GEOMETRÍA ANALÍTICA

DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RELACIÓN DADA

Dividir un segmento AB en una relación dada r  es determinar un punto P de la recta que contiene al segmento AB, de modo que las dos partes,  PA y PB, están en la relación r:

Ejemplo:¿Qué puntos P y Q dividen al segmento de extremos A (-1, -3) y B(5, 6) en tres partes iguales?

PENDIENTE E INCLINACIÓN DE LA RECTASe denomina ángulo de inclinación de una recta al ángulo que determina dicha recta con el sentido positivo del eje  x, siendo medido este ángulo en sentido contrario a las manecillas del reloj, desde el eje positivo de las x hasta la recta. El ángulo de inclinación de una recta es un valor que siempre está comprendido entre 0 y 180°, además indica su posición en el plano:-          Así si una recta es paralela al eje x su Ð de inclinación es  de 0°.-          Si es ^ al eje x, su ángulo es de 90°.-          Si se inclina hacia la derecha el ángulo es agudo.-          Si se inclina hacia la izquierda su ángulo es obtuso.

El concepto de inclinación de una recta es fácil de comprender; tiene, no obstante, el inconveniente de que su utilización en geometría analítica es difícil, razón por la cual se prefiere emplear la pendiente del ángulo de inclinación que se define de la siguiente manera: pendiente de una recta es la tangente de su ángulo de inclinación.   Es costumbre designar la pendiente de una recta por la letra minúscula  m.  Si la inclinación  de la recta es q, podemos escribir   m = tang ,  y deducimos  = m así:a) Si la recta es paralela al eje x, q = ° y m = tang  = 0

b)    Si la recta es perpendicular al eje  x,  = 90° y m = tang  = ∞

c)    Si la recta se inclina hacia la derecha, 0°  < < 90° y m = tang ° > 0

d)    Si la recta se inclina hacia la izquierda, 90°  <  < 180° y m = tang  < 0

Para hallar la pendiente se nos presentan algunos casos distintos:

a)   Cuando se conoce el ángulo, la pendiente se halla sacando la tangente de su ángulo.

EJEMPLO: 

Hallar la pendiente, sabiendo que su ángulo de inclinación es igual a 45°.

m = tang      m = tang 45°                        m = 1

Hallar la pendiente, sabiendo que su ángulo de inclinación es igual a 60°.

m = tang q     m = tang 60°                        m = 1.73

a) Cuando se tiene dos puntos situados sobre una recta. Sean A (x1, y1) y B (x2, y2) dos puntos sobre la recta  L.

Observemos la figura (1)

Por definición m = tang   =   BM   =  y2 – y1

                                                     AM       x2 – x1

De donde:

 ÁNGULO DE DOS RECTAS

Se llama ángulo de dos rectas al menor de los ángulos que forman éstas. Se pueden obtener a partir de:

1 Sus vectores directores

2 Rectas paralelas al eje OY

Ejemplo:

Calcular el ángulo que forman las rectas r y s, sabiendo que sus vectores directores son :   = (-2, 1) y  =(2, -3).

Dadas las rectas r ≡ 3x + y - 1 = 0 y s ≡ 2x + my - 8 = 0, determinar m para que formen un ángulo de 45°.