Ing. Alvaro Vega

CÁTEDRA: GEOMETRÍA ANALÍTICA

CÓDIGO: MAT-21524

CARRERA: CICLO BÁSICO DE INGENIERÍA

SEMESTRE: PRIMERO

PROFESOR: Ing. ALVARO VEGA

UNIDAD: II

TEMA: LA CIRCUNFERENCIA EN EL PLANO CARTESIANO

AUTORES DE LOS MATERIALES: - CHARLES H. LEHMANN (ENUNCIADO

DEL EJERCICIO) - Ing. ALVARO VEGA (SOLUCIÓN DE

LOS EJERCICIOS)

TITULOS DE LOS MATERIALES: GEOMETRÍA ANALÍTICA

EJERCICIOS RESUELTOS: 1) Hallar la ecuación de la recta que es tangente a la circunferencia X2 + Y2 – 8X – 6Y + 20 = 0

en el punto ( 3 , 5 ) Solución: Nos piden hallar la ecuación de una recta que es tangente a la circunferencia dada y dicha recta pasa por el punto ( 3 , 5 ) punto que es común a la recta y la circunferencia. Primero tomamos la ecuación de la circunferencia dada en su forma general y la llevamos a la forma canónica, de esta forma conoceremos el centro y el radio de dicha circunferencia. X2 + Y2 – 8X – 6Y + 20 = 0 ordenando la ecuación X2 – 8X + Y2 – 6Y = – 20 ahora completamos cuadrados X2 – 8X + 16 + Y2 – 6Y + 9 = – 20 + 16 + 9 convertimos en binomio cuadrado ( X – 4 ) 2 + ( Y – 3 ) 2 = 5 Ecuación Canónica Por lo tanto de la ecuación canónica tenemos que el centro de la circunferencia es el punto ( 4 , 3 ) y el radio de la circunferencia es r = √ 5 L = Recta tangente a la circunferencia

P = Punto dado ( 3 , 5 )

m r = pendiente de la recta que une C P

m L = pendiente de la recta L, que es

la recta que debemos hallar

Como la recta L y la recta r son perpendiculares m r x m L = – 1 ; luego m L =

m r = = m r = m r = – 2

Luego como m L = m L = m L =

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA

UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA BOLIVARIANA DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA - AMPLIACIÓN CICLO BÁSICO TÁCHIRA - NÚCLEO TÁCHIRA

P . .

r

– 1 m r

Yp – Yc

Xp – Xc

5 – 3

3 – 4

2

-1

– 1 m r

– 1 – 2

1 2

Ing. Alvaro Vega

Con m L y el punto P, hallamos la ecuación de la recta tangente a la circunferencia dada

Con la ecuación punto pendiente vista en el primer corte tenemos que:

Y – Y1 = m ( X – X1 ) Y1 = valor de Y del punto P dado

X1 = valor de X del punto P dado

m = pendiente m L hallada anteriormente

Sustituyendo valores en la ecuación Y – 5 = ½ ( X – 3 )

2 ( Y – 5 ) = ( X – 3 )

2 Y – 10 = X – 3

Ordenando la ecuación obtenida X – 2 Y + 7 = 0 Ecuación de la recta

tangente a la circunferencia

que nos piden hallar.

2) Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene un diámetro con extremo en los puntos

A ( – 1 , 3 ) y B ( 7 , – 5 )

Solución:

Y

X Como “C ( h , k )” es el punto medio del diámetro AB, entonces podemos calcular las

coordenadas h y k del centro de la circunferencia utilizando la ecuación de punto medio

vista en el primer corte

A ( – 1 , 3 )

B ( 7 , – 1 )

C ( h , k )

r

Ing. Alvaro Vega

A ( X 1 , Y 1 ) = ( – 1 , 3 ) y B ( X 2 , Y 2 ) = ( 7 , – 5 )

Ecuación de punto medio X = ( X 1 + X 2 ) = h

2

Y = ( Y1 + Y2 ) = k

2

h = ( – 1 + 7 ) h = 6 h = 3

2 2

k = ( 3 + (– 5 ) ) k = – 2 k = – 1

2 2

Por lo tanto el centro de la circunferencia será: C ( 3 , – 1 )

Ahora vamos a calcular el radio de la circunferencia, para esto calculamos la distancia desde el

centro de la circunferencia hasta cualquiera de los puntos dados “A” o “B” que forman parte de la

circunferencia.

Hallemos la distancia entre el centro “C” y el punto dado “B”

d = √ ( X 1 – X 2 ) 2 + ( Y 1 – Y 2 )

2 C ( X 1 – Y 1 ) = ( 3 , – 1 ) B ( X 2 – Y 2 ) = ( 7 , – 5 ) d = √ ( 3 – 7 ) 2 + ( – 1 – ( – 5 )) 2 d = √ (– 4 ) 2 + ( 4) 2

d = √ 16 + 16 d = √ 32

Por lo tanto, el radio de la circunferencia es igual a la distancia hallada CB, es decir,

d = r = √ 32 Luego utilizando la ecuación canónica de la circunferencia ( X – h ) 2 + ( Y – k ) 2 = r 2 Sustituyendo los valores hallados de h, k y r en la ecuación canónica tenemos: ( X – 3 ) 2 + ( Y – (–1 )) 2 = (√ 32 ) 2 ( X – 3 ) 2 + ( Y +1 ) 2 = 32 Ecuación canónica de la circunferencia buscada

Ing. Alvaro Vega

Ahora podemos hallar la Ecuación General partiendo de la Ecuación Canónica, para esto resolvemos los binomios cuadrados, sabiendo que: ( a ± b ) 2 = a 2 ± 2ab + b 2 Por lo tanto ( X – 3 ) 2 + ( Y + 1 ) 2 = 32 [ X 2 – (2)(3)(X) + 3 2 ] + [ Y 2 + (2)(1)(Y) + 1 2 ] = 32 X 2 – 6 X + 9 + Y 2 + 2 Y + 1 = 32 Agrupando y ordenando términos X 2 + Y 2 – 6 X + 2 Y + 9 + 1 – 32 = 0 X 2 + Y 2 – 6 X + 2 Y – 22 = 0 Ecuación General Pedida