Geometr a Plana II · 2018-09-10 · Geometr a Plana II Wilson D az Cajo y Roy S anchez Gutierrez...

Geometrıa Plana II

Wilson Dıaz Cajo y Roy Sanchez Gutierrez

Febrero de 2015

1. Semejanza de triangulos

Definicion. Dos triangulos son semejantes si, y solamente se, poseen lostres angulos ordenadamente congruentes y los lados homologos proporcionales.

∆ABC ∼ ∆A′B′C ′ ⇔

∠A ∼= ∠A′

∠B ∼= ∠B′

∠C ∼= ∠C ′y

a

a′=b

b′=c

c′.

Dos lados homologos (homo = mismo, logos = lugar) son tales que cadauno de ellos esta en un triangulo y ambos son opuestos a angulos congru-entes.

Proposicion 1. De la definicion de triangulos semejantes se tienen lassiguientes propiedades:

1. Reflexiva. ∆ABC ∼ ∆ABC.

2. Simetrica. ∆ABC ∼ ∆A′B′C ′ ⇒ ∆A′B′C ′ ∼ ∆ABC

3. Transitiva. ∆ABC ∼ ∆A′B′C ′ ∧ ∆A′B′C ′ ∼ ∆A′′B′′C ′′ ⇒ ∆ABC ∼∆A′′B′′C ′′

Teorema 2 (Teorema fundamental de la proporcionalidad). Si una rectaes paralela a uno de los lados de un triangulo e intercepta a los otros dos

1

en puntos distintos, entonces el triangulo que ella determina es semejanteal primero.

Casos o criterios de semejanza

Teorema 3 (Primer caso). Si dos triangulos poseen dos angulos ordenada-mente congruentes, entonces ellos son semejantes.

Teorema 4 (Segundo caso). Si dos lados de un triangulo son proporcionalesa los homologos de otro triangulo y los angulos comprendidos son congru-entes, entonces los triangulos son semejantes.

Teorema 5 (Tercer caso). Si dos triangulos tienen los lados homologosproporcionales, entonces son semejantes.

2. Rectas y puntos notables en un triangulo

Definicion. Se llama ceviana de un triangulo aquel segmento que une unvertice del triangulo con un punto cualquiera de su lado opuesto o de la pro-longacion de este lado. Se denomina ceviana exterior si el punto esta enla prolongacion del lado opuesto y ceviana interior si el punto esta en ellado opuesto del triangulo.

Triángulos 1 Roy Wil Sánchez G.Triángulos 1 Roy Wil Sánchez G.Triángulos 1 Roy Wil Sánchez G.

1.8. Clasificación de los triángulos

Según las medidas de los ángulos interiores

1. Acutángulos. Cuando los ángulos interiores tienen medida menores a 90◦.

2. Rectángulos. Un ángulo interior mide 90◦.

3. Obtusángulos. La medida de un ángulo interior es mayor de 90◦.

Según la longitud de sus lados

1. Escaleno. Es aquel triángulo cuyos lados son de diferentes longitudes.

2. Isósceles. Dos lados del triángulo tienen la misma longitud. Al lado desigual se denomina

base del triángulo.

3. Equilátero. Los tres lados del triángulo son iguales.

1.9. Líneas notables en un triángulo

1. Ceviana. Es aquel segmento de recta que une un vértice del triángulo con un punto

cualquiera de su lado opuesto o de la prolongación de este lado. Se denomina ceviana

exterior si el punto está en la prolongación y ceviana interior si el punto está en el lado

(opuesto) del triángulo.

A

B

CE F

Figura 1.11: Cevianas: BE interior y BF exterior

2. Mediana. Es aquel segmento de recta que une un vértice del triángulo con el punto medio

del lado opuesto.

En todo triángulo se pueden trazar tres medianas, una relativa a cada lado. Las tres me-

dianas se intersectan en un punto denominado Baricentro.

14

Definicion. Una mediana de un triangulo es aquel segmento que une unvertice del triangulo con el punto medio del lado opuesto.

En todo triangulo se pueden trazar tres medianas, una relativa a cadalado.

2

Teorema 6. Las tres medianas de un triangulo se intersectan en un puntollamado baricentro.


A

B

C

m

m

M

Figura 1.12: Mediana AM en ∆ABC

3. Mediatriz. Es la recta perpendicular a un lado del triángulo, que pasa por el punto medio

del lado y está contenido en el plano del triángulo.

En todo triángulo se pueden trazar tres mediatrices, una relativa a cada lado. El centro de

la circunferencia circunscrita al triángulo se llama circuncentro, y su radio circunradio. El

circuncentro es el punto de intersección de las mediatrices.

A

B

CM

L

Figura 1.13: Mediatriz L relativa al AC en ∆ABC

4. Altura. Es aquel segmento perpendicular a la recta que contiene a un lado del triángulo,

trazado desde el vértice opuesto a dicho lado, el otro extremo (de la altura) está en la recta.

En todo triángulo se pueden trazar tres alturas, una relativa a cada lado. Las tres alturas

se intersectan en un punto denominado Ortocentro.

5. Bisectriz interior. Es una ceviana interior que forma con cada uno de los lados adyacentes

a ella ángulos de igual medida.

15

Definicion. Una mediatriz de un triangulo es la recta perpendicular a unlado del triangulo, que pasa por el punto medio del lado y esta contenido enel plano del triangulo.


A

B

C

m

m

M

Figura 1.12: Mediana AM en ∆ABC

3. Mediatriz. Es la recta perpendicular a un lado del triángulo, que pasa por el punto medio

del lado y está contenido en el plano del triángulo.

En todo triángulo se pueden trazar tres mediatrices, una relativa a cada lado. El centro de

la circunferencia circunscrita al triángulo se llama circuncentro, y su radio circunradio. El

circuncentro es el punto de intersección de las mediatrices.

A

B

CM

L

Figura 1.13: Mediatriz L relativa al AC en ∆ABC

4. Altura. Es aquel segmento perpendicular a la recta que contiene a un lado del triángulo,

trazado desde el vértice opuesto a dicho lado, el otro extremo (de la altura) está en la recta.

En todo triángulo se pueden trazar tres alturas, una relativa a cada lado. Las tres alturas

se intersectan en un punto denominado Ortocentro.

5. Bisectriz interior. Es una ceviana interior que forma con cada uno de los lados adyacentes

a ella ángulos de igual medida.

15

Mediatriz L relativa al AC en ∆ABC

En todo triangulo se pueden trazar tres mediatrices, una relativa a cadalado.

Teorema 7. Las tres mediatrices de un triangulo se intersectan en un pun-to llamado circuncentro. El circuncentro equidista de los tres vertices deltriangulo.

El circuncentro es el centro de la circunferencia circunscrita al trianguloy su radio se denomina circunradio.

Definicion. Una altura de un triangulo es aquel segmento perpendicular ala recta que contiene a un lado del triangulo, trazado desde el vertice opuesto

3

a dicho lado, el otro extremo (de la altura) esta en la recta.

1.3 Triángulos 25

1.3 TRIÁNGULOS

En esta sección empezamos el estudio de las figuras geométricas planas creadas de segmentos de rectas.

Cuando la figura está formada por tres segmentos de recta y unidos por sus puntos extremo, esta figurase llama triángulo.

Los triángulos se clasifican de acuerdo a la medida de sus lados y a la medida de sus ángulos para facilitarsu estudio.

1.3.1 DEFINICIÓN Y CLASIFICACIÓN

Empezamos con las definiciones básicas.

Definición 1

TRIÁNGULO

Figura geométrica plana cerrada, limitada por tres segmentos de recta unidos por sus ex-tremos.Los puntos donde se intersectan dos segmentos se llaman vértices del triángulo y los seg-mentos lados.

La siguiente figura muestra un triángulo:

Lado

Lado

Lado

Vértice

Vértice Vértice

La base del triángulo es el lado sobre el cual descansa.

Otro elemento importante del triángulo es su altura.

Definición 2

ALTURA DE UN TRIÁNGULO

La altura de un triángulo es el segmento de recta que es perpendicular a la base y que pasapor el vértice opuesto a la base.

En la siguiente figura se muestra un triángulo con su altura denotada por h:

h

Base

Efraín Soto A. www.aprendematematicas.org.mx


A

B

CE

H

Figura 1.14: Altura H relativa al AC en ∆ABC

En todo triángulo se pueden trazar tres bisectrices interiores, una relativa a cada ángulo

interior. Las tres bisectrices interiores se intersectan en un punto denominado incentro. El

incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo y que equidista de sus tres

lados, siendo tangente a dichos lados.

6. Bisectriz exterior. Es aquella ceviana exterior que biseca un ángulo exterior del triángulo.

Teorema 1.13. La medida del ángulo formado por una bisectriz interior y una bisectriz exterior

es igual a la medida del tercer ángulo entre dos.

A

B

C

t

uu v v

x

P

Figura 1.15: Teorema de una bisectriz interior y una exterior

Prueba. Sea ∆ABC, figura 1.15. Por demostrar x = t2 .

∆APC : v = u + x

∆ABC : 2v = 2u + t

16

Altura interna Altura H relativa al AC en ∆ABC

En todo triangulo se pueden trazar tres alturas, una relativa a cada lado.

Teorema 8. Las tres alturas de un triangulo se intersectan en un puntodenominado ortocentro.

Definicion. Se llama bisectriz interior a una ceviana interior que formacon cada uno de los lados adyacentes a ella angulos de igual medida.

En todo triangulo se pueden trazar tres bisectrices interiores, una relativaa cada angulo interior.

Teorema 9. Las tres bisectrices interiores de un triangulo se intersectanen un punto denominado incentro. El incentro equidista de los tres ladosdel triangulo.

El incentro es el centro de la circunferencia inscrita al triangulo y siendotangente a dichos lados.

Definicion. Una ceviana exterior que biseca un angulo exterior del triangulose denomina bisectriz exterior.

Teorema 10. La medida del angulo formado por una bisectriz interior yuna bisectriz exterior es igual a la medida del tercer angulo entre dos.


A

B

CE

H

Figura 1.14: Altura H relativa al AC en ∆ABC

En todo triángulo se pueden trazar tres bisectrices interiores, una relativa a cada ángulo

interior. Las tres bisectrices interiores se intersectan en un punto denominado incentro. El

incentro es el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo y que equidista de sus tres

lados, siendo tangente a dichos lados.

6. Bisectriz exterior. Es aquella ceviana exterior que biseca un ángulo exterior del triángulo.

Teorema 1.13. La medida del ángulo formado por una bisectriz interior y una bisectriz exterior

es igual a la medida del tercer ángulo entre dos.

A

B

C

t

uu v v

x

P

Figura 1.15: Teorema de una bisectriz interior y una exterior

Prueba. Sea ∆ABC, figura 1.15. Por demostrar x = t2 .

∆APC : v = u + x

∆ABC : 2v = 2u + t

16

Teorema de una bisectriz interior y una exterior

4

Demostracion. Sea ∆ABC, figura 10. Por demostrar x = t2 .

∆APC : v = u+ x

∆ABC : 2v = 2u+ t

Sustituyendo la segunda en la primera ecuacion se obtiene el resultado x =t/2.

Relaciones metricas en un triangulo rectangulo

En el triangulo rectangulo ABC recto enB, figura ??, se dan importantesresultados.


Sustituyendo la segunda en la primera ecuación se obtiene el resultado x = t/2.

1.10. Relaciones métricas en el triángulo rectángulo

En el triángulo rectángulo ABC recto en B, figura 1.16, se dan importantes resultados.

A

B

C

a

b

c

m n

h

v

v

H

Figura 1.16: Relaciones métricas en un triángulo rectángulo

Teorema 1.14. En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la longitud de un cateto es igual

al producto de las longitudes de la hipotenusa y la proyección ortogonal de dicho cateto respecto

a la hipotenusa. En el triángulo rectángulo ABC, c2 = bm, a2 = bn.

Prueba. Por semejanza de los triángulos ∆ABC ∼ ∆AHB

c

b=

m

c⇒ c2 = bm,

a

b=

n

a⇒ a2 = bn

Teorema 1.15 (Teorema de Pitágoras). En el triángulo rectángulo ABC, b2 = a2 + c2.

Prueba. Del teorema 1.14,

c2 = bm, a2 = bn ⇒ a2 + c2 = b(m + n) = b2

Teorema 1.16. En todo triángulo, el cuadrado de la longitud de la altura relativa a la hipotenusa

es igual al producto de las longitudes de las proyecciones ortogonales de los catetos respecto de

dicha hipotenusa. En el triángulo rectángulo ABC, figura 1.16, h2 = mn.

Prueba. Por semejanza de los triángulos ∆AHB ∼ ∆BHC

h

n=

m

h⇒ h2 = mn

Teorema 1.17. En todo triángulo rectángulo, el producto de las longitudes de sus catetos es

igual al producto de las longitudes de la hipotenusa y la altura relativa a dicha hipotenusa. En el

triángulo rectángulo ABC, figura 1.16, ca = bh.

17

Relaciones metricas en un triangulo rectangulo

Teorema 11. En todo triangulo rectangulo, el cuadrado de la longitud de uncateto es igual al producto de las longitudes de la hipotenusa y la proyeccionortogonal de dicho cateto respecto a la hipotenusa. En el triangulo rectanguloABC,

c2 = bm, a2 = bn.

Teorema 12 (Teorema de Pitagoras). En el triangulo rectangulo ABC,

b2 = a2 + c2.

Teorema 13. En todo triangulo, el cuadrado de la longitud de la alturarelativa a la hipotenusa es igual al producto de las longitudes de las proyec-ciones ortogonales de los catetos respecto de dicha hipotenusa. En el triangu-lo rectangulo ABC de la figura

h2 = mn.

Demostracion. Por semejanza de los triangulos ∆AHB ∼ ∆BHC

h

n=m

h⇒ h2 = mn.

Teorema 14. En todo triangulo rectangulo, el producto de las longitudes desus catetos es igual al producto de las longitudes de la hipotenusa y la alturarelativa a dicha hipotenusa. En el triangulo rectangulo ABC, en la figura,

ca = bh.

5

Teorema 15. En todo triangulo rectangulo, la inversa del cuadrado de lalongitud de la altura relativa a la hipotenusa es igual a la suma de las inversasde los cuadrados de las longitudes de sus catetos. En el triangulo rectanguloABC, en la figura,

1

h2=

1

c2+

1

a2.

Relaciones metricas en un triangulo oblicuangulo

Un triangulo oblicuangulo es aquel donde ninguno de sus angulos mide90◦. Obviamente no se puede usar el teorema de Pitagoras. Los problemasen un triangulo oblicuangulo se resuelven por leyes de senos y de cosenos.

Teorema 16 (Teorema de las proyecciones). En todo triangulo, la diferenciade los cuadrados de las longitudes de dos lados es igual a la diferencia delos cuadrados de las longitudes de sus respectivas proyecciones ortogonalesrespecto al tercer lado. En la figura,


Prueba. Por semejanza de los triángulos ∆ABC ∼ ∆AHB

a

h=

b

c⇒ ca = hb

Teorema 1.18. En todo triángulo rectángulo, la inversa del cuadrado de la longitud de la altura

relativa a la hipotenusa es igual a la suma de las inversas de los cuadrados de las longitudes de

sus catetos. En el triángulo rectángulo ABC, figura 1.16,

1

h2=

1

c2+

1

a2

Prueba. De los teoremas precedentes: b2 = a2 + c2 y de

ca = hb ⇒ c2a2 = b2h2

Entonces

c2a2 = (a2 + c2)h2 ⇒ 1

h2=

1

c2+

1

a2

1.11. Relaciones métricas en un triángulo oblicuángulo

Un triángulo oblicuángulo es aquel donde ninguno de sus ángulos mide 90◦. Obviamente no se

puede usar el teorema de Pitágoras. Los problemas en un triángulo oblicuángulo se resuelven por

leyes de senos y de cosenos.

Teorema 1.19 (Teorema de las proyecciones). En todo triángulo, la diferencia de los cua-

drados de las longitudes de dos lados es igual a la diferencia de los cuadrados de las longitudes

de sus respectivas proyecciones ortogonales respecto al tercer lado. En la figura 1.17, el teorema

afirma que a2 − c2 = m2 − n2.

bA

B

C

c ah

n mu vH

Figura 1.17: a2 − c2 = m2 − n2

18

a2 − c2 = m2 − n2.

Demostracion. Solo en el caso de un triangulo acutangulo, u < 90◦, v <90◦, figura.

Sobre el lado AC proyectamos los lados AB y BC, con AH y HC, delongitudes n y m, respectivamente.

∆BHC : a2 = m2 + h2

∆ABH : c2 = n2 + h2

Restando las ecuaciones a2 − c2 = m2 − n2.

Teorema 17 (Teorema de Euclides). En todo triangulo, el cuadrado de lalongitud de un lado que se opone a la medida de un angulo agudo, es iguala la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados menos eldoble del producto de las longitudes de uno de ellos y la proyeccion ortogonaldel otro sobre aquel.

6

Demostracion. En el triangulo ABC de la figura, u < 90◦. Si AH es lapryeccion de AB sobre el lado AC. El teorema afirma que


Prueba. Solo en el caso de un triángulo acutángulo, u < 90◦, v < 90◦, figura 1.17.

Sobre el lado AC proyectamos los lados AB y BC, con AH y HC, de longitudes n y m, respec-

tivamente.

∆BHC : a2 = m2 + h2

∆ABH : c2 = n2 + h2

Restando las ecuaciones a2 − c2 = m2 − n2.

Teorema 1.20 (Teorema de Euclides). En todo triángulo, el cuadrado de la longitud de un

lado que se opone a la medida de un ángulo agudo, es igual a la suma de los cuadrados de las

longitudes de los otros dos lados menos el doble del producto de las longitudes de uno de ellos y

la proyección ortogonal del otro sobre aquel.

Prueba. En el triángulo ABC de la figura 1.18, u < 90◦. Si AH es la pryección de AB sobre el

lado AC. El teorema afirma que a2 = b2 + c2 − 2bm

bA

B

C

c ah

m b-mu vH

Figura 1.18: Teorema de Euclides

En el triángulo ABC, por el teorema de las proyecciones a2−c2 = (CH)2−m2. Como CH = b−m

entonces

a2 − c2 = (b − m)2 − m2 = b2 − 2bm ⇒ a2 = b2 + c2 − 2bm

Teorema 1.21 (Teorema del Coseno). En todo triángulo, el cuadrado de la longitud de un

lado es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los otros dos lados menos el doble

del producto de las longitudes de dichos lados y el coseno de la medida del ángulo determinado

por ellos.

Prueba. En la figura 1.18, por el teorema de Euclides, en el triángulo ABC : a2 = b2 +c2 −2bm.

En el ∆ABH : m = c cos u. Reemplazando

a2 = b2 + c2 − 2bc cos u.

19

a2 = b2 + c2 − 2bm.

En el triangulo ABC, por el teorema de las proyecciones a2 − c2 =(CH)2 −m2. Como CH = b−m entonces

a2 − c2 = (b−m)2 −m2 = b2 − 2bm⇒ a2 = b2 + c2 − 2bm

Teorema 18 (Teorema del Coseno). En todo triangulo, el cuadrado de lalongitud de un lado es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes delos otros dos lados menos el doble del producto de las longitudes de dichoslados y el coseno de la medida del angulo determinado por ellos.

Demostracion. En la figura, por el teorema de Euclides, en el trianguloABC : a2 = b2 + c2 − 2bm. En el ∆ABH : m = c cosu. Reemplazando

a2 = b2 + c2 − 2bc cosu.

Teorema 19 (Teorema de Stewart). En todo triangulo, la suma de loscuadrados de las longitudes de los lados adyacentes a una ceviana interiormultiplicados con las longitudes de los segmentos parciales opuestos a dichoslados determinados por la ceviana en su lado relativo es igual al productodel cuadrado de la longitud de dicha ceviana con la longitud de su ladorelativo mas el producto de las longitudes de dicho lado y el de los segmentosparciales. En la figura


Teorema 1.22 (Teorema de Stewart). En todo triángulo, la suma de los cuadrados de las

longitudes de los lados adyacentes a una ceviana interior multiplicados con las longitudes de los

segmentos parciales opuestos a dichos lados determinados por la ceviana en su lado relativo es

igual al producto del cuadrado de la longitud de dicha ceviana con la longitud de su lado relativo

más el producto de las longitudes de dicho lado y el de los segmentos parciales. En la figura

a2m + c2n = x2b + bmn.

bA

B

C

c ax

m nD

t 180-t

Figura 1.19: Teorema de Stewart

Teorema 1.23 (Teorema del cálculo de la mediana). En todo triángulo, la suma de los

cuadrados de las longitudes de dos lados es igual al doble del cuadrado de la mediana relativa

al tercer lado más la mitad del cuadrado de la longitud de dicho tercer lado.En la figura 1.20,

conociendo la langitud de los lados del triángulo ABC, se puede determinar la longitud de la

mediana, c2 + a2 = 2m2 + b2

2 .

bA

B

C

c am

b/2D

b/2

Figura 1.20: Teorema de la mediana

20

a2m+ c2n = x2b+ bmn.

7

Teorema 20 (Teorema del calculo de la mediana). En todo triangulo, lasuma de los cuadrados de las longitudes de dos lados es igual al doble delcuadrado de la mediana relativa al tercer lado mas la mitad del cuadrado dela longitud de dicho tercer lado.En la figura, conociendo la langitud de loslados del triangulo ABC, se puede determinar la longitud de la mediana,


Teorema 1.22 (Teorema de Stewart). En todo triángulo, la suma de los cuadrados de las

longitudes de los lados adyacentes a una ceviana interior multiplicados con las longitudes de los

segmentos parciales opuestos a dichos lados determinados por la ceviana en su lado relativo es

igual al producto del cuadrado de la longitud de dicha ceviana con la longitud de su lado relativo

más el producto de las longitudes de dicho lado y el de los segmentos parciales. En la figura

a2m + c2n = x2b + bmn.

bA

B

C

c ax

m nD

t 180-t

Figura 1.19: Teorema de Stewart

Teorema 1.23 (Teorema del cálculo de la mediana). En todo triángulo, la suma de los

cuadrados de las longitudes de dos lados es igual al doble del cuadrado de la mediana relativa

al tercer lado más la mitad del cuadrado de la longitud de dicho tercer lado.En la figura 1.20,

conociendo la langitud de los lados del triángulo ABC, se puede determinar la longitud de la

mediana, c2 + a2 = 2m2 + b2

2 .

bA

B

C

c am

b/2D

b/2

Figura 1.20: Teorema de la mediana

20

c2 + a2 = 2m2 + b2

2 .

Teorema 21 (Teorema del calculo de la bisectriz interior). En todo triangu-lo, el cuadrado de la longitud de la bisectriz interior es igual a la diferenciade los productos de las longitudes de los lados adyacentes a dicha bisectriz ylos segmentos determinados por dicha bisectriz en el lado al cual es relativo,


Teorema 1.24 (Teorema del cálculo de la bisectriz interior). En todo triángulo, el cuadra-

do de la longitud de la bisectriz interior es igual a la diferencia de los productos de las longitudes

de los lados adyacentes a dicha bisectriz y los segmentos determinados por dicha bisectriz en el

lado al cual es relativo, x2 = ca − mn.

bA

B

C

c a

x

u

D

u

m n

Figura 1.21: Teorema de la bisectriz interior

Prueba. Sea C la circunferencia circunscrita al triángulo △ABC.

bA

B

C

c a

x

u

D

u

m n

y


Por el teorema de isogonales en el triángulo △ABC, ca = x(x + y) = x2 + xy.

Por el teorema de la cuerdas en C, xy = mn. Reemplazando x2 = ca − mn.

Observación 1.25. Respecto al teorema anterior.

21

x2 = ca−mn.

8

Demostracion. Sea C la circunferencia circunscrita al triangulo 4ABC.


Teorema 1.24 (Teorema del cálculo de la bisectriz interior). En todo triángulo, el cuadra-

do de la longitud de la bisectriz interior es igual a la diferencia de los productos de las longitudes

de los lados adyacentes a dicha bisectriz y los segmentos determinados por dicha bisectriz en el

lado al cual es relativo, x2 = ca − mn.

bA

B

C

c a

x

u

D

u

m n


Prueba. Sea C la circunferencia circunscrita al triángulo △ABC.

bA

B

C

c a

x

u

D

u

m n

y


Por el teorema de isogonales en el triángulo △ABC, ca = x(x + y) = x2 + xy.

Por el teorema de la cuerdas en C, xy = mn. Reemplazando x2 = ca − mn.

Observación 1.25. Respecto al teorema anterior.

21

Por el teorema de isogonales en el triangulo4ABC, ca = x(x+y) = x2+xy.Por el teorema de la cuerdas en C, xy = mn. Reemplazando x2 = ca−mn.

Observaciones 1. Respecto al teorema anterior.

1. Rayos isogonales. Dos Rayos son isogonales con respecto a los ladosde un angulo con origen en el vertice del angulo, cuando estando ambosen el interior o en el exterior, forman angulos congruentes con los ladosdel angulo.

2. Teorema de las isogonales. En todo triangulo se cumple que elproducto de dos lados es igual al producto de sus isogonales, donde unade ellas esta limitada por el tercer lado y la otra por la circunferenciacircunscrita al triangulo.

Teorema 22 (Teorema del calculo de la altura). En todo triangulo, la lon-gitud de una altura es igual al doble de la inversa de la longitud del lado alcual es relativa multiplicada contre el semiperımetro de la region limitadapor dicho triangulo y la diferencia de dicho semiperımetro con la longitudde cada uno de los lados.

Prueba.

h =2

b

√p(p− a)(p− b)(p− c).

Proposicion 23. La mediatriz de un lado de un triangulo y las bisectri-ces del angulo opuesto se intersecan sobre la circunferencia circunscrita altriangulo.

9

3. Ejercicios propuestos

1. Demuestra que cada punto de la bisectriz de un angulo esta a la mismadistancia de cada uno de los lados del angulo.

2. Demuestra que las tres bisectrices de un triangulo se cortan en unmismo punto.

3. Demuestra que las tres mediatrices de un triangulo se cortan en unsolo punto.

4. Demuestra que el punto medio de la hipotenusa de un triangulo rectangu-lo equidista de los tres vertices del triangulo.

5. Demuestra que las tres alturas de un triangulo se cortan en un mismopunto.

6. Demuestre el teorema 11.




10. En un triangulo rectangulo ABC (recto en B), la mediatriz de ACintersecta a BC y a AC en los puntos E y D respectivamente. Si secumple que µ (AC) = 20 y µ (AB) = 12, calcule el area de la regionABED.

11. Desde un punto P exterior a una circunferencia se trazan la secantePBC y la secante diametral PED de modo quem (]EPC) = 2(mÊCP ),µ (PC) = 5, y µ (EP ) = 2. Calcule µ (ED).

12. En un triangulo ABC, se trazan las bisectrices interiores AM y CN ,las cuales se intersectan en I. Si µ (AB) 6= µ (BC) y µ (NI) = µ (IM),calcule m (ÂBC).

13. En un cuadrilatero convexo ABCD, las diagonales se intersecan enM , si µ (AM) = µ (MC), m (^BDC) = 2m(^BAC) y m (^BDA) =2m(^BCA). Calcule m (^CMD).

14. En un triangulo ABC isosceles de base AC, se ubica el punto Pen la region interior, tal que m (^BCP ) = 20◦, m (^PCA) = 50◦

y m (ÂPC) = 100◦. Calcule m (ÂOP ) si O es circuncentro deltriangulo ABP .

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15. En los arcos AB y BC, de la circunferencia circunscrita al trianguloABC, se ubican los puntos M y N respectivamente, tal que la medidade los arcos mAM = mBN y mBM = mCN . Si MN interseca ABy BC en P y Q, ¿que punto notable es el circuncentro del trianguloABC para el triangulo PBQ?

16. En un triangulo ABC, se traza la ceviana interior AM , luego se ubi-can los puntos L y N en AM y AC respectivamente, MN ∩ LC ={T}, tal que m (]ABM) = m (]AMN), BM = NC, AB = MC,m (]MLC) = m (]MTL). Indique que punto notable es L para eltriangulo ABC.

17. En un triangulo isosceles ABC de base AC se traza la ceviana interiorAM , tal que MC = 2(MB), en AM se ubica el punto L, tal quem (]BLC) = 90◦, calcule m (]LBC), si m (]MAC) = 42◦.

18. Un triangulo ABC inscrito en una circunferencia de centro O, se ubi-can los circuncentros O1 y O2 de los triangulos BOC y AOC, las cualespertenecen a los arcos BC y AC respectivamente. Calcule mAB.

19. Entre todos los triangulos de perımetro p, el equilatero es el de areamaxima.

20. Entre todos los triangulos inscritos en una circunferencia, ¿cual es elde mayor area?

21. Tres circunferencias de igual radio pasan por un punto P y se cor-tan dos a dos en los vertices de un triangulo ABC. Entonces P es elortocentro de ABC.

Referencias

[1] MOISE-DOWNS: Geometrıa Moderna. ADISSON WESLESYIBEROAMERICANA Unica Edicion; 1966.

[2] Osvaldo Dolce, Jose Nicolau Pompeo: Fundamentos de matematica ele-mentar 9 GEOMETRIA PLANA. ATUAL EDITORA. 7a edicion

[3] Araujo, Jose: Area y Volumen en la geometrıa elemental. Red OlımpicaArgentina; 2000.

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Geometr a Plana II · 2018-09-10 · Geometr a Plana II Wilson D az Cajo y Roy S anchez Gutierrez...

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