Geogebra como recurso didáctico para la comprensión...

GEOGEBRA COMO RECURSO DIDÁCTICO PARA LA COMPRENSIÓN Y APLICACIÓN DE LOS

TEOREMAS DE PITOT, PONCELET Y STEINER

Tesis para optar el grado académico de Maestro en Educación

en la mención Didáctica de la Enseñanza de las Matemáticas

en Educación Secundaria

BACHILLER: TEODORO ALMERCO AVALOS

ASESOR: Mg. DAVID ESTEBAN ESPINOZA

Línea de Investigación:

Currículo escolar y uso de las nuevas TICs

Lima – Perú

2015

FACULTAD DE EDUCACIÓN

Programa Académico de Maestría en

Ciencias de la Educación - PRONABEC

PRONABEC

ii

UNIVERSIDAD SAN IGNACIO DE LOYOLA ESCUELA DE POSTGRADO

Facultad de Educación

DECLARACIÓN DE AUTENTICIDAD

Yo, Teodoro Almerco Avalos, identificado con DNI Nº 04216451 estudiante del

Programa Académico de Maestría en Ciencias de la Educación de la Escuela de

Postgrado de la Universidad San Ignacio de Loyola, presento mi tesis titulada:

GeoGebra como recurso didáctico para la comprensión y aplicación de los

teoremas de Pitot, Poncelet y Steiner.

Declaro en honor a la verdad, que el trabajo de tesis es de mi autoría; que los datos,

los resultados y su análisis e interpretación, constituyen mi aporte a la realidad

educativa. Todas las referencias han sido debidamente consultadas y reconocidas en

la investigación.

En tal sentido, asumo la responsabilidad que corresponda ante cualquier falsedad u

ocultamiento de información aportada. Por todas las afirmaciones, ratifico lo

expresado, a través de mi firma correspondiente.

Lima, diciembre de 2015

Teodoro Almerco Avalos

DNI Nº 04216451

iii

APROBACIÓN DEL TRIBUNAL DE GRADO

Los miembros del Tribunal de Grado aprueban la tesis de graduación, el mismo que ha

sido elaborado de acuerdo a las disposiciones reglamentarias emitidas por la EPG-

Facultad de Educación.

Lima, diciembre del 2015

Para constancia firman

Mg. Miguel Rimari Arias Presidente

Dr. Jose Manuel Muñoz Salazar Secretario

Mg. David Esteban Espinoza Vocal

iv

Epígrafe

El desempeño flexible es la muestra

observable de la comprensión, la

comprensión en sí es desempeño flexible.

v

Dedicatoria

Dedico esta tesis a la Universidad San

Ignacio de Loyola, a los docentes y

colegas de la maestría, a la Institución

Educativa “Ernesto Diez Canseco”,

quienes forjaron la realización de este

trabajo de investigación.

vi

Agradecimiento

Agradecer los trabajos denodados de los

profesores de la maestría en la mención

“Didáctica de la enseñanza de las matemáticas

en educación secundaria” y del Asesor por su

esfuerzo incondicional.

vii

INDICE DE CONTENIDO

INTRODUCCIÓN .............................................................................................................17

MARCO TEÓRICO ..........................................................................................................24

Comprensión de teoremas de Pitot, Poncelet y Steiner ............................................ 24

¿Qué es la comprensión y cómo se manifiesta? ....................................................24

¿Cómo se desarrolla la comprensión? ....................................................................26

¿Cómo surge la comprensión en geometría? .........................................................28

Elementos teóricos para la comprensión y aplicación de los Teoremas de Pitot, Poncelet y Steiner ....................................................................................................... 29

Rectas tangentes a la circunferencia. .....................................................................29

Teorema de tangente. ..............................................................................................29

Polígono circunscrito. ...............................................................................................30

Teorema de Pitot. .....................................................................................................30

Teorema de Poncelet. ..............................................................................................32

Teorema de Steiner. ................................................................................................35

Estrategia didáctica para la comprensión de propiedades y teoremas geométricos 36

Definición de la estrategia didáctica. .......................................................................36

Estructura de la estrategia didáctica. ......................................................................38

Modelo de razonamiento geométrico de Van Hiele. ........................................... 38

Niveles de razonamiento geométrico del modelo Van Hiele. ............................. 38

Nivel 1 (Reconocimiento o visualización)........................................................... 39

Nivel 2 (Análisis). ................................................................................................ 39

Nivel 3 (Clasificación o abstracción). ................................................................. 40

Nivel 4 (Deducción formal) ................................................................................. 41

Nivel 5 (Rigor). .................................................................................................... 41

Fases del modelo Van Hiele. .............................................................................. 43

Fase 1 (Información)........................................................................................... 43

Fase 2 (Orientación Dirigida).............................................................................. 43

Fase 3 (Explicitación). ........................................................................................ 44

Fase 4 (Orientación Libre) .................................................................................. 44

viii

Fase 5 (Integración) ............................................................................................ 44

GeoGebra como recurso didáctico. .........................................................................45

DIAGNÓSTICO................................................................................................................48

Proceso de categorización ......................................................................................... 48

Organización de las categorías y surgimiento de las primeras conclusiones aproximativas .............................................................................................................. 50

Instrumentos utilizados en el trabajo de campo. .....................................................51

Prueba mixta. ....................................................................................................... 51

Prueba de desarrollo. .......................................................................................... 62

Ficha de análisis documental. ............................................................................. 71

Guía de entrevista para el docente. .................................................................... 74

Triangulación. ...........................................................................................................77

MODELACIÓN Y VALIDACIÓN DE LA ESTRATEGIA DIDÀCTICA PARA LA COMPRENSIÓN Y APLICACIÓN DE LOS TEOREMAS DE PITOT, PONCELET Y STEINER, ORIENTADO POR EL MODELO VAN HIELE Y EL GEOGEBRA. ..............80

Propósito ..................................................................................................................... 80

Fundamento socioeducativo. ...................................................................................80

Fundamento pedagógico. ........................................................................................81

Fundamento curricular. ............................................................................................81

Diseño ......................................................................................................................... 83

Desarrollo de la estrategia didáctica para la comprensión y aplicación de los teoremas de Pitot, Poncelet y Steiner ........................................................................ 85

Diseño del taller “Introducción al GeoGebra”. .........................................................85

Objetivos del taller. .............................................................................................. 85

Justificación de pertinencia e interés del taller. .................................................. 86

Plan del taller “Introducción al GeoGebra”.......................................................... 86

Diseño de las actividades de la estrategia didáctica para la comprensión de los

teoremas de Pitot, Poncelet y Steiner, orientado por el modelo Van Hiele y el

GeoGebra. ................................................................................................................87

Diseño de las Actividades. .................................................................................. 88

Proceso de validación de la estrategia didáctica ....................................................... 98

Objetivo de la validación. .........................................................................................98

Selección de especialistas. ......................................................................................98

ix

Metodología de validación. ......................................................................................98

Resultados de la validación .....................................................................................99

Conclusiones de la validación de la estrategia didáctica. .................................... 100

CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES............................................................... 101

Conclusiones............................................................................................................. 101

Recomendaciones .................................................................................................... 104

REFERENCIAS ............................................................................................................ 105

x

INDICE DE TABLAS

Tabla 1. Características de las respuestas abiertas de una prueba de desarrollo. ....... 51

Tabla 2. Ponderaciones a cada tipo de respuestas............................................................ 52

Tabla 3. Distribución de 39 estudiantes por nivel del modelo Van Hiele y distribuido en

porcentajes. .............................................................................................................................. 71

Tabla 4. Aprendizajes esperados y desempeños ............................................................... 88

Tabla 5. Desarrollo de la secuencia didáctica de la actividad 1. ...................................... 88

Tabla 6. Aprendizajes esperados y desempeños. .............................................................. 91


Tabla 8. Aprendizajes esperados y desempeños ............................................................... 94


Tabla 10. Aprendizajes esperados y desempeños ............................................................. 96

Tabla 11. Desarrollo de la secuencia didáctica de la actividad 4. .................................... 96

xi

ÍNDICE DE FIGURAS

Figura 1. Recta tangente a la circunferencia ...................................................................... 29

Figura 2. Rectas tangentes a la circunferencia trazada desde un punto exterior ......... 29

Figura 3. Demostración de teorema de tangente .............................................................. 30

Figura 4. Polígono circunscritos a la circunferencia .......................................................... 30

Figura 5. Cuadrilátero circunscrito a la circunferencia ...................................................... 31

Figura 6. Cuadrilátero circunscrito a la circunferencia, para demostrar el teorema de

Pitot ........................................................................................................................................... 31

Figura 7. Hexágono circunscrito a la circunferencia .......................................................... 32

Figura 8. Triángulo rectángulo circunscrito a la circunferencia ........................................ 32

Figura 9. Triángulo rectángulo circunscrito a la circunferencia, para demostrar el

teorema de Poncelet ............................................................................................................... 32

Figura 10. Triángulo circunscrito a la circunferencia ......................................................... 33

Figura 11. Triángulo circunscrito a la circunferencia, para demostrar la ampliación del

teorema de Poncelet ............................................................................................................... 33

Figura 12. Triángulos rectángulos parciales circunscritos a la circunferencia ............... 34

Figura 13. Triángulos rectángulos parciales circunscritos a la circunferencia, para

demostrar la ampliación del teorema de Poncelet .............................................................. 34

Figura 14. Cuadrilátero exinscrito a la circunferencia. ...................................................... 35

Figura 15. Cuadrilátero exinscrito a la circunferencia, con medidas para demostrar el

teorema de Steiner. ................................................................................................................. 35

Figura 16. Ítem 1 de la prueba mixta, respuesta de la estudiante Sheyla Greyci ......... 52









Figura 25. Ítem 10 de la prueba mixta, respuesta de la estudiante Sheyla Greyci ....... 57



xii

Figura 28. Distribución de los 39 estudiantes según grado de adquisición en el nivel 1,

instrumento prueba pedagógica mixta ................................................................................. 58





Figura 31. Distribución de los 39 estudiantes en el nivel 4, instrumento prueba

pedagógica mixta. ................................................................................................................... 60

Figura 32. Gráfica del trabajo de la estudiante Antuané Constancia. ............................. 62

Figura 33. Ítem 1, prueba de desarrollo, respuesta de la estudiantes Antuané

Constancia................................................................................................................................ 63


Constancia................................................................................................................................ 63


Constancia................................................................................................................................ 63


Constancia................................................................................................................................ 64


Constancia................................................................................................................................ 64


Constancia................................................................................................................................ 64


Constancia................................................................................................................................ 65


Constancia................................................................................................................................ 65


Constancia................................................................................................................................ 66


Constancia................................................................................................................................ 66


Constancia................................................................................................................................ 67


Constancia................................................................................................................................ 67

xiii

Figura 45. Ítem 5 de la ficha de análisis documental, correspondiente al estudiante

Manuel ...................................................................................................................................... 71

Figura 46. Distribución de los 39 estudiantes por nivel de razonamiento, instrumento

análisis documental ................................................................................................................. 72

Figura 47. Respuesta al Ítem 13 del guía de entrevista al docente Oscar Rubín Panez

................................................................................................................................................... 74

Figura 48. Articulación teórico funcional de la propuesta ................................................. 84

xiv

LISTA DE ANEXOS

Anexo 1. Ficha de validación de los instrumentos por los especialistas.

Anexo 2. Documentos que certifican el trabajo de campo realizado

Anexo 3. Muestras del trabajo de campo realizado

Anexo 4. Base de datos prueba mixta

Anexo 5. Base de datos de la prueba de desarrollo.

Anexo 6. Base de datos de la ficha de análisis documental.

Anexo 7. Red semántica. Causas de la baja comprensión en el proceso de

enseñanza aprendizaje.

Anexo 8. Red semántica. Las tics en el proceso de enseñanza aprendizaje.

Anexo 9. Red semántica. Comprensión de los teoremas de Pitot, Poncelet y Steiner.

Anexo 10. Triangulación.

Anexo 11. Manual del taller de introducción al GeoGebra.

Anexo 12. Matriz de la estrategia didáctica.

Anexo 13. Evaluación de los indicadores de logro de la actividad 1.

Anexo 14. Rúbrica para la evaluación de las pruebas escritas.




Anexo 18. Ficha de validación interna y externa

xv

Resumen

La presente investigación tiene por objetivo caracterizar la comprensión y aplicación

de los teoremas de Pitot, Poncelet y Steiner, aplicando una estrategia didáctica

orientada por el modelo Van Hiele y el GeoGebra, en los estudiantes del cuarto grado

de la Institución Educativa “Ernesto Diez Canseco”, para lo cual se asumió el

paradigma interpretativo, enfoque cualitativo educacional, tipo aplicada proyectiva;

bajo este marco se utilizó los métodos teóricos; análisis síntesis, inductivo deductivo,

histórico lógico y triangulación; métodos empíricos; entrevista, encuesta y

observación, y los métodos matemáticos. Durante el trabajo de campo se cumplió las

etapas de recojo de datos, procesamiento de datos y el resultado final se obtuvo por

triangulación, las cuales se tuvo en cuenta para el diseño de la estrategia didáctica. La

muestra conforman 39 estudiantes del cuarto grado, elegidos con la técnica de grupos

intactos, Esta investigación se orienta bajo los enfoques pedagógicos constructivistas.

La estrategia didáctica diseñada, presenta la articulación de niveles y fases del modelo

Van Hiele y la génesis instrumental del GeoGebra, las actividades de la estrategia

didáctica están orientadas para desarrollar la comprensión de los teoremas de Pitot,

Poncelet y Steiner y como resultado el estudiante muestre un desempeño flexible;

demostrando los teoremas, generalizando los teoremas, aplicando los teoremas a

situaciones significativas.

Palabras claves: Comprensión, estrategia didáctica, teoremas de Pitot, Poncelet y

Steiner.

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