Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014Prof: José Fco Valverde Calderón

Geodesia Física y Geofísica

I semestre, 2014

Ing. José Francisco Valverde CalderónEmail: [email protected]

Sitio web: www.jfvc.wordpress.com

mailto:[email protected]

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Capítulo 2El campo gravitacional y sus anomalías

Prof: José Fco Valverde Calderón

Nomenclatura:• W = potencial de gravedad real• U = potencial de gravedad normal• V = potencial gravitacional• = potencial centrifugog

b

z

aceleración de la gravedad

aceleración de la gravedad normal

aceleración gravitacional

aceleración centrifuga

Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

•Se cumplen la relaciones:

•V es el potencial gravitacional y es armónico fuera de las masas terrestres. •Debido a la rotación terrestre, existe una aceleración centrifuga. •Se asume una rotación con una velocidad angular () constante.•La aceleración centrifuga está dirigida hacia el exterior, de forma perpendicular al eje de rotación.

W g

U

V b

z

W g

U

V b

z

Prof: José Fco Valverde Calderón Geodesia Física y Geofísica I semestre de 2014

Aceleración centrifuga


•Se define el potencial centrifugo como el potencial cuyo gradiente es la aceleración centrifuga.

•Además, se define la velocidad angular •() de la siguiente manera:

•Se define la aceleración centrifuga de la siguiente manera:

•El parámetro p se como:

( )

5

2

12

86164.10

7.29115 10

dia segundos

srad

s

2z p

2 2p x y


•Por lo tanto, el potencial centrifugoes equivalente a:

•Se define el potencial de gravedad de la siguiente manera:

•Expresado de otra forma:

•La aceleración de la gravedad o gravedad g es el resultado de la gravitación b y la aceleración centrifuga z.

2 21

2p

W V 2 2 21( )

2Volumen

dmW k x y

l

g b z


•Primera aproximación: la Tierra representada por una esfera.•Segunda aproximación: la Tierra representada por un elipsoide de revolución.•Ningún elipsoide es igual a la forma real de la Tierra.•Pero el campo de gravedad que se puede asociar es muy importante es fácil de manejar de forma matemática.•Las diferencias entre el C.G del elipsoide y el C.G real de la Tierra son tan pequeñas, que se pueden considerar lineales.•Como consecuencia, es mas sencillo estudiar la forma de la Tierra y su campo de gravedad, refiriéndose a un modelo de gravedad. •Este modelo nos dará las diferencias del mismo en relación con el Geoide

El campo de gravedad normal


•Se asume entonces que la Tierra es un elipsoide de nivel, esto es, un elipsoide de revolución, cuya superficie es una superficie equipotencial del campo de gravedad asociado al elipsoide.•A este campo, asociado al elipsoide, lo llamaremos “Campo de Gravedad Normal” y al elipsoide al que se le asocia este campo “Elipsoide Normal”•Una ventaja de este elipsoide normal es que le puedo asociar un sistema de coordenadas elipsoídicas.•Al definir el elipsoide normal, lo que se logró fue encontrar una buena aproximación al geoide, que es matemáticamente simple y cuyas diferencias con el geoide son muy pequeñas.•Al campo de gravedad normal, le asociamos un “potencial de gravedad normal”, que denotamos como U.




•Además, al elipsoide normal se le asocia una masa M y una rotación, con una velocidad angular .

Geoide

Elipsoide normal

El elipsoide normal posee

masa y rotación



•Aclaración: se sabe que el potencial depende de la distribución de masas en el interior de las masas atrayentes; en el caso del elipsoide normal, nos basta con suponer que la masa total es M, sin importar si no se conoce con detalle como se comporta la densidad dentro del elipsoide.•Por tanto, este elipsoide cumple las siguientes condiciones:•Su masa coincide con la de la Tierra, por lo que el valor GM se mantiene.•La masa del elipsoide tiene una distribución homogénea (una densidad constante, no importa cual) y gira en el espacio con una velocidad angular igual a la de la Tierra.•El centro del elipsoide coincide con el centro de la Tierra.



•Definimos el potencial de gravedad normal de la siguiente forma:

•El potencial gravitacional normal Velipsoide es generado por la masa del elipsoide.•El vector de gravedad normal es el gradiente del potencial de gravedad normal:

•Una característica del elipsoide normal es que las superficies equipotenciales son de forma elipsoidal, concéntricas y paralelas entre si.

elipsoideU V

U



•Recordar que las superficies equipotenciales del campo de gravedad real NO son paralelas.•El valor de U en cada punto depende de las dimensiones del elipsoide que se tome como referencia. •Entonces, se impone como condición que el potencial normal en la superficie del elipsoide sea igual a Wo, esto es el potencial de gravedad real sobre la superficie del geoide.



Campo de gravedad real

Campo de gravedad normal

W = VTierra + U = VElipsoide +

Superficie

Geoide Elipsoide Normal

Potencial W = Wo en el geoide

U = Wo en el elipsoide normal

Gradiente

W g

U

V b

z

W g

U

V b

z



Superficies de nivel en el campo de gravedad real

Campo de gravedad real y normal


•El elipsoide normal se puede definir con cuatro parámetros:•La forma y el tamaño del elipsoide (a,b) , (a,f);•Una velocidad angular ;•La masa M.•Se puede definir una fórmula para calcular el potencial de gravedad normal de la siguiente manera:

•Las únicas constantes en la anterior fórmula son kM (en algunos libros GM), a, b y .

2 21 2 2 2 2 21

tan sin ( ) cos2 3 2o

KM qU a u

u q


(1)

21

2

21

2

11 3 tan 3

2

11 3 tan 3

2o

u uq

u

b bq

b

•Con q y qo


Elipsoide normal = latitud reducida

2 2a b


(2)

(3)

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•“Si un cuerpo de masa total M rota con una velocidad angular () constante alrededor de un eje fijo y si S es una superficie de nivel de su campo de gravedad, encerrando toda la masa M, entonces el potencial de gravedad en el espacio exterior de S es determinado de forma única por medio de los parámetros masa, velocidad angular y S.

•Donde S queda definida por los parámetros geométricos del elipsoide. Haciendo que u=b, q=qo se tiene:


( , , )U U M S

21 2tan

3o

KMU U a

u

Teorema de Stokes-Poincare


(4)

•La fórmula de Somigliana permite calcular el valor de la gravedad normal en la superficie del elipsoide normal, para una latitud reducida :

2 2

2 2 2 2

sin cos

sin cosb aa b

a b


2 2

2 2 2 2

cos sin

cos sina ba b

a b

•En términos de la latitud geodésica :

•En términos de la latitud reducida :

Fórmula de Somigliana


(5)

(6)

•Considerando que:

•a= gravedad normal en el ecuador•b=gravedad normal en el polo•a = semieje mayor del elipsoide•b =semieje menor del elipsoide•=latitud reducida• = latitud geodésica

•La gravedad normal para una latitud dada, es una función de los valores de la gravedad normal en el ecuador, el polo y la geometría del elipsoide de referencia.

tan tanb

a


(7)


Teorema de Clairaut


0

0

02

0

21

2

21

2

´ ´1

6

´ ´13

11 3 tan 3

2

´ ´ 3 1 1 tan 1

a

b

o u b

o u b

e qGM mm

ab q

e qGM m

a q

b bq q

b

b bq q

b


Teorema de Clairaut

20

0

' '1

2b a

a a

e qa b b

a q

Forma rigurosa de una aproximación

del teorema de Clairaut


(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

•Considerando la siguiente expresión:

•Donde f es el achatamiento geométrico del elipsoide•Si se hace = 90º, r = b, = b

•Despejando f y f*:


2

2

1 sin

1 *sina

r a f

f

(1 )

(1 *)b a

b a f

f


Teorema de Clairaut

* b a

a

a bf f

a

* b a

a

a bf f

a


(13) (14)

•Luego se tiene:

•Cuya fórmula equivale al teorema de Clairaut en su forma original.

5*2

f f m


Teorema de Clairaut

•El teorema de Clairaut es uno de los teoremas mas notables de la geodesia física: •El achatamiento geométrico f, puede calcularse por medio de la determinación de f* y m, las cuales son cantidades netamente dinámicas obtenidas por medio de mediciones gravimétricas, es decir, el achatamiento de la Tierra se puede determinar a partir de mediciones gravimétricas.


(15)

•Donde f es el achatamiento del elipsoide geométrico y f* es el achatamiento gravimétrico o achatamiento por gravedad.

•Considerando m es igual a:

•Donde:•2a = fuerza centrifuga en el Ecuador•a = gravedad normal en el Ecuador


Teorema de Clairaut

2

a

am


(16)

Otras expresiones:

•Potencial normal:

'2 '4 2 20

1 1 113 5 3

GMU e e a

b

•Gravedad normal en el ecuador y el polo:

'23 312 14a

GMm e m

ab

'22

31

7b

GMm e m

a


(17)

(18)

(19)

225 9

* 1 '2 35a

bf f e


•Teorema de Clairaut:

•La razón 2b/a se puede expresar como:

•Para mas información, ver de la página 69 a la 81 del libro “Geodesia Física” de Hoffman-Wellenhof y H. Moritz

223

2a

bm m


(20)

(21)

•Se puede calcular la gravedad normal para un punto con latitud , que se encuentra a una altura h de la siguiente manera:

•Donde o se calcula con base a valores, que varían cada cierto periodo. Se puede calcular la o con base a la formula:

2 22

2 31 (1 2 sin )h o f m f h ha a


Gravedad normal a una altura h

2 21(1 sin sin 2 )o a


(22)

• Para el GRS-67, se tiene:

• Para el GRS-80, se tiene:

• También es valido para el GRS80:

2 29.780327*(1 0.0053024sin 0.0000058sin 2 ) )o 2 (m/s

2 29.780318*(1 0.0053024sin 0.0000059sin 2 ) )o 2 (m/s


Gravedad normal a una altura h


(23)

(24)

(25)


Sistema de referencia geodésico GRS80

•A través de los años, se han adoptado diferentes sistemas geodésicos, los cuales han sido definidos a partir de los cuatro parámetros que definen el elipsoide normal. •El mas actual* es el GRS 80, definido por a, J2, KM y •El coeficiente J2 se llama “factor de forma dinámica”



Sistema de referencia geodésico WGS84

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