Geometría:Antecedentes Y Conceptos Básicos

¿Cuando nació la matemática?

• La aritmética y la geometría aparecen con la necesidad de contar y de medir en las transacciones comerciales, en las construcciones y en la medida del paso del tiempo.

• En el periodo predinástico de Egipto del V milenio a. C.

La historia de la geometría no es muy similar a la de la aritmética. Siendo sus conocimientos mas antiguos consecuencia de las necesidades practicas.• En egipcio, el Nilo inundaba los campos,

destruyendo las divisiones terrenales. Cuando las aguas volvían a su cause, los sacerdotes debían traza de nuevo los limites de las propiedades.

Artefactos para medir

• Los agricultores y los constructores de pirámides trazaban líneas perpendiculares sobre el terreno, utilizando una cuerda de doce nudos, con este método dibujaban triángulos rectángulos de 3, 4 y 5.

Geometría formal• Los geómetras griegos reunieron los

conocimientos adquiridos empíricamente por los egipcios, los ordenaron y los sistematizaron.

• La geometría en Grecia alcanzo su máximo desarrollo. Utilizando instrumentos como regla y compas.

Geómetras griegos y sus aportaciones

• Pitágoras de Samos: “El cuadrado de la hipotenusa de un triangulo rectángulo es igual a la suma de sus otros dos lados”.

• Tales De Mileto: propiedades de los ángulos, triangulo y segmentos proporcionales.

• Euclides De Alejandría: reunió todos los conocimientos geométricos en u libro “Elementos”

• Arquímedes De Siracusa: áreas y volúmenes de figuras solidas curvadas y áreas de figuras plamas.

• Eratóstenes De Cirene: método trigonométrico (semejanza de triángulos) para determinar el tamaño de la tierra.

TeoremaToda proposición que puede ser demostrada. La demostración consta de un conjunto de razonamientos que conducen a la evidencia de la verdad de la proposición.

Un teorema generalmente posee un número de premisas que deben ser enumeradas o aclaradas de antemano. Luego existe una conclusión, una afirmación lógica o matemática, la cual es verdadera bajo las condiciones dadas. El contenido informativo del teorema es la relación que existe entre las hipótesis y la tesis o conclusión.

EjemplosEn el enunciado de todo teorema se distinguen dos partes:

a) Hipótesisb) Tesis

Ejemplos:

Teorema: la suma de los ángulos interiores de todo triángulo es igual a dos ángulos rectos , es decir , 180°. Hipótesis: A , B y C son los ángulos interiores de un triángulo.Tesis: la suma de los ángulos A, B y C vale dos ángulos rectos.

AxiomaProposición que, siendo evidente, no requiere demostración.es una premisa que, por considerarse evidente, se acepta sin demostración, como punto de partida para demostrar otras fórmulas. Tradicionalmente los axiomas se eligen de las consideradas «afirmaciones evidentes», porque permiten deducir las demás fórmulas.

TESIS

DEFINICION.Se trata de una proposición o conclusión que se mantiene con razonamientos. La tesis es una afirmación de veracidad argumentada o justificada cuya legitimación depende de cada ámbito. 

EJEMPLO: ”<A + <B + < C =180º”

COROLARIODEFINICION.Es una proposición que se deduce de lo demostrado con anterioridad, por lo que no requiere de una prueba particular.EJEMPLO:“En todo triangulo rectángulo la suma de los ángulos interiores agudos es igual a 90º”.

Postulado

• Un postulado es una proposición no evidente por sí misma, ni demostrada, pero que se acepta ya que no existe otro principio del que pueda ser deducida.

• También se denomina postulado a los principios sustentados por una determinada persona, un grupo o una organización.

• Los postulados son fórmulas específicas de una teoría que se aceptan solamente por acuerdo. Razonando acerca de dos estructuras diferentes, por ejemplo los números naturales y los números enteros, pueden comprender los mismos axiomas. 

• Un ejemplo de esto son “Los postulados de Euclides”

Dos puntos cualesquiera determinan un segmento de recta.

Un segmento de recta se puede extender indefinidamente en una línea recta.

Se puede trazar una circunferencia dados un centro y un radio cualquiera.

Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

Si una línea recta corta a otras dos, de tal manera que la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea menor que dos rectos, las otras dos rectas se cortan, al prolongarlas, por el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.

Métodos de razonamiento• El término métodos de razonamiento hace referencia a un

número determinado de maneras, por medio de las cuales, es posible utilizar efectivamente la facultad humana que permite resolver problemas.

• Según las características de los problemas a resolver, el pensamiento opera de forma distinta al momento de razonar; por eso es importante que aprendan a identificar las formas correctas que se deben emplear, en cada situación específica, para lograr una resolución efectiva del problema que se pueda plantea..

• Método Deductivo

Puede decirse que es el método más común o más utilizado al momento de razonar, puesto que, generalmente, la mayoría de las personas, prefiere fundamentar sus argumentos o hipótesis en principios o leyes generales.

Todas las frutas cítricas contienen vitamina C. La piña es una fruta cítrica; Por tanto la piña contiene vitamina C. 

• Método inductivo

Los razonamientos inductivos, a diferencia de los deductivos, van de lo particular a lo general, Por ejemplo, se analizan tres casos (a, b, c), se determina que todos ellos tienen una característica, y esto permite obtener un juicio universal.

“El animal a, el animal b, y el animal c, están compuestos de células.” “El animal a, el animal b y el animal c son gatos.” Luego, todos los gatos están compuestos de células”.

En Lógica y Matemáticas, una hipótesis es una proposición de la que se parte para comprobar la veracidad de una tesis mediante argumentos 

válidos.  En estadística se denomina

también hipótesis a cada una de las dos proposiciones mutuamente  contradictorias que se afirman en un contraste de hipótesis.

¿Que es hipótesis?

¿QUE ES UNA PROPOSICIÓN?

Una expresión que deba ser verdadera o falsa pero que no pueda ser ambas, la llamaremos una proposición.

•GRACIAS POR SU ATENCION