La geometría: Un enfoque interdisciplinario. “La geometría como una herramienta poderosa” Ensayo sobre el quehacer de la geometría en sus diferentes enfoques y puntos de vista. 22/04/2012

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l curso de geometría analítica es un curso en el cual

se nos enseñan las habilidades básicas que

deberíamos de tener para enfrentarnos a la solución

de problemas de tipo geométrico. Es interesante ver como esta

materia esta muy estrechamente vinculada con muchas otras, como

por ejemplo el calculo, la geometría diferencial, el algebra lineal, hasta

la termodinámica. Ya que pareciera que sus conceptos son muy

simples y no sirven de nada, podríamos mencionar que la ecuación de

la línea recta es una ecuación básica aplicable a innumerables

problemas. También podríamos decir que la geometría analítica nos

ayuda a tener una mejor concepción espacial, a interpretar

ecuaciones, y a realizar algunas demostraciones. Por ejemplo en el

algebra lineal la ecuación de la recta es una poderosa arma al

momento de trabajar con los espacios vectoriales, así mismo cuando

mapeamos de un espacio a otro vemos que los conceptos como

coordenadas y proyecciones son altamente importantes. En la

linealidad de las ecuaciones la ecuación de la recta también juega un

papel súper importante, es en si una ecuación básica y muy poderosa.

En la termodinámica hablamos de isobaras, isocóricas e isométricas y

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de que la termodinámica trabaja en un espacio PVT (presión, volumen

y temperatura), el cual nos remite a la idea de un espacio vectorial R3.

Ahora también ampliemos más el concepto de la geometría

(analítica), podemos hablar de una geometría vectorial, en la cual

como antes mencioné, la ecuación de la recta es una de las

ecuaciones fundamentales. Hablar de un vector no tendría sentido sin

que supiéramos que es un plano cartesiano, cosa que es meramente

un concepto geométrico creado por el señor René Descartes. Ahora

bien un vector puede tener conceptos muy distintos según sea. Para

un matemático un vector puede ser “un elemento de un espacio

vectorial” (Bravo et. al.) este concepto tendrá una concepción distinta

en el argot de un físico para lo que el un vector es “un elemento

matemático que sirve para representar cosas como las fuerzas” (Bravo

et.al.) Ahora bien si un concepto tiene diferentes acepciones entonces

¿Como deberíamos utilizarlo nosotros en la ingeniería? Pues se me

hace viable utilizar a un vector para representar fuerzas, o sea su

concepción física. Mas sin embargo no debemos dejar de lado su

concepción matemática y toda el algebra y las operaciones que se

desarrollan en torno de estos “entes” ; podríamos ampliar el concepto

de vector y decir que es un caso particular de una cosa que se conoce

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como tensor. Es entonces un vector un tensor de orden uno. Y esto

pareciera que solo ocurre para un espacio de dos dimensiones, pero

he ahí donde radica la fuerza de un vector, se puede representar en

un plano de 3 dimensiones. El elemento básico de la geometría se

podría decir que es el punto, el cual no tiene un concepto bien

definido, es más bien el de la huella que deja un lápiz muy fino sobre

el papel. En tres dimensiones el concepto importante es el del plano.

En el espacio de R2 el concepto importante es la línea recta y en R3

tenemos que es el plano. Ahora sabemos que la intersección de dos

planos es una línea recta. Y la intersección de dos rectas es un punto.

Así mismo podemos extender nuestra geometría hasta n dimensiones

y crear espacios vectoriales de n dimensiones.

Pero para el desarrollo de este sencillo concepto tuvo que pasar

un trabajo que involucró a varios hombres de ciencia tales como

Hamilton con sus cuaterniones, el cual también inventó el operador

nabla. Otro hombre que le dedico parte de su vida a este estudio fue el

matemático alemán Herman Gunter Grassman. “La noción básica en

el trabajo de Grassman es lo que el llamó “cantidad extensiva”, que es

un tipo de hipernumero con n componentes” (Bravo et.al.) Todo el

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trabajo que hizo este señor, contribuyó notoriamente al análisis

vectorial y dio pauta para la teoría de los tensores (que son en realidad

hipernumeros)

Ahora también otro ámbito interesante donde podemos ver el

potencial de los vectores es en el estudio de las variables complejas.

Un número complejo puede ser tratado como un vector. Ahora

regresemos al concepto de plano cartesiano, este nos sirve para

trabajar con números reales, pero, en el caso de los complejos

necesitamos un nuevo lugar de trabajo y este es el plano de Argand.

En éste se construyen los números complejos para ser representados

como un vector.

También existe la llamada geometría diferencial la cual es mucho

más elaborada que la geometría analítica y que la geometría vectorial.

Pero si tenemos una formación solida en los principios básicos de la

geometría, no debería ser mayor dificultad que aplicar los nuevos

conceptos a cosas que ya conocemos.

Entonces el estudio de la geometría no debería de ser cursar

una materia más en la formación de un estudiante, sino que debería

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de dársele una importancia crucial y deben de enseñarse todos los

conceptos de una forma que queden muy firmes en nuestras mentes.

Trabajos citados Silvia Bravo*, Joaquín Quesada**, Francisco Cervantes**. Los vectores y la física.

* Instituto de Geofisica y Depto. de Física. (Fac. de Ciencias UNAM)

** Depto. De Física (Fac. de Ciencias UNAM)