EJERCICOS DE GEOMETRIA DESCRIPTIVA

HUGO DURAN CANELAS BANEGAS

PRESENTACION: Complementando Iniciado anteriores, en el trabajo ahora publicaciones quiero

completar aqullas, con una serie de de ejercicios resueltos sobre los diferentes temas que abarca Geometra el programa Descriptiva de en

nuestros planes de estudio, con la finalidad de que el estudiante que se aboque a la resolucin de stos, llegue a la compresncin ms cabal de la materia, y llevar a disciplinas posteriores una gimnasia mental que le ayude a ver otro tipo de problemas y poder encararlos como lo hizo con aqullos. El Autor2

A mis hijos: Lizien Jimena y Hugo Miguel

3

LA RECTA Y EL PLANO

4

1.- Determinar en una recta todos los elementos que la componen, como ser, trazas, cuadrantes que cruza, partes v isibles y ocultas, intersecciones ( trazas ) con los bisectores: f igura 1 -Sea la recta R, con sus proyecciones r - r , que va del primero al tercer cuadrante, pasando por el segundo. - Como se sabe, slo lo que est en el primer cuadrante es visible, y ste es el que muestra las proyecciones verticales por encima de la lnea de tierra, y las horizontales por debajo de ella. - La parte en que ambas proyecciones estn sobre la lnea de tierra, muestra lo que la recta est ocupando el segundo cuadrante, y aqulla que tenga las proyecciones horizontales por encima de la lnea de tierra y las horiozntales por debajo de ella, ser la parte que se encuentra en el tercer cuadrante. - Donde ambas proyecciones se cortan, est representada la traza de la recta con el segundo bisector ( b2 - b2 ). - Para encontrar la traza con el primer bisector, ubicaremos el punto que sea equidistante de lnea de tierra. Para ello buscamos el punto simtrico a cualquier punto, en este caso a la traza horizontal, es el hs ( pudese usar cualquier otro punto ). Este lo unimos, con v, hasta encontrar la proyeccin vertical r, que sere el buscado b1, que por perpendicularidad encontramos en r, su simtrico b1. 2.- Idem al anterior, una recta que desde el primer cuadrante, se pierde en el segundo indef inidamente. - Solucin: Al perderse indef inidamente en el segundo cuadrante, v iniendo del primero, quiere decir que es paralela al horizontal ( recta horizontal ). Slo tendra traza v ertical, y las respectiv as con los bisectores. Determinar sus proyecciones v isibles e inv isibles, sealando lo que pertenezca al primero y segundo cuadrante. ( f ig. 2 )5

Comentario [JCCM1]:

b'1 r' IC v' v b2-b2 h'

IIC

h IIIC

r hs fig. 1 b1

b2-b2 IIC

v' IC v

s'

b'1

s v's fig. 2 b1

6

- Por tratarse de una recta horizontal, tendr su proyeccin vertical s, paralela a la lnea de tierra, teniendo su proyeccin horizontal s, cualquier direccin. - La interseccin de su proyeccin horizontal con la lnea de tierra, nos muestra su traza vertical v - v . Esto nos permitir ver lo que est en el primer cuadrante, y a su vez lo visible de la recta. - La parte que muestra la proyeccin vetical sobre la lnea de tierra, y horizontal bajo de ella, est en el primer cuadrante, y por tanto visible ( en el dibujo, de v - v hacia la derecha ). - Donde ambas proyecciones se cortan, estar la traza con el segundo bisector, b2 - b2 . - Mediante el simtrico a la traza vertical v, ( el vs ) , encontraremos la traza con el primer bisector, auxilindonos de una paralela a la lnea de tierra por vs , hasta cortar a s ( b1 - b1 ) . 3.- Recta como la anterior, pero ( fig. 3 ) . pasando del cuarto cuadrante, al tercero,

- Como es un ejercicio como el anterior ( recta horizontal ) , los pasos son similares, cambiando de nombre cuando corresponda. - Al ser una recta horizontal que va del del tercer al cuarto cuadrante, es toda ella invisible, por lo que se dibuja ntegramente segmentada. 4.- Idem al anterior, pero pasando del segundo cuadrante al tercero ( recta frontal ). ( fig. 4 ) - Se trata de la recta r - r , que por tratarse de una frontal, tendr su proyeccin horizontal paralela a la lnea de tierra, en tanto que la vertical tendr cualquier direccin. - Como ambos cuadrantes son invisibles, la recta en cuestin ser totalmente invisible.7

t b1 IIIC v IVC b2-b'2 v' fig. 3 b'1 t'

s IIIC

b1

h

b'2-b2 IIC h'

b'1 s' fig. 4

hs

- La forma de encontrar sus diferentes trazas, tanto con los planos de proyeccin, como con los bisectores, es similar a la seguida en los ejercicios anteriores, por lo que de aqu en ms, estos procedimientos, se dan ya por conocidos, y por tanto innecesaria su repeticin.8

5.-Idem al 4, del primero al cuarto ( recta frontal ) , fig. 5. - Es idntico al anterior, slo que en este caso tenemos una recta que ser visible lo correspondiente al primer cuadrante.

r' b'1 IC h' hs IVC

r

b1 fig. 5

h

b2-b'2

6.- Determinar todos los elementos sealados en los anteriores ejercicios, en una recta que tenga traza vertical, en el vertical superior, y horizontal, en el horizontal anterior. ( fig. 6 ) - La traza vertical, en el vertical superior, es visible, como asimismo la horizontal, en el horizontal anterior. - Al unir las proyecciones homnimas de las trazas de la recta en cuestin, ( la t - t ) , vemos que se trata de una que atraviesa el diedro, yendo del segundo cuadrante, al cuarto, pasando por el primero, que como ya sabemos , ste ser visible. - Todos los dems elementos indicados en el enunciado, se encuentran de la forma determinada en los ejercicios previos.9

v' t' IIC IC v t b1 b'1 h' IVC h fig. 6 v's b2-b'2

7.- Idem al 6, cuyas trazas horizontal y vertical, estn en el posterior y vertical inferior respectivamente. ( fig. 7 )

horizontal

b2-b2 h IIC h' hs fig. 7 b'1 IIIC r' v' IVC

b1 r v

10

- Proceder para el presente ejercicio, como en el precedente.

-

Al unir las proyecciones homnimas de las trazas observamos que la recta tiene un recorrido del segundo al cuarto cuadrante, pasando por el tercero, por lo que ntegramente ser invisible .

8.- Idem al anterior, slo que presenta otra forma de solucin. ( fig. 8 )

b2-b2 h IIC h' b'1 s' fig. 8

v's

b1 s v IIIC IVC v'

9.- Representar la recta que tenga traza horizontal y vertical, en el horizontal anterior y vertical superior respectivamente. ( fig. 9 ) - Representamos la recta t - t , con las caractersticas sealadas, y vemos que se trata de una recta que va del cuarto cuadrante, al segundo, pasando por el primero. -Todos los otros elementos caractersticos de toda recta, se debern encontrar tal como se ha hecho hasta ahora.

11

v' t' b'1 h' IVC b2-b'2 fig. 9 v's h b1 t v IC IIC

10.- Determinar la recta contenida en el primer bisector a la que es paralela la recta del ejercicio 1 ( fig. 10 ) - Como primer paso, repetimos la representacin de la recta r - r, del ejercicio 1. - Toda recta que est ubicada en el primer bisector, tiene sus proyecciones simtricas respecto de la lnea de tierra. Como la recta mencionada en el ejercicio 1, no las tiene, no puede haber en el primer bisector una recta que le sea paralela.

12

h r' v'

h' v r fig. 10

11.- Determinar la recta paralela al segundo bise34ctor, que vaya del cuarto cuadrante, al segundo (fig. 11) - Toda recta paralela al segundo bisector, tiene como caracterstica, el que sus proyecciones son paralelas entre s. Es lo que pasa con la presente figura, en que s s (proyecciones de S) son paralelas entre s.

v' s' h' v s h fig. 11

13

12.- Trazar la recta determinada por dos puntos, uno en el v ertical inf erior, y otro en el tercer cuadrante. Sealar trazas, cuadrantes, partes v isibles y ocultas, e interseccin con los bisectores. ( f ig. 12 ) - El punto en el v ertical inferior ser la traza v ertical de la recta ( v - v ), y el que se encuentre en el tercer cuadrante, el a - a . - Uniendo las proyecciones homnimas de estos dos puntos, tendremos las proyecciones de la recta T ( t - t ) - Por los procedimientos v istos hasta ahora, encontraremos lo solicitado en el enunciado del el presente ejercicio.b'1 v's a v-c IIIC v'-c' a' IVC fig. 12 h' t' IC

b2-b'2

h t b1

13.- Similar al anterior, hallar todos los elementos requeridos, en la recta que tenga un punto en el primer cuadrante, y otro en el tercero. ( fig. 13 ) - El punto ubicado en el primer cuadrante, ser el C ( c - c ), y el que est en el tercero, el D ( d - d ), con las proyecciones inv ertidas respecto del C. - Uniendo homnimamente las proyecciones de C y D, encontraremos la recta R ( r - r ), que resultar yendo del primero al tercer cuadrante, por el cuarto.14

- Lo dems se encontrar por los procedimientos ya sabidos.

b1 r' c' h' IC h IVC c r fig. 13 v b2-b'2 v' d' IIIC b'1 hs d

14.- Determinado un punto en el segundo bisector, trazar una recta que lo contenga, sealando todos sus elementos. ( fig. 14 ) - El punto que estar en el segundo bisector, es el sealado con las rectas b2 - b2 . - Pasando un par de rectas por el punto sealado en el segundo bisector, tendremos las proyecciones de cualquier recta que pase por l, ( la r - r ). - Seguidamente nos pondremos a sealar todos los elementos constitutiv os de la recta, como ser trazas, cuadrantes, etc., de la manera como lo v enimos haciendo hasta ahora. 15.- Teniendo una recta determinada por un punto en el horizontal anterior y otro en el vertical superior, ubicar un tercer punto que se encuentre en la recta en el primer cuadrante.

- Los puntos indicados, no son otra cosa que las trazas de la recta, por lo que unindolos de f orma homnima, tendremos sus proyecciones.15

- Sobre estas proyecciones ubicamos un punto que tenga la proyeccin v ertical arriba de la lnea de tierra, y la horizontal por debajo de ella ( es el a - a ).

hs b'2-b2 IIC IC v' b'1 r' h' v b1 fig. 14 r h IVC

v' a' h' v a h fig. 15

16

16.- Trazar una recta vertical, posterior ( fig. 16 ).

con traza horizontal en el horizontal

- Por ser esta recta, perpendicular al plano horizontal, tendr su |proyeccin v ertical perpendicular a la lnea de tierra, siendo la horizontal, un punto conf undido con su traza horizontal. - Como la traza horizontal en el enunciado la mencionan ubicada en el plano horizontal posterior, la recta ser inv isible, por lo que en el dibujo sealado, aparece totalmente inv isible, es decir segmentada.

h-t

h'

t' fig. 16

17.- Dibujar espacialmente, y en el depurado, una recta paralela a la lnea de tierra, cuya proyeccin horizontal est ms cerca a ella, que lo que est la proyeccin vertical a la misma. ( fig. 17 ) - Por las caractersticas del enunciado, se trata de una recta que tiene mayor cota que alejamiento, es decir que est ms alejada del horizontal que del v ertical.

17

r' R

r'

r r fig. 17

18.- Representar una recta de perfil contenida en el primer bisector, sealando su punto de interseccin con la lnea de tierra. - Por ser una recta de perf il, ambas proyecciones ( r - r ), estarn conf undidas en una perpendicular a la lnea de tierra. - Por estar la recta en el primer bisector, todos sus puntos debern ser simtricos respecto de la lnea de tierra, tal como el a - a. - Su punto de interseccin con la lnea de tierra, ser aquel en que las proyecciones de la recta la atrav iesen ( c - c )

18

a' r' c' c r a fig. 18

19.- Representar una recta de punta, sealando su traza con el primer bisector ( fig. 19 ). - Se trata de la recta s - s, que por ser de punta, es perpendicular al plano v ertical, por lo que su proyeccin horizontal es una perpendicular a la lnea de tierra, y la v ertical es un punto conf undido con su traza v ertical v . - Como la traza con el primer bisector es un punto equidistante de ambos planos de proyeccin, y por tanto de la lnea de tierra, su proyeccin v ertical tambin est conf undida con la traza v ertical de la recta, y la proyeccin horizontal de la traza con el primer bisector ser un punto equidistante de las proyecciones v erticales conf undidas en un punto.19

s'- v'- b' v b s fig. 19

20.- Dibujar una recta horizontal de cota 0 ( fig. 20 ). - La recta horizontal es una paralela al plano horizontal. - Como la recta que se menciona tiene cota 0, es decir nula, sta est confundida con el plano horizontal, por lo que su proyeccin vertical estar confundida con la lnea de tierra, tomando la proyeccin horizontal cualquier direccin.

21.- En una recta que tenga su traza vertical, en el vertical superior, y la horizontal, en el horizontal anterior, sealar su punto que est en el segundo cuadrante y segundo bisector. - El trazado de las proyecciones de la recta solicitada, por todo los visto hasta ahora, no debe presentar ninguna dificultad. - La traza de la recta con el segundo bisector, estar donde ambas proyecciones se corten, que como se ve en el dibujo est ubicado en el segundo cuadrante.

20

v' v t

t'

fig. 20

b'2- t2 v' h' v fig. 21 h

21

22) Dada una recta AB, de perfil, hallar sus trazas, su verdadera magnitud y los cuadrantes que cruza. ( fig. 22 ) - Como la recta de perfil tiene ambas proyecciones confundidas en una perpendicular a la lnea de tierra, para definir a sta, sealamos en ella los puntos A y B, con proyecciones a - a y b - b. - Con centro en la interseccin de la recta con la lnea de tierra, trazamos arcos en sentido antihorario, desde las proyecciones horizontales a y b de los puntos, hasta tocar a sta, desde se trazan perpendiculares hasta encontrar las paralelas a la lnea de tierra trazadas desde a y b. En ambas intersecciones tendremos los puntos A y B en verdedera magnitud y ubicacin en el primer ( B ) y cuarto cuadrante ( A ) . - La unin de A y B, nos da la trayectoria de la recta, la misma que nos muestra las trazas V y H de la recta con los planos de proyeccin. - V, estar confundida con v, y H, con h1, desde donde hacemos un nuevo giro y con el mismo centro, pero esta vez en sentido horario, hasta encontrar a la recta, en donde aparecer la traza horizontal h de la recta de perfil.

23) Lo mismo que en el ejercicio de la figura 22, con la figura 23.

- En este caso la ubicacin de los puntos es distinta a las del ejercicio anterior, pero los procedimientos para su realizacin, son los mismos, por lo que sera una reiteracin intil repetir lo dicho anteriormente.

22

v' B b'

v b a'

b1

h1-H a1

A

h a fig. 22

A a' a v' v h' h fig. 23 b' b H R

B

23

24) Dibujar una recta de perfil que tenga el punto A, en el segundo bisector, segundo cuadrante, y el B, en el vertical inferior. ( fig. 24 ) Procedindose como en los dos casos anteriores, la recta se encuentra con los mismos pasos, pero como podr notarse, ambos puntos sealados, son justamente las trazas de la recta con los planos de proyeccin.

a a' S B b

b'

fig. 24

25) Trazar una recta de perfil AB, que corte a la recta CD, ( fig. 25 ) - Como dos rectas se cortan donde ambas proyecciones lo hagan sobre la misma perpendicular a la lnea de tierra, ste ser el e - e, sealado en la figura indicada.

24

- Encontrando por la forma ya conocida la ubicacin espacial de la recta de perfil AB, llevamos a sta las proyecciones del punto E, que es como dijimos antes el de interseccin entre ambas rectas.a' A d'

E e' c' b' B

a c e

b

d fig. 25

26.- Determinar las proyecciones de un tringulo formado por los puntos: A: Segundo cuadrante y segundo bisector B: Primer cuadrante C: cuarto cuadrante - La unin de A con B, se muestra v isible desde la traza v ertical v - v , hasta b - b. - La unin de A con C, es totalmente inv isible. - La unin de B con C, se muestra v isible desde B, hasta la traza horizontal h1 - h1.25

a'-a

v'

v

h' c h b fig. 26 c'

- E l segm en to del tr i n gulo v - v, b - b, h 1 - h 1, por ten er su s pr oyeccion es ver tica les ar r iba de la ln ea de tier r a y las h or izon ta les por deba jo de la m ism a, es visible, por cum plir las ca r acter sticas del pr im er cuadr a n te. ( fig. 26 )

27.- Determinar las proyecciones del tringulo formado por los puntos: A: en lnea de tierra B: Segundo cuadrante y segundo bisector C: Tercer cuadrante - La unin de A con B, es toda ella inv isible. - La unin de A con C, es tambin totalmente inv isible.26

- La unin de B con C, es asimismo inv isible. - Las tres rectas son inv isibles, pues en ningn momento se muestran en el primer cuadrante, ( proyecciones v erticales encima de la lnea de tierra, y horizontales por debajo de ella ).

c

a' a

c' fig. 27 b- b'

28.- Determinar las proyecciones del tringulo formado por los puntos: A: tercer cuadrante B: Primer cuadrante C: Segundo cuadrante ( fig. 28 ) - La unin de A con B, se muestra v isible desde su traza horizontal h - h, hasta b - b.

27

- La unin de B con C, se muestra v isible desde b - b, hasta su traza v ertical v 1 - v 1. - La unin de A con C, es completamente v isible. - La razn de v isibilidad, se debe a lo antes mencionado en los ejercicios prev ios al presente, es decir, tener sus proyecciones v erticales encima de la lnea de tierra, y las horizontales por debajo, ( caractersticas del primer cuadrante).

b'

a

v'1

c

c'

h' h

v' v

v1

a'

fig. 28

b

28

29.- Mostrar las partes visibles y ocultas de un tringulo con sus puntos en: A: Vertical superior B: Horizontal anterior C: Horizontal posterior - La recta AB es toda v isible, pues une puntos que son v isibles. - La recta AC es totalmente inv isible, por representar una recta en el segundo cuadrante ( ambas proyecciones sobre la lnea de tierra ). - La recta BC, estando sobre el plano horizontal, ser v isible al atrav esar el plano v ertical, es decir en su traza v ertical v - v . ( f ig. 29 )

a'

c v' v

b' a

c'

fig. 29 b

29

30.- Representar una recta que tenga un punto en el primer cuadrante, y otro en el tercero. ( fig. 30 ) - Para que A est en el primer cuadrante, dibujamos su proyeccin v ertical sobre la lnea de tierra, y por debajo la horizontal. - El B, que debe estar en el tercer cuadrante, tendr sus proyecciones a la inv ersa del anterior. - Uniendo las proyecciones homnimas de estos dos puntos, se tendr la recta requerida. Por los procedimientos conocidos, se busca las dos trazas de la recta, v - v , y h - h.

a' v' h

b

v

h' b'

a

fig. 30

31.- Representar una recta que tenga un punto en el segundo cuadrante, y otro en el cuarto. ( fig. 31 ) Para que A est en el segundo cuadrante, deber tener ambas proyecciones sobre la lnea de tierra, en tanto que el B, por tener que estar en el cuarto, las tendr por debajo de ella.

30

- Nuev amente uniendo proyecciones homnimas de los puntos, se tendr dibujada la recta solicitada. - Por los procedimientos ya conocidos, se busca las dos trazas de la recta, v - v y h - h.

a h a' v h' v' fig. 31 b' b

32.- Representar una recta que tenga un punto en el primer cuadrante, primer bisector, y otro en el cuarto cuadrante y segundo bisector. ( fig. 32 )

- Para que un punto se encuentre en el primer bisector y primer cuadrante, deber tener sus proyecciones simtricas respecto de la lnea de tierra, adems de tener la v ertical sobre la lnea de tierra, y la horizontal por debajo de ella, tal como se v e en el punto C. - El punto D, que debe estar en el segundo cuadrante y segundo bisector, deber tener ambas proyecciones por debajo de la lnea de tierra, y conf undidas en un solo punto. - Para completar el ejercicio, encontramos la traza horizontal h - h, no as la v ertical, puesto por la forma que tomaron las proyecciones, sta estar f uera del depurado.31

c'

h'

d'-d h c fig. 32

33.- Representar la recta que tenga un punto O en la lnea de tierra, y otro P, en el primer bisector y tercer cuadrante (fig. 33)

- Las proyecciones de O, por estar ste en la lnea de tierra, estarn conf undidas en ella. - Las de P, estarn una a cada lado de la lnea de tierra, horizontal arriba, y v ertical debajo de ella, por estar en el tercer cuadrante, y adems equidistantes respecto a la misma, por estar en el primer bisector.

- Por ser una recta que pasa por la lnea de tierra, e ir del primero al tercer cuadrante, tendr v isibles las proyecciones de acuerdo a las consideraciones de los ejercicios anteriores.

32

p

o'-o

fig. 33

p'

34.- Dibujar la recta S, determinada por los puntos A en el vertical inferior, y B en el horizontal anterior. ( fig. 34 )

- El punto A v iene a estar confundido con la traza v ertical de S, y el B, con su traza horizontal. - La parte v isible de la recta ser la que est en el primer cuadrante, a partir de su traza horizontal.

33

s'

a-v b'-h'

b-h a'-v' fig. 34 s

35.- Encontrar la interseccin de dos rectas, una horizontal, y otra de punta, ambas en el primer cuadrante. ( fig. 35 ) - R, por ser horizontal, tendr r, paralela a la lnea de tierra, teniendo r, cualquier direccin. - En S, por ser de punta, su proyeccin v ertical s es un punto conf undido con su traza v ertical, estando la horizontal s, perpendicular a la lnea de tierra. - Como deben cortarse, deben tener un punto comn O. Este tendr su proyeccin horizontal donde r y s se corten, y o, su proyeccin v ertical, donde lo hagan r y s, que estar confundido con s y su traza v ertical v 1.

34

v'

s'-o'-v'1

s'

v

v1

o fig. 35 s

r

36.- Hallar la interseccin de una recta horizontal R y una paralela a la lnea de tierra. ( fig. 36 ) - Se traza primero una recta horizontal R con traza v ertical v - v . - En la recta R, ubicar un punto O ( o`- o ). - Tanto por o, como por o, se hacen pasar las proyecciones de S ( s - s ). - s, coincidir con r, por ser tambin aqulla, paralela a la lnea de tierra, y por o, la s.

35

o'

r'-s'

v'

v

s o r fig. 36

t'

s'

o'

h'

h'1

o h t

h1

s fig. 37

36

37.- Indicar el punto de la vertical T .

interseccin entre la recta frontal S y

- Se dibuja primero la recta frontal S. ( fig. 37 ) - En ella se ubica un punto cualquiera O, por donde se cortarn lasa dos rectas. - Por o, pasar t, paralela a la lnea de tierra, y por o, t, que coincidir con s.

38.- Encontrar la interseccin de la horizontal R, y la vertical T . ( fig. 38 ) - Al dibujar la horizontal R, se seala en ella un punto O ( o - o ), que ser comn a ambas rectas. Por o, pasar t perpendicular a LT, y por o, t, que coincidir con r.

37

t' o'

r'

v'

h'1

v

h1 t-o r fig. 38

39.- Ubicar el punto de interseccin entre la frontal S, y la T, paralela a la lnea de tierra. ( fig. 39 ) - Dibujar primero la f rontal S, indicando el punto O ( o - o ), que ser el comn entre ambas rectas. - Por las proyecciones de O ( o - o ), pasar T, t por o, y t por o, que por ser paralela a la lnea de tierra, coincidir con s.

38

s' o' t'

h'

o h

s-t fig. 39

40.- Hallar la interseccin de la recta oblicua S, y la horizontal T. ( fig. 40 ) - Dibujar la oblicua S ( s - s ), con trazas v y h. - Por un punto O ( o - o ), que ser comn entre ambas rectas, pasar t por o, paralela a la lnea de tierra, por tratarse de una recta horizontal, y t, por o, arrancando desde v 1 en la lnea de tierra.

39

s' v' o' v'1 h

o h' v s' v1 fig. 40

41.- Encontrar la interseccin entre T , paralela a la lnea de tierra, y la oblicua R. Trazar la recta oblcua R ( r - r ), con trazas v y h. Por un punto O ( o - o ), comn a ambas, trazar las proyecciones de T, las mismas que sern paralelas a la lnea de tierra, t, por o, y t, por o. ( f ig. 41 )

42.- Indicar la interseccin de la recta frontal T, y la oblicua R. - Primeramente dibujamos la oblicua R, de trazas v y h, - Sealando en ella las proyecciones del punto o - o, por ellas hacemos pasar las proyecciones de la f rontal F, f , por o, paralela a la lnea de tierra, y por o, f , a partir de h1 en la lnea de tierra. ( f ig. 42 )

40

r' t' v v' t fig. 41 o r h' h o'

v' r' o' h'1 v h1 o r

t'

h' t h

fig. 42

43.- Encontrar las trazas de la recta de perfil AB. Haciendo centro en v - h, mediante arcos llev amos a LT los puntos a y b, y por a - b , paralelas a LT, hasta encontrarse con aqullos, ubicando los puntos A y B, que unidos entre s , dan la recta AB.

-

41

- Donde AB corte a la perpendicular r a la lnea de tierra, estar la traza v ertical v de la recta. - Asimismo donde AB corte a LT, estar H, que mediante un arco, con el mismo centro anterior, se lo gira hasta ubicarlo en h, que ser la traza horizontal.

r' A a' a V-v' v h' fig. 43 h b b' r B H

44.- Determinar un punto que se encuentre en una recta de perfil. ( fig. 44 )

- Tenemos una recta de perf il dada por sus proyecciones entre las que estarn las del punto C, el mismo que despus de realizar los correspondientes abatimientos, v emos que no pertenece a la recta.

42

- A la in ver sa, con ocien do la s pr oyeccion es de un a r ecta , y la pr oyeccin de un o de sus pun tos, se puede obten er la otr a pr oyeccin . ( fig. 44 )

- Se procede como se sabe de acuerdo a los ejemplos anteriores: se abate de f orma antihoraria los puntos a y b, obteniendo por paralelismo, en proyeccin v ertical, A y B , los que unidos nos dan la recta. Se llev a a ella c, obteniendo C, y por el desabatimiento se halla la proyeccin horizontal c.

a' c' b' b c a B C

A

fig. 44

45.- Hallar la interseccin entre una recta S, paralela al primer bisector, y la R, paralela a la lnea de tierra. ( fig. 45 )

- La recta paralela al primer bisector tiene sus proyecciones simtricas a LT, pero con sus trazas desfasadas, pues no pasa por ella, como la que est en el primer bisector. - Ubicar un punto O, en dicha recta.43

- Por las proyecciones o - o, de la recta S, se pasar las proyecciones de R.

r' h v'

o'

h r fig. 45

v o s

t' v' o' h' v o fig. 46 h t s s'

46.- Encontrar la interseccin de una recta paralela al segundo bisector, con otra paralela a la lnea de tierra. ( fig. 46 )

44

- La recta paralela al segundo bisector, tiene sus proyecciones paralelas entre s. - Sobre esta recta, ubicar un punto O. - Por las proyecciones o - o, pasar las proyecciones de S, que por ser paralela a la lnea de tierra, sern paralelas a sta. 47.- Ubicar el punto de interseccin de dos rectas que se cortan, una paralela al segundo bisector, y otra oblcua. ( fig. 47 )

- Ubicar un punto O en la oblicua O. - Por las proyecciones o - o, pasaremos las homnimas de S, paralelas entre s, pues as son las proyecciones de toda recta paralela al segundo bisector.

r' o' h' r s h o

s'

v'

h'1 v v1 h1 v'1 fig. 47

45

r'-v'-b'-b'2-b2

v b r fig. 48

48.- Determinar las trazas de una recta de punta. ( fig. 48 )

- La recta de punta, por ser perpendicular al plano v ertical, tiene conf undidas en un punto, todas sus proyecciones v erticales, como as tambin sus trazas, con los planos de proyeccin y con los bisectores. - La proyeccin horizontal, es una perpendicular a la lnea de tierra en donde aparecer la simtrica b1, de su traza con el primer bisector.

49.- Cmo son las proyecciones de la recta vertical?. ( fig. 49 )

46

- Esta recta es perpendicular al plano horizontal, por tanto es en este plano en donde aparecern las proyecciones de todas sus trazas, y de las proyecciones horizontales de los puntos que contenga. - La proyeccin v ertical es una perpendicular a la lnea de tierra, en donde aparecer la simtrica de la proyeccin de la traza con el primer bisector.

t' b' h'

t-h-b-b1-b'2-b2 fig. 49

50.- En una recta con traza vertical, en el vertical superior, y horizontal, en el horizontal anterior, sealar un punto en el segundo cuadrante , y otro en el cuarto. ( fig. 50 )

- Como las trazas mencionadas, son puntos que estn sobre los mencionados planos, dibujamos la traza v ertical v - v , con v sobre la lnea de tierra, y v , en dicha lnea, y la horizontal h h, con h por debajo de la lnea de tierra, y h, en LT. - La unin de las proyecciones homnimas de las trazas mencionadas, nos dar las proyecciones tanto v ertical, como horizontal de la recta T pedida.47

- Las proyecciones del punto A ( a - a ), estarn sobre la lnea de tierra ( condiciones de ubicacin en el segundo cuadrante ) y las de B ( b - b ), en el cuarto ( ambas proyecciones por debajo de la misma ).

a' v' t' a v t fig. 50 h b h' b'

51.- En una recta con traza vertical, en el vertical superior, y horizontal, en el horizontal anterior, sealar el punto que se encuentre en el segundo bisector y segundo cuadrante. ( fig. 51 )

v' r' h' v r h fig. 51

b'2-b'2

48

- Como en el ejercicio anterior, ubicamos las trazas correspondientes, que nos determinarn las proyecciones de la recta R.- E n la s pr olon gacion es de am ba s pr oyeccion es, ver em os el pun to solicita do, don de la s m ism a s se cor ten ( el b2 - b2 ).

52.- En una recta con traza vertical, en el vertical inferior, y horizontal, en el horizontal posterior, sealar un punto en el tercer cuadrante y primer bisector.

h x r v h' x' r' v' fig. 52 hs

- Esta recta tiene ambas trazas inv isibles, por ello, la v ertical v - v , se ubica como punto con v , por debajo de lnea de tierra, y v , en ella, en tanto que la horizontal, tendr la h en lnea de tierra, y h, por encima de ella.49

- Como un punto que tenga ubicacin en el primer bisector tiene sus proyecciones simtricas respecto de la lnea de tierra, a partir de una de sus trazas, ( en este caso la horizontal h ), ubicamos su simtrica hs, que unido con v , de la lnea de tierra, cortar a la proyeccin v ertical r de la recta el punto x, que llev ado por perpendicularidad a la otra proyeccin, en x, dar la ubicacin del punto pedido. ( f ig. 52 )

53.- En una recta horizontal, encontrar su traza con el segundo bisector. ( f ig. 53 )

- Primeramente dibujamos las proyecciones de la horizontal T, trazando la proyeccin v ertical t, paralela a la lnea de tierra, en cambio que a la horizontal t, le daremos direccin arbitraria.

50

t'

v'

b'2-b2

v

t

fig. 53

- Por los mtodos sabidos, se ubica la traza v ertical de esta recta.

- Como un punto que est en el segundo bisector tiene sus proyecciones conf undidas, en el presente caso, el mismo estar donde las proyecciones t y t se corten ( b2 - b2 ), sobre la lnea de tierra, que es la ubicacin del segundo cuadrante.

54.- Indicar las rectas horizontal. ( fig. 54 )

que

pueden estar contenidas en un plano

- Son slo tres: la horizontal r - r la paralela a la lnea de tierra, s - s la recta de punta t - t. - Todas ellas tienen sus proyecciones v erticales y trazas del mismo nombre sobre la traza H del plano horizontal.51

v' r'-s' v fig. 54 r

t'-v'1

H'

v1

s t

55.- Sealar las rectas que pueden estar contenidas en un plano frontal. ( fig. 55) - Son slo tres: la f rontal r - r la paralela a la lnea de tierra, s - s la recta v ertical t - t. - Todas ellas tienen sus proyecciones horizontales y trazas del mismo nombre sobre la traza F del plano f rontal.

52

t' s' r' h' h'1

r-s h t-h1

F fig. 55

56.- Dibujar la recta S que tenga un punto F en el primer cuadrante y otro E, en el segundo cuadrante y segundo bisector. ( fig. 56 )

- Representar las proyecciones tanto del punto F como del E, de acuerdo a lo solicitado. - Uniendo las proyecciones semejantes, se tendrn las de la recta, mostrndose que ambas se cortan justamente en el punto E que ser su traza con el segundo bisector y estar en el segundo cuadrante.

53

f' e'-e v'

s'

v

fig. 56

s

f

57.- Determinar un plano por una recta horizontal y otra frontal. ( fig. 57 )

- Tanto la recta horizontal como la f rontal, al pertenecer al plano, tendrn sus trazas sobre las respectiv as del plano. La traza horizontal del plano tendr a la proyeccin horizontal de R ( la r ), paralela a ella. Lo mismo suceder con la traza v ertical del plano, proyeccin v ertical de F, ( la f ). con la

-

54

f'

r'

o' v'

h' v h o r f fig. 57

58.- Encontrar las trazasa de un plano, determinado por tres puntos no colineados.

- De acuerdo a lo mostrado en la figura 58, tenemos el caso de tres puntos: A, en el primer cuadrante, B, en el segundo, y C, en el tercero. - Para determinar el plano que forman estos tres puntos, primero unimos dos de ellos, ( A y B ), determinando las trazas de la recta formada, en h - h y v - v. Seguidamente hacemos lo mismo con A y C, determinando otra recta, cuyas trazas sern h1-h1 y v1-v1. La unin de las trazas homnimas, de las rectas, h y h1 por un lado ( ) y v - v1 ( ) por otro, con lo que queda determinado el plano buscado.

55

h

a' b v' b' c h'1 v h1 a v'1 v1 h'

fig. 58c'

59.- Determinar las trazas de un plano por una recta, y un punto exterior a ella (fig. 59 )

- El presente caso lo encontramos desarrollado en el ejercicio de la figura 59, en donde tenemos la recta R, ( r - r ) cuyas trazas son justamente v - v y h - h. - Desde un punto exterior a ella, el b - b, unimos con otro de la recta R, ( el a - a ) determinando otra cuyas trazas son v1 - v1 y h1 - h1; la unin de las trazas homnimas de las rectas, nos dar la determinacin de las trazas del plano .

56

h v' h'1 h' v a b' h1 bfig. 59

v'1 a'

r'

v1

r

60.- Determinar las trazas de un plano por dos rectas paralelas ( fig. 60 )

- En la figura 60, tenemos el caso de dos rectas paralelas entre s, la R y la S, cuyas proyecciones homnimas tambin lo sern, esto es la r con la r y la s con la s. - Las trazas de la recta R son v y h, y las de la S, las v1 y h1. - Como en los casos anteriores, las trazas del plano resultante, se obtienen con la unin de las trazas homnimas de las rectas; es decir, v y v1 determinan , y h y h1, .57

r' s' v' h

h'1 v r s h1 h'

v1

v'1

fig. 60

61.- Determinar las trazas de un plano por dos rectas que se cortan ( fig. 61 )

- Es el caso presentado en la figura 61, en donde tenemos dos rectas, R y S, ( r - r y s - s ), las mismas que se cortan en el punto A, ( a - a ) . - Como en los tres casos anteriores, el problema se reduce a encontrar las respectivas trazas de de las rectas: v y h, de R, y v1 y h1, de S, y en la posterior unin de sus trazas homnimas. ser la unin de v y v1, y , de h y h1.58

r'

h

v'

a' a

v'1 s' h'1

v

v1

h'

s

r

fig. 61

h1

62.- Dada una recta horizontal, determinar el plano que la contenga. ( fig. 62 ) - Trazar en primer lugar la horizontal S, con su traza v ertical v - Como las rectas horizontales del plano tienen sus proyecciones horizontales paralelas a la traza horizontal del plano, nos damos una traza horizontal , paralela a la proyeccin horizontal s de la recta. - En la interseccin de la traza horizontal del plano con la lnea de tierra, dirigimos el trazado de hacia v , traza v ertical de la recta horizontal.59

v'

s'

v

fig. 62

s

63.- Dada una recta frontal, determinar el plano que la contenga. ( fig. 63 )

- Es un caso similar al anterior, con la dif erencia que se tomar como v ertical, lo que en aqulla se nombra como horizontal, y v icev ersa.

64.- Representar una recta de punta contenida en un plano cualquiera. (fig. 64 ) - Nos trazamos primeramente un plano - . - Como la recta de punta debe pertenecer al plano, por un lado, y tener por lo tanto su traza v ertical en la misma del plano, y su proyeccin horizontal, perpendicular a la lnea de tierra, en cualquier punto de la traza v ertical del plano, sealamos un punto que ser la traza v ertical de la recta de punta, y por otro, desde l, ref erimos a la lnea de tierra, desde donde trazaremos una perpendicular a ella, que ser la proyeccin horizontal de la recta pedida.

60

f'

'

h'

h fig. 63

f

' r'-v'

v

fig. 64

r

61

' s'

h'

s-h fig. 65

65.- Representar una recta vertical contenida en un plano cualquiera. ( fig. 65 )

- Como la recta v ertical debe pertenecer al plano, por un lado, y tener por lo tanto su traza horizontal en la misma, y su proyeccin v ertical perpendicular a la lnea de tierra, en cualquier punto de la traza horizontal del plano, sealamos un punto que ser la traza horizontal de la recta v ertical, y por otro, desde l, ref erimos a la lnea de tierra, desde donde trazaremos una perpendicular a ella, que ser la proyeccin v ertical de la recta pedida.

62

t'-v'

H'

v

t fig. 66

66.- Representar una recta de punta, contenida en un plano horizontal. ( fig. 66 ) - Representamos en primer lugar un plano horizontal, el H. - Para que la recta de punta pertenezca al plano antes mencionado, debe tener su traza v ertical, sobre la traza v ertical del mismo ( H ), la misma que se muestra en v , y v en la lnea de tierra. - Como la recta debe ser de punta, desde la proyeccin horizontal v de la traza v ertical de la recta, trazaremos una perpendicular a la lnea de tierra, que ser la proyeccin horizontal de la recta pedida.

63

67.- Representar una recta vertical, contenida en un plano frontal. ( fig. 67 ) - Se traza primeramente el plano f rontal F. - Para que la recta v ertical pertenezca al plano mencionado, debe tener su traza horizontal, sobre la horizontal del mismo ( F ), la misma que se muestra en h, en la lnea de tierra. antes traza y h

- Como la recta debe ser v ertical, desde la proyeccin v ertical h de la traza horizontal de la recta, trazaremos una perpendicular a la lnea de tierra, que ser la proyeccin v ertical de la recta pedida.

r'

h'

r-h

F fig. 67

68.- Interseccin de una recta oblicua, con un plano paralelo a la lnea de tierra. ( fig. 68 )

64

- Nos trazamos primeramente el plano - , y la recta oblicua S, con trazas v - v , y h - h. - Todo trabajo de interseccin de recta y plano debe resolv erse con la utilizacin de un plano proyectante que pase por la recta, que en el presente caso se trata de uno v ertical. - Se hace coincidir la traza del plano, con la proyeccin v ertical s de la recta, y , traza horizontal del plano proyectante, perpendicular a la lnea de tierra, desde donde , la corte. - Se encuentra la interseccin de ambos planos, la misma que se v e en la recta I, ( i - i ). - Como el plano proyectante es uno v ertical, la determinacin de la solucin ser v ista en la proyeccin horizontal ( donde y corte a s ), en el punto O ( o - o ).

s' i' h' v o i s h fig. 68 o' v'

65

r' v'1 o' h v' x' z' y' t'

s' h'1 x z y t r h1 s

v h' v1 o

fig. 69

69.- Encontrar la interseccin de una recta con un plano dado por dos rectas que se cortan. ( fig. 69 )

- Sea la recta T, que debe cortarse con el plano dado por las recta R y S que se cortan en el punto O ( o - o ). - Nos trazamos un plano proyectante horizontal - . - La traza horizontal del plano proyectante, corta a la recta R, en el punto Y ( y - y ), en tanto que a la S lo hace en el O ( o - o ). - La unin de Y con O, corta en proyeccin horizontal a la recta T en el punto Z ( zz ), que es el punto buscado.- Pr im er o se deter m in ar la pr oyeccin h or izon ta l del pun to Z, en z , sobr e t, y luego por per pen dicular idad, se h a lla r sobr e t la pr oyeccin ver tica l z. 66

70.- Representar una recta paralela a un plano proyectante vertical. (fig. 70 ) - Se traza un plano proyectante v ertical cualquiera, el , con traza - . - Como no hay relacin directa de paralelismo entre recta y plano, sino a trav s de una recta del plano, nos trazamos en ste, la recta R ( r - r ). - Por un punto cualquiera O ( o - o), del espacio, nos trazamos la recta T ( t - t ), paralela a la R del plano, haciendo que t, sea paralela a r, y t, a r, obteniendo de esta f orma la recta pedida.

t' o' v' r' h' h r t o fig. 70 v

67

71.- Representar una recta paralela a un plano proyectante horizontal. ( fig. 71 ) - Se traza un plano proyectante horizontal cualquiera, el , con trazas - . - Como no hay relacin directa de paralelismo entre recta y plano, sino a trav s de una recta del plano, nos trazamos en ste la recta S ( s - s ). - Por un punto cualquiera B ( b - b ), del espacio, nos trazamos la recta R ( r - r ), paralela a la S del plano, haciendo que r, sea paralela a s, y r , a s, obteniendo de esta f orma la recta pedida.

r' b' s'

s b r fig. 71

68

72.- Representar una recta perpendicular a otra cualquiera. ( fig. 72 ) - Como la relacin de perpendicularidad entre plano y recta, es directa, a una recta S ( s - s ), le trazamos un plano perpendicular, haciendo que la traza v ertical del plano ( ), sea perpendicular a s, y la horizontal ( ), a s. - Cualquier recta del perpendicular a la S. plano, como la v - h, v - h, ser

v'

s'

v h

h'

s'

fig. 72

69

73.- Abatir una recta frontal del plano. (fig. 73 ) - Al darnos las trazas - de un plano, representamos una recta f rontal f - f del mismo. - En primer lugar, abatimos al plano, utilizando la traza horizontal como charnela, sirv indonos de una traza v ertical v 1 - v 1 de una recta cualquiera del plano. Esta operacin se la hace, trazando una perpendicular a la charnela, a partir de la proyeccin horizontal v 1 de la traza v ertical de la recta, desde donde se traza una perpendicular a la charnela. Haciendo un arco con centro en la interseccin en lnea de tierra de las dos trazas del plano, y cortando a la perpendicular antes mencionada, ubicaremos el punto V1, que es por donde pasar la traza v ertical abatida del plano. - As como la proyeccin v ertical de la recta frontal es paralela a la traza v ertical del plano al que pertenece, esta misma recta una v ez abatida con su plano, tomar la direccin de paralelismo respecto de la traza v ertical abatida, a partir de la traza horizontal h, de la recta. 74.- Abatir una recta horizontal del plano. (fig. 74 ) - Al representar un plano, el - , nos damos una recta horizontal t - t, con traza v ertical v - v . - Para abatir el plano, nos damos una perpendicular a la charnela , desde v , proyeccin horizontal de la traza v ertical de la recta horizontal. - Con centro en la interseccin de las trazas del plano sobre la lnea de tierra, se hace un giro con radio de extremo v , hasta cortar a la perpendicular antes mencionada, obteniendo el punto V, que es por donde pasar la traza abatida del plano . Como se trata de una recta horizontal, que nunca podr cortar al plano horizontal, la recta abatida tampoco cortar a la charnela, 70

por lo que desde la traza v ertical abatida de la recta, se trazar una paralela a la charnela que ser en def initiv a la recta horizontal abatida.

f' v'1 f h' h s' fig. 73 v1

75.- Trazar un plano perpendicular a otro. ( fig. 75 ) - Se trata de construr un plano - , perpendicular a uno dado, - . - La relacin de perpendicularidad entre planos se da a trav s de una recta de uno de ellos. Por esa razn, nos damos una recta en el plano - , la v - h. - Se dibuja ahora trazas homnimas a las proyecciones de la recta, tratndose de las de - .

71

v' v V t T

t'

fig. 74

v'

h' v h fig. 7572

76.- Por cambio de plano, convertir una recta horizontal, en de punta. ( fig. 76 ) - Se trata de la recta horizontal t - t, que debe conv ertirse en de punta. - La recta de punta tiene su proyeccin horizontal perpendicular a la lnea de tierra, y la v ertical conf undida en un punto con todos las proyecciones v erticales de los elementos de esta recta, por lo que mediante un cambio de plano v ertical, colocamos la nuev a lnea de tierra L1 - T1, perpendicular a la proyeccin horizontal t, que en el nuev o sistema se llamar t1, de la misma f orma que la proyeccin horizontal a del punto A, tomar asimismo su nuev a nomenclatura a1. - Como la primitiv a proyeccin v ertical de A, la a, como tambin la v de la traza v ertical de V ( traza v ertical de la recta ), tienen la misma cota, llev amos sta al nuev o sistema, y sobre su nuev a lnea de tierra ( la L1 - T1 ), por estar ambos sobre la suya inicialmente ( L - T ).

v' L v

a'

t'

1-t '1

T'1

T

v'1 -a'

a-a1 t-t1

L'1

fig. 76

73

f'-f'1 a'-a1

L f

h'1 a1 -h1 -f1h' T h fig. 7774

77.- Por cambio de plano, convertir una recta frontal, en vertical. ( fig. 77 ) - Estamos hablando de la f rontal f - f . - La recta v ertical tiene su proyeccin v ertical, perpendicular a la lnea de tierra, teniendo su traza horizontal conf undida en un punto con las proyecciones horizontales de todos los elementos de esta recta, por lo que mediante un cambio de plano horizontal, perpendicular a la proyeccin v ertical f de la recta, trazamos la nuev a lnea de tierra ( la L1 - T1 ); f ser ahora f1. T odos los elem en tos en pr oyeccin h or iz on ta l de la r ecta fr on tal, estn con fun didos en un pun to con la tr az a h or iz on tal de esta r ecta , por lo que se lleva a l n uevo sistem a y en la m ism a r ela cin r especto de la pr im itiva ln ea de tier r a , la n ueva tr a za h or izon ta l h 1, a m s de a1 y f1.

L1

a'

T1

78.- Por giro, convertir una recta horizontal, en de punta. ( fig. 78 ) - Tenemos una recta horizontal r - r, con traza v ertical v -v . - Nos elegimos un eje v ertical, el e - e. - Desde el centro del eje, e, se traza una perpendicular a la proyeccin r horizontal de la recta, encontrando el punto a, el que ser girado hasta colocar a la proyeccin horizontal de la recta en posicin de perpendicular respecto de la lnea de tierra. - Siendo las proyecciones horizontales de la recta las que se muev an segn la direccin de la circunf erencia, las v erticales lo harn paralelamente a la lnea de tierra, por lo que todas las proyecciones v erticales se concentrarn en la prolongacin de la perpendicular r1 a la lnea de tierra, conjuncionndose todas las proyecciones v erticales sobre un punto a continuacin de sta.

79.- Por giro, convertir una recta frontal, en vertical. ( fig. 79 ) - Tenemos una recta f rontal f - f, con traza horizontal h - h. - Nos damos un eje de punta ( conf undida con e ) - v . e - e, con traza v ertical v

- Desde e, se trazar una perpendicular a f , hasta cortarla en b, que ser el punto auxiliar, por el que giraremos la proyeccin v ertical f de la recta f rontal, hasta conv ertirla en posicin de perpendicularidad respecto de la lnea de tierra, que es una de las condiciones que debe cumplir toda recta v ertical; esta quedar conv ertida en f 1, estando su respectiv a proyeccin horizontal en f 1, que quedar conf undida con la nuev a traza horizontal de la recta v ertical, en h2. - Como recta v ertical, tendr todos sus elementos en proyeccin horizontal, conf undidos con su traza horizontal h2; por tanto en esta nuev a traza, estarn las proyecciones horizontales de f ( f 1 ), y b ( b1 ).

75

e' r' a' a'1-r'1-v'1

v' v

a r r1 a1 e

fig. 78

e'-v'1 b' h' v1 b h e

f'1 b'1 f'

h'2 f1 h2-b1 f fig. 79

76

80.- Convertir por giro, una recta horizontal, en de punta. ( fig. 80 )

- Esta v ez se proceder a utilizar el procedimiento de hacer cortar el eje con la recta. - Se establece para este efecto, un eje v ertical e - e, que se intersecta con la recta horizontal en el punto O ( o - o )

e'

v'

a'1 v'1-r'1 a' o' v1 h'1

r'

v h1 r1 a1

e-o a r fig. 80

- Haciendo centro en la traza horizontal h1, del eje, y utilizando un punto auxiliar A ( a - a ), de la recta horizontal, giramos sta hasta colocarla perpendicular a la lnea de tierra.- Al gir a r las pr oyeccion es h or iz on tales de la r ecta en cuestin , todos los elem en tos en pr oyeccin ver tica l, se m over n segn un a r ecta par a lela a la ln ea de tier r a, coin cidien do en un solo pun to, la tr a za ver tica l v , a , r 1 , et c. 77

81.- Convertir una recta frontal, por giro, en vertical. ( fig. 81 )

- Esta v ez se utilizar el procedimiento de interseccin del eje con la recta por trabajar. - Se utilizar un punto de interseccin O ( o - o ), con la recta frontal, ( o, en f , y o en f ), con la recta eje e - e.

f'1 a'1 a' o' h' h'1 v1

f'

o f1 h h1 a1 e

f a fig. 81

- Utilizando como centro la traza v ertical v 1, de la recta eje, y otro punto auxiliar A ( a - a ), giramos la proyeccin v ertical a de ste, hasta colocar la proyeccin v ertical f de la recta frontal, en posicin de perpendicular respecto de la lnea de tierra, mov indose todos los elementos en proyeccin horizontal de la f rontal f , hasta hacerlos conf undir con la traza horizontal de sta. 78

82.- Encontrar la interseccin de una recta oblicua, con un plano horizontal. ( fig. 82 )

f' o' h h' fig. 82 v' v'1 o v v1 H' i'

r-i

- Nos damos la recta oblicua R ( r - r ), determinando para ello sus trazas v ertical v y horizontal h. - Para trazar el plano horizontal, basta determinarlo por una paralela a la lnea e tierra, al que le ponemos el nombre de H. - La interseccin entre recta y plano, se encuentra a trav s de un plano auxiliar, que en este caso es ms til que sea un proyectante, esta v ez horizontal. - La interseccin de dos planos se halla determinando el punto de corte entre trazas homnimas; v ale decir, trazas v erticales entre s, darn la traza v ertical de la recta de interseccin, que ac se trata de v 1 - v 1, no habiendo en este caso traza79

horizontal, puesto que la recta solucin ser una horizontal, que como se sabe no tiene traza horizontal.

recta

- La proyeccin v ertical de la recta solucin I ( i - i ), tendr su proyeccin v ertical ( i ) conf undida con la traza H del plano, mientras la proyeccin horizontal (i) lo estar con la horizontal del proyectante. - Como referencia punto O ( o - o ). f inal, ambas rectas se cortarn en el

83.- Encontrar la interseccin de una recta oblicua con un plano frontal. (fig. 83 ) recta oblicua T ( t - t ), con

- Determinamos primeramente la traza v ertical v , y horizontal h.

- El plano f rontal se lo dibuja como una paralela a la lnea de tierra ( en este caso por debajo ), con la nominacin F.

-

Para encontrar la interseccin pedida, nos auxiliaremos de un plano proyectante, en este caso v ertical.

- Como el plano f rontal slo tiene traza horizontal, en este caso habr solamente interseccin entre la traza horizontal del plano proyectante horizontal, y la misma del frontal, determinando la traza horizontal de la recta solucin I ( i - i ). - La proyeccin horizontal i, de la recta solucin, se conf undir con la v ertical t, y la i, con la traza f rontal del plano F.

80

- La interseccin entre la recta T y el plano frontal F, se determina en la interseccin de las proyecciones homnimas de las rectas I con T, v ale decir, t con y, da o, y t con y, o.

' t'-iv o' o h v' fig. 8384.- Interseccin de recta oblicua, con plano paralelo a la lnea de tierra. ( fig. 84 ) - Se trata de la recta S ( s - s ), que debe cortarse con el plano - , este ltimo con sus trazas paralelas a la lnea de tierra, por tener que ser l paralelo a ella. - El procedimiento es el mismo que el utilizado en los casos anteriores, por lo que nos auxiliamos de un plano proyectante v ertical, que se corta con - .

h' h'1 h1 F-i t

81

- Ambos se cortan segn la recta I ( i - i ), cuya proyeccin horizontal se corta con la proyeccin horizontal de S, en el punto O ( o - o ), que es el pedido.

'

v'1 s' i' o' v h' h'1 h o h1 fig. 84 i s v1

v'

85.- Encontrar la interseccin de una recta oblicua con un plano de perfil. (fig. 85 )

- Observ ando paralelamente los dos grf icos de la f igura 85 y 85a, se puede comprender claramente la situacin del presente caso, en que, por ser el plano de perfil doblemente proyectante, todas las proyecciones de ste, estarn conf undidas con sus trazas.

82

- Con este criterio, como se v e, el punto de interseccin de estos dos elementos se encontrar donde las proyecciones de la recta R ( r - r ) se corten con las trazas del plano - , esto es en el punto O ( o - o ).

v' s' v

o' O o

h'

h

fig. 85

86.- Interseccin vertical. ( fig. 86 )

de

recta

oblicua,

con

plano

proyectante

- Se trata de la recta oblicua S, con trazas v y h, y el plano proyectante v ertical - . - El punto pedido se podra determinar directamente donde la traza v ertical del proyectante, , sea cortada por la proyeccin v ertical s de la recta. Sin embargo a objeto de conf irmar la exactitud del procedimiento, nos auxiliamos como de costumbre por un plano proyectante que pase por la recta, que ser83

uno horizontal, 1 - 1, que se corta con el primer proyectante, segn la recta I ( i - i ), la misma que determina con S ( s - s ),el punto O buscado, ( o - o ).

v' r' o'

v r o fig. 85 a

h'

h

84

1 v'1 s' v' i v1 1 s fig. 86 i' o h1 o' h'1 h' h

v'

87.- Interseccin de recta oblicua con plano proyectante horizontal. ( fig. 87 )

- Exactamente con los criterios y procedimientos del anterior ejercicio, v emos que el punto solicitado es el de la interseccin de las rectas I, y T, en el punto O ( o - o ).

85

1 v' o' v'1 v1 v o 1 fig. 87 1 t h t' h'1 h'

h1

88.- Interseccin de un plano horizontal, con otro frontal. ( fig. 88 )

- Al ser ambos proyectantes, todos sus elementos estarn conf undidos con sus respectiv as trazas, por lo que ambas proyecciones de la recta solucin I ( i- i ) , estarn sobre H ( i ) y F ( i ). (recta paralela a la lnea de tierra)

86

i'

H'

i fig. 88

F

89.- Interseccin de plano horizontal con plano de perfil. ( fig. 99 )

- La solucin es una recta de punta, determinada por la interseccin de H, con , que determinar la traza v ertical ( v )de la recta solucin. 90.- Interseccin de plano frontal con plano de perfil. ( fig. 90 ) - Es un caso similar al anterior, en que la recta solucin es una v ertical, donde las trazas horizontales de ambos planos se cortan en h, traza v ertical de la misma.

87

v' i' v i

H'

fig. 89

i' h' i h F fig. 90

88

91.- Interseccin de un plano horizontal, con otro proyectante vertical. ( fig. 91 ) - Donde la traza v ertical , se corte con la v ertical H, determinaremos la traza v ertical de la recta solucin, que ser una de punta, por tener que ser su proyeccin horizontal i, paralela a la traza horizontal , del proyectante v ertical esto es, perpendicular a la lnea de tierra.

v'-i' v

H'

fig. 91 i

92.- Interseccin de plano horizontal. ( fig. 92 )

horizontal

con

plano

proyectante

- Se trata de los planos horizontal H y el proyectante horizontal . - La recta de interseccin debe ser comn a ambos planos.89

- Como en este caso los dos son proyectantes, todos los elementos que a ellos pertenezcan, estarn conf undidos con sus respectiv as trazas. - Por ese motiv o las dos proyecciones de la recta solucin estarn conf undidas con las trazas de los planos que las contiene. I

- La proyeccin v ertical de la recta solucin i, estar en H, en tanto que la horizontal de I ( la y ), estar en .

i'

v' v i fig. 92

H'

93.- Encontrar la interseccin de proyectante vertical. ( fig. 93 )

un

plano

frontal

con

otro

- Se trata de los planos f rontal F, y del proyectante v ertical . - Como es un caso similar al anterior, deber seguirse las mismas consideraciones, cambiando los nombres de acuerdo a los planos de ref erencia.90

H' h' h i fig. 93 F

94.- Interseccin de plano frontal, con proyectante horizontal. ( fig. 94 )

- Las trazas horizontales de ambos planos, se cortarn en el punto h - h, traza horizontal de la recta de interseccin. - Al tener el plano proyectante v ertical, su traza v ertical perpendicular a la lnea de tierra, la proyeccin v ertical de la solucin, recta I, es decir la proyeccin v ertical i, ser paralela a aqulla, v iendo por lo tanto que la solucin del presente caso, es una recta v ertical.

91

i'

h' h-i fig. 94 F

95.- Interseccin de dos planos paralelos a la lnea de tierra: uno del segundo al cuarto cuadrante, por el tercero, y el otro del segundo al cuarto por el primero. ( fig. 95 ) - , y en el segundo

- En el primer caso tenemos al plano del - .

- Al ser ambos paralelos a la lnea de tierra, sus respectiv as trazas homnimas no se cortarn aparentemente, aunque s lo hacen en el espacio. - Ante esta indeterminacin debemos acudir al uso de un plano proyectante, que en este caso se trata de uno horizontal - . - El proyectante se corta con el horizontal , segn la recta R, en tanto que con el , lo har segn la S.92

v' v' a' h' v a r h r'

h'1

s'

i' i

s h1

fig. 95- Al ser el proyectante, uno horizontal, la determinacin de la solucin aparecer en el plano v ertical; es por eso, que por donde se corten las proyecciones de estas rectas, tendremos el punto de interseccin A ( a - a ), que es por donde pasarn las proyecciones de la recta solucin I2.

96.- Determinar las trazas de un plano del cual se conocen una recta paralela a la lnea de tierra, y el punto C ( fig. 96 )

Solucin: Nos damos un punto D, en la recta AB, el que unido a C, determina la recta CD, con lo que al cortarse en D, con la recta AB, nos determinar el plano buscado. De ah, por las trazas de CD, pasaremos ' - , ambas paralelas a la lnea de tierra, pues al ser AB, paralela a ella, forzozamente el plano que la contenga, debe serle paralelo.93

a'

v'

d' v

b' c' h'

a

d

b

c fig. 96

h

97.- Encontrar la distancia de un punto A, a una recta R. (fig. 97) - Los datos del presente ejercicio, sern e, punto A (a a) ubicado en el primer cuadrante, y la recta R (r r) con trazas v y h. - Para poder resolver este ejercicio, lo que hay que hacer es pasar por A, una recta perpendicular a R, la misma que dar la distancia entre el punto y la recta. - Como no existe relacin directa de perpendicularidad entre rectas, debemos acudir al uso de una recta notable, horizontal o frontal que pase por el punto A y que sea perpendicular a R. Dicha perpendicularidad se dar en las proyecciones de dicha recta no paralelas a la lnea de tierra. En este caso usaremos una frontal, para lo que por a (proyeccin horizontal de A) una paralela a la lnea de tierra, y una oblcua por a (proyeccin vertical de A y que a la vez sea perpendicular a r, proyeccin vertical de la recta R.94

h2

v' v'1 d' v'2 h' v1 b' h2 v2 h r b d a D v p q fig. 97 a' r'

- Ahora s podremos pasar el plano perpendicular a la recta R, y que pase por el punto A, que es desde donde se podr trazar la perpendicular o distancia pedida en el presente ejercicio; este plano es el - , cuya traza v ertical pasar por v 1, traza v ertical de la recta auxiliar que pasa por el punto A, perpendicular a r, desde cuya interseccin con la lnea de tierra, se pasar la traza horizontal, perpendicular a la proyeccin horizontal r de la recta.

95

- Seguidamente dbese encontrar la interseccin de la recta R con el plano, para lo que nos auxiliamos de un plano proyectante v ertical que pase por la recta, procedimiento este que nos permite encontrar el punto B, donde la recta corta al plano. - La unin de los puntos A y B, nos dar la distancia pedida. - Para encontrar la v erdadera magnitud de esta distancia, se procede por los mtodos aplicables al ef ecto, esto es mediante la triangulacin rectangular, para lo que escogemos la proyeccin v ertical del segmento ( d ), trazando un ngulo recto sobre el v rtice b. - Sobre este segundo cateto, llev amos la dif erencia de alejamientos entre los puntos a y b ( segmento pq ), cuyo extremo, al unirse con a nos dar la distancia pedida.

98.- Determinar las trazas de un punto definido por una recta AB. Que es de mxima pendiente del plano, siendo el punto B perteneciente al primer bisector. ( fig. 98 ) - Tal como lo dice el enunciado trazamos la recta AB, en el que el punto B, ( b- b ) est en el primer bisector. - Como esta recta debe ser de mxima pendiente del plano, una vez ubicadas las trazas del plano, por el punto h, traza horizontal de la recta, trazamos la traza horizontal , perpendicular a la proyeccin horizontal ab de la recta, y donde dicha traza del plano corte a la lnea de tierra, unimos con v, traza vertical de la recta, determinando de esta manera la traza vertical del plano.

96

b'

a v v' a' fig. 98 b h' h

99.- Ubicar un plano determinado por las rectas AB y la BC que es de perfil, sin necesidad de usar el procedimiento del abatimiento. ( fig. 99 )

- Estn determinadas las trazas de AB en vv' - hh'. Necesitamos encontrar las trazas de la recta de perfil BC, las mismas que slo se pueden hallar previo abatimiento, procedimiento que el enunciado del problema nos veda. - Vemos que ambas rectas se cortan en el punto B. Para hallar la solucin, hacemos que el punto de interseccin de ambas rectas est en C. Las trazas de AC son v'1 y h1( coincidente con h, traza horizontal de la recta AB ). 97

- La unin de v' y v'1 nos da '; donde sta corte a la lnea de tierra, unimos con h, que coincide con h1, hallando la traza que nos falta para determinar el plano.

b'-v' c' v a'-h'-h'1 a-h-h1 v1 v'1

c fig. 99

100.- Determinar las trazas de un plano por la recta AB que pasa por la lnea de tierra, y otra similar cuyas proyecciones sean inversas a la anterior ( las horizontales de AB, son las verticales de CD, y viceversa ). ( fig. 100 )

98

b'-d e a'-c h2 v'1-v1 v'-v h-h' h1-h'1 v'2

h'2 v2 a-c'

e' b-d'

fig. 100- Como ambas rectas pasan por la lnea de tierra, tambin el plano ser uno que pase por ella. Por tanto, para determinarlo, nos damos un punto auxiliar E, que unido, por ejemplo con B, ( recta BE ), nos determinar, por sus trazas, y las de la otra, el plano buscado. ( fig. 100 )

101.- Trazar una recta de mxima pendiente del plano determinado por las rectas AB y BC, sin necesidad de hallar las trazas del mismo ( fig. 101 )

- Por C, o A, nos damos una recta horizontal auxiliar, que puede ser por ejemplo la CD. Como la recta de mxima pendiente de un plano tiene su proyeccin horizontal perpendicular a la traza horizontal del mismo, ser tambin perpendicular a todas las proyecciones horizontales, de las rectas horizontales del plano; por tanto, desde b ( proyeccin99

horizontal de B ), trazamos una perpendicular a cd, hallando e - e', que con b - b', nos da la recta pedida.

a'

c

d'

e'

v'

c'

v b'

e a' fig. 101 d b

102.- Sealar una recta de perfil que pertenezca a un plano como el sealado en la figura 102.

100

- Trazar dos rectas horizontales, R y S, del plano. Sobre una misma perpendicular a la lnea de tierra, se marcan los puntos A y B, que sern los de su interseccin con R y S, y a su vez una recta de perfil del plano. Para verificar esta aseveracin, por medio del abatimiento conocido, ubicamos los puntos a'1 y b'1, que unidos entre s nos permitirn verificar que sus trazas estn sobre ' y respectivamente.

v'2 v' a' v'1 v1 b' v v2 h'2 a b fig. 102 h2 s r a1 b1 b'1 H2 s' a'1 r'

101

103.- Por un punto A, trazar un plano paralelo a la recta de perfil BC. ( fig. 103 )

v' b' a' A c' v h' a1 b b1 C c1 B

a h fig. 103 c

- Rebatiendo las proyecciones horizontales b y c, ubicamos la verdadera posicin de la recta de perfil BC; de la misma manera ubicamos la situacin del punto a, en A. Por A, trazamos una paralela a BC, que tambin ser de perfil, la misma que al ser encontradas sus trazas, permite ver, que cualquier plano que pase por ellas, cumple con lo requerido. ( fig. 103 )

102

104.- Determinar las trazas del plano que conforman la recta AB que le es de mxima inclinacin, y otra recta MN del mismo. ( fig. 104 )

a' v'

m' o' h' o m h b b'

n' a' n

v

fig. 104

- Como MN es del plano, N el punto en que estn sus trazas, por ser una recta que pasa por la lnea de tierra, y AB, es de mxima inclinacin del plano, trcese directamente una perpendicular a a' b', por v' traza vertical de AB; esta traza pasar necesariamente por n', y de all unimos con h, traza horizontal de AB, pues sta se corta con MN en o - o', determinando por tanto el plano buscado.

103

105.-Interseccin de un plano cualquiera con uno paralelo a los de proyeccin:

-

Se trata de hallar la interseccin del plano horizontal H' con otro cualquiera ' - . ( fig. 105 )

f' r' v' H'

h'

v

f r h

F

fig. 105

- La interseccin de un plano horizontal con otro cualquiera da una recta horizontal de ese plano. Para hallarla, se determina el punto de corte o interseccin de las trazas verticales v - v', y enseguida la horizontal r - r'. La proyeccin r ser paralela a y la vertical r', ser coincidente con H'. ( fig. 105 )

- La interseccin f - f' del plano frontal F con el ' - , es una frontal de dicho plano, determinada por su traza horizontal h - h' 104

que es el punto de interseccin entre F y , estando f confundida con F, y siendo f' paralela a la traza ' del plano. - Ambas rectas adems deben cortarse en un punto situadas en el plano. a - a' por estar

- Si dos planos tienen dos trazas paralelas, se determina la traza corrrespondiente a las trazas que se cortan, y la proyeccin correspondiente a las trazas paralelas,ser paralela a ellas, siendo la otra, paralela a la lnea de tierra. ( fig. 105 a )

fig. 100 a 106.-Interseccin de dos planos cuyas trazas se cortan fuera de los lmites del dibujo ( fig. 106 ) - Se trata de los planos y . Como sus trazas no se cortan dentro de los lmites del dibujo, nos auxiliaremos de dos planos, primero un horizontal H', que se corta con los dados, segn las rectas m - m' y n - n', que a su vez lo hacen en el punto a - a'. Como segundo plano auxiliar, se toma el frontal F,105

que se corta con los planos dato, segn las rectas c - c' y d - d', que se intersectan en el punto b - b'. - La interseccin de estos planos cuyas trazas se cortan fuera de los lmites del dibujo, es la recta i - i', que es la unin de los puntos A y B.

Si dos de las trazas de los planos se cortasen en el dibujo y las otras fuera de l, basta por regla general hallar el punto de interseccin de las trazas que se cortan y utilizar un plano auxiliar paralelo a estas ltimas. ( fig. 106 )

106

fig. 106 107.-Plano proyectante con otro dado por dos rectas que se cortan ( fig. 107 ) - Por ser proyectante vertical, todas las proyecciones verticales de los elementos del plano se confundirn con la traza '. - Las rectas r - r' y s - s', se cortan en el punto a - a' ( condicin para que determinen el plano ). Aunque no se puede hallar directamente la interseccin de recta y plano, en este caso es viable hallarla por tratarse de un plano proyectante. Los pasos a seguir son: Recta R con , da c - c' Recta S con , da b - b' La solucin es la unin de B y C.

107

fig. 107

108.-Planos paralelos a la lnea de tierra: ( fig. 108 ) - Si dos planos pasan por dos rectas paralelas, su interseccin es tambin paralela a ellas, o dicho de otra forma: si dos planos son paralelos a una recta, su interseccin es tambin paralela a ella.

fig. 108

108

- Se usa un plano auxiliar que en este caso es un proyectante horizontal que determinar dos rectas de interseccin con los planos paralelos. La interseccin de estas dos rectas nos da un punto por donde ha de pasar la recta solucin que tambin por lo expuesto anteriormente ser paralela a la lnea de tierra. Los pasos a seguir son: a) Plano con da la recta R. b) Plano con da la recta S. c) R y S se cortan en el punto a - a' que es por donde pasar la recta solucin. 109.-Encontrar la interseccin de un plano perpendicular al segundo bisector con otro cualquiera: ( fig. 109 ) - En el caso de que ambos planos fueran concurrentes en la lnea de tierra se procedera a buscar la solucin, de la siguiente manera: ( fig. 109 )

- Los planos se cortan en la lnea de tierra en el punto a - a'. Nos auxiliamos de un plano horizontal que se cortar con los dos planos, segn dos rectas horizontales: con H' da R con H' da S

- La interseccin de las proyecciones de las rectas R y S da el punto b - b', que unido con el punto a - a', da la recta solucin I. 110.- Interseccin de un plano cualquiera con los bisectores: ( fig. 110 ) - Es un caso similar al anterior; los planos son concurrentes en la lnea de tierra, en el punto a - a'. Nos auxiliamos de un plano horizontal H': a) Con da la recta R.109

b) Con el primer bisector da la recta S, que adems de ser horizontal, tiene sus proyecciones equidistantes de la lnea de tierra. c) La interseccin de R y S nos da el punto i - i', que unido con a a' da la solucin.

fig. 110

110

fig. 111 d) El razonamiento anteriormente explicado tiene aplicacin en el caso de que el plano en cuestin sea el primer bisector. - Con el segundo bisector se proceder as: ( fig. 111 ) a) Nos determinamos una horizontal cualquiera de , y en la prolongacin de la proyeccin horizontal de dicha recta, el punto b2 b'2 que falta para determinar la recta de intersseccin, puesto que el otro punto es a - a' en la lnea de tierra. ( fig. 111 )

fig. 111 112.- Encontrar la interseccin de una recta con un plano ( fig. 112 ) - La recta dato es la r - r' y el plano dado es el . Por la recta r - r' hacemos pasar un plano cualquiera, que para facilitar la operacin se tratar de un plano111

proyectante, que es en el presente caso uno horizontal, que corta al plano segn la recta s - s'.

- Las rectas r - r' y s - s', se cortan en el punto i - i que es la interseccin entre la recta R y el plano.

fig. 112

113.- Interseccin de cortan: ( fig. 113 ) Sea la recta r - r'.

una recta con un plano dado por dos rectas que se

Las rectas s - s' y t - t' se cortan en el punto c - c'. Usar un plano proyectante vertical por r - r'; dicho plano corta a la recta el punto b - b', y a la recta t - t' en el punto a - a'.112

s - s' en

La interseccin de ab - a'b' con r - r' es el punto i - i

buscado.

fig. 113

114.- Encontrar una recta que corta a otras tres: ( fig. 114 ) - Datos: Recta R: ( v - h, v' - h' ) Recta S: ( v1 - h1, v'1 - h'1 ) Recta T: ( v3 - h3, v'3 - h'3 )

- Nos damos un punto cualquiera en la recta R ( a - a' ) - Otro punto cualquiera, esta vez en la recta S ( o - o' ) - Las rectas A - O ( v2 - h2, v'2 - h'2 ), y S, nos determinan el plano . - Ubicamos un punto, ahora en la recta T, ( n - n' ) - Las rectas A - N ( v4 - h4, v'4 - h'4 ), y T, determinan el plano . 113

- Encontramos la ( h5 - v5, h'5 - v'5 )

interseccin de los planos y ,

en la recta

I

114

fig. 114 - La recta I es la solucin, la misma que corta a las tres rectas que son dato del problema, de la siguiente manera:

a) a la recta R la corta en el punto A, que es el de partida. b) a la recta S la corta en el punto B. c) a la recta T la corta en el punto C.

115.- Encontrar la recta que corta a otras dos rectas y es paralela a un plano: ( fig. 115 ) - Se traza un plano paralelo al . - Se halla la interseccin a - a' y b - b' de las rectas dadas con . - El punto a - a' se determina por el plano auxiliar que corta a segn la recta m - m', la que a su vez lo hace a t - t', en a - a'. - Para determinar b - b' se utiliza el plano cuya interseccin n - n' con corta a s - s' en b - b'. - La recta pedida es la ab - a'b'.

115

fig. 115

116.- Trazar una recta que corta a otras dos y es paralela a una tercera recta: ( fig. 116 ) - Puede ocurrir que las rectas se crucen o no. Si se cruzan, y T es la recta a la que ha de ser paralela la recta pedida. - Por un punto de A de una de ellas, por ejemplo la R, se traza T' paralela a T, que con R determinan el plano , paralelo a T. - Se halla B, interseccin de S con el plano . - Por B, se traza una paralela a T ( BC ) contenida en el plano , que corta a R en C. BC es la recta pedida. 116

- Si las rectas se cortan ( R y S ), forman al plano . Si T es paralela a , cualquier recta paralela a T que est situada en el plano, como la Y, resuelve el problema ( fig. 116 a ). Si T no fuera paralela, el problema no tendra solucin, puesto que cualquier recta como la I, que corta a R y S, estara contenida en el plano y por lo tanto no podra ser nunca paralela a la T por no ser esta ltima paralela a .

fig. 116

fig. 116 a

117.- Dadas dos rectas S y R, que se cruzan, trazar una tercera recta que corte a ambas y sea paralela a LT. ( fig. 117 ) - Se traza el plano paralelo a LT y que pase por la recta R, para lo cual ambas trazas pasarn por las trazas de la recta. - Se pasa por S un proyectante y se halla la interseccin b - b' con la recta S.

117

- La recta buscada es bc - b'c', paralela a LT trazada por b - b' y que corte a R en c - c' .

fig. 117

118.- Determinar la interseccin de un plano horizontal, con otro paralelo a la lnea de tierra. ( fig. 118 )

118

- Por ser la recta la interseccin, perteneciente a ambos, ser a su vez horizontal, y paralela a la lnea de tierra. - Para su solucin nos auxiliamos de un plano cualquiera, como el que se observa en la figura 118. El plano determina dos rectas de interseccin con los planos dato, las mismas que se cortarn en un punto comn o' - o. Por ste trazamos una recta paralela a la lnea de tierra, que es la solucin.

fig. 118 119.- Encontrar la interseccin de dos planos que tienen comn su punto de interseccin de trazas con la lnea de tierra ( t' - t ) y cuyas trazas de nombre contrario, coinciden.

- Para solucionar este problema, nos damos un plano auxiliar horizontal H', quese va a cortar con ambos, segn dos rectas horizontales, la r'- r, y la s'- s. Como bien se sabe, las proyecciones verticales de estas rectas, coinciden con la traza horizontal H', pero sus proyecciones horizontales se van a cortar en un punto comn o'- o, que unido con el t'- t (que ya es un punto de la interseccin ), nos determinan la recta solucin. 119

fig. 119 120.- Determinar la interseccin de un plano, por otro dado por su recta de mxima pendiente, sin que tenga que usarse las trazas de ste. ( fig. 120 )

- Tngase presente, por definicin, que las proyecciones horizontales de las rectas de un plano, de las que stas son de su mxima pendiente, son perpendiculares a la respectiva traza horizontal del plano.

120

fig. 120 - Para no perder el hilo en este proceso, obsrvense los siguientes pasos: 1) Trazar un plano horizontal H', que pase por a'. Este se corta con segn la recta r'- r, por v'- v. ( r, paralela a ) 2) Otro por b' que se corte con segn s'- s ( s, paralela a ) 3) Por a, pasamos una perpendicular a t que se corta con r, en i'i.121

4) Por b, otra perpendicular a la misma recta, obteniendo el punto o' o. 5) La solucin ser la unin de los puntos i - o. ( fig. 120)

121.- Determinar la interseccin de los planos definidos, uno por su recta AB de mxima pendiente, y el otro, por el de su mxima inclinacin CD, sin usar las respectivas trazas. ( fig. 121)

fig. 121

122

- Nos damos un plano auxiliar H', cuya interseccin con el plano definido por AB, es la horizontal EF, cuyas proyecciones son e' f' y e f, (perpendicular a ab, por ser sta de mxima pendiente del plano). - Seguidamente, trazamos un segundo plano auxiliar, el frontal F, cuya interseccin con el plano definido por CD, es la frontal IG, cuyas proyecciones son i'g' e ig ( i'g', es perpendicular a c'd', por ser sta de mxima inclinacin del plano ). - Nos encontramos ahora en presencia de dos planos definidos por las rectas concurrentes BE, EF e IG, GD. - El plano H' corta al primero en el punto E, de concurrencia, y al segundo, segn la horizontal SD; donde sta encuentre a ef, tenemos m' - m, uno de los puntos de la interseccin. - El plano F corta al segundo, en el punto G de concurrencia, y al primero segn la frontal UT, cuya proyeccin vertical u' t', encuentra a y' g', en n' ( n' n ), que es el otro punto de la interseccin. - La unin de M con N, es la solucin.

122.-Hallar la interseccin de la recta AB, con el plano formado por CD y DE, que se cortan. ( fig. 122 ) - Se traza por AB, un proyectante vertical que corta a DE, en G, y a CD, en F. Uniendo F y G, obtenemos Y, interseccin buscada. 123.- Encontrar el punto donde la recta de perfil AB, atraviesa al plano , y que es perpendicular al primer bisector. ( fig.123 ) - Por ser el plano perpendicular al primer bisector, sus trazas son simtricas respecto de la lnea de tierra. Rebatiendo el plano de perfil que contiene a la recta AB, encontramos el punto I, donde sta corta al plano.

123

fig.122

fig. 123

124

PERPENDICULARIDAD Y DISTANCIAS

124.- Si se quiere trazar una recta r - r' perpendicular al plano , basta dibujar sus proyecciones perpendiculares a las trazas del plano. ( fig. 124 )125

fig. 124 - Ntese que por ser r perpendicular a , lo ser a todas las proyecciones horizontales s de las horizontales del plano; asimismo r' ser perpendicular a las proyecciones verticales f' de las frontales del plano. - Si por un punto b - b' ha de trazarse una perpendicular al plano , basta trazar por sus proyecciones, perpendiculares a las trazas del plano. 125.- Trazar por un punto un plano perpendicular a una recta: ( fig.125 )126

- a - a' es el punto; r - r' es la recta. - Por a - a' trazar una horizontal del plano, s - s', cuya proyeccin horizontal s ser perpendicular a r; hallar la traza vertical v - v' de la recta. - Por v' una perpendicular a r' que ser la traza vertical del plano, determinndose la traza horizontal , paralela a s.

fig. 125 125.- Trazar un plano perpendicular a otro. ( fig. 125 ) - Para que los planos y sean perpendiculares, es preciso que uno de ellos, por ejemplo el , contenga una recta R perpendicular al plano . 127

- Por esta recta, pueden pasar infinitos planos; por tanto las soluciones sern infinitas. ( fig. 125 )

fig. 125 - Tazar r - r' perpendicular al plano. - Por las trazas de la recta, pasar un plano cualquiera, el . - Encontrar la recta de interseccin entre ambos planos, que es la i - i'.128

- A, es la interseccin entre R e Y, coincidente con su traza horizontal. ( fig. 125 )

126.- Plano que pasa por un punto o una recta y es perpendicular a otro plano: ( fig. 126 ) - Por a - a' trazar una perpendicular al plano , la r - r'. - Cualquier plano que pase por r - r' ser perpendicular al plano . - Uno de los muchos planos podra ser el proyectante . Si el plano adems de ser perpendicular a , debiera pasar por una recta S, ( fig. 126 ) desde el punto A pasar una perpendicular a ; R y S determinan el plano , perpendicular a . - Para ello, por a - a', trazar perpendiculares a ' - , hallando sus trazas. Encontrar las trazas de s - s'; por las trazas de S y R, se determina el plano , que ser perpendicular a .

127.- Recta perpendicular a otra ( fig. 127 ). - Si se traza un plano cualquiera ' - perpendicular a la recta R, cualquier recta del plano le es perpendicular. - En el depurado: ' - es perpendicular a r - r'. - La recta s - s' del plano ' - , es perpendicular a R. ( fig. 127 )

129

fig. 125

fig. 125 a fig. 126 128.-Primer procedimiento para encontrar la perpenedicular comn entre dos rectas que se cruzan ( fig. 128 ) - Sean R y S las rectas que se curzan ( fig. 128 ) - Trazar el plano perpendicular a R, y perpendicular a S; hallar luego la recta I, interseccin de y . 130

- Trazar el plano por una de ellas, en este caso la R, y que es paralelo a I, encontrando la interseccin A de S con . - Por A, la paralela a I que da B en R, siendo AB la perpendicular comn que se busca. - Datos en el depurado: r - r' y s - s' ( fig. 128 a ) - Por r - r', un plano perpendicular , y por s - s', el plano . - La interseccin de y da la recta i - i'.

fig. 128

131

fig. 128 a - Por A de R, una paralela a Y, que con R, nos determina el plano . - Por la recta S, pasar un proyectante permite encontrar el punto A1. , que al cortarse con , nos

- Por a'1 - a1, pasar una paralela a I, que corta a r - r' en b - b'. La unin de a1 - a'1 y b - b', es la solucin.132

129.- Segundo procedimiento para encontrar la perpendicular comn entre dos rectas que se cruzan (fig. 129) - Trazar el plano perpendicular a una de ellas, por ejemplo la R, corta al plano en C. - Encontrar la proyeccin de S sobre en T. - Desde C, una perpendicular a T en D. que

fig. 129 - Por D trazar una paralela a R, que corta a S en A. - Por A una paralela a CD hasta que corte a R en E. - Datos en el depurado: Trazar perpendicular a R. ( fig. 129 a ) - Mediante un proyectante con en C. por R, determinar la interseccin de sta133

- Por un punto A de S, perpendicular a ( h2 - v2 ), que con la S ( h1 - v1 ) determinan el plano . - La interseccin de y da la recta T, proyeccin de S sobre - Desde C perpendicular a , hasta cortar T en el punto D. - Por D paralela a R, hasta encontrar S, determinando el punto A. .

- Desde A, paralela a CD, hasta encontrar R, determinand. La recta AB es la solucin.

fig. 130

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fig. 129 a 130.- Tercer procedimiento para encontrar la perpendicular comn entre dos rectas que se cruzan. ( fig. 130 ) - Por un punto cualquiera A de S, trazar una paralela R1, a R, y hallar el plano formado por S y R1, que ser paralelo a R. - Proyectar ortogonalmente R sobre . Para ello, por un punto B de R, trazar una perpendicular BC a que lo corta en C. La paralela R2 a R por C, es la proyeccin buscada.135

- Determinar el punto de interseccin M de S con la proyeccin R2 de R y trazar por l la perpendicular al plano ( paralela a BC ) que cortar a R en N. MN es la perpendicular comn. - En el depurado, ( fig. 130 a ) , por a - a de S, trazar una paralela a R y da r1 r1, determinando el plano por las trazas de r1 - r1 y s - s. - Determinar un punto b - b en r - r; por b pasar un plano proyectante que se corta con segn la recta o - o. Por b, una perpendicular a , obteniendo el punto c - c. - Por c - c, una paralela a r - r. que corta a s - s en m - m. Por este ltimo, una paralela bc - bc, y hallamos en r - r el punto n - n. Uniendo m - m con n n , tenemos la respuesta. 131.- Determinar la perpendiculara comn entre dos rectas, siendo una de ellas de punta. ( fig. 131. ) - Trazamos la perpendicular c' d' - cd, a t - t' y por el punto de interseccin de ambas, d - d', la paralela da - d'a' a r - r' que ser otra recta de punta que cortar a s - s' en a - a'.

- Trazando finalmente por a - a' la paralela ab - a'b' a cd - c'd', cortar en b - b' a r - r', siendo esta ltima recta ab - a'b' la perpendicular comn buscada.

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fig. 130 a

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fig. 131

132.- Distancia de un punto que se encuentre en el primer cuadrante, a una recta. ( fig. 132 ) - Sea la recta R ( r - r ), con trazas v y h. - Se trata de encontrar la distancia que hay entre el punto A ( a - a ) y dicha recta. - La distancia que hay entre dos elementos cualesquiera, es la perpendicular que separa a ambos. Es decir que se trata de encontrar la recta que desde el punto A, sea perpendicular a R. - Como entre rectas no hay relacin directa de perpendicularidad, (en el depurado), hay que acudir a una de las rectas auxiliares, en este caso una horizontal, cuya proyeccin no paralela a la lnea de tierra, sea perpendicular desde a, a r, pasando por a la proyeccin vertical r. La traza vertical de esta recta es la v1.

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fig. 132 - Ahora s podremos pasar el plano perpendicular a la recta R, y que pase por el punto A, que es desde donde se podr trazar la perpendicular o distancia pedida en el presente ejercicio; este plano es el - , cuya traza vertical pasar por v1, traza vertical de la recta auxiliar que pasa por el punto A, perpendicular a r, desde cuya interseccin con la lnea de tierra, se pasar la traza horizontal, perpendicular a la proyeccin horizontal r de la recta. - Seguidamente dbese encontrar la interseccin de la recta R con el plano, para lo que nos auxiliamos de un plano proyectante vertical que139

pase por la recta, procedimiento este que nos permite encontrar el punto B, donde la recta corta al plano. - La unin de los puntos A y B, nos dar la distancia pedida. - Para encontrar la verdadera magnitud de esta distancia, se procede por los mtodos aplicables al efecto, esto es mediante la triangulacin rectangular, para lo que escogemos la proyeccin vertical del segmento ( d ), trazando un ngulo recto sobre el vrtice b. - Sobre este segundo cateto, llevamos la diferencia de alejamientos entre los puntos a y b ( segmento pq ), cuyo extremo, al unirse con a nos dar la distancia pedida, que en el presente caso es de 41 mm. 133.- Encontrar la distancia que hay desde un punto que se encuentre en el segundo cuadrante, a una recta dada. ( fig. 133 ) - Los procedimientos a seguir son los mismos que en el ejercicio anterior, con la salvedad de que para encontrar el punto B ( b - b ), al no cortarse las trazas horizontales y , debemos acudir al auxilio de un plano frontal que al hacerlo segn las rectas I1 e I2, determinan el punto O ( o - o ), el que unido a la traza vertical de la recta R ( v ), permite obtener precisamente la proyeccin vertical b, y posteriormente la horizontal b. - Lo dems, es decir la verdadera magnitud de la distancia, se obtiene siguiendo los pasos del anterior ejercicio.

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fig. 133 134.- Encontrar la distancia de un punto que se encuentre en el tercer cuadrante, a una recta oblicua. ( fig.134 ) - Se trata del punto A, que por estar en el tercer cuadrante, tiene su proyeccin horizontal a, sobre la lnea de tierra, y la vertical a, debajo de ella, que se encuentra a una distancia a encontrar , de la recta T con trazas v y h. - Debemos pasar una recta auxiliar por el punto A, que ser una frontal u horizontal, cuyas proyecciones no paralelas a la lnea de tierra se ven en141

verdadera magnitud; en el presente caso se trata de una frontal cuya proyeccin vertical por a, ser perpendicular a la proyeccin vertical t de T. ( Esto por cuanto no existe perpendiculararidad directa entre rectas ). - Seguidamente trazaremos un plano perpendicular a la recta T, para lo cual, por la traza horizontal h1 de la frontal auxiliar, pasar la traza horizontal del plano, perpendicular a la proyeccin horizontal de la frontal, para desde su interseccin con la lnea de tierra, tomar la traza del plano, paralela, a la proyeccin vertical de la frontal. - Se encuentra ahora la interseccin entre la recta T y el plano ; para lo que como se sabe debe utilizarse un plano proyectante por T; en este caso se trata de uno horizontal, que por la recta I, interseccin entre ambos planos, determina el punto buscado B ( b - b ). - La unin de A con B, nos dar la distancia buscada, que al aplicrsele el mtodo de la triangulacin ya conocida, determina su verdadera magnitud ( 66 mm. ).

135.- Hallar la distancia entre un punto que se encuentra en el cuarto cuadrante y una recta R ( r - r ) con trazas v y h ( va del primero al tercer cuadrante, pasando pos el segundo ). Fig. 135 - El punto que se encuentra en el cuarto cuadrante, es el A ( a - a ), y la recta, es la determinada en el enunciado.

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fig. 134

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fig. 99 - Por los procedimientos enunciados en el ejercicio anterior, (utilizando la recta auxiliar horizontal, f - f , encontramos que la distancia es el segmento determinado por los puntos O y A, que en verdadera magnitud nos da 58 mm.

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136.- Encontrar la distancia de un punto en el cuarto cuadrante, a una recta con trazas v - h, y que va del primer cuadrante al tercero, pasando por el segundo. ( fig. 136 ) - Por ser un ejercicio similar al anterior, pero con distintos datos, los procedimientos para su solucin, son los mismos, por lo tanto basta seguir los mismos pasos que se utilizaron en aqul.

137.- Trazar una recta paralela a un plano. ( fig. 137 ) - No existe en el sistema Monge la relacin directa de paralelismo entre rectas y planos, por lo que debe acudirse al auxilio de un plano que contenga otra recta que sea paralela a aqulla, puesto que entre ambas s existe dicha relacin de directo paralelismo. - En el caso que nos toca, se trata de dibujar una recta que sea paralela al plano - . - Por las razones expuestas inicialmente, debemos trazarnos una recta cualquiera del plano, en este caso la R ( r - r ). - Segui