Geometria Analitica Cuaderno de Ejercicios

5/27/2018 Geometria Analitica Cuaderno de Ejercicios

GEOMETRIA ANALITICACUADERNO DE EJERCICIOS

EL MATERIAL QUE SE PRESENTA EN ESTE CUADERNO DE EJERCICIOSCORRESPONDE AL PROGRAMA VIGENTE DEL CURRICULUM DELBACHILLERATO DE LA U.A.E.M.PRESENTA EJERCICIOS QUE APOYAN EL PROCESO DE ENSEANZA-APRENDIZAJE DEL ALUMNO CON UN ENFOQUE POR COMPETENCIASDE CADA UNO DE LOS MODULOS DEL PROGRAMA

ROBERTO MERCADO DORANTES

25/10/2011
http://www.google.com.mx/imgres?imgurl=http://html.rincondelvago.com/000208976.png&imgrefurl=http://html.rincondelvago.com/geometria-analitica_conicas.html&usg=__LVxWmw-iyYvcBTIXRrtw_JtSC-0=&h=278&w=238&sz=55&hl=es&start=11&zoom=1&tbnid=yiy8WEMqm0CvHM:&tbnh=114&tbnw=98&ei=k-WmTpO5K8SniALq0sWoDQ&prev=/search?q=GEOMETRIA+ANALITICA&hl=es&sa=X&gbv=2&tbm=isch&itbs=1


Roberto Mercado Dorantes Pgina 2

PROGRAMA

MODULO I RECTA

MODULOII CIRCUNFERENCIA

MODULO III PARBOLA

MODULO IV ELIPSE

MODULO VI HIPERBOLA
http://www.google.com.mx/imgres?imgurl=http://www.arqhys.com/arquitectura/conocimiento.jpg&imgrefurl=http://www.arqhys.com/arquitectura/conocimiento-proceso.html&usg=__NSepGm2iJthdxUmVxA6j_AdbR8k=&h=284&w=301&sz=27&hl=es&start=1&zoom=1&tbnid=1-Nis0c2be2eiM:&tbnh=109&tbnw=116&ei=6lZmTuCbMYHogQevr4WcCg&prev=/search?q=CONOCIMIENTO&hl=es&gbv=2&tbm=isch&itbs=1



INDICE

PORTADA 1

PROGRAMA 2

INDICE 3

MODULO I 4-13

MODULO II 14-17

MODULO III 18-23

MODULO IV 24-34

MODULO V 35-42

BIBLIOGRAFIA 43
http://www.google.com.mx/imgres?q=geometria+analitica&hl=es&biw=1311&bih=603&gbv=2&tbm=isch&tbnid=w-1hhre-EVUFgM:&imgrefurl=http://iguerrero.wordpress.com/2009/06/22/topicos-de-geometria-analitica/&docid=AJOaLuP2gQX5TM&imgurl=http://iguerrero.files.wordpress.com/2007/06/rene-descartes.jpg&w=409&h=500&ei=tPqlTpOiDZHksQLSiNnKDw&zoom=1



MODULO I

OBJETIVO

Calcular ecuaciones de rectas, graficarlas y resolver problemas cuya modelacin conduzca aecuaciones de rectas.

OBJETIVOS PARTICULARES:

Calcular la ecuacin de una recta, dados como datos: dos puntos, pendiente y un punto, elngulo de inclinacin y un punto.Obtener la ecuacin de una recta, a partir de la pendiente y ordenada al origen.Identificar la pendiente, la abscisa y la ordenada al origen a partir de la ecuacin generalde una recta.Graficar la recta a partir de su ecuacin general.Reconocer que toda ecuacin de primer grado se representa como una recta yrecprocamente.

Resolver problemas que involucren el concepto de distancia de un punto a una rectaEvidencias de aprendizaje

1. Obtn las coordenadas de los siguientes puntos mostrados en el plano cartesiano

A ( ), B ( ), C ( ), D ( ), E ( )



2. Calcula el permetro del siguiente polgono que se muestra en la figura

3. Determine las coordenadas del ),( yxP , que divide al segmento AB cuyos extremos son:

A (1,-1) Y B (10,10) en la razn3

1r , e indique si es punto de triseccin. Grafique

P=



4. Determine las coordenadas del punto medio de un segmento de recta delimitado por los

puntos A (-5,3) y B (6,1/2). Grafique

5. Seala grficamente la pendiente m del segmento de recta que se muestra en la figura y

obtn el valor de su ngulo de inclinacin



6. Calcula el ngulo interior del tringulo con vrtice en el punto A del tringulo formado por

los puntos A (-1,1), B (2,5) y C (4,-3). Grafique

7. Halle la ecuacin del conjunto de puntos, tales que el triple de su ordenada disminuida en

seis unidades es igual al cudruple de su abscisa.



8. Halle la ecuacin del conjunto de puntos que equidistan ocho unidades del punto

)4,3(A . Grafique

9. Grafica en el plano cartesiano las siguientes ecuaciones:

yxc

yb

xa

2)

4)



10.Obtenga la ecuacin de la recta que contiene al punto P (2,3) y su ngulo de inclinacin es0135 . Grafique

11.Obtenga la ecuacin de la recta que pasa por los puntos A (-2,-3) y B (2,5). Grafique



12.Halle la ecuacin de la recta que tiene pendiente m=1/3 y su interseccin con el eje Y es el

punto (0,-2). Grafique

13.Obtenga la pendiente da cada una de las siguientes rectas:

01545)

05)

01032)

yxc

yxb

yxa

14.Determine la ecuacin general de la recta que contiene al origen y es paralela a la recta

01232 yx

a) m=.b) m=.

c) m=-------------------------



15. Halle la ecuacin de la recta que pasa por el punto P (-4,3) Y es perpendicular a la recta

02yx

15.Determine el valor de k para que la recta ,010)2(2 ykkx sea perpendicular a la

recta que tiene por ecuacin 012107 yx .

16.Determine la distancia del punto P(5,-6) a la recta: 0643 yx



Evidencias de aprendizaje

1. Escribe la ecuacin cuya pendiente es 3m y su interseccin con el eje yes el punto (0,2). (Utiliza Geogebra para representar su lugar geomtrico).

2. Escribe la ecuacin de la recta de pendiente3

2 y ordenada en el origen

igual a 4 (Utiliza Geogebra para representar su lugar geomtrico).

3. La siguiente ecuacin 504xy representa el sueldo de Luis que trabajaen una florera, donde y representa el salario semanal de Luis en dlares yla literal x representa el nmero de arreglos florales vendidos durante laprimera semana, calcula:

a) El sueldo semanal de Luis cuando no vende ningn arreglo floral

b) Cuando vende 10 arreglos floralesc) Representa utilizando Geogebra la solucin de los dos incisosanteriores.

4. Escribe la ecuacin de la recta que pasa por el punto (3,5) y tiene pendiente2m (Utiliza Geogebra para representar su lugar geomtrico).

5. Escribe la ecuacin de la recta quepasaporelpunto )3,2(1P y tieneun

ngulode inclinacin 045 (Utiliza Geogebra para representar su lugargeomtrico).

6. Escribe la ecuacin que pasa por los puntos )5,3(1P y )1,2(2P . (UtilizaGeogebra para representar su lugar geomtrico).

7. Seesperaqueelvalordeunamaquinadisminuyaconelpasodeltiempodemaneralineal.Dopuntosdedatosindicanqueelvalordelamaquinaenunaodespusdelacompraser$120,000.00ysuvalordespusde6aosserde$30,000.00.Determina:

a) La ecuacin que representa la depreciacin de la mquina,considerandocomovalorV,yantigedadenaost.

b) Interpretaelsignificadodelapendientec) (Utiliza Geogebra para representar su lugar geomtrico).

8. DeacuerdoconlaLeydeCharles,lapresinP(enpascales)deunvolumendegasserelacionadeformalinealconlatemperaturaT(engradoscentgrados).UnexperimentodiocomoresultadoquesiT=20,entoncesP=40,yquesiT=70,entoncesP=90.



(Sugerencia:representaenelejey lapresinytemperaturaeneleje)

a) Culeslapendientedelarectaquecontieneestospuntos?b) Explicaelsignificadodelapendienteenestecontextoc) Escribelaecuacindeestemodeloexperimental

d) UtilizandoGeogebrarepresentaellugargeomtricodelaecuacinobtenida.

9. Escribelaecuacindelarectaenformasimtrica,sisusinterseccionescon

los ejes YX son los puntos A (3,0) y B (0,-2). (Utiliza Geogebra pararepresentar su lugar geomtrico).

10. La grafica que aparece ms adelante muestra el comportamiento de un

negocio que renta locales para exposiciones. El dueo cobra xpesos pormetro cuadrado, y el nmero de espacios yque puede rentar esta

modelado por la ecuacin lineal xy 5200 .a) Cuntos espacios disponibles hay al iniciar el negocio?b) Escribe el modelo de la ecuacin en la forma simtricac) Qu significa la interseccin de la recta con el eje x



MODULO II CIRCUNFERENCIA

En este tema se pretende que el alumno desarrolle lassiguientes; competencias:

1. Construir e interpretar modelos auxilindose dedistintas formas de la ecuacin de la circunferencia alresolver problemas derivados de situaciones reales,hipotticas o tericas.

2. Interpretar tablas, grficas y expresiones simblicas relacionadas con diferentesformas de la ecuacin de la circunferencia.

3. Argumentar la pertinencia de utilizar una forma especfica de la ecuacin de lacircunferencia, dependiendo de la naturaleza de la situacin bajo estudio

ConocimientosAl finalizar este tema, el alumno adquirir los conocimientos que le permitirn:

1. Reconocer las curvas que se obtienen al realizar cortes a un cono mediante unplano.

2. Reconocer la circunferencia como lugar geomtrico.

3. Identificar los elementos asociados a la circunferencia.

4. Comprender la existencia de una circunferencia especfica cuando se conocensu centro y su radio.

5. Identificar el centro y el radio de una circunferencia con centro en el origen apartir de su ecuacin.

6. Identificar las secciones cnicas resultantes de los cortes a un cono

Habilidades

Al finalizar este tema, el alumno habr desarrollado las habilidades que lepermitirn:

1. Analizar la forma de secciones cnicas en su entorno.

2. Determinar los elementos mnimos para trazar una circunferencia.
http://www.google.com.mx/imgres?q=profesor&hl=es&biw=1311&bih=603&gbv=2&tbm=isch&tbnid=JXdIUqGRdnm7zM:&imgrefurl=http://mundocomunicar.blogspot.es/tags/periodismo/&docid=sY9SNkfMt3ESBM&w=249&h=253&ei=n6RaTuHKNOStsAK_9IDGDA&zoom=1



3. Integrar los elementos necesarios para el trazado de una circunferencia concentro en el origen en la escritura de su ecuacin.

4. Obtener los elementos de una circunferencia a partir de su ecuacin.

5. Resolver problemas que implican la determinacin o el anlisis de la ecuacinde circunferencias con centro en el origen.

6. Reflexionar sobre las caractersticas de la circunferencia como lugargeomtrico, con la finalidad de modelar fenmenos o situaciones provenientes dediversos contextos.

Actitudes y valores

Al estudiar el tema, el alumno:

1. Participar activamente en la realizacin de ejercicios y en la resolucin deproblemas.

2. Aportar puntos de vista personales con apertura y considerar los de otraspersonas.

3. Propondr maneras creativas de resolver problemas matemticos.

Indicadores de desempeo

Se pretende que el alumno logre:1. Identificar el tipo de curvas que se forman por medio de los cortes de un planoen un cono.

2. Realizar las descripciones mnimas necesarias para el trazado de unacircunferencia.

3-Determinar la expresin algebraica de una circunferencia con centro en el origena partir de la medida de su radio o de otros datos.

4. Establecer el centro y el radio de una circunferencia con centro en el origena partir de su ecuacin.

5. Resolver situaciones problemticas que impliquen determinar la ecuacin o lagrfica de circunferencias con centro en el origen.



Es el lugar geomtrico del conjunto de puntos tales que sudistancia (radio) a un punto fijo (centro) es siempre constante

Dnde:r= constante (radio)C=punto fijo (centro)

rCP

Formas de la ecuacin de unacircunferencia

a)Ecuacin de una circunferencia decentro en el origen(0,0) y radio r

222ryx ;forma canonca

b)Ecuacin de una circunferencia decentro (h,k) y radio r

222 )()( rkyhx ;forma ordinaria

c)Ecuacin de una circunferencia ensu forma general

022 FEyDxyx ;forma general


1. Escribir la ecuacin de la circunferencia de centro en el origen y radio 6(Utilizando Geogebra representa su lugar geomtrico).

2. Escribir la ecuacin de la circunferencia de centro en el origen y radio 6

3. Determina si el punto (3,-1) pertenece a la circunferencia 922 yx

4. Escribir la ecuacin de la circunferencia de centro en el origen y que pasapor el punto (2,3). Utiliza Geogebra para trazar su grafica.

5. Una laguna de forma circular tiene una superficie de806m2, toma como origen el centro de la laguna, obtnla medida de su radio.

R. No es un punto de la circunferencia

R. 1322 yx

R. 16.02
http://www.google.com.mx/imgres?imgurl=http://www.mashipura.com/site/uploads/data/image/gallery/1278.jpg&imgrefurl=http://www.mashipura.com/site/modules/viaggi/item.php?itemid=389&keywords=bolivia&usg=__IhDVw9Gt2B2wDvC5VhiKPnW8JZ8=&h=786&w=1600&sz=1566&hl=es&start=1&zoom=1&tbnid=d7ao-Xw9OtCYoM:&tbnh=74&tbnw=150&ei=ICpdTtqRDZPCsQLx5ehD&prev=/search?q=laguna&hl=es&gbv=2&tbm=isch&itbs=1http://www.google.com.mx/imgres?q=profesor&hl=es&biw=1311&bih=603&gbv=2&tbm=isch&tbnid=JXdIUqGRdnm7zM:&imgrefurl=http://mundocomunicar.blogspot.es/tags/periodismo/&docid=sY9SNkfMt3ESBM&w=249&h=253&ei=n6RaTuHKNOStsAK_9IDGDA&zoom=1



6. Escribe la ecuacin ordinaria de la circunferencia con centro en el punto(2,1) y radio r=3 (Utiliza Geogebra para trazar su grafica).

7. En la ciudad de Mxico se encuentra un reloj floral, quetiene una caratula floral de 10 metros de dimetro. Loadornan 20 mil plantas de diferentes especies.Determina:a) La ecuacin ordinaria de la circunferenciaconsiderando que su centro esta en el punto P (6,2)

8. La glorieta del paseo colon en la ciudad de Tolucatiene por ecuacin en su base

0144242422 yxyx ;Determinar:a) La ecuacin ordinariab) Elementos (centro, radio)

9. Escribe la ecuacin de la circunferencia con centro en el punto (-1,0) y quees tangente a la recta .01243 yx (Utiliza Geogebra para trazar sugrafica).

10. Transformar la siguiente ecuacin de una circunferencia, a la formaordinaria, obtn las coordenadas del centro, la magnitud del radio yrepresenta su lugar geomtrico utilizando Geogebra.

0204222 yxyx

9)1()2( 22 yx

100)2()6( 22

yx
http://www.google.com.mx/imgres?imgurl=http://www.mexicomaxico.org/Reforma/images/RefColonAnt.jpg&imgrefurl=http://www.mexicomaxico.org/Reforma/reformaGlor.htm&usg=__inbtjS4rnu6M1mzq8PoyZrAeNjQ=&h=317&w=500&sz=33&hl=es&start=1&zoom=1&tbnid=6PFK3i36_SFz9M:&tbnh=82&tbnw=130&ei=zC9dTrunO9HIsQLd95yCAg&prev=/search?q=glorieta+de+colon&hl=es&gbv=2&tbm=isch&itbs=1http://www.google.com.mx/imgres?imgurl=http://www.mexicosmagazine.com/wp-content/uploads/reloj_floral.jpg&imgrefurl=http://www.mexicosmagazine.com/articulos/letra-m/monumentos/el-reloj-floral&usg=__jbG7Xd6rtibK0gShntrHV2m9M2I=&h=300&w=400&sz=55&hl=es&start=1&zoom=1&tbnid=MFS8Shf-M4mpaM:&tbnh=93&tbnw=124&ei=gC1dTr2OC62nsALnvakE&prev=/search?q=reloj+floral&hl=es&gbv=2&tbm=isch&itbs=1



MODULO III PARBOLA

En este tema se pretende que el alumno desarrolle las siguientescompetencias:

1. Construir e interpretar modelos sobre la parbola como lugar geomtrico al resolverproblemas derivados de situaciones reales, hipotticas o tericas.

2. Interpretar tablas, grficas y expresiones simblicas en distintas representaciones de laparbola.

Conocimientos

Al finalizar este tema, el alumno adquirir los conocimientos que le permitirn:

1. Reconocer a la parbola como lugar geomtrico.

2. Identificar los elementos asociados a la parbola.

3. Reconocer la ecuacin de parbolas horizontales y verticales con vrtice en el origen.

4. Identificar los elementos de una parbola con vrtice en el origen a partir de su

ecuacin.

Habilidades

Al finalizar este tema, el alumno habr desarrollado las habilidades que le permitirn:

1. Determinar las condiciones necesarias para trazar una parbola.

2. Integrar los elementos necesarios para el trazado de una parbola con vrtice en elorigen y eje focal coincidente con el ejex o y en la escritura de su ecuacin

3. Obtener los elementos de una parbola horizontal o vertical con vrtice enel origen a partir de su ecuacin.

4. Resolver problemas que implican la determinacin o el anlisis de la ecuacin deparbolas horizontales o verticales con vrtice en el origen.
http://www.google.com.mx/imgres?q=profesor&hl=es&biw=1311&bih=603&gbv=2&tbm=isch&tbnid=JXdIUqGRdnm7zM:&imgrefurl=http://mundocomunicar.blogspot.es/tags/periodismo/&docid=sY9SNkfMt3ESBM&w=249&h=253&ei=n6RaTuHKNOStsAK_9IDGDA&zoom=1



Actitudes y valores


1. Participar activamente tanto en la realizacin de ejercicios como en la resolucin deproblemas referentes al lugar geomtrico de la parbola.

2. Aportar puntos de vista personales con apertura y considerar los de otras personas.

3. Propondr maneras creativas de resolver problemas matemticos.


Se pretende que el alumno logre:

1. Reconocer los elementos de la parbola como lugar geomtrico.

2. Trazar parbolas por medio de distintos mtodos.

3. Determinar la ecuacin de una parbola vertical u horizontal con vrtice en el origen.

4. Determinar el vrtice, el foco y la directriz asociados a una parbola a partir de suecuacin.

5. Modelar situaciones en las que intervienen parbolas verticales u horizontales con

vrtice en el origen.



Formas de la ecuacin de una parbola

a)Ecuacin de unaparbola con vrticeen el origen y ejehorizontal(formacanonica)

pxy 42 ;p distancia

del vrtice al foco, sip>0 la parabola seabre a la derecha, sip0 la parabola se

abre hacia arriba, sip0la parabola se abre ala derecha, si p0la parabola se abre ala derecha, si p



Forma general de la ecuacin de la parbola

Una ecuacin de segundo grado en las variables yx que carezca del trmino en xy

puede escribirse en la forma 022

FEyDxCyAx

a) Si A=0.C 0 y D 0, la ecuacin representa una parbola cuyo eje es paralelo(ocoincide) el eje X. Si, en cambio, D=0, la ecuacin representa dos rectas diferentesparalelas al eje X, dos rectas coincidentes paralelas al eje X, o ningn lugar

geomtrico, segn que las races de 02 FEyCy sean reales y desiguales,

reales e iguales o complejas

b) Si A 0 , C=0 y E 0 , la ecuacin representa una parbola cuyo eje es paralelo a (o

coincide con) el eje Y. Si, en cambio, E=0, la ecuacin representa dos rectadiferentes paralelas al eje Y, dos rectas coincidentes paralelas al eje Y o ningn

lugar geomtrico, segn que las races de 02 FDxAx sean reales ydesiguales, reales e iguales o complejas


1. Escribe la ecuacin de la parbola con vertice (0,0) y foco el punto (3,0), obtenademas el valor de su lado recto y la ecuacin de su directriz. (Utilizando Geogebrarepresenta su lugar geometrico)

Resultado:

Ecuacin buscada xy 122

LR=12

Ecuacin de la directriz x=-3

2. Escribe la ecuacin de la parbola con vertice (0,0) y el eje vertical, pasa por el punto(6,3), obten ademas las coordenadas del foco, la ecuacin de la directriz y la longitudde su lado recto. (Utilizando Geogebra representa su lugar geometrico)

Resultado:

Ecuacin de la parbola yx 122

Coordenadas del foco F(0,3)

Ecuacin de la directriz y=-3

Longitud del ladorecto LR=12



3. Obtenga la ecuacin en forma ordinaria de la parbola con vertice en el punto (-4,3)y que tiene como foco el punto (-1,3). Obtenga ademas la ecuacin de la directriz y lalongitud del lado recto. (Utilizando Geogebra representa su lugar geometrico)

Resultado:

Ecuacin de la parbola )4(12)3( 2 xy

Ecuacin de la directriz x=-7

Longitud del lado recto LR=12

4. Obtenga la forma ordinaria de la ecuacin de la parbola cuya ecuacin general es07120484 2 yxy

Resultado:

)2(122

5 2

xy

5. Compruebe que la ecuacin 015912484 2 xyx representa una parbola.Hallar todos sus elementos

Resultado

Representa una parbola con eje vertical

2

712

2

3 2

yx

Coordenadas del foco 2

1,

2

3

Ecuacin de la directriz 2

13y

Longitud del lado recto LR=12



6. Un reflector cuya concavidad es parablica, tiene un dimetro de 30 cm y mide 20cm de profundidad, como se aprecia en la figura. Si el filamento del bulbo est en elfoco, a qu distancia del vrtice del reflector se encuentra? Sugerencia: Si haces unbosquejo de la figura en las coordenadas cartesianas, observa que tienes el punto

(20,15).

7. El puente Golden Gate, en San Francisco, California, es un puente de suspensin cuyaforma es aproximada a una parbola. Los cables del tramo principal se suspendenentre dos torres que se encuentran separadas 1 280 metros y cuyo borde superior seubica a 150 metros por arriba de la autopista. El cable se extiende 3 metros arriba delpunto medio de la autopista entre las dos torres. Encuentra una ecuacin querepresente la forma del cable. Observa la figura.



Mdulo IV Elipse

La elipsees ellugar geomtrico de todos lospuntos de unplano,tales que la suma de las distancias a otros dos puntos

fijos llamadosfocos es una constante positiva.

Elementos de la el ipse

Focos

Son los puntos f i jos F y F' .

Eje focal

Es la recta que pasa por los focos.

Eje secundario

Es la mediatr iz del segmento FF' .
http://es.wikipedia.org/wiki/Lugar_geom%C3%A9tricohttp://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Plano_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Foco_(geometr%C3%ADa)http://www.google.com.mx/imgres?q=sabias+que+datos+curiosos&um=1&hl=es&biw=1311&bih=603&tbm=isch&tbnid=gJ41PMg--WSF-M:&imgrefurl=http://tics4.bligoo.com.mx/datos-curiosos-sobre-las-tic-s&docid=myevthgoHDYxjM&w=544&h=340&ei=hRpkTuuwPPGNsAKHrbyaCg&zoom=1http://es.wikipedia.org/wiki/Foco_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Plano_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Punto_(geometr%C3%ADa)http://es.wikipedia.org/wiki/Lugar_geom%C3%A9trico



Centro

Es el punto de interseccin de los ejes.

Radios vectores

Son los segmentos que van desde un punto de la el ipse a

los focos: PF y PF' .

Distancia focal

Es el segmento de longi tud 2c , c es el valor de la

semidistancia focal .

Vrt ices

Son los puntos de interseccin de la el ipse con los ejes:

A, A' , B y B' .

Eje mayor

Es el segmento de longi tud 2a , a es el valor del

semieje mayor.

Eje menor

Es el segmento de longi tud 2b , b es el valor del

semieje menor.

Ejes de simetr a

Son las rectas que cont ienen al e je mayor o al e je menor.



Centro de simetr a

Coincide con el centro de la el ipse, que es el punto de

interseccin de los ejes de simetra.

Relacin entre la distancia focal y los semiejes

Excentricidad de la elipse

La excentr icidad es un nmero que mide el mayor o menor

achatamiento de la el ipse. Y es igual a l cociente entre su

semidistancia focal y su semieje mayor.



En este tema se pretende que el alumno desarrolle las siguientes competencias:

a) Construir e interpretar modelos sobre la elipse como lugar geomtrico alresolver problemas derivados de situaciones reales, hipotticas o tericas.

b) Interpretar tablas, grficas y expresiones simblicas como distintasrepresentaciones de la elipse con centro en el origen.

Conocimientos

Al finalizar este tema, el alumno adquirir los conocimientos que le permitirn:

a) Caracterizar la elipse como lugar geomtrico.b) Identificar los elementos asociados a la elipse.

c) Reconocer la ecuacin ordinaria de elipses horizontales o verticales con centroen el origen y con ejes sobre los ejes cartesianos.



d) Identificar los elementos de una elipse con centro en el origen y con ejes sobrelos ejes cartesianos, a partir de su ecuacin ordinaria.

Habilidades

Al finalizar este tema, el alumno habr desarrollado las habilidades que lepermitirn:

a) Determinar las condiciones necesarias para trazar una elipse con la ayuda dehilo, regla y comps.

b) Integrar en un plano cartesiano los elementos necesarios para trazar una elipsecon centro en el origen y con eje focal sobre algn eje coordenado, y conocer suefecto en la conformacin de su ecuacin.c) Obtener los elementos de elipses horizontales o verticales con centro en el

origen y con eje focal sobre alguno de los ejes coordenados a partir de suecuacin.

d) Resolver problemas que implican la determinacin o elanlisis de la ecuacin de elipses con centro en el origen.

Actitudes y valores


a) Participar activamente tanto en la realizacin de ejercicios como en laresolucin de problemas referentes a la elipse.

b) Aportar puntos de vista personales con apertura y considerar los de otraspersonas.

c) Propondr maneras creativas de resolver problemas matemticos.


Se pretende que el alumno logre:

a) Reconocer los elementos de la elipse como lugar geomtrico.

b) Trazar elipses por medio de distintos mtodos.

c) Determinar la ecuacin de elipses verticales u horizontales con centro en elorigen y con ejes coincidentes con los ejes coordenados.
http://www.google.com.mx/imgres?q=aprendizaje&hl=es&biw=1311&bih=603&gbv=2&tbm=isch&tbnid=ONZhNtmcoSIgXM:&imgrefurl=http://www.cuautitlan.unam.mx/alumnos/orientacion.html&docid=QYLyRYFhn1qs_M&w=220&h=173&ei=qClkTsvLF8mqsQLIt_jDCg&zoom=1



d) Determinar los elementos asociados a una elipse a partir de su ecuacin.

e) Modelar situaciones en las que intervienen elipses verticales u horizontales concentro en el origen y con ejes coincidentes con los ejes coordenados

ECUACI N DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL SOBRE EL EJE X

Ecuacin Vrtices Longitud deleje mayor

Longitud deleje menor

Focos

12

2

2

2

b

y

a

x

),(),,( ' oaVoaV 2a 2b F(c,0), F(-c,0)

ECUACIN DE LA ELIPSE CON CENTRO EN EL ORIGEN Y EJE FOCAL SOBRE EL EJE Y

12

2

2

2

a

y

b

x

),0(),,0( ' aVaV 2a 2b F(0,c),F(0,-c)

Elipse Horizontal

Elipse Vertical
http://www.google.com.mx/imgres?q=elipse+vertical&hl=es&biw=1311&bih=603&gbv=2&tbm=isch&tbnid=JyNE82FeypzJEM:&imgrefurl=http://algebralcc08.blogspot.com/2008/10/elpse.html&docid=0W5WUwXIHASf8M&w=400&h=406&ei=No1hTqvhOsSwsALQ0fDtDw&zoom=1http://www.google.com.mx/imgres?q=elipse&hl=es&biw=1311&bih=603&gbv=2&tbm=isch&tbnid=lD3bzjGNusPFvM:&imgrefurl=http://www.roberprof.com/page/46/&docid=3dBTcuVifSAX4M&w=1757&h=1156&ei=5H9hTurfB4LosQK08vUm&zoom=1




1. Escribe la ecuacin de la elipse en forma cannica que tiene como vrticesy focos los siguientes puntos: V (6,0), V (0,-3), F (4,0) y F (-4,0), representasu lugar geomtrico utilizando Geogebra.

Respuesta:

Ecuacin en su forma cannica 12036

22 yx:

2. Escribe la ecuacin de la elipse en forma cannica que tiene como focos

los siguientes puntos: F (0,3), F (0,-3) y su excentricidad es3

2representa

su lugar geomtrico utilizando Geogebra.

Respuesta:

Ecuacin en su forma cannica 1

2

45

2

9 2

2

2

2yx

3. Escribe la ecuacin de la elipse en su forma ordinaria que tiene comofocos los siguientes puntos: F (-4,-6), F (-4,-2) y vrtices V(-4,-8), V (-4,0).representa su lugar geomtrico utilizando Geogebra.

Respuesta:

Ecuacin en su forma ordinaria 116

)4(

12

)4( 22 yx
http://www.google.com.mx/imgres?q=elipse&hl=es&biw=1311&bih=603&gbv=2&tbm=isch&tbnid=wiAp8LrOMWhhdM:&imgrefurl=http://www.astrosurf.com/astronosur/planetas1.htm&docid=8cS5WfCsXpnnqM&w=244&h=170&ei=5H9hTurfB4LosQK08vUm&zoom=1



4. Escribe la ecuacin de la elipse en su forma ordinaria con centro en C(-9,3)foco y vrtice en F (-6,3),y vrtices V (-4,3),obtn adems su dominio yrango, representa su lugar geomtrico utilizando Geogebra.

Respuesta:

Ecuacin de la elipse en su forma ordinaria 116

)3(

25

)9( 22 yx

Dominio 4,14x

Rango 7,1y

5. El centro de una elipse es el punto (-2,-1) y uno de sus vrtices es el punto(3,-1). Si la longitud de cada lado recto es 4, escribe la ecuacin de la elipseen su forma ordinaria, su excentricidad y las coordenadas de sus focos.

representa su lugar geomtrico utilizando Geogebra.

Respuesta:


)1(

25

)2( 22 yx

Excentricidad5

15

a

ce

Coordenadas de los focos )1,152(F y )1,152(F

6. La forma general de la ecuacin de una elipse es:018121849 22 yxyx .Redzcala a su forma ordinaria; determine

centro, focos, longitud de los ejes mayor y menor, lado recto y suexcentricidad. representa su lugar geomtrico utilizando Geogebra.

Respuesta:


)2

3(

4

)1(2

2 yx

Centro C(-1,3/2)

Focos )52

3,1(F y )5

2

3,1(F

Vrtices )32

3,1(V y )

2

33(V

Longitud del eje mayor LR=6



Longitud del eje menor Lm=4

Excentricidad3

5e

7. La rbita de la tierra es una elipse en uno de cuyos focos est el sol,sabiendo que el semieje mayor de la elipse es 148.5 millones de kilmetrosy qu la excentricidad vale 0,017, hallar la mxima y la mnima distancia dela tierra al sol.

Respuesta:

Mxima distancia 152 millones de kilmetrosMnima distancia 146 millones de kilmetros
http://www.google.com.mx/imgres?q=movimiento+de+la+tierra+alrededor+del+sol&um=1&hl=es&sa=N&biw=1311&bih=603&tbm=isch&tbnid=LodEA8hvf4ncYM:&imgrefurl=http://astronomos.net23.net/teorias/tierratraslacion.html&docid=fRmVacvxrfuPeM&w=487&h=205&ei=mCNkTsmmLu-msQLW4NyLCg&zoom=1



Modulo V Hiprbola

Se llama hiprbola al lugargeomtrico de los puntos del plano tales que ladiferencia de sus distancias a dos puntos fijos,llamados focos, es una constante (se representapor 2a).

La recta que une los dos focos se llama eje real de la hiprbola y la mediatriz sellama eje imaginario de la hiprbola. El punto donde se cortan ambos ejes (que esel punto medio de los focos) se llama centro de la hiprbola. Los puntos donde lahiprbola corta a los ejes se llaman vrtices de la hiprbola. Al igual que en la

elipse, se llama distancia focal a la distancia entre los dos focos y a las distanciasdesde un punto cualquiera de la hiprbola a ambos focos se les llama radiosvectores del punto.

Sus elementos son:

Vrtices: A y A

Covrtices: B y B

Eje transv ersal: recta que contiene los focos

Eje conjug ado: recta que contiene a los covrtices

Centro: interseccin de los ejes transversal y conjugado

O
http://www.google.com.mx/imgres?imgurl=http://alejandropereira15.files.wordpress.com/2011/04/hiperc.gif&imgrefurl=http://alejandropereira15.wordpress.com/2011/04/12/actividad-3-hiperbola/&usg=__jiSACW9IihR84fkfzw43wZtMXgQ=&h=289&w=299&sz=4&hl=es&start=1&zoom=1&tbnid=LmjIGvKwmPqNOM:&tbnh=112&tbnw=116&ei=VvdkTtbCK8edgQfMr8iyCg&prev=/search?q=forma+can%C3%B3nica+de+una+hip%C3%A9rbola&hl=es&gbv=2&tbm=isch&itbs=1http://www.roberprof.com/2009/09/08/hiperbola/hiperbola-2/http://www.google.com.mx/imgres?imgurl=http://fiestamorelia.mx/wp-content/uploads/2011/08/sabias-ke2.gif&imgrefurl=http://fiestamorelia.mx/?p=2613&usg=__kpyl-n1WLYUtG3eeQTJRT7LP2ws=&h=340&w=544&sz=25&hl=es&start=1&zoom=1&tbnid=gJ41PMg--WSF-M:&tbnh=83&tbnw=133&ei=5_ZkTpvOCozEgAfV8oicCg&prev=/search?q=sabias+que&hl=es&sa=X&gbv=2&tbm=isch&itbs=1



Ecuaciones canoncas de la hiprbola

a) Se l lama ecuacin canonca a la ecuacin de la hiprbola cuyosejes coinciden con los ejes coordenadas, y, por tanto, e l centro dehiprbola con el or igen de coordenadas. Si e l e je real est en el e je

de abscisas las coordenadas de los focos son:

F'(-c, 0) y F(c, 0)

Cualquier punto de la hiprbola cumple:

b) Ecuacin canonca de eje vert ical de la hiprbola

F ' (0 , -c) y F (0 , c)

2a=Longi tud del e je t ransverso

2b=Longi tud deleje conjugado

2c=Distancia ntrelos focos



222 bac

Formas de la ecuacin de la hiprbola de centro (h, k)

a) Eje focal paralelo al e je X

1)()(

2

2

2

2

b

ky

a

hx

b) Eje focal paralelo al e je Y

1)()(

2

2

2

2

b

hx

a

ky

Excentr ic idad 1a

ce


a) Los vrt ices de una hiprbola son los puntos V (3,0) y V ` ( -3,0) y

sus focos son los puntos F(5,0) y F`(-5,0). Determinar la ecuacin

de la hiprbola, las longi tudes de sus ejes t ransverso y conjugado,

su excentr ic idad, la longi tud de cada lado recto, e l dominio, rango y

construccin graf ica ut i l izando Geogebra.

Respuestas:

Ecuacin 1169

22 yx

Longitud deleje transverso LT=6

Longitud deleje conjugado LC=8

Longitud de cada lado recto LR=3

32

Excentr icidad 13

5e

Dominio ),3()3,(x



Rango ),(y

b) Escr ibe la ecuacin 03649 22 yx , en su forma canonca y obtn

todos sus elementos, con Geogebra representa su lugar

geomtr ico.

Respuesta:

Ecuacin en su forma canonca 149

22 xy

Focos F(0, 13 ) y F(0, 13 )

Vrt ices(0,3) y V(0,-3)

Extremos del eje conjugado (2,0) y ( -2,0)

Longitud deleje transverso LT=6

Longitud del eje conjugado LC=4

Longitud de cada lado recto LR=3

8

Excentr icidad 1313e

Dominio ),(x

Rango ),3()3,(y

c) Obtenga las ecuaciones de las asntotas de la hiprbola cuya

ecuacin es: 100254 22 yx ut i l izando Geogebra representa su lugar

geomtr ico.

Respuesta:

Ecuaciones de las asntotas052

052

yx

yx



d) Los vrt ices de una hiprbola estn en los puntos (-5, -3) y (-5, -

1) y los extremos del e je conjugado estn en (-7, -2) y (-3, -2).

Obtenga la ecuacin de la hiprbola as como las ecuaciones de las

asntotas.

Respuesta:

Ecuacin de la hiprbola 14

)5(

1

)2( 22 xy

Ecuaciones de las asntotas092012

yxyx

e) Hallar la ecuacin cannica, los focos, los vrtices, la excentricidad y lasasntotas de la hiprbola cuya ecuacin es

SolucinCompletando el cuadrado en ambas variables

Por tanto, el centro est en . El eje de la hiprbola es horizontal,y



Los vrtices estn en , los focos en y yla

excentricidad es . La grfica se muestra en la figura

f) Hallar la ecuacin cannica de la hiprbola con vrtices en y y

asntotas y . Adems calcule los focos, la excentricidad ytrace la grfica.

Solucin

Por ser el centro el punto medio de los vrtices sus coordenadas son .Adems, la hiprbola tiene eje transversal vertical y . Por otro lado, por elteorema de las asntotas.



Por tanto, la ecuacin cannica es

El valor de est dado por

Los focos estn en y y la excentricidad es Lagrfica se muestra en la figura



y si el eje transversal es vertical, las ecuaciones de las asntotas son

-La tangente en un punto Pde una hiprbola es la bisectriz del ngulo formado porlo segmentos que unen este punto con los focos.



BIBLIOGRAFIA

OCAMPO CONTRERAS, JSE, GEOMETRIA ANALITICA, U.A.E.M, MEXICO 2011

LEHMANN, CHARLES, GEOMETRIA ANALITICA, LIMUSA, MXICO, 1982

JIMENEZ, RENE, MATEMATICAS III, PEARSON, MEXICO, 2011 VAZQUEZ SANCHEZ, AGUSTIN, GEOMETRIA ANALITICA, PEARSON, MXICO, 2007 OTEYZA.LAM.HERNANDEZ.CARRILLO, GEOMETRIA ANLITICA, PEARSON, MEXICO, 2005

Geometria Analitica Cuaderno de Ejercicios

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