GEOMETRIA 5°mayo
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Academia Cesar Vallejo
Quinto Grado 2011
LÓ G I CO M ATE M Á TI CO _ I
Í N D I C E
G E O M E TR
Í A Á N G U
LO S
I1 Concepto
I1 Elementos
I1 Bisectriz de un ángulo
I1 Clasificación:
• Por su medida
• Por su posición de sus lados.
• Por la suma de sus medidas.
• Ejercicios de ángulos
• Rectas paralelas cortadas por una secante.
• Teorema del Serrucho
LÓ G I CO M ATE M Á TI CO _ I
Academia Cesar Vallejo
Quinto Grado 2011
Reseña Histórica deArquímides
Arquímides (– 287 a – 212). Fue un científico griego
que perfec- cionó y generalizó el método de
exhaustión para el cálculo de superficie y
volúmenes. Estableció los principios generales de la
hidrostática y sentó las bases de la mecánica teórica.
Se le atribu- ye numerosas invenciones mecánicas,
como las poleas compues- tas, el tornillo sin fin y el
tornillo hidráulico.
LÓ G I CO M ATE M Á TI CO _ I
Academia Cesar Vallejo
Quinto Grado 2011
GEOMETRÍA
I . Á n g u l o :
Es el espacio comprendido entre dos rayos que tienen un mismo origen.
A
O
B
E l e m e nt o s :
a) La dos
b) Vértice
OA, OB
O
Notación:
AOB se lee ángulo AOB
m AOB
se lee medida del ángulo AOB.
I I . M a g n i t u d d e u n á n g u l o : E s la me dida de l á ng ulo y se mide c on e l
TRANSPORTADOR. Su unidad de medida es el GRADO SEXAGESIMAL (1°).
1° = 60'
LÓ G I CO M ATE M Á TI CO _ I
Academia Cesar Vallejo
Quinto Grado 2011
1' = 60''
1° = 3600''
G
III. B i s e c t ri z d e un á n g u l o : Es el rayo que divide al ángulo en dos ángulos congruentes
(iguales).
ACongruentes
O símbol
oP
OP : Bisectriz del AOB
B
IV. C la s i f i c a c i ó n d e l o s á n g u l os :
1 . P o r s u m e d i d a
Se clasifica en :
a) Á N G U L O A G U DO mide entre 0° y
90°
A
b) Á N G U L O R E C T O
mide 90°
M
c) Á N G U L O O B T U S O mide entre 90° y 180°
E
BC
ON
F
d) Á N G U L O LL A N O e) ÁNGULO CÓNCAVO f) ÁNGULO DE UNAmide 180°
P Q R
mide entre 180° y
360° B A
C
V U E L T A mide 360°
M P
2 . P o r l a p o s i c i ó n d e s u s l a d o s
Se clasifican en :
a) Á N G U L OS A D Y A C E N T E S c) Á N G U L O O B T U S O mide entre 90° y 180°
A N
B E H
Q
F GO
C O R I
AOB y BOCson
ADYACENTES
MON, NOP, POQ y QORson 4 ángulos CONSECUTIVOS
EGF y HGI son
OPUESTOS POR EL VERTICE
3 . P o r l a sum a d e su s m e d i d a s
Se clasifica en :
a) ÁNGULOS COMP LEMENTA RI OS
a) ÁNGULOS S UP LEMENTARI OS
A
BE
O CD F G
Dos ángulos son COMPLEM
ENTARIOS S I LA S UM A DE S US
M EDIDAS ES 90°
m AOB + m BOC =90°
Dos ángulos son S UPLEM ENTARIOS
S I LA S UM A DE S US M EDIDAS ES 180°
m DFE + m EFG = 180°
C O M P L E M E N T O DE U N Á N G U L O
Es lo que le falta a la medida
de un ángulo para ser igual a
90°
S U P L E M E N T O DE U N Á N G U L O
Es lo que le falta a la medida de un ángulo para ser igual a 180°
C = 90° – S = 180° –
V. T E O R E M A S
1 . “La suma de las medidas de los ángulos CONSECUTIVOS formados alrededor de un mismo vértice y a un mismo lado de una recta es 180°”
180º
2 . “La suma de las medidas de los ángulos CONSECUTIVOS formados alrededor de un mismo vértice es 360°”
360º
3 . “Los ángulos OPUESTOS POR EL VÉRTICE son congruentes...”
Academia Cesar Vallejo
Quinto Grado 2011
E J E M P LO S :
1 . Del gráfico hallar “x”. S o l u c i ó n :
x+124x
4x = x + 12°
4x – x = 12°
3x = 12°
x = 12 °
3
x = 4°
2 . Hallar "" S o l u c i ó n :
40°
++ 90° + 40° = 180°
2+ 130° = 180°
2 = 180° – 130°
2 = 50°
= 50°
2 = 25°
3 . Hallar " "
en: S o l u c i ó n :
+ + + 2+ 90° = 360°
5+ 90° = 360°
5 = 360° – 90°
5 = 270°
= 270°
5
= 54°
1 . De la figura, calcular
y 2 . En la figura, calcular
20°
0 120°
3 . En la figura, calcular 4 . En la figura, calcular
" "
27°
46°
5 . En la figura, calcular " "
6 . En la figura, calcular
7 . Del gráfico, hallar " "
8 . De la figura, calcular
" "
40º
50º 56°
9 . En la figura, calcular " "
1 0 . Del gráfico, hallar " "
2 4
5
7
64°
1 1 . Del gráfico, calcular " "
1 2 . Del gráfico, hallar " "
30°
30°
Academia Cesar Vallejo
Quinto Grado 2011
1 3 . Calcular los complementos de : 1 4 . Calcular los suplementos de :
C15° = 90° – 15° = 75°
C 26° = _____ _______
C 48° = ____ ______ __
C54° = __ _____ _____
C64° = ______ ______
S118° = 180° – 118° =
62° S125° = ________
______ S131° = ________
______ S142° = ________
______
S159° = ________ ______
1 5 . Calcular el suplemento del 1 6 . Hallar el suplemento del complemento
complemento de: del suplemento de 120°
SC 25° = 180° – (90° – 25°) = 180° –
65° = 115° SC 33° = _ _______ ____
SC 47° = _ _______ ____
SC 52° = _______
_______ SC 36° = _
_______ ____
1 . Del gráfico, hallar " "2 . En la figura, calcular " " y " "
50°140°
110°
Academia Cesar Vallejo
Quinto Grado 2011
3 . Del gráfico, calcular " "
6 . Del gráfico, calcular " "
125°
15°
3 2
78° 92°
2 2
2
4 . De la figura, calcular " "
7 . Del gráfico, calcular " "
64°
50°
75°
5 . Del gráfico, hallar “x” 8 . De la figura, calcular " "
2x+220°
47°
R E C T A S P A R A L E L A S C O R T A D A S P O R L A S E C A N T E
I . P O S I C I O N E S R E L AT I VA S D E D O S R E C TA S E N E L P L A N O
1 . R E C T A S PA R A L E L A S : Dos rectas son paralelas (//), si su INTERSECCIÓN es
NULA.
m
Si m
n n
= m
//n
2 . R E C T A S S E C AN T E S : Dos rectas son secantes, si su INTERSECCION es un
PUNTO.
mSi m
n
= P
Pn
Las rectas m
y n
sonSECANTES
3 . R E C TA S P E R P E N D I C U L A R E S : Dos rectas son perpendiculares (
), si suINTERSECCIÓN es un ÁNGULO RECTO (90°).
m
n Si m
n
=
90°
m
n
L
1
I I . Á N G U L O S F O R M A D O S P O R D O S R E C T A S P A R A L E L A S Y U N A
S E C A N T E
Si las rectas L1 y L
2 son paralelas y están cortadas por una SECANTE
M, se cumplen las siguientes propiedades.
1 . L o s á n g u l o s c orr e s pondi e n t e s s o n c on g r u e n t e s : L1
1 5; 2 6; 3 7; 4 8 3 4
2 . L o s án g u l o s a lt e rno s i nt e rno s s on c on g ru e n t e s : 5 62
3 6; 5 4 7 8
3 . L o s á n g u l o s a l t e rno s e x t e rno s s o n c on g ru e n t e s :M
1 8; 2 7
4 . L o s á n g u l o s c on j u g a do s e x t e rno s so n sup l e m e n t a rio s :
m 1 + m 7 = 180º; m2 + m 8 = 180º
5 . L o s á n g u l o s c on j u g a do s in t e rno s so n sup l e m e n t a rio s :
m 3 + m 5 = 180º; m4 + m 6 = 180º
L E Y D E L S E R R U C H O
Si entre dos rectas paralelas se trazan varios ángulos como muestra la figura 1, se cumple que:
L 1 // L 2
L1 xa SUMA DE ÁNGULOS SUM A DE ÁNGULOS
y DIRIGIDOS A LA = DIRIGIDOS A LA
b IZQUIERDA DERECHA
zc
wL2 d
x+y+z+w
= a+b+c+d
L
E j e m p l o s :
1 . En la figura
//
, hallar " "L1 L2
S o l u c i ó n :
L120°
Aplicando la ley del serrucho
58° + 20° + 45° = 58° + 60°
2 . Hallar “x”, si
45°
60°
L2
L1 // L2
+ 65° = 118°
= 118° – 65°
= 53°
S o l u c i ó n :
3x1
2x+40°
L2
3x + 2x + 40° = 180°
5x = 180° – 40°
x = 1405
x = 28°
1 . Si L 1 // L 2 . Calcular " "
2 . Si L 1 // L 2. Calcular " "
36°
L1L1
128° L2
L2
3 . Si L 1 // L
2
. Calcular " "
4 . Si L 1 // L
2
. Calcular " "
120°
L1
L2
L1
146°
L 2
L
L
5 . Calcular . Si
L 1 // L
2
6 . Si L 1 // L 2 , Calcular " "L1
30°L1
50°
40°20° L2
10°
20°40°
L2
30°
7 . Si L 1 // L 2 , calcular " "
8 . Si L 1 // L 2 . Calcular " "
L180°
1
L2 100°
2
L
1 . Si L 1 // L
2
. Hallar " "
4 . Si L 1 // L
2
. Calcular “ ” en:
L132°
44°
18° L2
20°
60°
34°
L1
16° L2
2 . Si L 1 // L
2
. Hallar “x” 5 . Si L 1 // L
2
. Calcular “x” en:
L 1x°
73°2
x+20°
L1 L2
x+10°
3 . Si L 1 // L
2
. Calcular “ ” 6 . Calcular el valor de " "
en la
siguiente figura si
L1
L 1 // L 2 .
L1
150°
260° L2 L