SEMANA 2

• 1. Nociones fundamentales

– Liquido perfecto

– Flujo permanente. Régimen uniforme y no uniforme.

– Flujo irrotacional.

– Trayectoria. Línea de corriente. Filete líquido. Teoría sobre el flujo de los líquidos. Ecuación de la continuidad.

– Fuerzas ejercidas sobre un líquido en flujo permanente. Energía cedida. Salto hidráulico. Altura de elevación. Teorema de Bernoulli. Pérdida de carga.

NOCIONES FUNDAMENTALES

LIQUIDO PERFECTO

• Para el estudio teórico de las maquinas hidráulicas el líquidoque fluye a través de los distintos dispositivos que locomponen se considera como “líquido perfecto”.

• Se considera “líquido perfecto”, o “fluido ideal” al líquidoincompresible, perfectamente móvil, aquel que entre susmoléculas no existen fuerza de rozamiento tangenciales y porende sin viscosidad.

• Al no existir fuerzas de rozamiento, las fuerza exteriores sonequilibradas por fuerzas de inercia, en consecuencia en unpunto del seno del fluido las fuerza exteriores son transmitidascon la misma intensidad en todas las direcciones, propiedadesta conocida como isotropía

FLUJO PERMANENTE

• Se dice que un líquido fluye en “régimen permanente” ocon “flujo permanente” cuando en un punto fijo dentro delfluido, las magnitudes características de la partícula defluido, como su peso específico o densidad, temperatura,etc. y sus condiciones de flujo (velocidad, aceleración,presión) permanecen inalterables o constantes en todoinstante de tiempo.

FLUJO EN REGIMEN UNIFORME• Cuando una partícula de fluido recorre una trayectoria

dentro de un fluido en movimiento de tal forma que suvelocidad sea igual en todos los puntos de la trayectoria, sedice entonces que el flujo del fluido es en régimenuniforme.

• Sin embargo la velocidad en todos los puntos de unamisma sección trasversal normal al flujo no sonnecesariamente iguales.

FLUJO EN REGIMEN NO UNIFORME O VARIADO

• Un flujo es de régimen no uniforme o variado cuando lavelocidad de la partícula en puntos homólogos desecciones trasversales normales distintas son diferentes

FLUJO IRROTACIONAL

• Cuando consideramos el flujo de un fluido ideal, sesupone que no existen fuerzas de rozamientotangenciales entre partículas, por tanto no apareceránpares de fuerzas que tenderán a rotar la partícula defluido en torno a su centro de masa, este tipo de flujode traslación ideal es denominado flujo irrotacional oflujo potencial

TRAYECTORIA LIQUIDA

• El lugar geométrico de las posiciones sucesivas ocupadasdurante el flujo por una misma partícula de fluido esdenominado trayectoria liquida

• Cuando el flujo es permanente, la trayectoria es inmutable,lo que significa que las trayectorias de todas las partículasque pasan por un mismo punto será la misma, ya que todaslas partículas llegan al punto con la misma intensidad ydirección de velocidad, por tanto pasaran necesariamentepor el mismo punto infinitamente próximo.

• Con un fluido en flujo permanente no existe la posibilidadde intercepción de dos trayectorias ya que esto implicaríaque en un punto la partícula tendría dos velocidades.

• Cuando el flujo es no permanente o variado, por unmismo punto pasan varias trayectorias, solo que eninstantes de tiempo diferentes.

LINEAS DE CORRIENTE

• Si en un instante dado dentro de un fluido en movimiento,trazamos todos los vectores de velocidad de las distintaspartículas que componen el fluido tendremos definido elcampo de velocidades del fluido.

• Si trazamos las curvas que tienen en cada punto portangente los vectores de velocidad en dicho puntotendremos un haz de curvas que representan lastrayectorias instantáneas de las partículas del fluido, a lascurvas que componen este haz se denomina líneascorriente

FILETE LÍQUIDO

• En flujo de régimen permanente, las líneas de corriente soninmutables y se confunden con las trayectorias de laspartículas, por tanto no pueden interceptarse.

• Considerando un haz de líneas de corriente que parten dedistintos puntos de una sección trasversal del flujo del fluidoy llegan a puntos de otra sección trasversal del mismo flujo,todas estas serán necesariamente paralelas, por tanto esposible definir un conducto cuyas paredes laterales sonexclusivamente líneas de corriente que parten de unasección trasversal hasta otra sección trasversal.

• Se define como filete liquido al conducto cuyas paredeslaterales están constituidas por líneas de corriente y con unasección ΔS infinitesimal.

• Las partículas que se introducen dentro de un filete líquidopermanecen en ella necesariamente.

TUBO DE CORRIENTE

• Se define como tubo de corriente al conducto cuyasparedes laterales están constituidas por líneas de corrientey con sección S finita y apreciable.

• Las partículas que se introducen dentro de un tubo decorriente permanecen en ella necesariamente.

METODOS DE ESTUDIO DEL FLUJO DE LOS FLUIDOS

El estudio del flujo de los líquidos en general es realizado por los dos métodos clásicos siguientes:

• Método de Euler:

considera un punto fijo en el espacio y expresanen cada instante las magnitudes característicasde la partícula que pasa por ese punto. Utilizadopara el estudio de las turbinas hidráulicas

• Método de Lagrange:

acompaña el movimiento de una partícula a lolargo de su trayectoria y las magnitudescaracterísticas de la partícula en un instante dadoson referidas a un origen determinadoarbitrariamente. Comúnmente utilizado paraestudios mas avanzados de turbomáquinas,especialmente cuando los fluidos soncompresibles

• TEORIA UNIDIMENSIONAL

Cuando las magnitudes características del flujo de unfluido quedan determinadas en función de una solacoordenada de referencia para la posición de lapartícula, se dice que la corriente es unidimensional y lateoría es denominada teoría unidimensional.

TEORIA SOBRE EL FLUJO DE LOS FLUIDOS

• TEORIA BIDIMENSIONAL

Puede no ser aceptable suponerque las magnitudes del flujo delfluido sean todas iguales en unamisma sección trasversal a latrayectoria, sino que esto sea ciertosolo en planos ortogonales a lareferida sección trasversal. Lasmagnitudes características del flujode un fluido deben serdeterminadas entonces comofunción de dos coordenadas dereferencia y la teoría del flujo sedenomina teoría bidimensional.

• TEORIA TRIDIMENSIONAL

Cuando son consideradas lascaracterísticas reales de los fluidos,así como los espesores de los alabesen las turbomáquinas, el vectorvelocidad tiene tres componentesrespecto a sistema referencialespacial y las trayectorias de laspartículas son curvas de doblecurvatura. En consecuencia sonnecesarias tres coordenadas parareferenciar las magnitudes del flujo,constituye la teoría denominadateoría tridimensional.

ECUACION DE LA CONTINUIDAD

• Considerando el flujo de un fluido ideal en régimenpermanente, y aislando un tubo de corriente de éste flujo,resulta:

– que al ser el fluido incompresible, no existe la posibilidadde concentración ni dilución de partículas.

– que al ser el flujo en régimen permanente, tampocoexiste la posibilidad de perderse fluido por las superficieslaterales del tubo de corriente.

• Por tanto:

– la cantidad de partículas de fluido que atraviesa la secciónde entrada S1 del tubo de corriente en el intervalo detiempo dt, es la misma que la cantidad de partículas defluido que atraviesan en el mismo instante de tiempo lasección de salida S2 del tubo de corriente

1

2

dm dt

v A

v B

Siendo

masa del fluido que fluye en el tiempo

peso especifico del fluido

la velocidad media del fluido en la seccion

la velocidad media del fluido en la seccion

Considerando el intervalo de tiempo dt, la masa de fluido que ingresa al tubo de corriente debe ser igual a la masa de fluido que sale del mismo.

1 2

1

2

1 1 1

2 2

Por tanto:

Donde: d es el volumen de la masa en la seccion de entrada

d es el volumen de la masa en la seccion de salida

Pero:

dm dV dVg g

V

V

dV S v dt

dV S

2

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 2 2

Luego:

Siendo: el flujo masico del fluido

el caudal del flujo

Resulta la denominada

v dt

dmdm S v dt S v dt S v S v

g g dt g g

dm

dt

S v S v Sv Q

Ecuacion de la Continuidad

ConstanteQ Svg g

FUERZAS EJERCIDAS POR UN FLUIDO EN FLUJO PERMANENTE

Considerando un tubo de corriente limitado por el propiofluido en movimiento, sean: S0 la sección de entrada o inicialy S1 la sección de salida o final del tubo; p0 y p1 las presionesen las secciones de entrada y salida; μ el flujo másico y v0 la

velocidad media delfluido a la entrada y v

1la

velocidad media a lasalida

En el tubo de corriente, en un instante t la sección S seencuentra en ab y luego de un intervalo dt se encontraría ena’b’ ,definiendo un volumen diferencial de masa del fluido

dP

dF

peso del fluido contenido

en el elemento

resultante de las fuerzas

ejercidas por el fluido

sobre las paredes del tubo

' ' '

k ab

k a b

fuerza de presion sobre la seccion

fuerza de presion sobre la seccion

Admitiendo que todo el fluido dentro del tubo de corriente sehalla divido en elementos diferenciales de volumen, en cadauno de estos elementos de volumen podemos escribir para lasfuerzas actuantes:

'

' '

Para todos los elementos de volumenes

' '

dv dmdP k k dF dm dv

dt dt

dP k k dF dv dF dP k k dv

dF dP k k dv dP k k dv

0 0 1 1´

dF F

dP P

k k p S p S

Por tanto, siendo

resultante de las fuerzas ejercidas

peso del fluido en el tubo de corriente

fuerzas de presion en

0 1

0 0

dv v v

F P p S

la seccion inicial y final

fuerza resultante de la diferencia de velocidades

Resulta para las fuerzas ejercidas por el flujo de un fluido

1 1 0 1p S v v

ECUACIONES DEL MOVIMIENTO DE UN FLUIDO

ECUACIÓN DEL MOVIMIENTO DE EULER

Considerando, dentro del fluidoen movimiento, una porcióncilíndrica diferencial de área debase dS del fluido congeneratrices ds paralelas a lalínea de corriente.

Sobre esta porción de fluido actuarán las siguientes fuerza:

– el peso del fluido:

– la fuerza debido a la diferencia depresión sobre las bases del cilindro:

mg g dsdS

( )p p

pdS p ds dS dsdSs s

Aplicando la ecuación de Newton en la direccióntangencial a la línea de corriente, resulta

cos

siendo que: cos

y la masa:

resulta:

p dvmg dsdS m

s dt

z

s

m dsdS

z p dvg dsdS dsdS g dsdS

s s dt

2

1

1

2

dv z pg

dt s s

v vdv ds dt

s t

dv v ds v v v v vv

dt s dt t s t s t

despejando:

diferenciando la velocidad:

resulta:

finalmente:

21 1

02

v v z pg

s t s s

Para determinar la aceleración en la dirección normal a lalínea de corriente, consideremos la porción cilíndricadiferencial de área de base dS con las generatrices dnparalelas a la normal principal de la línea de corriente

Sobre esta porción de fluido actuarán las siguientesfuerzas:

– el peso del fluido

– la fuerza debido a ladiferencia de presiónsobre las bases delcilindro

mg g dndS

( )p p

pdS p dn dS dndSn n

Aplicando la ecuación de Newton en la dirección normal a la línea de corriente, resulta

2

2

cos

siendo que: cos

y la masa:

resulta:

p vmg dndS m

n r

z

n

m dndS

z p vg dndS dndS g dndS

n n r

2 10

v z pg

r n n

simplificando y ordenando resulta:

2

2

1 10

2

10

z p v vg

s s s t

z p vg

n n r

Por tanto las siguientes expresiones constituyen lasEcuaciones de Euler para el movimiento de un fluido

ENERGIA CEDIDA EN FLUJO PERMANENTE

Consideremos un tubo de corriente en flujo permanentevenciendo ciertas resistencias.

Tomando un elementodiferencial del tubo decorriente, limitado por las

secciones planas ab y a’b’ y

formando un ángulo α con elplano normal al flujo.

Para el elementodiferencial del tubo decorriente consideremos:

:

' ' :

el peso especifico del fluido :

la presion en la seccion

la presion en la seccion

ab p

a b p dp

' ' :

la cota del CG del elemento :

areas iguales en las secciones y

z

ab a b S

cos

( )

,

El elemento de volumen se halla sometido a las fuerzas:

peso del elemento de volumen :

diferencia de las fuerzas de presion :

En el intervalo de tiempo al

dP Sdl

pS p dp S dpS

dt

2

cos

cos

desplazarce el CG

una distancia , las fuerzas realizan los trabajos:

trabajo realizado por el peso :

trabajo realizado por la presion :

Sea a la ener

dl

Sdl dz

dpSdl

d E

gia cedida por unidad de volumen

y de tiempo

2cos cos

dmvdv

dt

dmvdv Sdl dz dpSdl d E

Considerando el Teorema del Trabajo y la Energia, donde: es la

variacion de la energia cinetica del elemento de volumen en el tiempo

Llevando e

2

2

cos cos

cos cos

dm dt

d E dtvdv Sdl dz dpSdl

dl dld E vdv S dz dpS dt

dt dt

n consideracion que:

2 cos cos

cos

Siendo que la velocidad del CG de la seccion es :

el caudal se puede expresar como:

y el flujo masico como:

dl dld E vdv S dz dpS dt

dt dt

dlv

dt

Q Sv

g

2 ( )

Q

d E Qdz dpQ Qvdv dtg

2

2

( )

( )

La energia cedida por el tubo de corriente del fluido en el tiempo será

d E Qdz dpQ Qvdv dtg

dp vdvd E Qdt dz

g

dt

dE

2 2

0 0 1 10 1

2 2

0 0 1 10 1

( ) ( )2 2

( ) ( )2 2

Y en durante un tiempo será en consecuencia:

p v p vQdt z z

g g

t

p v p vE Qt z z

g g

2 2

0 0 1 10 1

2 2

0 0 1 10 1

( ) ( )2 2

( ) ( )2 2

En la realción de la energía cedida:

llamando:

La expresión de la energia cedida será:

p v p vE Qt z z

g g

p v p vH z z

g g

Con la que la expresión de la potencia absorvida será:

E QtH

E

N QHt

Llevando en consideración la expresión de la potencia:

podemos concluir que:

siendo:

N QH

N EH

Q Qt

representa la energía por unidad de peso que el fluido absorve o suministra

durante el flujo del mismo, y es expresada como:

mQt g t g t mg

t

2 2

0 0 1 10 1( ) ( )

2 2

p v p vH z z

g g

ECUACION DE BERNOULLI

Si no existe energía cedida al fluido en movimiento o energíacedida por el fluido en movimiento, entonces podemosescribir:

2 2

0 0 1 10 1

2 2

0 0 1 10 1

( ) ( ) 02 2

2 2

p v p vEH z z

Qt g g

p v p vz z

g g

Expresión de la conocida Ecuación de Bernuolli

ECUACION DE BERNOULLI GENERALIZADA

Considerando la primera de las ecuaciones del movimiento de Euler:

2

2

1 10

2

10

2

z p v vg

s s s t

v vgz p

s t

Integrando respecto a la posición, desde una posición inicial s0hasta una posición final sf ,tenemos

0

0

21.

2

f

f

s

s

s

s

v vgz p ds C

t

Siendo s1 la posición de la sección de entrada a un tubo decorriente y s2 la posición de la sección de salida del tubo decorriente respecto a una posición de referencia s0, resulta

1

0

2

0

22

011 1 0 0

22

022 2 0 0

1 1

2 2

1 1

2 2

s

s

s

s

vv vgz p gz p ds C

t

vv vgz p gz p ds C

t

Restando miembro a miembro las expresiones:

1

0

2

0

22

011 1 0 0

22

022 2 0 0

2 2

1 21 1 2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

_________________________________________________

1 1

2 2

s

s

s

s

vv vgz p gz p ds C

t

vv vgz p gz p ds C

t

v vgz p gz p

1 2

0 0

2 1

0 0

2 2

1 21 1 2 2

0

1 1

2 2

s s

s s

s s

s s

v vds ds

t t

v v v vgz p gz p ds ds

t t

Transformando las expresiones, se tiene:

2

1

2

1

2

1

2 2

1 21 1 2 2

2 2

1 21 1 2 2

2 2

1 21 1 2 2

2 2

1 21 1 2 2

1 1

2 2

1 1

2 2

1 1 1

2 2

1 1

2 2

s

s

s

s

s

s

v v vgz p gz p ds

t

v v vgz p gz p ds g

t

v v vz p z p ds

g g g g g t

v vz p z p

g g

2

1

1 s

s

vds

g t

Si bien los fluidos reales son prácticamente incompresibles, sinembargo son viscosos, es decir no están exentos de rozamientoy en consecuencia una parte de la energía del flujo del fluido estransformada en otra forma de energía, que normalmente noes aprovechable

Denominando Ep : Energía Especifica Perdida a esta parte de laenergía, resulta la expresión de La Ecuación de BernoulliGeneralizada:

2

1

2 2

1 21 1 2 2 1 2

1 1 1

2 2

s

ps

v v vz p z p ds E

g g g t

ECUACION DE LA ENERGIA PARA FLUIDOS COMPRESIBLES

Considerando un fluido compresible que ingresa a un volumende control través de una sección de superficie S1 de la frontera ysale a través de otra sección de superficie S2 de la frontera delvolumen de control.

Sean: la energía específica

interna

el calor específico

intercambiado con el exterior

la energía específica

intercambia

u

q

Y

da con el exterior

2 2

1 1 2 21 1 2 2

2 2

1 1 2 21 1 2 2

2 2

2 2

p v p vu gz q u gz Y

p v p vY u gz u gz q

Aplicando el Principio de la Conservacion de la Energía, podemos escribir

Llev

2 2

1 21 1 2 2

2 2

ph u

v vY h gz h gz q

ando en cosideración que la entalpia del fluido:

Resulta la Ecuación de la Energía para los Fluidos Compresibles :