hámsteres y total de hamsters.D. Número de casas con conejos y total de mascotas.E. Número de casas con hámsteres y número de casas sin hamsters.

4. En la comuna de Independencia existe 1 celular cada 3 personas. Si en Independencia hay 463.812 habitantes ¿Cuántos celulares hay?

5. La razón entre la edad de Gabriel y su mamá es de 1:3. Si el Gabriel tiene 8 años. ¿Cuántos años tiene su mamá?

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6. Felipe y Marco coleccionan estampillas. La razón entre las estampillas de Felipe con las de Marco son 3:7. Si Felipe tiene 1473 estampillas. ¿Cuántas tiene Marco?

7. A Rosita les gusta ejercitar, es por esto que realiza mucho deporte durante el día. En la mañana va al gimnasio 3 hr. y en la noche va 2 hr. Además al medio día va a la piscina por 4 hr. Si ella duerme 9 hr, ¿Qué fracción del día Rosita no está ejercitando ni durmiendo?

8. Observa la siguiente receta: Harina: 1 kilo Zapallo cocido o calabaza: 1 taza Manteca derretida: 1/8 Sal: al gusto Aceite para freír: 1 taza Salsa de chancaca: al gusto Chancaca: 1 paquete Canela: 1 ramita Cáscara de naranja: 1 cucharada agua: 3 tazas

Esta receta es para 30 sopaipillas. Si queremos hacer 40 sopaipillas ¿Cuál sería la receta?

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2.2 Resuelve problemas mediante variaciones proporcionales, estructurando su estrategia de resolución y comunicando los resultados de manera efectiva.

1. El gráfico muestra la relación de litros de combustibles y kilómetros recorridos de tres marcas; Chevrolet, Kia, Volkswagen. El rendimiento de un vehículo se mide por la cantidad de Kilómetros que puede recorrer por litro de combustible.

1 2 3 4 5 6 70

20

40

60

80

100

120

140

160

Rendimiento de Vehículos

VolkswagenLinear (Volkswagen)KiaChevrolet

Litros Combustible

Dist

ancia

REc

orrid

a(Km

)

Según el gráfico anterior,

A. Cuál es el vehículo de mejor rendimiento.B. Cuál es el rendimiento de la marca Kia al utilizar 5 litros de combustible.C. Cuál es el rendimiento del vehículo marca Chevrolet con 10 litros de combustible.D. Según el gráfico anterior, la marca que recorre 240 Kilómetros con 15 litros de

combustible es :2. Tres computadores son capaces de procesar 10.000 registros de datos en 12 minutos,

¿cuánto tardarán 5 computadores, de las mismas características y bajo las mismas condiciones, en procesar 80.000 registros de datos?

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3. Un Joven pretendía salir a cenar con sus 5 amigos, sin embargo, no tenía recursos suficientes. Sus amigos le sugirieron que pagará lo que pudiera y el saldo se lo repartían en partes iguales. Si el Joven pago $1.800 ¿Cuánto debió pagar cada uno de sus amigos?

4. Dos estudiantes tardan 12 horas en configurar un sistema computacional. Si les ayudara un tercer estudiante ¿cuánto tiempo tardarían en configurar el mismo sistema computacional, suponiendo que los tres trabajan al mismo ritmo?

5. Estefanía compro un computador en una tienda comercial, por el cual le hicieron un 30% de descuento, si pagó $189.000 ¿cuál era el precio del computador sin descuento?

6. En una sala de clases habían 10 hombres más que mujeres. Si salen 2 hombres y entran 2 mujeres, queda el doble de hombres que de mujeres. ¿Cuántas mujeres hay ahora en la sala de clases?

7. El Gobierno de Chile ha decidido mejorar los pisos de madera de las mediaguas que han sido invadidas por termitas. Suponga que en una habitación el piso se compone de 25 tablas de 12 cm de ancho. Si la renovación es con tablas antitermitas de 3 cm de ancho, ¿Cuántas tablas necesito para abarcar todo el piso?

8. Para limpiar una parcela, 28 hombres demoran 60 días. Si solo puedo contratar 20 hombres, ¿Cuántos días se demoraran?

9. Antonio, Roberto y Patricio demoran 20 horas en pintar una sala, ¿Cuánto tiempo tardaran Antonio y Roberto solos?

10. Si demoro 12 horas en llegar a la ciudad Matecity viajando a 80 km/hr, ¿Cuánto demorare si voy a 60 km/hr? ¿a 100 km/hr?

11. En la municipalidad de Concepción, el arriendo de la cancha de fútbol cuesta $7.500 la hora. ¿Cuánto debe pagar un grupo que juega 3 horas y media?

12. Marcela y Patricia reciben sus notas de matemáticas. Si la razón entre ellas es de 3:2¿Quién obtuvo más alta calificación?

13. Nueve entradas a un concierto cuestan $43.200. ¿Cuánto cuestan 40 entradas?14. Un psicopedagoga debe estimar el tiempo de memorización de su alumno. Marco (el

alumno) demora 12 minutos en memorizar 20 líneas de texto. ¿Cuánto demorará en memorizar 65 líneas de texto?

15. Para pintar una muralla de 98 m2, se necesitan 6 tarros de pintura. Si debo pintar un mural de 200 mt2. ¿Cuántos tarros ocupare?

16. Tres llaves llenan un estanque en 5 horas. ¿Cuánto demoran 2 llaves?17. 25 animales consumen cierta cantidad de alimento en 30 días. ¿Cuántos días durará la

misma cantidad de alimento si solo hay 14 animales? 18. ¿Cuál es la sombra de un árbol de 3 m si a esa misma hora un hombre de 1,7 m proyecto

una sombra de 1,3 m? 19. Para llenar un barril necesito 9 botellones de 1,5lt. ¿con cuántos botellones de 2,5lt lleno

el barril?

24

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2.3 Interpreta la relación de proporcionalidad mediante gráficos que muestren el grado de dependencia entre dos variables.

20. El cambio de moneda U.S. a pesos chilenos, en tres períodos distintos, se muestra en el siguiente gráfico.

Año 1 Dólar2008 $ 5402009 $ 5002010 $ 460

1 2 30

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

Cambio de Moneda

200820092010

Dólar

Pesos

A. ¿En qué año el cambio de Dólar a pesos chilenos nos fue más favorable en adquirir artículos importados?

B. Un comerciante exporto fruta por U.S.$ 25.000 en el año 2008 y U.S.$ 30.000 el 2010, ¿en qué año obtuvo mayor ingreso? Explica.

C. Un comerciante adquiere una deuda el año 2008, pagada en 36 cuotas de U.S. $ 125 ¿Cuántos pesos chilenos comienza pagando? Y ¿Cuántos pesos termina pagando el 2010?

25

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21. En la cosecha de frambuesas se contratan a personas de forma temporal. La siguiente tabla muestra la relación del número de personas contratadas y el tiempo utilizado en levantar la cosecha de una parcela con frambuesas.

Número de Personas

Días Utilizados

6012 5015

3030

A. Completa la tabla que relaciona las variables

B. ¿Qué tipo de proporcionalidad se presenta en esta relación?C. Si se requiere levantar la cosecha en 6 días ¿Cuántas(os) Trabajadoras(es) serán

necesarios contratar?

22. La siguiente tabla establece la relación entre la cantidad de DVD y el precio a pagar. Completa la tabla y representa gráficamente este tipo de relación proporcional.

Nº de DVD Precio en $

1 200

2

3

4

5

6

7

8

9

10 2.000

26

1 2 3 4 5 6 7 8 x

-200

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

1800

2000

2200

2400

2600

y

O

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A. ¿Qué tipo de proporcionalidad se establece entre las dos variables?B. ¿Cuál es valor constante de la relación de proporcionalidad?C. ¿Cuál es el valor proporcional a pagar por 12 DVD?

23. En el mapa:

Santiago y Linares están separadas por 320 km y en el mapa están a 12 cm. ¿A cuántos km queda Talca desde Santiago si en el mapa están a 9 cm?

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2.4 Resuelve problemas de situaciones cotidianas relacionadas con la economía, el mercado y la especialidad, mediante la estrategia de cálculo de porcentaje estructurando su estrategia de resolución y comunicando los resultados de manera efectiva.

1. Alejandra obtuvo el 75% de respuestas correctas en su prueba. Si la prueba tenía 80 preguntas en total, ¿Cuántas respuestas correctas tuvo?

2. El año pasado le preste $250.000 a mi hermano, el prometió devolver el monto completo más 10%de intereses anuales al cabo de un año. ¿Cuánto dinero debe pagarme?

3. En el banco tengo $920.000. Si solo puedo girar 30% del total de la cuenta, ¿Cuánto es el máximo que puedo girar en un día?

4. En el equipo de porristas del colegio, el 30% está con fractura. Si el total de los no lesionados es 21, ¿Cuántos hay en total en el equipo?

5. Un litro de bencina cuesta $740. Si hay un alza del 5%, ¿qué valor tendrá la bencina ahora? 6. El centro de alumno, por medio de una beca cubre el 40% del costo de mi almuerzo. Si mi

almuerzo cuesta $2.000, ¿Cuánto tengo que pagar yo?7. Al comprar por internet debo pagar 8% del valor del producto por costos de envió. Si yo

quiero comprar un celular de $180.000, ¿Cuánto será el costo de envío?8. Diego y Daniela contribuyeron con el 1% de su sueldo a la capilla de su comuna. Si Diego

aporta $3.450 y Daniela $7.234, ¿Cuáles son sus sueldos?9. Luego de un descuento de 30%, mis zapatillas costaron $19.250, ¿Cuál es su precio

original?10. Javiera está feliz, su sueldo tendrá un aumento del 12%. Si su sueldo era $350.000, ¿Cuál

es su nuevo sueldo?11. Don Pedriño tiene 5 hijos y una esposa. Su testamento dice que al morir cada hijo debe

recibir 10% del total de la herencia y el resto para la esposa. Si en total tiene 32 millones de pesos:

A. ¿Cuánto recibe cada hijo?B. ¿Cuánto la esposa?

12. Compre mi autito regalón en $2.400.000. Si lo vendí en $1.920.000, ¿Cuál fue mi porcentaje de perdida?

13. Si don Segundo realizo 9 de los 12 trabajos que tenía agendados, ¿Cuál fue el porcentaje de metas cumplidas de Don Segundo.

14. El disco duro de un Notebook tiene almacenado 50 GB en documentos, sistema operativo y programas de aplicación, en la razón 3:5:8, calcula el porcentaje del espacio ocupado por los documentos.

28

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15. El siguiente gráfico en porcentaje corresponde a la Situación del Bono de las Familias que participan en el Sistema de Protección Chile Solidario, Programa Puente, actualizada al 15 de Diciembre del 2008.

La cantidad del XVII CENSO Nacional de Población es de 15.116.435 personas. Considerando esta información responde:

A. ¿Cuál es la cantidad de personas, que se le paga en INP?B. ¿Cuál es la cantidad de personas Activadas y No enviadas al INP? C. Suponiendo que el porcentaje de personas interrumpidas aumenta en un 3,2%,

¿en qué cantidad de personas aumenta? Considera todos los decimales y al responder aproxima a la unidad.

D. Suponiendo que el CENSO en el año 2.012 aumenta en un 10,2%, y los porcentajes correspondientes a cada sector circular mantiene el mismo porcentaje, calcula la cantidad de personas correspondientes a cada sector.

E. Comente con sus compañeros el por qué al sumar la cantidad total de personas, estas no coinciden con la cifra obtenida en el Censo según el problema planteado. Especifica las razones y justifica con argumentos matemáticos.

Resuelve los problemas de análisis de gráficos del 43 al 65. Recuerda indicar el procedimiento, operaciones y respuestas.

16. La región coloreada en azul corresponde a la cantidad de gatos en la protectora de animales de Huechuraba. Aproximadamente, en base a la figura ¿Qué % equivale al número de gatos?

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17. En un curso se realiza una votación para decidir si hacer o no la fiesta de fin de año. Responde las preguntas de abajo, en base a la figura.

A. ¿Qué % aproximadamente representa a los que están de acuerdo?B. ¿Qué % aproximadamente representa a los que no saben?C. Si en el curso son 50 alumnos en total, complete la siguiente tabla.

De AcuerdoEn DesacuerdoNo SabeTotal 50

18. El siguiente grafico representa los alumnos del Jardín Conejito Blancoa.

A. ¿Qué porcentaje de alumnos van en sala cuna?B. Si el jardín tiene 16 alumnos en medio mayor, ¿Cuántos hay en todo el jardín?

19. En las votaciones de la universidad para decidir si unirse al paro o no, hubo 3 tipos de respuestas.

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A. Aproximadamente ¿Qué porcentaje están a favor?B. Aproximadamente ¿Qué porcentaje están en contra? C. Si los nulos van a la mayoría, ¿cuáles serán los porcentajes finales de “En contra” y

“A Favor”?20. En una encuesta de tipos de música. Los porcentajes respecto del Pop y de la música

Romántica son iguales.

A. ¿Qué porcentaje corresponde a música pop? B. ¿Qué porcentaje corresponde a música romántica?C. Si se encuesto a 200 personas, ¿Cuántas personas votaron por cada estilo?

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21. Al contestar la pregunta, “¿cómo te vas al trabajo?”, los chilenos contestan:

A. Si 10 personas B. Si 20 personas contestaron, ¿Cómo serían los resultados? C. Si 50 personas contestaron, ¿Cómo serían los resultados?

22. 8 de cada 10 personas creen en el amor a primera vista. Grafica el % que corresponde a esta afirmación.

23. 7 de cada 20 personas cree que vivirá más de 100 años. Grafica el porcentaje de estas personas.

24. De cada 25 trabajadores, soló 20 completo la enseñanza media, 4 son universitarios y 1 es técnico profesional. Grafica el porcentaje estas personas según su nivel de educación.

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En los problemas a continuación, se relaciona el concepto de área achurada y porcentaje. Resuelve indicando procedimiento, operación y respuesta al problema.

25. Estableciendo que cada figura está dividida en partes iguales, ¿qué porcentaje de las figuras están achuradas?

A.

B.

C.

D.

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26. En la encuesta de las películas más vistas por 50 jóvenes adultos entre los 20 y los 28 años, estos fueron algunos de los resultados.

Película Cantidad de VotosStarWars (primera trilogía) 20

El Señor de los Anillos 12Harry Potter 8

Volver al Futuro 4Crónicas de Narnia 2

Basándose en esta información contesta las siguientes preguntas:

A. ¿Qué porcentaje de los votantes prefirió StarWars (primera trilogía)?B. ¿Qué porcentaje obtuvo el menos votado?C. Si la película Jurassic Park solo obtuvo el 2% de la votación, ¿Cuántos jóvenes

votaron por ella?D. ¿Qué porcentaje del total representan los que votaron por estas 5 películas?E. ¿Cuál es el porcentaje de las personas que no aparecen aquí?F. ¿Cuál es tu película favorita de estas 5 mencionadas?G. ¿Cuántos votos tendría ahora esa película por la cual tú votaste?H. Tomando en cuanta tu voto, calcula el porcentaje de votos para esa película.

¿Vario mucho el resultado?

27. El siguiente gráfico muestra la tasa de Natalidad y Mortalidad en Chile entre los años 1905 y 1995.

Considerando sólo la información que se presenta en la gráfica, responda las siguientes preguntas:

34

Natalidad

Mortalidad

%

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A. La tasa de natalidad siempre ha sido más alta que la de mortalidad.B. La tasa de mortalidad no ha sufrido aumentos desde 1905 en adelante. C. Entre los años 1915 y 1930 aumentó la cantidad de nacidos vivos. D. La tasa de mortalidad del año 1920 y la tasa de natalidad del año 1980 son

equivalentes. E. Aproximadamente desde el año 1945 en adelante la tasa de mortalidad

disminuye, sin aumentar, hasta llegar a un 5% el año 1995.F. Estime en base al grafico la tasa de natalidad correspondiente a los años:

i. 1907ii. 1933

iii. 1950iv. 1965v. 1980

vi. 1992G. Estime en base al grafico la tasa de mortalidad correspondiente a los años:

vii. 1907viii. 1933

ix. 1950x. 1965

xi. 1980xii. 1992

H. Calcule aproximadamente el año al que corresponden las siguientes tasas de natalidad:

xiii. 35%xiv. 27,5%xv. 32,5%

I. Calcule aproximadamente el(los) año(s) al que corresponden las siguientes tasas de mortalidad:

xvi. 30%xvii. 25%

J. Según el VIII Censo General de la República de Chile realizado en 1907, la cantidad de habitantes en el país era de 3.231.022 personas. Según la tasa de natalidad y mortalidad registrada, ¿cuántas personas nacieron y cuantas personas fallecieron el año 1907?

K. Comente con sus compañeros las razones por las cuales cantidad de fallecidos disminuye a medida que pasan los años.

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28. Una empresa está en paro de actividades pues sus empleados quieren mejorar condiciones laborales, entre ellas está aumentar las remuneraciones para todo el personal. La paralización laboral se realiza durante los primeros meses del 2011, se sabe que el ingreso imponible promedio entre los 34 trabajadores durante el 2010 fue de $485.000. La empresa propone al personal tres posibles arreglos de negociación:

Arreglo (1): Un aumento en el sueldo imponible de un 12,5% para cada uno de los trabajadores.Arreglo (2): Una bonificación trimestral de $181.200.Arreglo (3): Un beneficio anual de un 148,5% sobre el sueldo imponible de un mes.

A. ¿Cuál de las alternativas propuestas les conviene a los trabajadores? Justifique su respuesta.

B. Si el sueldo imponible del trabajador que recibe mayor remuneración es de $955.000 y el sueldo imponible del trabajador que recibe menor remuneración es de $197.500 entonces, ¿cuál de las alternativas de arreglo le conviene aceptar si una de las cláusulas de la negociación es que disminuya la brecha entre el sueldo máximo y el mínimo

29. En un laboratorio de computación hay 100 equipos entre computadores e impresoras. El 99% son computadores ¿Cuántos computadores debo retirar para que los computadores que queden representen el 98%?

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30. La factura que se muestra a continuación describe la compra realizada por un cliente.

Insumos Computacionales R.U.T.458.721.456-K

"El Bazar Tecnológico" Factura Nº : 222222Avda RAM 512

Señores : Empresa Cybernetica Virual y Cia.Dirección : Las Tablet y Computadores 101010Ciudad : Computilandia

Cantidad Descripción Precio unitario Total3 RAM DDR3 25000 750002 HD 500 GB 44000 88000

Total Neto19% IVATotal a Pagar

__________, _________ de _________ 2________________Firma

A. Determina el valor del IVA a pagar en la factura:B. Si el cliente obtiene un 15% de descuento, ¿Cuál es el total a pagar?C. Si el cliente adquiere 8 RAM DDR3 y 5 HD 500GB, con un 18% de descuento, ¿Cuál

es el valor a pagar? ¿cuánto debe pagar en I.V.A.?31. En un grupo de estudiantes que utilizan Windows y/o Linux, se sabe que; el 80% utiliza

Windows, el 50% utiliza Linux y 135 estudiantes utilizan los dos sistemas operativos (Windows y Linux). Determina el total de personas.

32. Un computador costaba inicialmente $285.000. Lo ofrecen con una rebaja del 20% y luego en un remate final, sobre el precio que quedo, otra rebaja del 10%.

A. ¿Cuál fue el precio final a pagar?B. ¿Con que porcentaje de rebaja, respecto al precio inicial, quedó finalmente el

computador?

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33. En el disco duro de un computador tenemos almacenado Software y Documentos, donde el espacio ocupado se encuentra en la razón 3:5, si los documentos almacenados aumentan en un 20%, entonces que % representa el espacio ocupado por el Software en el disco duro.

34. En la primera semana de mayo la bencina subió de precio en un 4% y en la segunda semana bajó de precio en un 4%, el cual se mantuvo durante la tercera semana. Al comparar los precios de la tercera semana y de la primera: (seleccione la alternativa correcta)

A. Son igualesB. El de la primera es un 1,6 % más alto.C. El de la tercera semana es un 1,6% más bajo. D. El de la tercera semana es un 0,16 % más bajo.E. El de la primera semana es un 0,16 % más alto.

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Desarrollo AlgebraicoAprendizajes esperadosResuelve operatoria con símbolos algebraicos expresados en fórmulas y situaciones de la especialidad.Desarrolla la operatoria algebraica de una expresión propuesta, utilizando estrategias de simplificación y reducciónResuelve problemas que involucren el planteamiento y resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones mediante la utilización de procedimientos algebraicos y de representación gráfica.Resuelve problemas que involucren el planteamiento y resolución de inecuaciones y sistemas inecuaciones en forma algebraica y representando la solución gráficamente.

La palabra ALGEBRA proviene de un matemático árabe del siglo IX, llamado Muhanmadn Ibs Musá Aljwarizmi, quien escribió el primer tratado de álgebra.Una de las características del algebra es que utiliza símbolos para representar números.

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3.1 Resuelve operatoria con símbolos algebraicos expresados en fórmulas y situaciones de la especialidad.

Traduce los siguientes enunciados a lenguaje algebraico

1. La suma de un número y 4.2. Un número aumentado en 12.3. Un número reducido en 7.4. Cinco menos que un número.5. Un número restado de 75.6. El producto de un número y 50.7. Un tercio de un número.8. El doble de un número.9. El sucesor de un número.10. Un número aumentado en dos.11. El cuadrado de un número.12. La suma de dos números distintos.13. La diferencia entre un número y su cuadrado.14. Cuatro menos que la mitad de un número.15. Un número aumentado en cinco es igual a 8.16. Tres manzanas cuestan $320.17. Un número es menor que otro número.18. Un número es el triple de otro.19. El doble de un número es mayor o igual que el sucesor de otro número.20. El área de un cuadrado es 46 cm2.21. El perímetro de un pentágono regular es 57 m.22. El doble de la edad de mi hermano es igual a la edad de mi papá, menos siete.

Para los siguientes problemas, responde las preguntas con expresiones algebraicas.

23. Luis tiene n años de edad. ¿Cuántos años tendrá en 20 años?24. María tiene n años de edad. ¿Cuántos años tenía hace 3 años?25. Pamela tiene t años de edad y su madre es 3 años menor que el doble de la edad de

Pamela. ¿Cuál es la edad de la mamá de Pamela?26. La suma de dos números es 65 y uno de los número es x. ¿Cuál es el otro número?27. El cociente de dos números es 8 y el número más pequeño es y ¿Cuál es el otro número?

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Escribe un enunciado, en contexto de la vida real, que pueda representarse por las siguientes expresiones algebraicas.

28. 3x=165029. 3x+2y=100030. x+250 = 5x – 7031. 1800 – x = 120032. (1/2) x + (1/4) y = 990

Valoriza las siguientes expresiones algebraicas

33. 3x+3y, para x=0; y=5.34. x3+30y, para x=-1; y=6.35. (-x-60)/(-2y-1) para x=-2; y=-1.

Reduce las siguientes expresiones algebraicas

36. 2a + 3a – (1/2)a37. 2x - 3y + 4x +(5/3)y38. -2m + 4m2 – 3m + m2 + 9m39. –p – q – p –p2 – q2 - 2p – 6q + 3q2

40. 5x2+4x2y-4xy2-9x2y41. x + (x2-y2)+y - (x2-y2)+x2 - (y-x)42. m2n3 + 5mn2 – 3m2n3 – (mn2 - (m+n))43. 3(x+y)-[-(4y-x)-7(x - 7y + (-x))]44. –(-x+y-(-x-y) – (-x-y)+(x-y))

Resuelve los siguientes problemas.

45. En una caja negra hay “b” bolitas blancas y “a” bolitas azules, Se realizan en orden los siguientes cambios:

1º Sacar 3 bolitas azules y 5 blancas

2º Duplicar las bolitas azules y cuadruplicar las bolitas blancas

3º Agregar una bolita blanca y sacar 1 bolita azul.

A partir de esta información completa la tabla de sucesos para determinar cuántas bolitas quedan al final.

Nº bolitas blancas Nº bolitas azules Total bolitas

Inicio b a a + b

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1º

2º

3º

46. Repite los mismos pasos pero tomando 5 bolitas blancas y 8 bolitas azules, en lugar de b y a, respectivamente.

47. Sea V=43π⋅r3

el volumen de una esfera. Si el radio es r=3

2u

(u : unidades ) . ¿Cuál es el volumen de la esfera?

48. En el Δ ABC rectángulo en C. El valor de c=√a2+b2, donde a=√3 y b=1 . ¿Cuál es

el valor de c ?

49. Si x es un número de dos dígitos, en que el dígito de las unidades es “a ” y dígito de las

decenas es “ b ” . ¿Cuál es el antecesor de x ?

50. La edad de Francisca hace 3 años era x+7 , mientras que la de Ignacia era y−3 . ¿Cuál es la expresión que indica la diferencia de años que actualmente tiene Francisca e Ignacia?

51. Un globo aerostático vuela con una rapidez de (n+8 ) km/hr. A esta rapidez, ¿cuánto

tiempo, en horas, le tomará volar (n2+5n−24 ) km?.

52. Si se reparten (3 x2+2 x−1 ) hectáreas de terreno en partes iguales entre ( x+1 ) personas. ¿Cuántas hectáreas le corresponden a cada una de ellas?

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3.2 Desarrolla la operatoria algebraica de una expresión propuesta, utilizando estrategias de simplificación y reducción.

Factoriza y simplifica las siguientes expresiones algebraicas

1.

2 x−4 y5x+15 y

÷ 6 x−12 y15 x+45 y

2.[ ( p3−q3 ) (p+q )

p2−q2÷ p2+ pq+q2

3 p+3q ]÷ p2−q2

9

3. (m2+3m−40m2−9m+20

× m−9m2−8m−9 )÷ m+8

m2−3m−4

4.(1−

1

a2 )÷(a−1a )

5.(a+1− 6

2a+1 )÷(a−3− 62a+1 )

6.( 1a+4

+ 1a−4 )⋅( a4−4

a )

7.( x− yx+ y

− x+ yx− y )÷(1− x2−xy− y2

x2− y2 )

8.

b3b−9

− b2b+6

+ 9

b2−9

3.3 Resuelve problemas que involucren el planteamiento y la resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones mediante la utilización de procedimientos algebraicos y de representación gráfica.

En cada uno de las siguientes situaciones identifica qué dato(s) falta(n) y es(son) necesario(s) para poder plantear y resolver el problema de manera adecuada.

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1. En la feria, el kilo de manzanas vale lo mismo que el kilo de peras. ¿Cuánto se debe pagar al comprar 3 kilos de manzanas?

2. La edad Juan es el triple que la edad de Pedro. ¿Cuál es la edad de Juan?3. María fue a la playa y pagó $120.000 por el total de los días de alojamiento ¿Cuánto pagó

por cada día de estadía?4. Un jardinero debe plantar 9 flores en cada una de las jardineras de su patio. ¿Cuántas

flores debería comprar?

En cada uno de los siguientes problemas reconoce la incógnita y representa el problema mediante una expresión algebraica (ecuación).

5. Al final de año, un alumno debe tener 4 calificaciones. Raúl ha obtenido: 4,5, 3,8 y 5,0. ¿Qué nota debe obtener en la cuarta prueba para tener promedio 4.0?

6. En una peña folclórica, la señora María vendió 80 botellas de bebestibles. Cada botella de gaseosa la vendió en $600 y cada botella de jugo, en $400, recaudando $39.200. ¿Cuántas botellas de gaseosa vendió?

7. Si por cada 5 alumnos de un curso hay 4 computadores. ¿Cuántos computadores hay por cada curso de 42 alumnos?

A continuación se muestran algunos enunciados de problemas y su respectivo planteamiento de

ecuación. Identifica, en cada cado, qué parte del problema está siendo representado.

8. Lucía come cierta cantidad de lechugas por semana y otra cierta cantidad de duraznos, por semana. Entre lechugas y duraznos, ella come 15 unidades. Si se gasta $2500 semanales entre lechugas y duraznos, y cada lechuga cuesta $150 y cada durazno $200 ¿Cuántas lechugas y duraznos come a la semana?

150x + 200(15-x)=2500

¿Qué representa la parte de la ecuación marcada con rojo?

9. En un triángulo isósceles la base mide cinco unidades menos que el triple de la medida de los otros lados. Si el perímetro mide 50 cm. ¿Cuánto mide la base?

x+x+3x-5=50

¿Qué representa la parte de la ecuación marcada en rojo?

10. La suma de las edades de dos hermanos es 45. Si el doble de la edad del mayor es igual a cuatro veces la edad del menor. ¿Cuál es la edad del menor?

2x=4(45-x)

¿Qué representa la parte de la ecuación marcada en rojo?

Resuelve las siguientes ecuaciones aplicando propiedades de las operaciones.

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11. 4 – 2x = 6

12. 3(x+4)=90

13. 400x + 300(100-x) = 34000

14. -50 + 4x = -140

15. (x+1)/5 + 2x = 3 –x/2

16. 3x + 40 = -2x +60

Resuelva los siguientes problemas, comunicando sus resultados de manera efectiva.

17. Una persona tiene el triple de la edad que tenía hace 8 años. ¿Cuántos años tendrá en 5 años más?

18. Un bidón lleno de parafina pesa 38 kilos. Cuando está hasta la mitad, pesa 19,5 Kg. ¿Cuánto pesa el bidón vacío?

En cada uno de los siguientes ejercicios, identifica las incógnitas y los datos, plantea el problema

mediante una ecuación, resuélvela, analiza la pertinencia de las soluciones y comunica tus

resultados.

19. Dos hermanas deciden ahorrar lo que han ganado en sus trabajos de verano. Al final de este período lograron reunir $75.000. Si la hermana mayor ahorró el cuádruple de lo que ahorró la menor- ¿Cuánto ahorró cada una?

20. Determina un número talque el doble de la suma entre el número y su antecesor sea igual a cuatro veces el número aumentado en seis.

21. La edad de tres hermanos es talque: el mayor tiene el doble de la edad del menor y el menor, tiene cuatro años menos que el hermano del medio. ¿Cuáles son las edades si la suma de todas es 30?

22. La suma de las edades de un padre y su hijo es de 20 años. Si la edad del padre es tres veces la edad del hijo. ¿Cuál es la edad del padre?

Como te habrás dado cuenta, hay problemas que tienen solución, otros que no tienen y otros

que tienen infinitas soluciones. Apoyándote en el ítem anterior:

23. Plantea un problema que no tenga solución, escribe la ecuación pertinente y trata de resolver el problema. Justifica por qué no tiene solución.

45

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Analiza cada uno de los siguientes problemas y determina cuáles son los posibles errores en su

redacción, los datos que faltan y realiza una propuesta de nuevo enunciado. Luego, resuélvelo.

24. En el campo de Francisco hay que hacer una huerta. Y para esto, cuenta con tomates, lechugas y acelgas. Si se planta la mitad del huerto con lechugas, un tercio de lo que queda con acelgas y 50 tomates, completamos todo el terreno. ¿Cuántas acelgas se necesitarán?

25. Coca y Clue se fueron de compras navideñas. Ambas tenían la misma cantidad de dinero para gastar. Sin embargo, a Coca le quedó la mitad de lo que le quedó a Clue. ¿Cuánto dinero tenían en un comienzo?

Resuelve las ecuaciones de primer grado

26.

27.

28.

29.

30.

31.

22x−1

+ 35=1

32.

4

x2+x−6+ 2x+3

= 1x−2

33. ax= (a−b )2+bx

34.

ax−2a=1a

35.

x−2x+2

= x−4x+4

36.

2x−3

− 4x+3

=16

x2−9

37.

1y=8− 3

y

Resuelve algebraicamente los siguientes sistemas de ecuaciones lineales

46

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38.

39.

x=12y+5

|4 x−2 y−7=0¿

40.

41.

3 ( y+2 )=2 x|2 ( y+5 )=7 x¿

42.

x5

=y4

|y3

=x3

−1

¿

43.

Resuelve gráficamente los siguientes sistemas de ecuaciones lineales

44.

x+110

=y−45

|x−45

= y−210

¿

45.

3 ( x−2 )+2 ( y−3 )=7|6 ( x−1 )−5 ( y+1 )=−18¿

46.

( x+ y )−(9 y−11 x )=2 y−2 x|( x− y )−(6 x+8 y )=−(10 x+5 y+3 )¿

Plantea y resuelve mediante ecuaciones y sistemas de ecuaciones cada uno de los enunciados

47

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47. Un grupo de turistas tiene que hacer una colecta para pagar una excursión. Si cada uno paga 75 dólares habrá un déficit de 440 dólares. Si cada una paga 80 dólares habrá un exceso de 440 dólares. ¿Cuántas personas toman parte de la excursión?

48. Sumando las edades de tres personas A,B,C se obtienen 52 años. La edad de C es el 10% de la edad de B y la de A es el 20% de la edad de B. ¿Qué edad tiene cada una?

49. Una compañía tiene $50.000.000 para invertir. Si invierte 18 millones al 2,5% y 13 millones al 3%, ¿A qué porcentaje debe invertir el resto para tener una ganancia de $1.353.000 por el total de sus inversiones?

50. La edad de Juan es el doble que la de Fernando, y hace 5 años tenía el triple de la edad que tenía Fernando. ¿Cuál será la edad de Fernando dentro de 5 años?

51. El puntaje de Juan en matemáticas, excede en 13 puntos al de Esteban, y el doble del puntaje de Esteban excede en 29 puntos al puntaje de Juan. Encuentra ambos puntajes

52. Dos hermanos fueron a una librería para comprar ciertos útiles. Pagaron entre los dos un

total de $7600 y volvieron a casa con $2200. Si uno de los hermanos gastó

45 de su

dinero y el otro

34 de lo que tenía. ¿Cuánto dinero tenía cada uno al entrar al momento

de entrar a la librería?

3.4 Resuelve problemas que involucren el planteamiento y la resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones en forma algebraica y representando la solución gráficamente.

Encuentre el conjunto solución de las siguientes inecuaciones lineales y representa gráficamente esta solución.

53. −5−2x≤1

54. 4−7 y≤10−6 y

55. 3−1

2x≥1

4x−2

56. ( y−3 ) ( y+2 )¿¿

57.

2x−14

¿¿

58.3 y+1≤4 y−6

2

48

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Indica las desigualdades que representan las siguientes graficas

59.

60.

61.

49

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50

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Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones, indicando su intervalo solución y gráfica.

62.

2 x−3≤5|⃗4 x+6¿

2 ¿¿¿¿

63.

y−2¿

1 ¿|3 y+1¿¿¿¿

64.

4 x+3≤−1|2 x−1≤3¿

65.

y−4≥1|1− y¿¿¿¿

¿¿

66.

1−2 x≤3|3+x ¿¿¿¿

¿¿

51

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Modelamiento mediante FuncionesReales

Aprendizajes esperadosRepresenta un modelo funcional a través del planteamiento de un enunciado verbal en el ámbito del lenguaje de la especialidad, en forma analítica y gráfica, señalando las características de las variables en estudio.

Resuelve problemas de enunciado en el ámbito de la economía y negocio modelados por la función afín y cuadrática.

Resuelve situaciones problemáticas cuyos modelos correspondan a funciones exponenciales y logarítmicas, a través de la aplicación de métodos algebraicos, numéricos y /o gráficos.

Analiza situaciones problemáticas contextualizadas a la especialidad, basándose en concepto de función inversa y compuesta.

Introducción

La palabra FUNCION se utiliza en matemáticas con un significado técnico muy preciso y referido

a relaciones que se establecen entre fenómenos y situaciones que provienen del mundo real y

cotidiano y que se reflejan a través del comportamiento de dos variables

x ( var iable independiente ) e y ( var iable dependiente )

.

Situaciones que representan un modelo funcional.

1. La cantidad de kilómetros recorridos por un vehículo y el gasto en combustible

2. La cantidad de un determinado artículo y su precio

52

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4.1 Representa un modelo funcional a través del planteamiento de un enunciado verbal en el ámbito del lenguaje de la especialidad, en forma analítica y gráfica, señalando las características de las variables en estudio.

1. Señala cuál de los siguientes gráficos representa una función

2. Grafique y determine dominio y recorrido para las siguientes funciones:

A.

B.

53

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C.

3. El gráfico muestra la velocidad de un automóvil en los 15 primeros minutos de viaje.

A. ¿Qué velocidad llevaba a los 6 minutos?B. ¿Cuál es la velocidad máxima alcanzada?C. Alrededor de cuantos km/hr llevaba a los 13 minutos de comenzado el viaje.

4. En nuestro país existe un Subsidio Habitacional al que pueden acceder todos los chilenos mayores de 18 años. La siguiente gráfica muestra la relación entre el valor de la vivienda y el monto del subsidio, ambos expresados en UF. Además, el monto máximo de subsidio para valores de vivienda entre 0 UF y 1000 UF es de 450 UF, y para viviendas cuyo valor sea entre 1001 y 2000 UF es de 300 UF.

Fuente: www.minvu.cl (2011)

A. Identifica las variables del problema.

54

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B. ¿El valor de la vivienda depende del monto del subsidio?, o ¿el monto del subsidio depende del valor de la vivienda?

C. Suponga que Ud. trabaja en el Ministerio de Vivienda asignando el monto del subsidio habitacional. Un cierto día atiende a seis personas, a quienes debe responder las siguientes preguntas:

i. Quiero comprar una casa cuyo valor es de 800 UF, ¿cuál es el monto del subsidio que recibiré?

ii. Si quiero recibir un subsidio de 300 UF, ¿cuánto debe ser el valor de la casa que compraría?

iii. El valor del departamento que quiero comprar sin estacionamiento es de 1200 UF, ¿cuánto recibiría de subsidio?Pero y si agrego estacionamiento el valor del departamento sería de 1450 UF, ¿recibiría más subsidio?

iv. Si quiero recibir 100 UF de subsidio, ¿cuánto tendría que costar la casa a comprar?

v. Quiero comprar una casa de 120 m2, cuyo valor es de 2200 UF, ¿cuánto subsidio recibiría?

vi. Quiero comprar una casa de 600 UF, ¿cuánto subsidio voy a recibir?D. Interprete que sucede con el monto del subsidio para viviendas entre 0 UF y 700

UF. Realice (en el mismo gráfico) la gráfica de lo que sucede con el monto del subsidio en ese intervalo.

5. El siguiente gráfico corresponde a la relación ingreso potencial estimado por un modelo determinado. Donde en uno de los ejes se tiene el puntaje de las Ficha de Protección Social (FPS) y en el otro el ingreso potencial del hogar en pesos ($).

55

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En base al gráfico, responde:A. Si una persona tiene 10.000 puntos, aproximadamente, ¿cuál es el ingreso

potencial del hogar? B. Si una persona tiene un ingreso potencial de $120.000, ¿Cuál es el Puntaje FPS?C. Aproximadamente, ¿entre qué Puntaje FPS se encuentra los $80.000 y $100.000? D. Si luego de los $250.000 la curva se mantiene constante y se le otorga un puntaje

constante de 22.000 puntos, ¿cuál es el puntaje asociado a los $300.000?

4.2 Resuelve problemas de enunciado en el ámbito de la economía y negocio modelados por la función afín y cuadrática.

6. El gráfico muestra el costo de producir cuadernos tapa dura.

A. ¿Qué tipo de función es?

56

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B. ¿Cuál es costo aproximado de producir 40 cuadernos?C. Si el costo de producir 0 cuadernos aumentara de 300 a 400, ¿Cuál es la variación

del resto de los costos?7. La siguiente tabla muestra la relación entre precio y cantidad de kilos de tomates.

Kilos $2 12003 18004 24005 3000

A. Realiza un gráfico con los datos.B. Estima el valor de

i. 1 kiloii. 6 kilos

iii. 10 kilosC. 50 kilosD. Determina una expresión algebraica para el modelo.E. Si tengo $2000, ¿Cuántos kilos puedo comprar?

8. Un alumno desea sacar 5 fotocopias para un trabajo de investigación, cada fotocopia tiene un precio de $18

A. ¿Cuánto paga por el total de fotocopias?B. Una persona desea sacar 50, 100 y 120 fotocopias. ¿De qué forma puedes

obtener el valor a pagar?C. Escribe una fórmula que relacione el valor en función del número de fotocopias D. Representa la relación anterior mediante un gráfico.E. ¿A qué modelo corresponde, la gráfica anterior?

9. Un taxista cobra $200 por "tarifa mínima" y luego $100 por cada 200 metros de recorrido. Un segundo taxista no cobra tarifa mínima, pero cobra $120 por cada 200 metros.

A. Plantea la "función de cobro por viaje" correspondiente a cada taxista. B. Determinar en cuál taxi me conviene viajar una distancia de 1.600 metros. C. ¿En qué distancia ambos taxistas cobran lo mismo?

10. La cuenta de la luz es tal que si un mes se gastan 5 Kw, se pagan $3750 y si otro mes se gastan 13Kw, entonces se pagan $9.750. Si la función que relaciona gasto de energía y pago es lineal, indica

A. ¿Cuál es la función lineal que relaciona ambas variables? B. ¿Cuánto debe pagar una persona que gastó 23 Kw?C. ¿Cuántos Kw ocupó una persona que pagó $28.500 en su cuenta de luz?

11. El costo de franqueo de una correspondencia enviada por correo varía de acuerdo a su peso. Por cada 10 gramos se cobra $200, con un valor fijo de partida de $50.

57

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A. Completa la tabla con los valores correspondientes y escribe el modelo funcional que representa esta situación

X ( Gramos) C(X) ( Costo en $)

10203040…..X

B. Determina el costo del franqueo necesario para una carta cuya masa es de 75 gramos

C. Si a Gabriel le cobraron $400 de franqueo por una carta. ¿De cuántos gramos era la carta que envió?

12. La siguiente gráfica representa el costo total y el ingreso obtenido en la producción y comercialización de ciertas unidades, de una fábrica de artículos tecnológicos. Se sabe que el costo fijo es de 2 UF y el costo variable por unidad es de 0,5 UF. Si cada unidad se vende en 1 UF. Determina:

A. La función costo de producciónB. La función de ingresoC. La función de gananciaD. Con cuantas unidades se obtiene el punto de equilibrioE. ¿Cuál es la ganancia obtenida en la venta de diez unidades?F. ¿Cuál es la perdida si solo se venden dos de estas unidades?

58

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13. Dada la función de costo C ( x )=25 x−2 x dólares e ingreso I ( x )=3 x+5dólares, donde x representa las unidades fabricadas. Determina

A. La utilidad obtenida por la producción y comercialización de veinte unidadesB. El número de unidades para el cuál se encuentra el equilibrio de esta operación

comercial 14. Determina el nivel de ganancia de una fábrica que tiene que tiene un costo fijo de U$750,

un costo variable de U$ 80 y un precio de venta de U$ 95, cuando venden cuarenta y sesenta artículos. Grafica ambas rectas.

15. Un estudio de mercado muestra que la venta de una empresa durante un periodo de 10 meses sigue un comportamiento afín dado por la función:

Además el costo asociado a esta producción durante 10 meses, se modela por medio de la función:

Donde V(t) y C(t) se encuentran en millones de pesos y t es el tiempo en meses.Considerando la información anteriormente descrita, completa la siguiente tabla de precios de ventas y costos asociados.

t (meses) V(t) t (meses) C(t)

59

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1 12 23 34 45 56 67 78 89 9

10 10Luego responda:

B. ¿Cómo interpreta t = 2 en este problema? Justifica con argumentos de valores de venta y de precios de costo.

C. La utilidad de una empresa se calcula como valor de las ventas menos el costo en un mes determinado. En el segundo mes de actividades, ¿la empresa tiene pérdidas o ganancias?, ¿cuánto es la pérdida o ganancia obtenida?

D. En el octavo mes de actividades, ¿cambia la situación del segundo mes?. ¿Cuánto es la pérdida o la ganancia obtenida el octavo mes?

E. ¿Durante los 2 primeros meses se tienen utilidades o pérdidas?, ¿cuál es el monto asociado a la utilidad o pérdida al segundo mes?

F. ¿Durante los 7 primeros meses se tienen utilidades o pérdidas?, ¿cuál es el monto asociado a la utilidad o pérdida al séptimo mes?

G. ¿A partir de qué mes se puede afirmar que se obtienen utilidades?H. Si la utilidad es de $9.000.000, ¿en qué mes se produce esta situación?I. Los estudios económicos realizados garantizan el mismo comportamiento del

negocio durante los próximos 6 meses. Calcule cual es el monto de utilidad acumulada que se obtiene al finalizar los 16 meses.

J. Con la información proporcionada, confecciona en un mismo gráfico las funciones:i. Función de ventas

ii. Función de costosiii. Función de Utilidad.

K. Explique gráficamente que sucede con las funciones de venta, costo y utilidad en el tercer mes?

16. La función que asigna subsidio, en donde es el valor de la vivienda en UF y el resultado es el valor del monto del subsidio en UF, se expresa por:

60

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Calcule el monto de subsidio asignado para cada valor de vivienda:

A.

B.

C.

D.

E.

F.

G.17. Luego de realizar algunos estudios se decide definir una función por tramos, representada

de la siguiente forma:

Donde x es el ingreso potencial del hogar y f(x) es el Puntaje FPS. Considerando esto responde:

A. Si tiene un ingreso potencial de $40.000, ¿Cuál es el puntaje FPS? B. Entre ¿qué valores de ingreso potencial se tiene siempre un puntaje FPS

constante? C. Si se tiene un Puntaje FPS de 77.300, ¿cuál es el ingreso potencial del hogar? D. Esboza un gráfico de la función.E. Comenta con tus compañeros sobre la gráfica realizada en el ejercicio anterior,

¿cuál crees que es más viable de llevar a cabo?, ¿cuál representa mejor los datos de la realidad?

18. Dada la función de costo C ( x )=x2−2x+250 en dólares, que muestra el costo de fabricar “x ”unidades de repuestos de computadores

A. ¿Cuál es el costo de fabricar cinco unidades?B. ¿Para cuantas unidades el costo es mínimo?

61

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C. ¿Para cuantas unidades aproximadamente el costo será de 600 dólares?

19. Si la función U ( x )=1000 x−x2 representa las utilidades de una empresa en miles de

dólares por x unidades vendidas.A. Determina el número de unidades para el cual la utilidad es máximaB. ¿Cuál es la máxima utilidad?

4.3 Resuelve situaciones problemáticas cuyos modelos correspondan a funciones exponenciales y logarítmicas, a través de la aplicación de métodos algebraicos, numéricos y /o gráficos.

20. El crecimiento de un capital está dado por la función exponencial

Donde “ ” representa el tiempo expresado en años e “ ” el capital expresado en UF.A. Calcula el capital inicial.B. Calcula el capital al cabo de 5 años.C. Indica la tasa de crecimiento anual.

62

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D. ¿Al cabo de cuántos años el capital se duplica? (Se debe aplicar logaritmo)

21. Una empresa ha lanzado una

campaña para aumentar la productividad de su empresa. El directorio estima que las

semanas que demorarán en lograr el x% de su objetivo viene dada por la siguiente

función s( x )=10x

150−x , con la información se pide:A. Las semanas que llevará lograr el 50% del objetivo.B. ¿Cuál será el objetivo alcanzado si han pasado seis semanas?C. Elabore la parte relevante de la gráfica.

22. La depreciación de una máquina, después de n años se calcula como s=c (1−d )n .

Donde s valor de salvamento, c costo de la máquina y d porcentaje de depreciación. Si en tres años el porcentaje de depreciación es de un 9%. ¿Cuál es el costo de una máquina cuyo valor de salvamento será de $ 53.144?

23. La población de cierta nación desarrollada se sabe que está dada (en millones de

habitantes) por la formula en donde es el número de años transcurridos a partir del año 2002. Determine la población en 2012, suponiendo que la fórmula tiene validez hasta entonces.

63

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24. Una compañía manufacturera encuentra que el costo de producir unidades por hora,

está dado por la fórmula C ( x )=5+10⋅log (1+2 x ) en dólares. Calcula:A. El costo de producir 5 unidades por hora. B. El costo extra por aumentar la tasa de producción de 5 a 10 unidades por hora.

25. La población de cierta nación en desarrollo está dada en millones de habitantes por la

fórmula donde es el tiempo medido en años desde 1990. ¿Cuándo alcanzará la población los 25 millones, suponiendo que esta fórmula mantiene su validez?

26. Los registros de salud indican que t semanas después de un brote de cierta clase de

resfriado, aproximadamente Q( t )=15

1+20⋅e−1 , .3 t miles de personas habrían contraído

la enfermedad. ¿Cuántas semanas pasarán para que 10,677 personas se hayan resfriado?

4.4 Analiza situaciones problemáticas contextualizadas a la especialidad, basándose en concepto de función inversa y compuesta.

27. Una cámara de tomar una serie de fotografías de un globo de aire caliente que sube verticalmente. La distancia entre la cámara en (B) y el punto de lanzamiento del balón (A) es de 300 metros. La cámara debe mantener el globo a la vista y por lo tanto, su ángulo de elevación “t” debe cambiar con la “x” altura del balón.

A. Hallar t ángulo como una función de la altura x.B. Hallar t ángulo en grados, cuando x es igual a 150, 300 y 600 metros. (aproximada

su respuesta al primer decimal 1)C. Grafique t como una función de x.

64

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28. La población de un aumento de cierta ciudad de acuerdo con la siguiente fórmula P=200.000 e0,01 t donde “P” es la población y “ t” el número de años, con t = 0 correspondiente al año 2000. ¿En qué año la población es de 300.000, 400.000 y 500.000 habitantes?

29. En una población de 5 mil personas se está transmitiendo una infección estomacal por

bacterias. Sea p (t )=5000 tt+100

el número de personas infectadas t semanas después del

comienzo de la epidemia. ¿Después de cuántas semanas el número de infectados es aproximadamente 400 personas?

30. Una bacteria estomacal debe ser tratada con un determinado tratamiento antibiótico antes que estén presentes 10000 de ellas en el organismo, de lo contrario el tratamiento sugerido es otro. Si se sabe que su número se incrementa a razón del 5% cada hora y que al inicio estaban presentes 400 bacterias, El número de bacterias N ( t ) presentes después

de t horas está dado por la expresión N ( t )=400×e0,05 t¿De cuánto tiempo se dispone antes de cambiar el tratamiento?

31. Un estudio sobre prevención de enfermedades broncopulmonares, sugiere que el nivel medio diario de monóxido de carbono en el aire será c (p )=0,5 p+1 partes por millón cuando la población sea p miles. Se estima que dentro de t años la población de la comunidad será p (t )=10+0,1 t2 miles. Exprese el nivel de monóxido de carbono en el aire como función del tiempo.

32. En una población de 5 mil personas se está transmitiendo una infección estomacal por

bacterias. Sea p (t )=5000 tt+100

el número de personas infectadas “t” días después del

comienzo de la epidemia. Los estudios indican que la tasa con la cual se propaga la

epidemia es r (q )=q (5000−q )10.000

donde q es el número de personas.

D. Hallar r ° p e interprete el resultado en el contexto del problema.E. Cuántas personas estarán infectadas después de una semana?F. ¿Cuál es la tasa de propagación después de una semana?

33. En un cierto lago, el pez róbalo se alimenta del pez pequeño gobio, y el gobio se alimenta de plankton. Supongamos que el tamaño de la población del róbalo es una función f(n) del número n de gobios presentes en el lago, y el número de de gobios es una función g(x) de la cantidad x de plankton en el lago. Exprese el tamaño de la población del róbalo como

una función de la cantidad de plankton, si f (n )=50+√ n150

y g ( x )=4 x+3

34. Un charco circular de agua se está evaporando y disminuye lentamente su tamaño.

Después de t minutos, el radio del charco mide r ( t )= 182t+3

pulgadas; en otras palabras, el

65

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radio es una función del tiempo. El área A del charco está dado por A (r )=π ×r2, es decir, el área es una función del radio r.

G. Expresar el área como una función del tiempoH. ¿Cuál es el área del charco después de 10 minutos?

35. Los defensores del medio ambiente han estimado que el nivel promedio de monóxido de carbono en el aire es M (m )=1+0,6m partes por millón cuando el número de personas es

m-miles. Si la población en miles en el momento “t” es P (t )=400+30 t+0,5 t 2

I. Expresa el nivel de monóxido de carbono en el aire como una función del tiempo J. Calcula el nivel de monóxido de carbono para t = 5.

36. Se conoce que la población de ranas R calculada en miles en una determinada región depende de la población de insectos m en millones. La población de insectos I a su vez varía con la cantidad de lluvia c dada en centímetros. Si la población de ranas es

R (m )=65+√m8 y la población de insectos es I ( c )=43c+7,5

K. Expresa la población de ranas como una función de la lluvia L. Estima la población de ranas cuando la lluvia es de 1.5 centímetros.

37. En la escala de Richter, la magnitud M de un terremoto de Intensidad I está dada por:

M (I )=ln(I )

ln (10)M. Encuentre la intensidad I del terremoto de San Francisco de 1906, que midió

M=8,3en la escala de Richter.N. Encuentre la intensidad I del terremoto de Cobquecura en Chile del año 2010

cuya magnitud fue de M=8,8 en la escala de Richter.38. La función F(x) definida por

F (x)= 12500

20+1000 ∙ (1,05)x

Determina las ventas totales, en millones de pesos, x semanas después, de un nuevo tipo de computador.

A. ¿Después de cuántas semanas aproximadamente se vendieron 1,5 millones de pesos?.

B. ¿En qué semana se vendieron $5.000.000?39. Si x representa el número de horas estacionadas, entonces el pago F ( x ) del

estacionamiento está dada por la fórmula F ( x )=400+600 ∙(x−1), cierta persona pago en estacionamiento $4.000 ¿cuántas horas permaneció estacionada?

40. En una industria de vehículos híbridos (Eléctrico y Gasolina) motorizados se estudia que

para velocidades mayores a 20kmh

y menores a 180kmh

, el rendimiento R (en kml

) está

relacionado con la velocidad v mediante la funciónR (v )=0,003 ∙ v ∙(200−v)

66

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¿Con qué velocidad se obtiene un rendimiento de 30kml

?

41. El precio p de cierto software computacional esta dado por la relación con las unidades producidas, según el modelo : p (q )=250q−q2, El ingreso I por las ventas se encuentra definido por el precio según el modelo : I ( p )=2∙ p

O. Si el precio del software computacional es de CLP$ 10.000, entonces ¿cuántas unidades producidas se lograron para definir este precio?

P. El ingreso en cierto nivel de ventas fue de CLP$30000 ¿cuántas unidades producidas y qué precio se definió?

42. El número M de casas reconstruidas por año en cierta localidad de Japón, depende de la tasa i de reajuste hipotecario según el modelo:

M (i)= 1200

100+i2

Donde M está en miles de casas. La tasa i de reajuste actualmente está en 8% y se predice que disminuirá a 4% en los cuatro siguientes años según el modelo matemático:

i (t )=8− 6 tt+24

Considerando t como el tiempo en meses transcurridos.

Q. Escribir el modelo matemático que expresa el número de viviendas M en términos del tiempo t . ( M° i¿

R. Calcular el número de viviendas después de 12 meses.S. Si el número de casas reconstruidas después de ciertos meses a cierta tasa de

reajuste fue de 40. ¿Qué tasa se aplicó? ¿Cuántos meses transcurrieron?43. Los defensores del medio ambiente han estimado que el nivel promedio de monóxido de

carbono en el aire es M (n )=1+0.6 n partes por millón cuando el número de personas es n miles. Si la población en miles en el tiempo t es P ( t )=400+30 t+0.5 t 2

T. Exprese el nivel de monóxido de carbono en el aire como una función del tiempo.U. Calcule el nivel de monóxido de carbono en t = 5.

44. Un grupo de amigos realiza una excursión a cierto parque nacional. La siguiente función D(t ) representada gráficamente el tiempo de desplazamiento desde el lugar donde acamparon y la distancia recorrida.

67

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V. Señala que tiempo transcurrió en llegar a 2 Km, del lugar donde acamparon.W. ¿Cuánto tiempo se mantuvo descansando el Grupo?

Respuestas

Unidad: resolución de problemas en los números reales.Aprendizaje esperado: Obtiene información numérica de gráficos y tablas relativas a situaciones de la especialidad.

1 A. A Punta Arenas volaron 1.320 pasajeros.

B. A Arica volaron 1.250 pasajeros.

C. Sí, hubo más vuelos a Temuco que a Antofagasta, la diferencia fue de 5 vuelos.

D. Al sur de Santiago volaron 3025 pasajeros.

E. Es más visitado la zona norte de nuestro país, con 3335 pasajeros.

F. Van 330 personas más a la zona norte que a la zona sur de nuestro país.

G. Volaron 1.070 pasajeros más a Temuco que a La Serena.

H. Sí, dos vuelos más.

I. Ese día volaron en total 6.380 pasajeros.

J.

i. En 90 minutos más, es decir, a las 9:30 am.

ii. Saldrán juntos 7 veces más, antes de las 6 de la tarde.

2 A. Fueron vendidos 5.143 vehículos Chevrolet Optra.

B. Se vendieron 55.336 vehículos.

C. Se vendieron 30.789 vehículos marca Chevrolet.

D. Con la información que nos da la tabla no podemos decir cuál es el vehículo más

68

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vendido en Suecia.

E. Fueron vendidos 24.547 vehículos de distinta marca de Chevrolet.

3 A. La venta anual de ampolletas en un supermercado.

B. El año 2005 fueron vendidas 400.000 ampolletas.

C. Se podría deducir que habría un incremento en la venta de ampolletas con respecto al año anterior.

4 A. El año 2005 habrían 2.000 personas.

B. El aumento entre esos años fue de 2.000 personas.

C. Aproximadamente habrán 5.300 personas.

5 A. El gráfico no nos entrega esa información.

B. No se desplazaron durante 7 horas.

C. Habían recorrido 3 Km.

D. El gráfico no nos entrega esa información.

E. 1 hora

F. Revisar eje, información entregada, origen y preguntas asociadas.

6 A. 6°C

B. El día jueves.

C. Sábado.

7 A. A los 0,4 km. Y 1,4 km.

B. Aproximadamente a 160 Km/h

C. Una posibilidad es que en las curvas se disminuye la velocidad por lo general.

OBS: el objetivo con este gráfico es que los alumnos se den cuenta de algunos errores como, por ejemplo, la graduación del eje X. Los alumnos deben enfrentarse a estas situaciones.

8 A. Han sido reconstruidas 22 viviendas.

B. En total han sido reconstruidas 138 viviendas en esta etapa.

69

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C. En la comuna de Puerto Saavedra

D. En la región del Maule han sido reconstruidas 28 viviendas.

E. En la región de la Araucanía se han reconstruido la mayor cantidad de viviendas.

F. En promedio se han reconstruido 15,33… viviendas por comuna.

G. En promedio se han reconstruido 27,6 viviendas por región.

9 A. El IPCA debe estar entre 201 (incluyendo este valor) y 301 (no incluyendo este valor).

B. La calidad del aire es regular.

C. La calidad del aire es crítico.

D. Se debería declarar un episodio de emergencia.

E. Entre 301 (incluyendo este valor) y 501 (no incluyendo este valor).

10 A.

B.

i. Los signos visibles más frecuentes en los estudiantes son la dieta severa, el uso de laxantes y el uso de ropa holgada.

ii. Por la dieta severa.

C. La diferencia es de 1 persona.

D.

i.90 estudiantes.

ii. 150 estudiantes.

iii. 270 estudiantes.

E.

70

Signo Visible Número de Alumnos

Dieta Severa 9Miedo a Engordar 3

Hiperactividad 4Uso de Laxantes 5

Uso de Ropa Holgada 6Total 27

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Informática


i. 12

ii. 9

iii. Sí, disminuye de 26 a 19.

71

Guía grupal MATE21

Informática


Aprendizaje esperado: Resuelve situaciones problemáticas cotidianas y contextualizadas a la especialidad en el entorno numérico de los números racionales, con pensamiento crítico y comunicando sus resultados de manera efectiva.

1 Por un lápiz y por un cuaderno se paga $2.700.

2 El valor por dos poleras y un pantalón es de $37.910.

3 Los dos pares de zapatos cuestan$ 81.780.

4 En la cuenta de ahorros le queda un saldo de $1.717.500.

5 El vuelto es de $3.950

6 El valor de la entrada para cada niño es de $5.000

7 La altura del avión es de 2.800 metros de altura.

8 Hipatia nace el año 370, mientras que Arquímides nace el año 287 a.C.

9 El buzo está a 69 metros bajo el nivel del mar.

10 133,33… gramos por día.

11 Fernanda obtuvo como ganancia $308.000 esa semana.

12 La empresa obtuvo una ganancia de $8.469.800.

13 Le favorecía el primer tipo de cambio ya que le daban más rads sudafricanos por la misma cantidad de dólares de Singapur.

14 Gastó $6.000 en taxi todo el día.

15 Se volverán a encontrar en 24 días más, el día 26 de mayo.

16 En 60 minutos más. Coincidirán 9 veces durante un día hasta las 18:30, considerando que las luces empiezan a prenderse a las 9 am.

17 Volverán a coincidir a las 14:45.

18 Demorará 16 días en marcar la hora exacta.

19 El mayor recibirá 30ha, el segundo 40 ha, el tercero 24ha y el menor recibirá 26ha.

20 La pensión que recibe el hijo es $52.500 por sobre el promedio nacional.

21 A. 1/20

72

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Informática


B. 67/120

22 A. 675 alumnos.

B. 31/60

23 La temperatura de la máquina será de -8°C.

24 El total de la cuenta fue de $24.000.

25 Hay 6 mujeres.

26 Tengo 14 cajas.

27 El número 291 lo dice Esteban.

28 Quedó sin dañar 1/5 del disco duro.

Razonamiento matemático:

1. Se le olvidó la prioridad de operaciones.2. Porque todo número entero puede ser expresado como racional de la forma de una

fracción, mientras que al revés no ocurre.3. 1,4 puede ser expresado como fracción mientras que el otro número no.

Aprendizaje esperado: Resuelve problemas que involucren potencias y raíces reales mediante propiedades y operatorias elementales, comunicando sus resultados de manera efectiva.

1 A. El perímetro es de 100 metros

B. El valor de la hipotenusa es de 35,355 metros.

2 A.

Días Computadores contaminados

inicio 580.000

1 290.000

2 145.000

3 72.500

n 580.000/2n

73

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Informática


B. 36.250 computadores contaminados habrán el cuarto día.

C. En ni un día habrán exactos mil computadores contaminados, pero cercano a esa cifra será el día 9.

D. Han sido limpiados 561. 875 computadores.

3 30+31+32+33+34+35+36+37+38+39+310+311+312+313+314+315

4 Demora 50 segundos.

5 El jueves.

Días Insectos

Domingo 6561

Lunes 2187

Martes 729

Miércoles 243

Jueves 81

6 228 virus.

7 Son siempre los mismos tres lenguajes diferentes 31.

8 0,00000000028 metros.

9 Si es un número de cuatro cifras la posibilidad de números es de 6.561, mientras que con la segunda condición la cantidad de números que pueden formar es de 625 números.

10 25Km o sea 32 Kilómetros.

Razonamiento Matemático

1. El error es incorporar el signo al número que está siendo elevado. Uso del paréntesis

−26≠(−2 )6.

2. n impar, n par3. Es un número irracional ya que la multiplicación de un natural por un irracional da como

resultado siempre un irracional.

74

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Informática


75

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Informática


Unidad: Variaciones proporcionalesAprendizaje esperado: Resuelve problemas que involucren razones y parte proporcional, estructurando su estrategia de resolución y comunicando sus resultados de manera efectiva.

1 Por cada litro recorre 13,5 Km.

2 A. Las razones son en el 5toA 24/36= 0,66… que significa que de 36 alumnos que tiene el curso 24 son hombres, la razón en el 5toB 21/35= 0,6 que significa que de 35 alumnos que tiene el curso 21 son hombres, la razón en el 6toA 16/32=0,5 que significa que de 32 alumnos que tiene el curso 16 son hombres, la razón en el 6toB 15/40= 0,375 que significa que de 40 alumnos que tiene el curso 15 son hombres.

B. Las razones son en el 5toA 12/36=0,33… que significa que de 36 alumnos que tiene el curso 12 son mujeres, la razón en el 5toB 14/35=0,4 que significa que de 35 alumnos que tiene el curso 14 son mujeres, la razón en el 6toA 16/32=0,5 que significa que de 32 alumnos que tiene el curso 16 son hombres, la razón en el 6toB 25/40=0,625 que significa que de 40 alumnos que tiene el curso 25 son mujeres.

En el 5toA y 5toB hay más hombres que mujeres, en el 6toA tienen la misma cantidad de hombres que de mujeres, y por último en el 6toB hay mayor número de mujeres que de hombres.

C. 76/67= 1.134… este número significa que hay más cantidad de hombres que de mujeres porque es mayor que la unidad y que cada una mujer hay 1,134… hombres.

3 A. 12/30

B. 10/2

C. 15/20

D. 12/60

E. 5/25

4 En la comuna de Independencia hay 154.604 celulares.

5 24 años.

6 Marcos tiene 3.437 estampillas.

7 6/24.

8Harina:

11

3 kilos

76

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Informática


Zapallo cocido o calabaza: 1

13 taza

Manteca derretida: 1/6Sal: al gusto

Aceite para freír: 1

13 taza

Salsa de chancaca: al gusto

Chancaca: 1

13 paquete

Canela: 1

13 ramita

Cáscara de naranja: 1

13 cucharada

agua: 4 tazas

Aprendizaje esperado: Resuelve problemas mediante variaciones proporcionales, estructurando su estrategia de resolución y comunicando los resultados de manera efectiva.

1 A. Chevrolet.

B. 80 Km.

C. 200 Km.

D. Kia.

2 Tardará 19,20072 minutos.

3 Falta información

4 8 horas.

5 El precio del computador sin descuento es de $270.000.

6 Originalmente habían 4 mujeres, ahora hay 6 mujeres en la sala de clases.

7 Necesitará 100 tablas de 3 cm.

8 84 días.

9 Si trabajan al mismo ritmo tardarán 30 horas.

10 Si voy a 60Km/h tardaré 16 horas, mientras que si voy a 100Km/h tardaré 9,6 horas.

11 Deberá pagar $26.250.

77

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Informática


12 Marcela.

13 $192.000.

14 Demorará 39 minutos.

15 Necesito 13 tarros de pintura.

16 Siete horas y media.

17 54 días.

18 La sombra del árbol es de 2,29m aproximadamente.

19 5,4 botellas.

Aprendizaje esperado: Interpreta la relación de proporcionalidad mediante gráficos que muestren el grado de dependencia de entre dos variables.

20 A. El 2010

B. El año 2010, ya que exportó a un mayor precio.

C. Comienza pagando cuotas mensuales de $67.500 y termina pagando el año 2010 cuotas mensuales de $ 57.500.

21 A.

Número de Personas

Días Utilizados

10 6012 5015 4020 3030 20

B. Proporcionalidad Inversa.

C. 100 trabajadores.

22

Nº de DVD Precio en $

1 200

78

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Informática


2 400

3 600

4 800

5 1.000

6 1.200

7 1.400

8 1.600

9 1.800

10 2.000

A. Proporcionalidad Directa.

B. 200.

C. 2.400 pesos

23 A 240Km de distancia.

Aprendizaje esperado: Resuelve problemas de situaciones cotidianas relacionadas con la economía, el mercado y la especialidad, mediante la estrategia de cálculo de porcentaje estructurando sus estrategias de resolución y comunicando los resultados de manera efectiva.

1 60

2 $275.000

3 $276.000

4 El total del equipo es de 30 personas.

5 $777

6 $1.200

7 $14.400.

8 El sueldo de Diego es de $340.000 y el de Daniela es de $723.400

9 $27.500.

10 $392.000

79

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Informática


11 A. Cada hijo recibe $3.200.000

B. La esposa recibe 16 millones.

12 20%

13 75%

14 9,375GB

15 A. 8.480.320 personas

B. Aproximadamente 5.774.479 personas

C. Aumenta en 755.822 personas.

D. Activadas y no enviadas al INP= 6.363.474,8 personas

Interrumpido y reingresado al sistema = 0

No activados = 499.749,33

Interrumpido = 449.774,39

Pagados en INP = 9.345.312,4

E.

16 25%

17 A. 50%

B. 10%

C.

De Acuerdo 25En Desacuerdo 20No Sabe 5Total 50

18 A. 40%

B. Tiene 50 alumnos

19 A. 68%

B. 24%

80

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Informática


C. En contra 24% y a favor 76%

20 A.17,5%

B.17,5%

C. Pop y romantic 35 personas cada uno, rock 70 personas y el hip-hop 60 personas.

21 A. En micro son 6 personas, en auto 3 y a pie 1.

B. En micro son 12 personas, en auto 6 y a pie 2.

C. En micro son 30 personas, en auto 15 y a pie 5.

22

23

81

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Informática


24

25 A. 37,5%

B. 33,33…%

C. 66,666…%

D. 52%

26 A. 40%

B. 4%

C. 1 persona

D. 92%

E. 8%

F.

G.

H. No

27 A. Sí.

B. No en el año 1930 aproximadamente sí hubo un aumento..

C. Sí.

D. No.

E. Sí

F.

82

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Informática


i. 37%

ii.41%

iii. 36%

iv. 35%

v.30%

vi. 28%

G.

i.30%

ii.30%

iii.25%

iv. 16%

v. 10%

vi. 7%

H.

i. 1970.

ii. 1995.

iii. 1975.

I.

i.1917 y1929.

ii. 1935 hasta 1944.

J. Nacieron 1.227.000personas aproximadamente y murieron 1.000.000 personas aproximadamente.

K.

28 A. Les conviene la última propuesta.

B. Si la idea es disminuir la brecha conviene el segundo arreglo.

83

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Informática


29 Debo quitar 50 computadores.

30 A. 30.970

B. $164.875

C. El valor a pagar es de $409.836, el IVA que debe pagar es de $65.436.

31 El total de alumnos son 450.

32 A. El precio final es de $205.200

B. En un 28% de rebaja.

33 33,3%

34 La respuesta correcta es la tercera semana bajó en un 0,16%

Unidad: Desarrollo AlgebraicoAprendizaje esperado: Resuelve operatoria con símbolos algebraicos expresados en fórmulas y situaciones de la especialidad.

1 x+4

2 x+12

3 x-7

4 5-x

5 75-x

6 50x

7 x/3

8 2x

9 x+1

10 x+2

11 x2

12 x+y

84

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Informática


13 x-x2

14 x/2 -4

15 x+5=8

16 3m=320

17 x<y

18 x=3y

19 2x¿ y+1

20 x2=46

21 5x=57

22 2h= p-7

23 n+20

24 n-3

25 t=(m+3)/2

26 y=65-x

27 x=8 y

28 Tres manzanas cuestan $1.650.

29 Tres plumones más dos lápices cuestan $1.000.

30 La edad de Juan aumentada en 250 años es igual a cinco veces su edad menos 70.

31 Saqué del banco cierta cantidad de dinero y me quedé con $1.200. Si en un comienzo tenía $1.800 cuánto saqué del banco.

32 La mitad de los limones más un cuarto de las manzanas da un total de 990 limones y manzanas.

33 15

34 179

35 -58

36 4,5 a

85

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Informática


37 6x + (14/3)y

38 4m+5m2

39 2q2-p2-7q-4p

40 5x2-5x2 y-4xy2.

41 2x + x2.

42 m+n+4mn2-2m2n3.

43 2x-42y

44 -2x-2y

45 Nº bolitas blancas Nº bolitas azules Total bolitas

Inicio b a a + b

1º b-5 a-3 a+b-98

2º 4(b-5) 2(a-3) 2a+4b-26

3º 4(b-5)+1 2(a-3)-1 2a+4b-26

46 Nº bolitas blancas Nº bolitas azules Total bolitas

Inicio 5 8 13

1º 0 5 5

2º 0 10 10

3º 1 9 10

47V=9

2π u3

48 2

49 10b+a-1

50 x-y+10

51 n-3

86

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Informática


52 3x-1

Aprendizaje esperado: Desarrolla operatoria algebraica de una expresión propuesta, utilizado estrategias de simplificación y reducción.

1 1

2 27/(p-q)

3 1

4 1/a

5 (2 a2 +3 a-5)/( 2 a2 -5 a -9)

6 ½

7 -4

8 (-b+18)/(6(b-3))

Aprendizaje esperado: Resuelve problemas que involucren el planteamiento y resolución de ecuaciones y sistemas de ecuaciones mediante la utilización de procedimientos algebraicos y representación gráfica.

1 Se necesita saber cuánto vale el kilo de manzana o de pera.

2 Se necesita saber la edad de Pedro.

3 Se necesita saber el total de días que estuvo en la playa.

4 Falta la cantidad de jardineras que tiene.

5

La incógnita es una nota y la ecuación es

4 .5+3 .8+5 .0+x4

=4 .0

6 Las incógnitas son la cantidad de botellas de gaseosa y de jugo, el problema se representa: 600x+400(80-x)=39200

7

La incógnita es la cantidad de computadores y la ecuación es

54=42

x

87

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Informática


8 Representa el dinero gastado en durazno por semana.

9 Representa el perímetro del triángulo

10 Representa la edad del hermano mayor

11 -1

12 26

13 40

14 -22,5

15 28/27

16 20

17 En cinco años más la persona tendrá 17 años.

18 El bidón vacío pesa 1Kg.

19 Incógnitas: Ahorros obtenidos por la hermana mayor(x) y ahorros obtenidos por la hermana menor (y)

Datos: Entre las dos reunieron $75.000 y El ahorro de la hermana mayor es el cuádruple del de la menor.

Ecuaciones.

x+y=75.000

x=4y

Solución: x=60.000 e y=15.000

La solución encontrada es factible y se cumplen las condiciones establecidas.

Resultado: La hermana mayor ahorró$60.000 y la hermana menor ahorró $15.000.

20 Incógnita: Valor del número (x)

Datos: el doble de la suma entre el número y su antecesor es igual a cuatro veces el número aumentado en seis

Ecuación: 2(x+x-1)=4(x+6)

88

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Informática


Solución: No existe.

Respuesta: No existe un número entero que cumpla con los requerimientos planteados.

21 Incógnitas: Edades del hermano mayor (x), hermano del medio (y) y hermano del medio (z)

Datos: El hermano mayor tiene el doble de edad que el menor, el menor tiene cuatro años menos que el del medio y la suma de todas las edades es treinta.

Ecuaciones. X=2z

z=y-4

x+y+z=30

Solución: x=13, y=10,5, z=6,5

El resultado es factible y cumple con las características planteadas.

El hermano mayor tiene 13 años, el del medio 10años y medio y el menor tiene 6 años y medio.

22 Incógnita: Edades del padre(x) y del hijo (y)

Datos: Las edades suman 20 años y el padre tiene 3 veces la edad del hijo.

Ecuaciones: x+y=20

x=3y

Solución: x=15, y=5

De a cuerdo al resultado obtenido el hijo tendría que haber nacido cuando el padre tenía 10 años (es decir fue concebido cuando el padre tenía poco más de 9 años). El resultado es sumamente improbable si hablamos de personas, pero sí sería factible si hablamos de animales o si el tiempo no estuviera medido en años terrestres.

23 El objetivo es que los alumnos planteen una ecuación que tenga resultado, pero inserta dentro de un contexto no tiene sentido.

24 La pregunta debería ser cuántas hectáreas están disponibles para las acelgas.

La respuesta es 25 hectáreas.

25 Debería decir la cantidad de dinero que le quedó a Coca y que Clue se gastó la mitad del dinero, supongamos que a Coca le quedó $3.000, entonces:

89

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Informática


Cada una tenía en un comienzo $12.000

26 1

27 2

28 1

29 -2

30 -5/11

31 3

32 3

33 a-b

34 a2/3

35 0

36 1

37 ½

38 x=3; y=4

39 No tiene solución

40 x=8; y=2

41 x= 18/17; y=-22/17

42 x=15; y=12

43 x=83/12; y=3/2

90

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Informática


44

45

46

91

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Informática


47 176 personas toman parte de la excursión.

48 A tiene 8 años

B tine 40 años

C tiene 4 años

49 Debe invertirlo al 2,7%

50 Dentro de 5 años Fernando tendrá 15 años.

51 El puntaje de Juan es 55 puntos, el de Esteban es 42 puntos.

52 Uno de los hermanos tenía $5.000 y el otro tenía $4.800

Aprendizaje esperado: resuelve problemas que involucren el planteamiento y resolución de inecuaciones y sistemas de inecuaciones en forma algebraica y representando la solución gráficamente.

53 x≥−3

54 y≥−6

92

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55x≤20

3

56 y>0

93

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57 x<-5/2

58 y≤−4

94

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59y¿ 2

60 x¿ 3

61x¿ 12

62 -1<x

63 Vacío. No hay solución.

95

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64 x¿ -1

65 y¿ 5

96

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66 x<-6 ¿ x¿ -1. No hay solución.

97

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98

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Unidad: Funciones realesAprendizaje esperado: Representa un modelo funcional a través del planteamiento de un enunciado verbal en el ámbito del lenguaje de la especialidad, en forma analítica y gráfica, señalando las características de las variables en estudio.

1 A. Sí

B. Sí

C. No

D. Sí

E. No

F. No

2 A. D= Reales; R=Reales.

B. D= [7, ∞[; R=[0, ∞[

99

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C. D=[-∞,-3[]-3,∞[; R=[-∞,0[]0,∞[

3 A. 60Km/h

B. Aprox 90Km/h

C. Aprox 60 Km/h

4 A. Monto del subsidio y Valor de la vivienda.

B. El monto del subsidio depende del valor de la vivienda.

C.

i.400UF.

100

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ii. 1.000UF.

iii.200 UF.

iv. Entre 1.400 y 1.999 UF,

v. No recibirá subsidio.

vi. 500 UF.

D.

5 A. Aprox $42.000.

B. Aprox. 14.500.

C. Entre los 13.000 y 14.000 puntos.

D. 22.000.

Aprendizaje esperado: Resuelve problemas de enunciado en el ámbito de la economía y negocio modelados por la función afín y cuadrática.

6. A. Función Afín.

B. $700

C. $100

7. A.

101

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B.

i. $600

ii. $ 3.600

iii. $6.000

C.$30.000

D.f(x)=600x

E. 3,333… Kg.

8. A.$90

B. 18 x 50, 18 x 100 y 18 x 120.

C. f(x)=18x

D.

0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.50

20

40

60

80

N° de Fotocopias

Cos

to ($

)

E. Gráfico lineal.

9. A.

Primer Taxista f(x)= 200+ 100( x/200)

Segundo Taxista g(x)= 120(x/200)

B. Me conviene el segundo taxista.

C. A los 2.000 metros.

10. A. f(x)=750x

B. $17.250.

102

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C. 38Kw/h

11. A.

X ( Gramos) C(X) ( Costo en $)

10 25020 45030 65040 850…..X 50+200(x/10)

B.$1.550.

C. 17,5 gramos.

12. A. C(x)= 2+0,5x

B. I(x)= x

C. G(x)= I(x)- C(x) = 0,5x-2

D. Con 4 unidades.

E. La ganancia es 3 UF

F. La ganancia es 1 UF

13. A.80 dólares

B. 0,318 unidades.

103

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14.

15. A.

t (meses) V(t) t (meses) C(t)1 36,67 1 43,332 43,33 2 46,673 50,00 3 50,004 56,67 4 53,335 63,33 5 56,676 70,00 6 60,007 76,67 7 63,338 83,33 8 66,679 90,00 9 70,00

10 96,67 10 73,33

B. En t=2 los costos (46,67) son mayores a las ventas (43,33)

C. Pérdidas por 3,33 millones de pesos

D. Si cambia, hay ganancias por 16,67 millones de pesos

E. Hay pérdidas acumuladas por 10 millones

F. Tengo utilidades que corresponden a 2 3,33 millones

G. A partir del cuarto mesH. Aproximadamente al sexto mesI. La utilidad acumulada es de 293,33 millones

104

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Informática


J.

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18-20.00

0.00

20.00

40.00

60.00

80.00

100.00

120.00

140.00

160.00

V(t)C(t)U(t)

K. Venta es igual al costo por lo tanto la utilidad es cero

16. A. 407,5 UF

B. 340 UF

C. 450 UF

D. 100 UF

E. 300 UF

F.100 UF

G. 100 UF

17. A. 27.100

B. Mayores a 50.000.

C.$48.370

D.

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E.

18. A. $265

B. 1

C. Aprox. 22

19. A. 500 unidades.

B. $250.000

Aprendizaje esperado: Resuelve situaciones problemática cuyos modelos corresponden a funciones exponenciales y logarítmicas, a través de la aplicación de métodos algebraicos, numéricos y/o gráficos.

20. A. 150 UF

B. 234.35 UF

C.12% anual

D. Al cabo de 6,11 años.

21. A. 5 semanas.

B. 56,25%

C.

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0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

5

10

15

20

25

Porcentaje de avance

Sem

anas

22. El costo de la máquina es $70,52

23. 18,32 millones de habitantes.

24. A. $15,41

B. El costo extra es de $2,81

25. Es la misma que la pregunta anterior cambian los años

26. 3 semanas

Aprendizaje esperado: Analiza situaciones problemáticas contextualizadas a la especialidad, basándose en el concepto de función inversa y compuesta.

27.A. t=tan−1( x

300 )B. 25, 6° - 45° - 64,4°

C.

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28.t (300.000 )=100× ln(300.000

200.000 )=40,55años .En el año2041

t ( 400.000 )=100× ln( 400.000200.000 )=69,31añ os . Enel añ o2070

t (500.000 )=100× ln(500.000200.000 )=91,63 años . En el año2092

29.t= 100×400

5000−400=40000

4600=8,69

Esto nos indica que para tener 400 personas infectadas deben transcurrir cerca de 9 semanas.

30. Se disponen de aproximadamente 64 horas para comenzar con el primer tratamiento.

31. c ( p ( t ) )=c (10+0,1t 2 )=6+0,05 t 2

Expresa el nivel de monóxido de carbono en el aire como una función de la variable t.32. Solución.

A. (r ° p ) ( t )=r ( p (t ) )=r ( 5000 tt+100 )=250.000 t

(t+100 )2

Expresa la tasa con la cual se propaga la epidemia en función del número de días después del comienzo de la epidemia

B. p (7 )=35.000107

=327,10 Aproximadamente 327 personas

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C. (r ° p ) (7 )=250.000×7

(7+100 )2=152,85 %

33.f (g ( x ) )=f (4 x+3 )=50+√ 4 x+3

150

34.

A. A (r ( t ) )=A( 182 t+3 )=π ×( 18

2t+3 )2

B. A=π ×( 182×10+3 )

2

=π ×( 1823 )

2

=1,924 pulgadas cuadradas

35. A. M (P (t ) )=M ( 400+30 t+0,5 t 2 ) ¿1+0,6 ( 400+30 t+0,5t 2 ) ¿241+18 t+0,3t 2

B. M (P (5 ) )=241+18×5+0,3×52=338,5 partes por mill òn36.

A. R ( I ( c ) )=R (43c+7.5 )=65+√ 43c+7,58

B. R ( I (1,5 ) )=65+√ 43×1,5+7,58

=68

Cuando la lluvia es de 1.5 centímetros la población de ranas es aproximadamente de68000 ranas

37. A. Debemos calcular el valor de I sabiendo que M (I )=8,3, entonces el procedimiento apropiado es

8,3=ln (I )

ln (10) entonces despejando nos queda 8,3 ∙ ln (10)=ln (I ) despejando

finalmente ;

I=e8,3 ∙ ln (10)=199.526 .231,5

B. Procedimiento similar al anterior : 8,8=ln (I )

ln (10), de donde se despeja I , obteniendo

I=e8,8 ∙ ln (10)=630.957 .344,5

38 A. Aproximadamente en la semana 43 se obtiene las ventas de 1,5 millones.

B. En aproximadamente 19 semanas se obtienen ventas de 5 millones

39. Se desea saber el valor de x, conociendo F(x)=4000= 400+600(x-1), despejando x en la

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igualdad es x=7.

40.

41.

42.

43.

44.

110

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